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空间向量的坐标运算

第一课时空间直角坐标系

教学目标：

㈠知识目标：

⒈空间直角坐标系；

⒉空间向量的坐标表示；

⒊空间向量的坐标运算；

⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系；

5.中点公式。

㈡能力目标：

⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；

⒉掌握空间向量坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

4.会用中点坐标公式解决有关问题。

教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算

教学难点：向量坐标的确定

教学方法：讨论法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

复习回顾

空间向量基本定理

探索研究

1、空间右手直角坐标系的概念

⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向

量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy

平面，yOz平面，zOx平面。

⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz

时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。

注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴

的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正

方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3)

a －b=(a 1－

b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3)

a ?b=a 1

b 1+a 2b 2+a 2b 2

a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则

AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　

量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在

此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）

例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。

分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘

点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。

解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，

A 1(2,0,2)，

B 1(2,2,2)，

C 1(0,2,2)，,

D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算

注：3

1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a =

=≠==则若

F E

A 1

B 1

C 1

D 1

反思应用

例2 已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ?b 。解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），

a ?

b ＝（2，－3,5）?

（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 例3 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE

证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则

F D F D AD F D AD ⊥∴=-?-=?-=-=1110)2,1,0()0,0,2(),2,1,0(),0,0,2( 又),1,2,0(=AE

022)2,1,0()1,2,0(11AE F D F D AE ⊥∴=-=-?=?

∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE

小结：

①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。

②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).

③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可。事实上，要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0。巩固练习 P 39 练习 1－6

例4 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥平面B 1AC 。分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线。

证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ，则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B ，∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1，

由三垂线的逆定理，得EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。

分析二：选基底，利用向量的计算来证明。证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则

)(2

1)(2

11111111AB AD AA BD AA D B BB F B EB EF -+=

＝(－a ＋b ＋c )/2 11AA AB AB +=＝a ＋b

1AB EF ?∴＝(－a ＋b ＋c )/2?(a ＋b )＝(b 2

－a 2

＋c ?a ＋c ?b )/2

＝(|b|2－|a |2＋0＋0)/2＝0，1AB EF ⊥∴，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。

分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则

A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1), F(1,1,2),

EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)

1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)

AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)

1AB EF ?∴＝(―1,―1,1)? (0,2,2)＝0

AC EF ?＝(―1,―1,1)? (－2,2,0)＝0

∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC 。归纳总结

1、空间直角坐标系的概念

2、向量的坐标运算

3、实际问题中如何建系

作业 P 42 习题9.6 3、4、5

第二课时夹角和距离公式

教学目标：

㈠知识目标：

⒈向量长度公式；

⒉两向量夹角公式；

⒊空间两点间的距离公式、中点坐标公式； ⒋平面的法向量．

㈡能力目标：

⒈掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；

⒉了解平面的法向量的概念．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾

上节课我们学习了空间直角坐标系、向量的直角坐标运算等知识内容，请回忆一下向量的直角坐标运算法则．

设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b ，则

⑴a ＋b ＝),,(332211b a b a b a +++； ⑵a －b ＝),,(332211b a b a b a ---； ⑶λa ＝),,(321a a a λλλ)(R ∈λ； ⑷a ·b ＝332211b a b a b a ++ 上述运算法则怎样证明呢？

与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可．怎样求一个空间向量的坐标呢？

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们利用向量知识解决立体几何问题提供了有利的工具．

今天，我们将在以上运算法则的基础上，利用向量的数量积的意义，得出另外几个公式，为今后应用向量解决问题提供方便．探索研究

⒈夹角公式

设),,(321a a a a =， ),,(321b b b b =，我们怎样求这两个向量的模呢？

32221||a a a a ++=

， 2

32221||b b b b ++=

．

这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量积，会得出什么结果呢？ ∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞

∴ 332211b a b a b a ++＝232221a a a ++·2

32221b b b ++·cos ＜a ,b ＞由此可以得出：

这个公式成为并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；

当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．

利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点),,(111z

y x A ，),,(222z y x B ，则

其中B A d 、表示A 与B 两点间的距离．反思应用

例1已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： ⑴线段AB 的中点坐标和长度；

⑵到A 、B 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件．解：⑴设),,(z y x M 是线段AB 的中点，则

)(2

1OB OA OM +=＝2

1[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,

3,3)．

∴线段AB 的中点坐标是(2,2

3,3)．

29)15()30()31(2

=-+-+-=

B A d 、．

⑵点),,(z y x P 到A 、B 两点距离相等，则

)

1()3()3(-+-+-z y x ＝222)5()0()1(-+-+-z y x ．

化简，得 07864=+-+z y x ．

即到A 、B 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件是

07864=+-+z y x ．

说明：⑴注意掌握中点坐标公式：

)(2

1OB OA OM

+=＝)2

(

1z z y y x x +++；

⑵例3⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．

例2 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4

111111B A F D E B ==，求1BE 与1

DF 所成的角的余弦值．

解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设

DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ．

以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则点B 、 E 1、D 、F 1的坐标分别为

B (1,1,0)，E 1(1,4

3,1)，D (0,0,0)，F 1(0,

1,1)

∴1BE ＝(1,43,1)－(1,1,0)＝(0,－4

1,1)，

1DF ＝(0,

1,1)－(0,0,0)＝(0,

1,1)．

∴4

17||1=

BE ，4

17||1=DF ，1BE ·1DF ＝

15．

∴cos ＜1BE ,1DF 17

151111=．

例3求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足．

求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝)

x．

∵BD⊥α，

∴BD⊥i，BD⊥j，

∴BD·i＝)

x·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝)

x·(0,1,0)＝y＝0,

∴BD＝(0,0,z)．

∴BD＝z k．即BD//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

说明：

⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；

⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．

如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．

如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．

巩固训练P42练习

归纳总结

对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当．

作业P42习题9.6 6、8

第三课时空间向量的坐标运算

教学目标

1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算

2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角、距离等

3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题

复习回顾

1、空间向量的坐标表示

2、空间向量的坐标运算

A 1

探索研究

例1 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC

＝＿＿＿。

210

52122cos ),

0,3,1(),0,4,2(-

=?-=

∴-=--=BC BA BC BA ∴∠ABC ＝45°。

例2 已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a|＝3，求向量a 的坐标。

分析：⑴2

1cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=BAC AC AB

∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S

⑵设a ＝(x,y,z)，则,032=+--?⊥z y x AB a 33||,0232

=++?=

=+-?⊥z y x a z y x AC a

解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1), a ＝(－1，－1，－1).

例3 （创P 42 12）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值。

分析一：利用11BB BC BA BD ++= 11BB BC C B -=，以及数量积的定义，可求出

cos ＜C B BD 11,＞，从而得到异面直线BD 1和

B 1

C 所成角的余弦值。

转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点，则B(b,a,0),D 1(0,0,c),B 1(b,a,c),C(0,a,0) ),0,(),,,(11c b C B c a b BD --=--=∴

11)(0)()(c b c c a b C B BD -=-?+?-+-=?∴

)

)((cos ,

||,||2

11112

212

221c b c b a c

b C B BD

c b C B c a b BD +++-=

++=

设异面直线BD 1和B 1C 所成角为θ，则)

)((cos 2

2c b c b a c

b +++-=

θ。

例4（创44,4）在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。

解：以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，由题意知E(0,0,1/2), F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1), G(0,3/4,0),

⑴).1,0,1(),2

,21,21(1--=-=C B EF

,C B EF 1⊥∴

即EF ⊥B 1C ⑵

171)4

1(0||),

1,41,0(2

11=

∴-

=G C G C

由⑴知8

0)21(4321021,23)21()21()21(||1222=

?-+

?+?=?=-++=

G C EF EF 17

51cos 1=

∴G C EF ，故EF 与C 1G 所成角的余弦值为

51。

⑶∵H 为C 1G 的中点，∴H(0,7/8.1/2),又F(1/2,1/2,0) ,8

41)

)210(||2

-+-

∴FH 即FH ＝

例5（创46，T13）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，

AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°（PD 和其在底面上的射影所成的角）。⑴若AE ⊥PD ，垂足为E ，求证：BE ⊥PD ；⑵求异面直线AE 与CD 所成角的大小。

解：以A 系A －xyz ，由题意知D(0,2a,0)

⑴证明：∵PD 在底面上的射影是DA ，且PD 30°，∴∠PDA ＝30°，),33

0,0(a P ∴

∵AE ⊥PD ，)2

0(,||2

1||a a E a AD AE ==∴

),33

2,2,0(),2

(a a PD a a a BE -

=-=∴

PD BE a a a a a PD BE ⊥∴=-

-?=?∴,0)3

2(2

322

)(0，即BE ⊥PD 。

⑵解：由⑴知,2

),0,,(),2

0(2

CD AE a a CD a a AE =

?∴-==

又4

2cos ,2||,||=

∴==a CD a AE ，

∴异面直线AE 与CD 所成角的大小为arccos .4

归纳总结

运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质。掌握运用向量求角、距离的方法。

作业 P 43 习题9.6 8、9

空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C

解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组

基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.

C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

空间向量的基本运算

第六节空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】 1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

空间向量及其坐标运算练习题

空间向量及其坐标运算一．选择题 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x = 21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =2 3 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1 B.51 C.53 D.5 7 4.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 A.（ 41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32 ） 5.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 A D B C B C D 1 1 1 1 M N A. 2 3 B. 10 10 C. 5 3 D. 5 2 二．填空题 6.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角 θ的大小是_________. 7.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________. 8.命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b =λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM = 31OA + 31OB + 3 1 OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________.

空间向量的坐标表示及其运算

空间向量的坐标表示及其运算 1. 已知()2,1,3=，()3,2,1-B ，则A 的坐标是 . 2. 已知()()m b a ,4,2,2,2,1-=-= ，若b a //，则实数=m . 3. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是______ . 4. 若()1,1,1A ，()4,0,1-B ，()3,2,2-C ，则以AC AB ,为邻边的平行四边形的面积为 . 5. 若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB → |的取值范围是 . 6. 若()()222111,,,,,z y x A z y x A ，且P 为AB 中点，则P 的坐标为 . 7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,51===AA BC AB ，如图，建立空间直角坐标系，写出11,,CB B A AC 及D B 1. 8. 已知()()1,2,3,3,6,4--B A ，且3 2 -=，求点P 的坐标。 9. 已知()()5,3,2,1,5,1-==b a ，（1）当()() b a b a 3//-+λ，求实数λ的值；（2）当()() b a b a 3/-⊥+λ，求实数λ的值 y

10. 已知空间三点()2,0,2-A ，()()4,0,3,2,1,1--C B ，求：（1）BAC ∠；（2）若向量k k +与向量k 2-垂直，求实数k 值。 11. 已知()3,2,1=，()2,1,2=，()2,1,1=，点S 在直线OP 上，求?的最小值，并指出此时S 的坐标。 12. 在棱长为a 的正四面体ABCD 中，建立恰当的坐标系，（1）求D C B A ,,,的坐标；（2）求AB BC ? +AC BD ? 的值。 C P A

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算练习

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

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