(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点

一、 函数与极限 （一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；

4、 函数的连续性与间断点；

函数)(x f 在

0x 连续 )()(lim 00

x f x f x

x =→

第一类：左右极限均存在.

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定

理及其推论.

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限

εε<->?N ∈?>??=∞

→a x N n N a x n n n , , ,0lim

2） 函数极限

εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x

x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00

时，当 左极限：)(lim )(0

0x f x f x x -

→-= 右极限：)(lim )(0

0x f x f x

x +→+=

)()( )(lim 000

+

-→=?=x f x f A x f x x 存在

2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤

2

）

a z y n n n n ==→∞

→∞

lim lim a x n n =∞

→lim

2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量

1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~

ααββαo +=?;

Th2 αβαβαβββαα'

'

=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；

3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：

a) 1sin lim 0=→x

x x b) e x x x

x x

x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1

0 5） 无穷小代换：（0→x ） a)

x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~

b) 2

2

1~cos 1x x -

c) x e x

~1- （a x a x

ln ~1-）

d) x x ~)1ln(+ （a x

x a ln ~)1(log +）

e)

x x αα

~1)1(-+

二、 导数与微分 （一） 导数

1、 定义：0

00)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='→

左导数：0

00)

()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-

→- 右导数：0

00)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='+

→+

函数

)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='?

2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.

3、 可导与连续的关系：

4、 求导的方法

1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；

4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法. 5、 高阶导数

1） 定义：??

?

??=dx dy dx d dx y d 22

2） Leibniz 公式：()∑=-=n

k k n k k n n v u C uv 0)

()()

( （二） 微分

1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ?+?=-?+=?，其中A 与x ?无关. 2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dx x f x x f dy )()(00'=?'=

三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理

1、 Rolle 罗尔定理：若函数

)(x f 满足：

1）

],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；

则0)(),,(='∈?ξξf b a 使.

2、 Lagrange 拉格朗日中值定理＊：若函数

)(x f 满足：

1）

],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；

则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈?ξξ使. 3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数

)(),(x F x f 满足：

1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）

),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈?使

（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式

（四） 单调性及极值

1、 单调性判别法：

],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则

)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.

2、 极值及其判定定理：

a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0

x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧

)(x f '不变号，则0x 不是极值点.

c) 第二充分条件：

)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则

①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.

3、 凹凸性及其判断，拐点

1）)(x f 在区间I 上连续，若2

)

()()2(

,,212121x f x f x x f I x x +<+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)

()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.

2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.

3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五） 不等式证明

1、 利用微分中值定理；

2、 利用函数单调性；

3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论

1、 连续函数的介值定理；

2、 Rolle 定理；

3、 函数的单调性；

4、 极值、最值；

5、 凹凸性. （七） 渐近线

1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f a

x ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞

→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；

四、 不定积分 （一） 概念和性质

1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为

)(x f 的一个原函数.

2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区

间I 上的不定积分.

3、 基本积分表（P188，13个公式）；

4、 性质（线性性）.

（二） 换元积分法

1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ???=??='

2、 第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：

[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=?????

（三） 分部积分法：

??-=vdu uv udv （反对幂指三，前U 后 V ’）

（四） 有理函数积分 1、“拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.

五、 定积分 （一） 概念与性质： 1、 定义：

∑?

=→?=n

i i i b

a

x f dx x f 1

)(lim )(ξλ

2、 性质：（7条）

性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈?ξ，使

))(()(a b f dx x f b

a

-=?

ξ （平均值：

a

b dx x f f b

a

-=

?)()(ξ）

（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设?

=

Φx

a

dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'

推广：)()]([)()]([)()

()

(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=? 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f b

a

-=?

（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：

??

'=β

α

??t t t f dx x f b

a

d )()]([)(

2、 分部积分法：[]??

-=b

a

b

a

b a vdu uv udv （四） 反常积分 1、 无穷积分：

?

?+∞→+∞

=t

a

t a dx x f dx x f )(lim )( ?

?

-∞→∞-=b

t

t b

dx x f dx x f )(lim

)(

?

?

?

+∞

∞

-+∞

∞

-+=0

)()()(dx x f dx x f dx x f

2、 瑕积分：

??+→=b

t

a

t b

a dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）

??

-→=t

a

b

t b

a

dx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）

两个重要的反常积分：

1) ?

??

??>-≤∞+=-∞+?1 ,1

1

,d 1p p a p x x p a p

2) ?

????≥∞+<--=-=--??1

,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x

a x x q

b a q b a q

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

同济高数上册公式大全

第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

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高数上册公式大全(同济六版)

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同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有 【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x) (1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当x - 0时 a 1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ， x 1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x 求极限的方法 1 ?两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳 公式1 lim 1 x 0 x 公式 2lim (1 x)1/x e x 0 3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式 当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 sin x cosx 2 x 3 x 2! 3! 3 5 x x 3! 5! 2 4 x x 2! 4! n! OX 〉 2n 1 1)n A / 2n 1 、 o(x ) 2n n x 2n x x

同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“一”型的未定式，其它的未定式须 先化简变形成“ ”或“一”型才能运用该法则； (2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不 能断 In(1 x) 3 f... ( 1) n n 1 x / n o(x ) n (1 x) (1) 2! x 2 (1)-( (n 1))x n n! o(x n ) arcta n x 2n 1 n 1 X 2n 1 1) o(x ) 2n 1 5 ?洛必达法 则 定理1 (1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ; x x o (2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 上存在(或为无穷大)，则im 丄? -■ ■ x x 0 F(x) 3存在时，佃出 x x 0 F(x) lim x x o F (x) F (x) 0 ; ..f (x) lim x x 0 F (x) 这个定理说明：当 匕为无穷大时, lim x 冷 F (x) lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x) 也存在且等于lim x x 0 F (x) f (x).当 lim x x o F (x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 X o 定理2设函数f(x)、 lim f(x) x X 0 f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ; ..f (x) lim x x F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; x x o 存在(或为无穷大)，则叫鵲 注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x (3) ..f (x) lim x x o F (x) 时未定式一型

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点 」、函数与极限 (一)函数 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数f(x)在X o连续> lim f(x)二f(x°) X T X o ‘第一类：左右极限均存在? 间断点可去间断点、跳跃间断点 .第二类：左右极限、至少有一个不存在? 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其 推论. (二)极限 1、定义 1)数列极限 limX n=a= PEA。，m N EN,x/n>N, x^ a < s n T°o 2)函数极限 lim f (x) = A= * > 0,我> 0, %,当0^|x-x°|"时，f(x)-A —X r X o

左极限：f(X0) = lim f (X) 右极限：f(X。)= lim f (x) X T X o I X o

lim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x 0 ) X _；Xo 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1) y^ X^ Z n ( n - n °) 2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义：若lim 〉二0则称为无穷小量；若lim 〉八：则称为无穷大量 2) 无穷小的阶：高阶无 穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 2 ) lim y n = lim z n = a 丿 n ^^ n -^c lim x n 二 a n 》：： Th1 ：~ ：二： o(： ) ? Th2 -?：，? ,lim 一存在， a r lim —= a lim —(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则； 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限： 「 sin x 彳 a) li 叫 1 b) X r ° x 1 lim (1 x)x X r 0 lim (V -)^ e x 』： x a) x ~ si n x ?tan x ?arcs in x ?arcta nx

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. .

. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高数公式大全

高等数学公式 (tanx) sec2 x 2 (arcsin x) 1 1 x2 (cot x) csc (secx) secx x tanx (arccos x) 1 1 x2 (cscx) cscx cot x 1 (a x) a x ln a (arctan x) 2 1 x (log a x) 1 x ln a (arccot x) 1 1 x2 导数公式：基本积分表： kdx kx C （k 为常数）x u dx x u 1 C u 1 1 dx x ln x C 1 1 x2 dx arctan x C 1 dx 1 x2 arcsin x C cosxdx sin x C sin xdx cosx C 1 cos2 x dx sec2 xdx tan x C 1 2 dx sin x 2 csc xdx cot x C secx tan xdx secx C cscxcot xdx cscx C e x dx e x C a x a x dx C ln a 两个重要极限： lim sin x 1 x 0 x lim(1 1 x e x x )

三角函数公式： sin 2 2sin cos cos 2 2cos 2 1 1 2sin 2cos2sin2 2 2 sin cos 1 2 2 sec 1 tan 零点定理：设函数 f x 在闭区间a, b 上连续，且 f a f b 0 ，那么在开区间a, b 上至少一点，使f 0 。（考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调 性） 罗尔定理：如果函数 f x 满足三个条件： （1 ）在闭区间a, b 上连续； （2 ）在开区间a, b 内可导； （3 ）在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ， 那么在a, b 内至少有一点 a b ，使得f0 。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证 明题） 拉格朗日中值定理：如果函数 f x 满足 （1 ）在闭区间a,b 上连续； （2 ）在开区间a,b 内可导， 那么在a, b 内至少有一点 a b ，使等式 f b f a f b a 成立。（证明题） 定积分应用相关公式 1 b 函数的平均值y f x dx b a a 空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离 d M 1 M 2 2 x2 x1 2 y1 y2 2 z1z2 '

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)