数列的概念与简单表示讲义

数列的概念与简单表示讲义

【知识要点】：

知识点一：数列的概念

⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。

3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项

知识点二：数列的分类

1. 根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列

2. 根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

知识点三：数列的通项公式与前项和

1. 数列的通项公式

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

如数列：的通项公式为（）；

的通项公式为（）；

的通项公式为（）；

注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；

它的通项公式可以是，也可以是.

（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．

2. 数列的前项和

数列的前项逐个相加之和：；

当时；当时，，.

故.

知识点四：数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；通项公式反映了一个数列项与项数的函数关

系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决，如：单调性，最值等.

知识点五：数列的表示方法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法（解析式法、图象法、列表法）有联系1. 通项公式法（解析式法）：

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2. 图象法：

数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取

决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 列表法

相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二

项，……，用表示第项，依次写出成为，，…，，…，简记为．

4. 递推公式法

递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或

前项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。

如数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…的递推公式为：

.

规律方法指导

1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；

（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2.数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，根据此特殊性可以判定一个数是否数列中的项；数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式. 3. 递推公式也是给出数列的一种方法. 【经典例题】

考点1 数列的通项公式

类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0, ,

,

,…；(2) 1,

,

,

,…；(3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6,

1, 6,1,…. 解析：

（1）将数列改写为，，，，…， 故.

（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用

来表示；

其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.

（3）将数列改写为

,

,

, ，…， 故.

（4）将数列每一项减去6与1的平均值

得新数列

, -,

, -,…，

故或 总结升华：写通项时注意以下常用思路：

①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；

②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n

作指数，让数列中隔项出现倒数；

③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。

④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化. 举一反三：

【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,…； （2）1，21-，31，4

1

-，…； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…； （4）－3

12

?，534?，－758?，9716?，…； 【答案】： (1)

； （2）n

1

(-1)

a 1

n n ?

=+； (3)； （4）a n ＝

1)1)(2n -(2n 2(-1)n

n

+。

|

变式训练1 某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ①a n ＝

22[1＋(－1)n

] ②a n ＝n )(11-+ ③a n ＝??

?)(0

)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（ D ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

【反思归纳】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证. 题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式

例2.已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .

⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S .

【解题思路】利用??

?≥-==-)

2()

111n S S n S a n n n （，这是求数列通项的一个重要公式.

【解析】⑴当1=n 时，513122

11=?+?==S a ，

当2≥n 时，[]

)1(3)1(2)32(2

21-+--+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n . |

当1=n 时，15114a ==+?，14+=∴n a n .

⑵当1=n 时，41311=+==S a ，

当2≥n 时，1

1132)13()13(---?=+-+=-=n n n n n n S S a .

当1=n 时，11

1232a ≠=?-，?

??≥?==∴-)2(32)

1(41

n n a n n . 例3．已知数列的前项和公式

，求通项

. （1）， (2) . 思路点拨: 先由

时，

，求出；再由当

时，

，求出

，

并验证是否符合所求出的

.

解析： （1）当时，，

当

时，

，

∴

（2）当时，

当时，

，

∴()为所求. 总结升华：已知

求出依据的是

的定义：

，分段求解，然

后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 举一反三：【变式1】已知数列的前项和

，求通项

.

【答案】当时，

，

当

时，

，

∴.

【变式2】已知数列的前项积

，求通项

【答案】当时，， 当

时，

，

∴.

变式训练2已知数列的前n 项和Sn 满足log 2(Sn+1)=n+1,求{a n }的通项公式 解:

312

2

n n

n a n =?∴=?≥?

【反思归纳】任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：

???≥-==-)

2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

题型3 已知数列的递推式，求通项公式 例4.数列{}n a 中，)2(22,11

1

1≥+=

=--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .

【解题思路】已知{}n a 的递推公式)(1-=n n a f a 求前几项，可逐步计算. ！

【解析】 )2(22,11

1

1≥+=

=--n a a a a n n n ，

∴3222112=+=a a a ，4222223=+=a a a ，5222334=+=a a a ，6

2

22445=+=a a a ，

由 ,6

2

,52,42,32,22，可以归纳出12+=n a n .

【变式1】已知数列

满足：

，

，写出前5项，并猜想．

【答案】 法一：

，

，，观察可得

法二：由，∴即

∴

∴

【变式2】数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a . 【解析】 12,111+==+n n a a a

∴31212=+=a a ，71223=+=a a ，151234=+=a a ，311245=+=a a

由 ,1231,1215,127,123,1215

4

3

2

1

-=-=-=-=-=，可以归纳出1

2+=n a n

【反思归纳】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.

考点2 与数列的通项公式有关的综合问题

题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项 ~

例5.数列{}n a 中，452

+-=n n a n .⑴18是数列中的第几项⑵n 为何值时，n a 有最小值并求最小值.

【解题思路】数列的通项n a 与n 之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.

【解析】⑴由0145184522=--?=+-n n n n ，解得7=n ，∴18是数列中的第7项. ⑵

4

9

)25(4522-

-=+-=n n n a n ，

+∈N n ∴2=n 或3=n 时，

25242)(2min

-=+?-=n a .

【变式】数列{}n a 中，12832

+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.

【解析】3193314312832

2-

??? ?

?

-=+-=n n n a n ，∴5=n 时，n a 取最小值. 【反思归纳】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n 为正整数.

题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性

例6．已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明. 思路点拨:选择数列中任意相邻两项作差比较即可. 解析：∵，

∴

（

）

∴数列是递增数列.

总结升华：数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明. 举一反三：【变式1】数列中：,

（

）

（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【答案】 （1）

,

,

,

,

,∴ ；

（2）方法一：∵

，∴ 数列

是递减数列.

方法二：∵函数在上单调递减，∴数列是递减数列.【反思归纳】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.

数列的概念与简单表示法(含 解析)

第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式．

3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1]　下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答]　由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]　C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 【知识通关】 1．数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 4．数列的分类 [

求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用??? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1.(n ≥2， n ∈N *)或?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1) ，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 5n －4

数列的概念与简单表示讲义

数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】： 知识点一：数列的概念 ⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项 知识点二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列：的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…； 它的通项公式可以是，也可以是. （3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．

数列的概念与简单表示法

高一数学必修5数列新容：数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类： （1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列; ④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 练习： 1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号的数 （1）()() 1,3,6,10,,21,,??????; （2）()() 3,5,9,17,33,,,??????; （3）() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是 （1）0,1,2,3,??????;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,??????; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1, ---??????;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9??????; （2）9,7,5,3,1,??????; （3） 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- （4） 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}． (2)通项公式：如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________． (4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________．递增数列a n＋1______a n ；递减数列a n＋1_____a n；常数列a n＋ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________． 3．数列前n项和S n与a n的关系 已知S n，则a n＝ ? ? ?（n＝1）_________， （n≥2）_________. 自查自纠： 1．(1)项首项a1，a2，a3，…，a n，… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n－1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S1S n－S n－1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2) 2 3 ， 4 15 ， 6 35 ， 8 63 ， 10 99 ，…；

数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n等于( ) A.（－1）n＋1 2 B.cos nπ 2 C.cos n＋1 2 π D.cos n＋2 2 π 解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D 2.数列2 3 ，－ 4 5 ， 6 7 ，－ 8 9 ，…的第10项是( ) A.－16 17 B.－ 18 19 C.－20 21 D.－ 22 23 解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n＝ (－1)n＋1· 2n 2n＋1 ，故a10＝－ 20 21 . 答案 C 3.(2016·保定调研)在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n－1 B.2n－1＋1 C.2n－1 D.2(n－1) 解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 法二由题意知a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1. 答案 A

4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C. （n ＋1）2 n 2 D. n 2 （n －1）2 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2 （n －1）2. 答案 D 5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－ a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题 6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34 21，则a 5＝________. 解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝ 2113，a 6＝138，a 5＝85 . 答案 8 5 7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝???4，n ＝1， 2n ＋1，n ≥2. 答案 ???4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又 a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________. 解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3

数列的概念及简单表示方法

§ 数列的概念及简单表示法 1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋ 递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项的数列 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? ?? S 1 ?n ＝1? S n －S n －1 ?n ≥2? .

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋?－1? n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3 ，则{a n }的通项公式是a n ＝_____. 答案 (－2) n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2 3a n －23 a n －1， 故 a n a n －1 ＝－2，故a n ＝(－2)n －1 . 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1 . 综上，a n ＝(－2) n －1 . 5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1， B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，

高三理数一轮讲义：6.1-数列的概念及简单表示法(练习版)

第1节数列的概念及简单表示法 最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 知识梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n ＋1 ＞a n 其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n 常数列a n ＋1 ＝a n 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[微点提醒] 1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝???S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 4.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63

(完整版)数列的概念与简单表示法练习题及答案解析

练习一 1．数列1，12，14，…，1 2n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 2．已知数列{an}的通项公式an ＝1 2[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是 ( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 3．数列{an}的通项公式an ＝cn ＋d n ，又知a2＝3 2，a4＝154，则a10＝__________. 4．已知数列{an}的通项公式an ＝2 n2＋n . (1)求a8、a10. (2)问：1 10是不是它的项？若是，为第几项？

练习二 一、选择题 1．已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3等于( ) A．3 B．9 C．12 D．20 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，…新课标第一网

D ．1，2，3，…，n 3．下列说法不正确的是( ) A ．根据通项公式可以求出数列的任何一项 B ．任何数列都有通项公式 C ．一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D ．有些数列可能不存在最大项 . 4．数列23，45，67，8 9，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223 5．已知非零数列{an}的递推公式为an ＝n n －1 ·an －1(n ＞1)，则a4＝( ) A ．3a1 B ．2a1 C ．4a1 D ．1 6．(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an ＋1＝12an ，则数列{an} 是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 二、填空题 7．已知数列{an}的通项公式an ＝19－2n ，则使an>0成立的最大正整数n 的值为__________．

数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法 1．数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类 3．

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝????? S 1 (n ＝1) S n －S n －1 (n ≥2) . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何 一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55

《数列的概念与简单表示法》-教案

2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时） 一、教学目标 （1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画 自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。 （2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。 二、教学重点与难点 教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。 教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。 三、? 四、教学过程 一、创设情境，实例引入 1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题 2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。 师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律? 2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。 板书课题：数列的概念与简单表示法 二、| 三、新课教学 （一）引入 1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。 师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。 我们看三角形数分别是1，3，6，10……(板书) 师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25……（板书） （二）新课教学 问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？ ~ 我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数 所以第一个特点是什么？都是一列数 第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的， 也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。

《数列的概念与简单表示法》教案

第 1 课时 数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 ● 教学目标 知识与技能：1、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3、对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ● 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ● 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ● 教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，…（三角形数是指形如 n(n+1)/2 的数） 正方形数：1，4，9，16，25，…（正方形数是指形如 n^2 的数） Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第 1 项（或首项），“9”是这个数列中的第 6 项. ⒊数列的一般形式： a 1 , a 2 , a 3 , , a n , ，或简记为{a n }，其中a n 是数列的第 n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1 1 是这个数列的第“3”项，等等 ”，“ ” 3 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用

数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法

1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? S 1 (n ＝1) S n －S n －1 (n ≥2).

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋(－1) n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.

第一节 数列的概念与简单表示法

第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． [小题能否全取] 1．数列1，23，35，47，5 9 …的一个通项公式是 ( ) A ．a n ＝n 2n ＋1 B ．a n ＝n 2n －1 C ．a n ＝n 2n －3 D ．a n ＝n 2n ＋3 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1 ，则这个数列是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝? ???? 2· 3n － 1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________. 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3 2 ，则a 8＝________. 1．B 2．A 3．A 4．答案：54 5．答案：9 4 小结

1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)． 由数列的前几项求数列的通项公式 典题导入 [例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是 ( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n ＋12 C ．a n ＝2－????sin n π2 D ．a n ＝(－1)n － 1＋32 [答案] C 若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝??? ? ? 0(n 为奇数)，1(n 为偶数). ??? ?或a n ＝1＋(－1)n 2或a n ＝1＋cos n π2 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1 来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 以题试法 1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，31 32，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3 6，…. 解：(1)a n ＝2n ＋1 (2)a n ＝2n －12n (3)a n ＝1 3 (10n －1)．

(完整版)数列的概念与简单表示法练习题(带答案)

数列的概念与简单表示法练习题 1、下列说法正确的是 （ ） A. 数列1，3，5，7可表示为{ }7,5,3,1 B. 数列1，0，2,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列 C. 数列? ?????+n n 1的第k 项是k 11+ D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集*N 的函数 2、数列Λ,28,21,,10,6,3,1x 中，由给出的数之间的关系可知x 的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 18 3、已知数列的通项公式为1582+-=n n a n ，则3 （ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项 C. 只是数列{}n a 中的第6项 D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 4、数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 5、已知数列ΛΛ,12,,7,5,3,1-n ，则53是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 7、已知数列()ΛΛ,11,,9 1,41,12n n ---，它的第5项的值为 （ ） A. 51 B. 51- C. 251 D. 251- 8、数列Λ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ） A. ()2111+--=n n a B. ()2111+-+=n n a C. ()211--=n n a D. ()211n n a ---= 9、用适当的数填空： ①2，1， ，41，81， ，32 1 ②,25,16,9,4,1--- ，49-

(完整版)数列的概念与简单表示法

高一数学必修5数列新内容：数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类： （1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列; ④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 练习： 1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）()() 1,3,6,10,,21,,??????; （2）()() 3,5,9,17,33,,,??????; （3）() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是 （1）0,1,2,3,??????;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,??????; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1, ---??????;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9??????; （2）9,7,5,3,1,??????; （3） 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- （4） 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .

数列的概念及简单表示法(学生版)

第二章数列 2.1 数列的概念及简单表示 2.1.1数列的概念与简单表示法(一) 【学习目标】 1.理解数列及其有关概念(难点)； 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. 【要点整合】 1.数列的概念 (1)数列与数列的项 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第项. (2)数列的表示方式 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为. (3)数列中的项的性质： ①确定性；②可重复性；③有序性. (4)数列与集合的区别：数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性. 2.数列的分类 (1).按项的个数分类 (2).按项的变化趋势分类

3.数列的通项公式 如果数列{a n }的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 【典例讲练】 题型一 数列的概念与分类 例1 (1)下列四个选项中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A. {0，1，2，3，4}； B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7 ，… C.－1，－12，－14，－18 ，… D.1，2，3，…，21 (2)设函数f (x )＝? ????（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.????94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) (3)下列说法：①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3…的一个通项公式为 =-a n 1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列?? +????n n 1是递增数列，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④ 练习1：下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？ (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n －1n ，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)－11×2，12×3，－13×4，14×5 ，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6) 9,9,9,9,9,9. 题型二 根据通项公式写数列的项 例2 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n n ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n n .

示范教案(数列的概念与简单表示法)

2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一) 从容说课 本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 教具准备 课件 三维目标 一、知识与技能 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，…. 师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，…. 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，…. 生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，…. 推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓). 生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了. 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①

数列的概念与简单表示法知识点

数列 一、 数列的概念与简单表示法 1、 数列的概念 ⑴ 数列的定义： 按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。 数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为 ,,,,21n a a a ，或者简记为}{n a ，其中n a 表示数列}{n a 的通项。 注： ① 研究对象:“数”(与集合相区别)。 ② 首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。 第2项 ：数列中的排在第2位的数。 …… 通项（第n 项）：数列中的排在第n 位的数。 ③ 注意n a 与}{n a 含义的区别： n a ：表示数列}{n a 中的第n 项。 }{n a ：表示数列 ,,,,21n a a a ，简单记法。 ④ 数列的项性质： 有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。 可重复性 ：数列中数可以重复出现。 补充知识： 集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。 例：a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列 b 1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。 ⑵ 从函数的角度研究数列： 对于任意一个数列}{n a ，其每一项与序号都有对应的关系，见下表： 数列可以看作一个定义域为正整数集N (或它的有限子集｛1,2,3，…,n ｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。 2、函数不一定是数列。

2、 数列的表示方法 ⑴ 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系 在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（n ,n a ）。 ⑶ 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。 3、 数列的通项公式： ⑴ 数列的第n 项叫做数列的通项。 ⑵ 如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 注：① 并不是所有的数列都可以用通项公式表示 例：π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6… π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，… ② 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公 式不能唯一确定。 例：数列1,4,7,10，… 通项公式可以是2n 3-=n a ,也可以()()()()43212n 3----+-=n n n n a n ③ 数列通项公式的表示方法不唯一。 例：数列-1，1,-1,1,-1，… 通项公式可以是)(cos πn a n =,也可以是n 1-）（=n a 。 4、 数列的递推公式： ⑴ 递推公式： 如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式。 ⑵ 通项公式与递推公式异同点： 相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。 不同点：通项公式可以通过代入项数n 直接求出项n a 。简单直接 递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项n a 。赋值繁琐 所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）