北航空气动力学课后答案 至 章
第
一章
1.1解：）（k s m 84.259m
k R 2
2328315
?===
-
气瓶中氧气的重量为
1.2解：建立坐标系
根据两圆盘之间的液体速度分布量呈线性分布 则离圆盘中心r ，距底面为h 处的速度为
当n=0时 u=0推出0u 0= 当n=h 时 u=wr 推出h
wr k =
则摩擦应力τ为
上圆盘半径为r 处的微元对中心的转矩为 则?
?
=
=T 2D 0
3
3
20
32
D u drd h
r u
ωπθωπ
1.4解：在高为10000米处
T=288.15-0.0065?10000=288.15-65=223.15
压强为
??
? ??=Ta T Pa P 5.2588
密度为2588
.5Ta T a ?
?
?
??=ρρ
1-7解:2M KG 24.464RT
P
RT p ==
∴=ρρ
空气的质量为kg 98.662v m ==ρ 第二章
2-2解流线的微分方程为
y
x v dy v dx =
将v x 和v y 的表达式代入得
ydy x dx y
x 2dy
x y 2dx 2
2==， 将上式积分得y 2-x 2=c ，将（1，7）点代入得c=7
因此过点（1，7）的流线方程为y 2-x 2=48 2-3解:将y 2+2xy=常数两边微分 2ydy+2xdx+2ydx=0
整理得ydx+（x+y ）dy=0 （1）
将曲线的微分方程y
x V dy
V dy =
代入上式得 yVx+（x+y ）V y =0
由22y 2xy 2x V ++=得 V x 2+V y 2=x 2+2xy+y 2 （（2）
由（1）（2）得()y v y x v y x μ=+±=，
2-5解:直角坐标系与柱坐标系的转换关系如图所示 速度之间的转换关系为{
θ
θθθ
θθcos v sin v v sin v cos v v r y r x +=-=
由θθθ
θθθcos r
1
y v sin y
r
sin r 1x
v cos x r
rsin y rcos x =??=??????
?-=??=??????==
2-6解：（1）
siny x 3x V 2x -=?? siny x 3y V 2y =?? 0y
V
x V y x =??+?? ∴此流动满足质量守恒定律
（2）siny x 3x V 2x =?? siny x 3y V 2
y =?? 0siny x 6y V x V 2y x ≠=??+??
∴此流动不满足质量守恒定律
（3）V x =2rsin r
xy 2=θ V y =-2rsin 2
r
y 22
-
=θ
∴
此流动不满足质量守恒方程
（4)对方程x 2+y 2=常数取微分，得
x
dy dy dx -= 由流线方程y
x v dy v dx =
(1) 由）（得2r k v v r k v 422
y 2x =+= 由（1）（2）得方程3x r ky v ±
= 3
y
r kx v μ= ∴此流动满足质量守恒方程
2—7解：0x V z V 0r yz 23r yz 23z V y V z
x 2727y z =??-??=?+?-=??-??同样 0y V x V x y =??-??
∴该流场无旋
2—8解：（1）a x V x x =??=
θ a y
V y y =??=θ a z V
z z -=??=θ （2）0y V x V 210x V z V 210z V y V 21x y z z x y y z x =???
?
????-??==??? ????-??==???? ????-??=ωωω；； （3）azdz 2aydy ax dx dz v dy v dx v d z y x -+=++=? 2—9解：曲线x 2y=-4，()04y x y x f 2=+=， 切向单位向量2
2
4
2
2
4
22
y
2
x 2
y
2
x y
x 4x x y 2i y
x 4x x j f f fx i f f fy t +-
+=
+-
+=
把x=2，y=-1代入得()
()j x 2x i y x 2x j y
i x v 2+-+--=??+??=?=?
?? 2—14解：v=180h
km =50s m 根据伯努利方程22
V 2
1V 21p ρρρ+=+∞∞ pa p =∞
驻点处v=0，表示为1531.25pa 501.2252
1V 21pa p 22
=??==-∞ρ
相对流速为60s m 处得表
示为75.63760225.12
1
25.1531V 21V 21pa p 222-=??-=-=-∞ρρ 第三章
3—1解：根据叠加原理，流动的流函数为()x
y
arctg 2Q y V y x π?+
=∞， 速度分量是22y 22x y
x y
2Q x V y x x 2Q V y V +?=??-=+?+=??=
∞π?π?； 驻点A 的位置由V AX =0 V Ay =0求得 0y V 2Q
x A A =-
=∞
；π 过驻点的流线方程为2
x y arctg 2y x y arctg 2y y Q V Q V A A A =+=+
∞πθπ 在半无限体上，垂直方向的速度为θ
πθ
θππ-sin v r sin 2y x y 2v 22
2y ∞==+=Q Q 线面求极值()
0-sin v -cos sin v 2d dv 2
2y
=+=∞∞θπθ
θπθθθ
当0sin =θ 0v v min y y ==
2-tg -=θ
πθ
max y y v v =
用迭代法求解
2-tg -=θ
πθ
得 由θ
πθ
θππ-sin v r sin 2y x y 2v 22
2y ∞==+=Q Q 可计算出当∞∞===v 6891574.0v v 724611.0v x y 1，时，θθ 合速度∞=+=v v v 2
y 2
x V
3—3解：设点源强度为Q ，根据叠加原理，流动的函数为
两个速度分量为()()()
???
?
???
?+++++++--=
222
222a 3-y x x
y a x a x y a x a x 2x π
θ
对于驻点，0v v y x ==，解得a 3
3
y 0x =
=A A ， 3—4解：设点源的强度为Q ，点涡的强度为T ，根据叠加原理得合成流动的位函数为 速度与极半径的夹角为Q
arctg arctg
r Γ==V V θθ 3—5根据叠加原理得合成流动的流函数为???? ??+--+=∞y a y y
aarctg a y y aarctg V ? 两个速度分量为()()()()??
????++---+++=??=
∞1y v 2
222x y a x a x a y a x a x a V ? 由驻点()
0a 30，得驻点位置为±==y x v v 零流线方程为0a
y y
aarctg a y y x aarctg
y =--++∞∞V V 对上式进行改变，得??
? ?
?-
=-+a y tan ay
2a y x 222
当0x =时，数值求解得a 03065.1y ±= 3—9解：根据叠加原理，得合成流动的流函数为
速度分量为()()2
222x y a x a
x 2y a x a x 2y v v +-+++++-
=∞ππQ Q
由0v v y x ==得驻点位置为???
? ??+±∞0v a a 2，πQ
过驻点的流线方程为
a
y y arctg 2a y y arctg 2y v =-++-
-∞ππQ Q 上面的流线方程可改写为
a
y y
arctg a y y arctg y v 2--+=∞Q π 容易看出y=0满足上面方程
当0y ≠时，包含驻点的流线方程可写为??
? ??-
=-+∞Q y v 2tan ay
2a y x 222π
当12v a ==
=∞π
Q
时，包含驻点的流线方程为tany y 21y x 22-
-=-+ 3—10解：偶极子位于原点，正指向和负x 轴夹角为α，其流函数为 2
2y
x x sin ycos 2+--
=α
απ?M 当ο45=α时 3—11解：圆柱表面上的速度为a
2sin v 2v πθΓ
-
-=∞ 压强分布函数为2
22
p v asin 41sin 41v v 1???? ?
?Γ+-=???? ??-=∞∞θπθC
第四章
4—1解：查表得标准大气的粘性系数为n kg 1078.1u 5-?=
平板上下两面所受的总得摩擦阻力为
4—2解：沿边阶层的外边界，伯努利方程成立
代表逆压梯度
代表顺压梯度，时；当时当0m 0m 0
0m 00m m v v v 2
1p 1
22
01002
??∴????????-=-=??-=??=+--x
p
x p x v x v x v x
x p c m m m Θρρρρδδδ 4—4解：（a ）将2
x y 21y 23v v ??
? ??-??? ??=δδδ带入（4—90）中的第二式得
由牛顿粘性定律δτδ
u u 23y v u 0
y x w =???? ????==下面求动量积分关系式，因为是平板附面层 0dx dv =∴δ积分关系式可表示为dx
d v 2w *
*=δρτδ
将上述关系式代入积分关系式，得
δ
ρδδv dx u d 14013=边界条件为x=0时，0=δ 积分上式，得平板边界层的厚度沿板长的变化规律
()64
.428039
646.0x x x
64
.4l
l ?==∴=
*
*R R δ
δ
（b ）
()74
.164.483x x 8
3
dy v v 1l
x =?=∴=???? ?
?-
=*
∞*?R δ
δδδ
（c ）由（a ）知()
64.4x x l =R δ
（d ）646
.0x x
646
.0v 2
1
324x
x 64.4u
2
3
l f l 2w
f l w =∴==
==R C R C R δρτδδδτ）得—由（； （e ）单面平板的摩擦阻力为()292
.1x x 292
.1s v 2
1b bdx v 2
1
l f l 2f l
02f
=∴=
==?R C R X C C X F F δδρρ摩阻系数为假设版宽为 4—6解：全部为层流时的附面层流厚度由式（4—92）得
全部为湍流时的附面层流厚度由式（4—10）得 第五章
5-1 一架低速飞机的平直机翼采用NACA2415翼型，问此翼型的f ，f x 和c 各是多少？
解：此翼型的最大弯度f =2% 最大弯度位置f x =40% 最大厚度c =15%
5-2 有一个小α下的平板翼型，作为近似，将其上的涡集中在41弦点上，见图。试
证明若取4
3弦点处满足边界条件，则α
l C =2π 1-rad
解：点涡在41处，在4
3处满足边界条件，即
代入边界条件表达式 α
∞∞-=v dx
dy v v f '中，
∴升力Γ=Y ∞
v
ρ
5-3 小迎角下平板翼型的绕流问题，试证明)(θγ可以有以下两种形式的解：
1）αθ
θ
θγ∞?=
v 2sin cos )( 2） αθ
θ
θγ∞?+=
v 2sin cos 1)( 而解1）满足边界条件，解2）不满足边界条件。 解：迎角弯度问题的涡强方程为
)()(210
αξξ
γπ
-=-∞?
dx
dy
v x d b
（*）
置换变量后，上面方程化为 对1） αθ
θ
θγ∞?=
v 2sin cos )( 带入方程（*）
左?
-?-=
∞π
θθπθθαθ
θ
1)
cos (cos 2sin 2sin cos d v
右αα∞∞-=-=v v )( 故方程满足
对于2）， αθ
θ
θγ∞?+=
v 2sin cos 1)( 代入方程（*）
左?-?+-=∞π
θθπθθαθθ
01)
cos (cos 2sin 2sin cos 1d v
=-=∞αv 右 故方程满足
后缘条件：
①αθ
θ
θγ∞?=v 2sin cos )( 当π
θ
=后缘处 02sin cos ≠-∞=?=
∞απ
π
γv 故不满足后缘处0=γ的条件
② αθ
θ
θγ∞?+=v 2sin cos 1)(
π
θ=后缘处，ααππγ∞∞=?+=
v v 20
2sin cos 1 当πθ→时取极限θ
θsin cos 1lim +
故
πθγ==0
满足后缘条件
5-4 NACA2412翼型中弧线方程是 见图。试根据薄翼型理论求α
y C ，
0α，F
x
和0Z m 并与表5-1中实验数据相比较。
[ο095.20-=α，πα2=y C 1
-rad
，25.0=F x ，05309.00-=Z m ] 解：rad C y
/2πα
=
由变量置换)cos 1(2
θ-=b
x 取1=b 知4.0=x
时
又?????-=--=-=x
x x x dx dy f 111.00444.0]28.0[0555.025.01.0]28.0[81
]
)cos 1)(111.00444.0()cos 1)(25.01.0([1
0??--+--=
∴π
θθθθθθπ
αf
f
d x d x
}
)cos 1()]cos 1(2
1
111.00444.0[)cos 1)](cos 1(2125.01.0[{10??--?-+--?-=f f
d d θπθθθθθθθπ
ο095.2-= （注意：F x 是焦点，f x 是最大弯度位置）
实验值为 πα2985.0?=y C
5-5 一个翼型前段是一平板，后段为下偏ο
15的平板襟翼，见图。 试求当ο
5=α时的y C 值。
解：199246.0165cos 222≈=??-+=
οBC AC BC AC AB
5-7 一个弯板翼型，1=b ，)2)(1(--=x x kx y f ，k 为常数。%2=f 。
试求：ο3=α时的y C 和Z m 。
解：?
-=
π
θθπα0
110
)cos 1(1
d dx
dy f
当33
1-=x 时， 02.03
32max ==
=k y y 5-10 低速气流∞V 以小α流过一个薄对称翼型，
)1()2
(
4x x C
y C -=，试用迎角问题和厚度问题，求 ① 表面P C 与x 的函数关系表达式。
②
)2
1(=x C P 的值
解：应用薄翼理论，将该问题分解为迎角问题和厚度问题。
迎角问题：攻角α流过平板
α
=0A ，
0=n A
故 2
cot
2)(θ
αθγ∞=V
厚度问题：攻角0度，流过对称翼型
当2
1
=x 时，παc C P 82-=μ
第六章
6-1 有一平直梯形翼，235m S =，4=η，m b 5.11=
求该机翼的λ值。
解：4=ηΘ 5.11
=b
6-2 试从几何关系证明三角翼的?χλ=0tan
证明：
2
tan 00l c =χ 而20
l
c S ?= 6—5解：根据开力线理论()()ζζ
δζπδd d d 41
v 2
2y i Γ
-=?-L
L
已知()2
1
2
2
02
1
2
02112d d 21???????
???? ??-Γ-=Γ??????????? ??-Γ=ΓL L L ζζζζδ； ()1
11222
2
0y i d sin 2
d cos 2cos 2d 213v 2
1
θθζθζθζζζδ
ζζπδL L L L L L L =-=-=-????
???????
??-Γ=∴?-；；；令
则??
? ??-Γ-=-Γ-=?
θθθθθθθππ
sin 3sin 183d cos cos cos sin 3v 010
11
122
yi L L
当L
L
L L 43v 283v 3240
y i 0y i Γ-===Γ-
===，时，时πθζπθζ
6—6解（1）有叠加原理可知，a 处的下洗速度为
?????
?????????+??
? ??+Γ-=??????????????+??? ??+Γ-?????
?
?
???????+??? ??++??? ??Γ-=a a 21a 2a 1242a 22a 22a 4v 2
222222
2
y i L L L L L L L L πππa
处的下洗角α为L V V L C L LV V L ∞∞∞∞Γ==??
???
?
????????+??? ??+Γ=-=λρπα221a a 21v 22
2y i ；
因此a 2L V C L ∞=Γ代入下洗角中得??????
????????+??? ??+=a a 2122
2L C L πλα （2）对于椭圆翼
()()00222121ααλπλ
πλ
ππααπλ
α
α-+=
+
=
-+
=
∞
∞L L L C C C
????
?
?
?
???????++??? ??+=∴1a
a 221d dd 2
2i L λα当4.0a 8==，λ时 6-8（旧书） 使用三角级数法计算2
∞=y C λ
无扭转矩形翼的环量分布，沿展向取
6
π
θ=，
3
π，2π
三个位置（n=3）,试求出)(θΓ的表达式。 解：根据升力线理论的三角级数解法，可知
∑∞
=∞=Γ1
)sin(2)(n n n A lV θθ ①
系数n A 可用下式确定
∑∞
=+=1
)sin )(sin(sin n n a n n A θμθθμα ②
对该题，const b =)(θ
将6π
θ=
，3π，2
π
代入②得（②取三项） 即??
?
??=+-=-=++a a a A A A A A A A A α
αα25.025.275.125.121651
.083253.196651.0125.0875.025.1375.053151531 解得 a A α232.01
= a A α0277.03= a A α0038.05=
6-8一个有弯度的翼型，ο40-=∞α，rad C y πα2=，
若将此翼型放到一个无扭转5=λ的椭圆翼上，试求此机翼在ο8=α时的y C 。
解：α
ααy y C C )(0-=
由于是无扭转机翼
6-9一架重量N G 14700=的飞机，在m h 3000=以h km V /300=∞巡航平飞
（G Y =），机翼面积2
17m
S =，
2
.6=λ，
NACA
23012翼型，
)/108.0,2.1(0οο==∞α
αL C 无扭转椭圆形平面形状。求：)(y L C C =，α，
)(i V X D C C =
解：274.07.1)6
.3300(90913.0212
1
22=???=
==∞G
S V Y C y
ρ
因是无扭转椭圆翼 ο2.100-==∴∞
αα 6-10 有一架重量N G 41038.7?=的单翼飞机，机翼为椭圆形平面形状，
m l 23.15=，
现以s m /90的速度在海平面直线飞行，是计算其涡阻i X 及根部剖面处的0Γ值。 解：平飞 41038.7?==Y
G
I X G =
πλ
2
G
故，=
i X 222
490x 225.1x 2
1
10x 38.7πρ）
（
代入，得=i X 1507 Y=24
.
0πρ
ρυΓ∞ 0Γ=55.99
6-11 矩形机翼，6=λ，m l 12=，翼载荷 2/900/m N s G =。试计算飞机在海平
面以h km v
/150=平飞时的诱导阻力以及诱导与总升力之比。
解：矩形机翼 049.0=δ
故)1(2δπλ
+=
y
X C C i
6-12一个A=9，5.2=η
无扭转值机翼在某雷诺数下实验所得的α-L C 曲线见图。
ο5.10-=α，ο/084.0=α
L C ，22.1m ax =L C ，若其他参数不变，只是A 减小为5，
求此时0α和α
L C ，并画出A=5时机翼的α
L C 曲线。
解：无扭转直机翼 5.2=η
A=9时，5.10
-=α，084.0=α
L C 22.1m ax =L C
当A=5时，0α不变 5.10-=α 假定τ为0，则
故
第七章
7—1解状态方程RT ρ=p
（1）由状态1等压膨胀到2的过程中，根据质量守恒方程
12v 2v =所以1221
ρρ=
等压变化K T T T T T T 60022122
1
122211====∴
=；ρρρρ 由32→等容变化，根据质量方程23ρρ= 等容变化
232
3
223322T T T T T P T P ==∴=； （2）介质只在21→过程中膨胀做功KJ 53.21v p w =?= 7—3解根据质量守恒小截面与2A 截面的流量相等即
7—4解：气流从Ma=1加速到Ma1=1.5需要的外折角度为091.11='δ
总的外折角度0091.2615=+'=δδ 查表得Ma2=2.02
456.010********=???
? ??????
??=?=P P P P P P P P P P
7—5解：经过正激波时绝热，总温度0T 不变
根据总静温之比
1
r 2a 21r 1020+=*∴-+=T T M T T 波后的速度系数为1
r r 2v v 02
2
2+==
*
RT C λ 根据波前波后的速度关系121=λλ 1
r r 2v 10
2
1+=
∴RT λ 根据马赫数与速度系数的关系，得得波德马赫数 总压损失系数δ为 第八章
8-4 二维翼型在气流中这样放置，使它的最低压强点出现在下表面。当远前方来流马赫数为0.3时，这点的压强系数为-0.782。试用普朗特—葛劳渥法则，求出翼型的临界马赫数。 解：3.0=∞
M 时，782.0m in -=P C ，应用普—葛法则，即β
1
min
=P C ，0=∞
M P C
2
1782.0min ∞
--=
∴M
C P ⑴
或用
746.03
.01782.0002
-=?-=
-=∞=∞M M P P C C
则21746.0min
∞
--=
M
C P
又应用等熵关系 临界马赫数时 1min
=M
?
?
?
???????-????????? ??-++=???? ??-=-∞∞∞∞1211122121222min
γγ
γγγγM M P P M C P ⑵ 联立⑴⑵得，654.0=∞M 987
.0min =P C
8-6 某翼型在∞M 增大到0.8时，翼型上最大速度点的速度已达音速。问此翼型在低速时最大速度点的压强系数是多少？假设普朗特—葛涝渥法则可用。 解： 8.0=∞临
M 求?0min ==∞M P C
8-9 一展弦比λ为10的矩形机翼，以马赫数6.0=∞M 作等速水平飞行，试求该机翼的升力线斜率的α
y C ，并将此结果与相同机翼在不可压缩流中的α
y C 进行比较
解： 相同翼型在不可压流中的αy C 为：
6.0=∞M 时，根据普朗特-葛劳渥法则，对应不可压机翼后掠角还是0，仍为矩形翼，
展弦比变小为8'==βλλ，其不可压'α
y C 为
而075.68
.086
.4'1
===α
α
βy y
C C 第九章
9-3 二维平板在2千米高度，以2=∞M 飞行，迎角为ο10。试分别用激-膨理论和线
化理论，计算上下表面间的压强差。
解：如图，用激-膨理论
21=M ，ο
10=δ下，查图7-20，69.11
2=P P 下
上表面膨胀波，查表5，2=∞M ，对应ο
38.26'=δ，1278.00
1
=P P 故从M=1外折ο
ο
38.3610'=+δ后，07.00
2
=P P 所以，55.01278
.007
.012==P P 上 故 2464.0)169.1(2
2
)1(22
2=-?=-=
∞∞γγP P M C P 下
线化理论 B
C P α2μ
=
9-6 有一机翼，平面形状如图所示。试求超音速前缘和亚音速后缘的马赫数范围
解： b c b c
32arctan
2
3arctan ==前χ 故 μ
χ<前
时 超音速前缘
1322
-<∞M b c 即1322
+??
? ??>∞b c M 要亚音速后缘，即1<∞n
M
故 2
341??
? ??+<∞
b c M 所以，当
2
22
29161194b c M b c +<<+∞时满足要求。
9-7 有一三角形机翼，前缘后掠角0χ为ο
45，现以s m V /450=∞速度飞行。试
考虑飞行高度分别为海平面、5500米和11000米时，该机翼前缘性质作何变化。
解：1tan =前
χ
海平面时， 340=a ,324.1==∞
∞a
V M h=5500 a=318 时 0012.11318450tan 2
=-??
?
??=μ h=11000 a=295 时
1519.11295450tan 2
=-??
?
??=μ 故前缘分别是亚音速、音速、超音速。
《应用概率统计》复习题及答案
工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<
北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
北航数值分析大作业一
《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一．算法设计方案： 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的，所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是： A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1，λ501，λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs； 如果λmax>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求 出对应的按摸最大的特征值λ，max， 如果λmax>0,则λ1=λ，max+p；如果λmax<0,则λ501=λ，max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。 使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式d etA。 ①cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。
②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二．源程序 #include 习 题 一 解 答 １. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生． 解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ． 解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球 （4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ． 解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书 （4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ； 1．有一个矩形蓄水池，长100cm ，水高 80cm ，当蓄水池以等加速度 向右运动时，求角落A 点的表压。 2．已知),(),(2211b a b a 和分别点源Q 和点涡Г， 求壁面上的速度分布。 3．空气在管道中等熵流动。在截面A 马赫数为0.3，面积为0.001m 2，绝对压强及绝对温度分别为650kPa 及335.15K 。在截面B 的马赫数为0.8，求B 截面处的截面积、压强、温度、密度及总压。 4. 二维流动ｘ方向速度分量为by bx ax u +-=2。若该流动为定常的不可压位流，求ｙ方向的速度分量大小。 2 /5s m a = 判断题，在正确的后面画“√”，在错误的后面画“×” １．①只有在有势力作用下流体才能平衡。（）②在非有势力作用下流体也可以平衡。（）③在有势力作用下流体一定平衡。（）④以上均不正确。（） ２．经过激波后，①总压保持不变。（）②总温保持不变。（）③熵保持不变。（）④总密度保持不变。（） 经过膨胀波后，①总压保持不变。（）②总温保持不变。（）③熵保持不变。（）④总密度保持不变。（） ３．临界声速①大小取决于当地温度（）②大小取决于总温度（）③是流动中实际存在的声速（）④与管道的形状有关（） ４．激波是由无数微小的压缩扰动被叠加而成的强压缩波。①为了在一维管道内让后面的压缩波赶上前面的压缩波，活塞必须以超声速推进。（）②活塞的推进速度大于激波的推进速度（）③在二维或三维流场中物体必须以超声速运动才能产生激波（）④在定常的二维或三维流场中物体的前进速度和激波的推进速度相等（） ５．一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的条件为①理想流体（）②粘性流体（）③可压缩流体（）④不可压缩流体（） 6. ①马赫数越大，表示单位质量气体的动能和内能之比越大（） ②方向决定的斜激波可以出现强波，也可以出现弱波（）③超声速气流内折同一角度时，分两次折转比折转一次的总压损失要大（）④斜激波后的气流速度一定是亚声速的（） 7．①若从某一初态经可逆与不可逆两条途径到达同一终态，则不可逆途径的熵增必大于可逆途径的熵增。（）②在圆柱体的有环量绕流中，圆柱体的表面一定存在驻点（）③二维理想不可压缩流体的绕流中，阻力一定为零（）④点涡所诱导的流场是有旋流场（）。 填空题 《数值分析》计算实习题目 第一题： 1. 算法设计方案 （1）1λ，501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。 （2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 （3）2cond(A)和det A 。 1）1=n λλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include 第 一章 1.1解：）（k s m 84.259m k R 2 2328315 ?=== - 气瓶中氧气的重量为 1.2解：建立坐标系 根据两圆盘之间的液体速度分布量呈线性分布 则离圆盘中心r ，距底面为h 处的速度为 当n=0时 u=0推出0u 0= 当n=h 时 u=wr 推出h wr k = 则摩擦应力τ为 上圆盘半径为r 处的微元对中心的转矩为 则? ? = =T 2D 0 3 3 20 32 D u drd h r u ωπθωπ 1.4解：在高为10000米处 T=288.15-0.0065?10000=288.15-65=223.15 压强为 ?? ? ??=Ta T Pa P 5.2588 密度为2588 .5Ta T a ? ? ? ??=ρρ 1-7解:2M KG 24.464RT P RT p == ∴=ρρ 空气的质量为kg 98.662v m ==ρ 第二章 2-2解流线的微分方程为 y x v dy v dx = 将v x 和v y 的表达式代入得 ydy x dx y x 2dy x y 2dx 2 2==， 将上式积分得y 2-x 2=c ，将（1，7）点代入得c=7 因此过点（1，7）的流线方程为y 2-x 2=48 2-3解:将y 2+2xy=常数两边微分 2ydy+2xdx+2ydx=0 整理得ydx+（x+y ）dy=0 （1） 将曲线的微分方程y x V dy V dy = 代入上式得 yVx+（x+y ）V y =0 由22y 2xy 2x V ++=得 V x 2+V y 2=x 2+2xy+y 2 （（2） 由（1）（2）得()y v y x v y x μ=+±=， 2-5解:直角坐标系与柱坐标系的转换关系如图所示 速度之间的转换关系为{ θ θθθ θθcos v sin v v sin v cos v v r y r x +=-= 由θθθ θθθcos r 1 y v sin y r sin r 1x v cos x r rsin y rcos x =??=?????? ?-=??=??????== 2-6解：（1） siny x 3x V 2x -=?? siny x 3y V 2y =?? 0y V x V y x =??+?? ∴此流动满足质量守恒定律 （2）siny x 3x V 2x =?? siny x 3y V 2 y =?? 0siny x 6y V x V 2y x ≠=??+?? ∴此流动不满足质量守恒定律 （3）V x =2rsin r xy 2=θ V y =-2rsin 2 r y 22 - =θ ∴ 此流动不满足质量守恒方程 （4)对方程x 2+y 2=常数取微分，得 x dy dy dx -= 由流线方程y x v dy v dx = (1) 由）（得2r k v v r k v 422 y 2x =+= 由（1）（2）得方程3x r ky v ± = 3 y r kx v μ= ∴此流动满足质量守恒方程 2—7解：0x V z V 0r yz 23r yz 23z V y V z x 2727y z =??-??=?+?-=??-??同样 0y V x V x y =??-?? ∴该流场无旋 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-， 钱 第一章 1.1解：）（k s m 84.259m k R 2 2328315 ?=== - RT p ρ= 36 m kg 63.506303 2.5984105RT P =??==ρ 气瓶中氧气的重量为 354.938.915.0506.63G =??==vg ρ 1.2解：建立坐标系 根据两圆盘之间的液体速度分布量呈线性分布 则离圆盘中心r ，距底面为h 处的速度为 0u kn u += 当n=0时 u=0推出0u 0= 当n=h 时 u=wr 推出h wr k = 则摩擦应力τ为 h wr u dn du u ==τ 上圆盘半径为r 处的微元对中心的转矩为 θθτdrd h wr u r rdrd h wr u r dA d 3 =?=?=T 则? ? = =T 2D 0 3 3 20 32 D u drd h r u ωπθωπ 1.4解：在高为10000米处 T=288.15-0.0065?10000=288.15-65=223.15 压强为 ?? ? ??=T a T Pa P 5.2588 M KN 43.26Ta T pa p 2588 .5=? ? ? ??= 密度为2588 .5T a T a ? ? ? ??=ρρ m kg 4127.0Ta T a 2588 .5=? ?? ??=∴ρρ 1-7解:2M KG 24.464RT P RT p == ∴=ρρ 空气的质量为kg 98.662v m ==ρ 第二章 2-2解流线的微分方程为 y x v dy v dx = 将v x 和v y 的表达式代入得 ydy xdx y x 2dy xy 2dx 22==， 将上式积分得y 2-x 2=c ，将（1，7）点代入得c=7 因此过点（1，7）的流线方程为y 2-x 2=48 2-3解:将y 2+2xy=常数两边微分 2ydy+2xdx+2ydx=0 整理得ydx+（x+y ）dy=0 （1） 将曲线的微分方程y x V dy V dy = 代入上式得 yVx+（x+y ）V y =0 由22y 2xy 2x V ++=得 V x 2+V y 2=x 2+2xy+y 2 （（2） 由（1）（2）得()y v y x v y x =+±=， 2-5解:直角坐标系与柱坐标系的转换关系如图所示 速度之间的转换关系为{ θ θθθ θθcos v sin v v sin v cos v v r y r x +=-= 由θθθ θθθcos r 1 y v sin y r sin r 1x v cos x r rsin y rcos x =??=???????-=??=??????== 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327 一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 北京航空航天大学 2008－2009学年第二学期 考试统一用答题册考试课程空气动力学（Ⅰ）（A卷）班级成绩 姓名学号 2009年6月18日 一、选择题（在所选括号内选择一个正确答案 ，每小题4 分，共16分） 1．流体具有以下那几个属性 a. 所有流体不能保持固定的体积（） b. 流体能保持固定的形状（） c. 在任何状态下，流体不能承受剪切力（） d. 在静止状态下，流体几乎不能承受任何剪切力（）2．流体微团的基本运动形式包括 a. 仅有平移运动（） b. 平移运动与整体旋转运动（） c. 平移运动、整体旋转运动和变形运动（） d. 平移运动、旋转运动和变形运动（）3．以下说法正确的是 a. 理想流体运动的速度势函数满足拉普拉斯方程（） b. 理想不可压缩流体的运动存在速度势函数（） c. 理想流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程（） d. 理想不可压缩流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程（）4．在边界层内 a. 流体微团所受的粘性力大于惯性力 ( ) b. 流体微团所受的粘性力大于压力 ( ) c. 流体微团所受的粘性力小于惯性力 ( ) d. 流体微团所受的粘性力与惯性力同量级 ( ) 二、填空题（在括号内填写适当内容，每小题4分，共16 分） 1．流动Re数是表征（）。根据其大小可以用来判别流动的（）。在圆管中，流动转捩的下临界Re数为（）。 2．沿空间封闭曲线L的速度环量定义为（），如果有涡量不为零的涡线穿过该空间曲线所围的区域，则上述速度环量等于（）。 3．写出在极坐标系下，速度势函数与径向、周向速度分量之间的关系。 （） 4.一维定常理想不可压流伯努利方程（欧拉方程沿流线的积分）写为（ ）；一维定常绝热流能量方程写为（ ）。 三、 简答题（每小题4分，共16分） 1．用图形说明理想不可压缩流体有环量圆柱绕流，随涡强Г增大时流线的变化图谱。 2．分别写出流体微团平动速度、旋转角速度、线变形与角变形速率的分量表达式。 3.简述绕流物体压差阻力产生的物理机制。工程上减小压差阻力的主要措施是什么。 4．试简要说明超音速气流通过激波和膨胀波时，波前、后气流参数（速度、压强、温度、密度）的变化趋势是什么，并说明是否为等熵过程。 四、 计算题（共52分） 1．已知流函数323ay y ax -=ψ 表示一个不可压缩流场。①请问该流动是 有旋的还是无旋的？如果是无旋的，请求出势函数。②证明流场中任意一点的速度的大小，仅仅取决于坐标原点到这点的距离。（10分） 2．为了测定圆柱体的阻力系数Cd ，将一个直径为d 、长度为L 的圆柱垂直放入风洞中进行试验，设风洞来流为定常不可压缩均匀流，在图示1-1和2-2断面上测得速度分布，这两个断面上压力分布均匀为大气压Pa ，上下远离柱体的流线处压强也为大气压。试求圆柱的阻力系数。Cd 定义为： 其中，D 为圆柱的阻力， 为空气密度， 为风洞来流速度。（10分） ∞V ρdL V D C d 22 ∞=ρ 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日 一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 习 题 1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数． 2. 将 3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？ 3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102 1?×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x * 的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2． 7. 已知三角形面积c ab S sin 2 1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2 ,0*π< 2020年高考作文模拟题《出名不必趁早》辩论稿例文 【作文模拟题】 阅读下面的材料，根据要求写作。 有人认为，当下时代是仓促的，所以成功要趁早；中国科学院院士李曙光认为，每个人都有自己的花期。 针对以上两种说法，学校拟举办一场辩题为“成功要趁早/成功不必趁早”的辩论会，请你选择一个观点,结合材料内容，联系现实，写一篇辩论稿，体现你的认识与思考。 要求:不要套作，不得抄袭;不得泄露个人信息;不少于800字。 【链接材料】 李曙光院士：只要努力，每个人都有自己的“花期“ 让很多人大跌眼镜的是，已经当选中国科学院院士的李曙光，小时候也是个曾遇到考试就害怕，长期在及格线上徘徊的“丙等生”。 从害怕考试的“丙等生”摇身变成文体兼修的“全优生”，李曙光完成了逆袭。在与中学生交流时，他曾以荷花自喻：“春天山花烂漫时，我在水中眠;夏天才露尖尖角，迟开也鲜艳。” 这位78岁的老院士用自己的亲身经历寄语青少年一代：有的人年少有为，也有人大器晚成，“只要努力，每个人都有自己的‘花期’”。 害怕考试的“丙等生”成了“全优生” 李曙光小时候，母亲曾说他“跟同龄的孩子比，脑瓜子不行”。 一直到小学四年级，李曙光都是个“害怕考试”的孩子：甲、乙、丙、丁四个等级，他每次考试的成绩基本上都是丙，相当于刚刚及格。他一度极其自卑，朋友圈子也都是一群调皮的孩子。 四年级时，李曙光和一群孩子玩摔跤，不慎摔伤，以致手臂骨折，休学半年，无奈之下 只好选择留级。不料复学之后，李曙光突然有了顿悟的感觉，学习变得容易起来，成绩一跃进入班级前三，还因此成为少先队员。 在天津市第十七中学度过的6年时光里，李曙光始终保持班级第一名的成绩，有时候老师也百思不得其解：“李曙光作为学校里的团干部课外活动那么多，晚上还要参加‘大炼钢铁’，为何成绩却没掉下来?” 这跟他学习中逐渐养成的好习惯分不开。 李曙光从小爱看小说，家附近有当时全市最大的新华书店。上小学时，他下午放学后就溜到里面，捧上一本小说细细品读，直到天黑才回家。到了中学，他又成了学校图书馆的借书常客。 除中国古典长篇小说四大名著，他还读完了《暴风骤雨》《铁道游击队》《林海雪原》《钢铁是怎样炼成的》等书。小说中身体残疾依然奋斗不息的保尔的名言，“当你回首往事的时候，不会因为虚度年华而悔恨，也不会因为碌碌无为而羞耻”，成为他人生的座右铭。 上初二时，有一次，李曙光将小说带到家里，夜里翻阅时因为深陷故事之中，不知不觉看到凌晨3点。 第二天上课，李曙光晕晕乎乎、瞌睡不断，完全听不进老师讲的课。他马上警觉起来：必须自我控制，改掉爱看小说的“毛病”。 从此，他给自己立下规矩：无论什么样的小说，只能等到放假才借来看。“任何事，影响到学习我就不干”。 李曙光另一个“秘密武器”是——做作业“坚持独立思考”。 做作业时，不管遇到多大难题，他始终独立思考解答，从不问别人。“因为做作业的目的不仅是巩固课堂知识，更重要的是锻炼人的科学思维能力”。 在他看来，如果遇到难题就去问老师或同学，听完别人的讲解后，看起来自己也会做了，但是这道题依然“算是白做了”，因为“思维没得到训练”。 多年后，他告诫年轻学生，分析问题的思维能力是在平时做作业中训练出来的，每独立《应用概率统计》张国权编课后答案详解习题一解答
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