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数理方程与特殊函数试卷(10-11-2A)

数理方程与特殊函数试卷(10-11-2A)
数理方程与特殊函数试卷(10-11-2A)

5,波动方程初值问题:()()???

????=??=>+∞<<-∞??=??==,,,0,,10002

222x t u x u t x x u

t u t t ??在t x -平面上,点()1,0在初始轴

0=t 上的依赖区间是 ;初始轴0=t 上点)1,0(的影响区域是 。

6,二阶线性偏微分方程()02y 314292222222=??++??+???---??x u x y u y x u y x x

u ,当

时,是椭圆型方程,当 时,是双曲型方程。

7,Legendre 方程0122)1(2

22

=+--y dx dy

x dx

y d x 的通解()()x Q C x P C y 21+=,则第一类 Legendre 函数()=x P ;其Rodrigues 表达式为 ; 而第二类Legendre 函数()x Q 在闭区间[]1,1-上是 。 8,对于Legendre 多项式()x P n 有:()()?

-=1

1

dx x P x P n m ;由此可知,若函

数()x f 可以展开为()(),11,0

<<-=∑∞

=x x P C x f n n

n

则=n

C

二、(本题10分)求解初值问题:???

????=??==??-???-??==.0,3,031320202

2222t t t u x u x u

x t u t u

三、(本题20分)求解非齐次波动方程初边值问题:

?

??

??≤≤==>==><<=--====.

0,0,sin ,0,0,0,0,0,sin 62000πππx u x u t u u t x x e u u u t t t x x t t xx tt

四、(本题10分)用Fourier 积分变换法求解初值问题:

()????

?==>?∈===.

0,,0,,002

t t t xx tt

u x u t x u a u ?

五、(本题10分)设()000,y x M 是半平面0>y 内一点,1M

是0M 关于-x 轴的对称点,对()y x M ,,证明函数

()1ln MM r M v = 满足该半平面内的Dirichlet 问题:?????=>=?==.ln ,

0,000

2

0y MM y r v y v

六、(本题10分)半径为1的薄均匀圆盘内温度分布情况可归结为求

解定解问题:()?????≤≤==><≤??+

??=??==.10,,0,0,10),1(01

22

2r r u

u t r r u r r

u a t u t r ? 根据物理意义,写出此问题的自然条件并求出满足方程和边界条件的变量被分离的特解。

研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 玫[I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量,「是质量密度,h是圆锥的高(如下图所示) 【提示:已知振动过程中,在x处受力大小为ES ,S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是r1和r2,如图所示。于是,我们有 2、::u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成

2 2 ::U(X,t) 2 ::u(x,t) 2, ;u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ::[(^x)2;:U(x ,t)H-(^x)2::u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ::x h ;:t 其中a^E ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片, 它的一边y=b 处于较高温度U ,其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中,因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y),即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示:可以令u(x, y)二u 0 v(x, y),然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y),则原定解问题变为 Wl x£=0, V=0, 0cy

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷(B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3. 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为零,又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求 出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7. 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数,n 为C 的外法线方向,其方向余弦为βαcos ,cos ,则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数,在D+C 上有一阶连续偏导数,令 得到 交换u,v ,得到 上面第二式减去第一式,得到 证毕。 8. 证明关于Bessel 函数的等式:

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数 课程简介:本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2,周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式,以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。 教学目的与基本要求:通过数理方程与特殊函数课程的学习,使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能,培养学生分析问题解决问题的能力,为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为:高等数学,复变函数,积分变换 主要教学方法:课堂讲授与课外习题。 第零章预备知识(4学时) 复习先修课程中相关的一些内容,主要包括:二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法;积分学中的一些重要公式和技巧;傅里叶(Fourier)分析;解析函数的极点及其留数;拉普拉斯(Laplace)变换。 第一章典型方程和定解条件的推导(4学时) 在讨论数学物理方程的求解之前,应建立描述某种物理过程的微分方程,再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程,学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。 第一节基本方程的建立 通过几个不同的物理模型,推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程:波动方程、电磁场方程和热传导方程。 第二节初始条件与边界条件 方程决定了物理规律的数学形式,但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件,用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。 第三节定解问题的提法 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下,所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起,就构成了一个定解问题。 本章习题:3-5题 第二章分离变量法(8学时) 本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时,如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质,学会求解常见的定解问题。

武大期末复习-数理方程教学指导纲要

第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容: 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题,掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点: 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法,即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容: 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程,理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点: 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程

第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容: 1、理解分离变量法的基本概念:方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解:1)分离变量得到 的两个方程;2)由本征值问题确定相应的本征值和本征函数;3)确定关于)(t T方程的解(或者与其对应变量方程的解);4)定解问题的通解;5)由定解条件确定待定系数(通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法)。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程:1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定;2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开;3)求解关于)(t T 方程的解;4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点: ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化

数理方程期末考试试题

2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分) (1)y x y x u 22=???(2)xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分) ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分) 四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分) ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分) ?????==>+∞<

研究生数理方程期末试题10111A答案

《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院 专业 学号 姓名 1、 (10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 其中E 是圆锥体的杨氏模量,ρ是质量密度,h 是圆锥的高(如下图所示): 【提示:已知振动过程中,在x 处受力大小为u ES x ??,S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是1r 和2r ,如图所示。于是,我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片,它的一边y b =处于较高温度U ,其它三边0y =, 0x =和x a =则处于冷却介质中,因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ,即求解以下定解问题: 【提示:可以令0(,)(,)u x y u v x y =+,然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+,则原定解问题变为 分离变量:

代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件: 可以判定,特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件,有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 (20分)试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分,得 也即 对y 求积分,得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =,于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中,即得 4、 (20分)用积分变换法及性质,求解无界弦的自由振动问题: 【提示:可利用逆Fourier 积分变换公式:11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月 一、填空题(20分) 1、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆,x=0端固定,x=l端自由,则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程,在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________,=____________。 二、证明题(10分) 三、建立数学物理方程(10分) 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆,一端保持零度,另一端有恒定的热量q流入,初始温度为试建立热传导方程,写出定界条件(要有必要的步骤)。四、写出下列定解问题的解(35分) 1、

2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数(25分) 1、设是的正零点,试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题(20分) 11、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆,x=0端温度为零,x=l端有恒定的热流流出,则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程,在条件下,其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________,=____________。 二、证明题(10分)

数理方程试卷及答案2

长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室(或教师)签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称(含档次) 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次(本、专) 本 科 考试方式(开、闭卷) 闭卷 一.判断题:(本题总分25分,每小题5分) 1.二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型; ( ) 2.定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性; ( ) 3.如果格林函数),(0M M G 已知,且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数,又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在,那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(; ( ) 4.设)(x P n 为n 次Legendre 多项式,则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ; ( ) 5.设)(x J n 为n 阶Bessel 函数,则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =. ( ) 二.解答题:(本题总分65分) 1.(本小题15分)设有一根长为l 的均匀细杆,它的表面是绝热的,如果它的端点温度为1),0(u t u =,2),(u t l u =,而初始温度为0T ,写出此定解问题. 2.(本小题20分)利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数. 3.(本小题15分)求出方程xy u u yy xx =+的一个特解. 第 1 页(共 2 页)

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷

电子科技大学研究生试卷 (考试时间: 14点 至 16 点 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型,指出其 类型,求出其通解. (10分) 2. 设定解问题:(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以……………

第 1页 3. 长为l 的均匀细杆,其侧面与左端保持零度,右端绝热,杆内初始温度分布为()x ?,求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??.

第2页 5.求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.(10分) 6. 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++,求Laplace 逆变换1 (())L F s -.(10分)

数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11 cos , sin (,)(cos ,sin ),cos sin ; sin cos . sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r u θθθθθθ θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+??? =?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为 证明: sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos () sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=??????????????? ???????+=+?????????? ? ?????? ?==????????? ?????? ??=???????????? 从而 2222222222222 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin () sin yy u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ?????? ?=+ ?+?????????++???????????==+?????????= 2222 22 2222222 cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθ ????? ???++???????????? ????=?++????????+?+????+=+ 所以 1 0. u +=

数理方程试卷A

一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分

即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得

天津大学研究生课程-数理方程试题

一. 判断题(每题2分). 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式, 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解,则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二. 填空题(每题2分). 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布,当边界上温度为()t φ时,试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三.求解定解问题(12分) 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-====

四.用积分变换方法求解以下微分方程(每题12分,共24分) (1) 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= (2) 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五.某半无界弦的端点是自由的,初始位移为零,初始速度为cos x ,求弦的自由振动规律。(12分)

2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A(1)

南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题(共60分) 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 (“线性”或“非线性”) 非齐次 (“齐次”或“非齐次”)偏微分方程(3分); 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-(,f g 是任意二阶连续可微函数) ;(3分) 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π(3分) 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解,则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑;(3分) 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ,其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-,特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=,可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?,若要消去一阶导数项,可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=(其中,λμ待定);(5分) 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题(“初值”或“边值”),其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?;定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于

数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011

XXXXX 大学研究生试卷 (考试时间: 至 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2011年 12 月 28 日 成绩 1.化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分) 2. 把定解问题:(10分) 212(0)(0,)(),(,)() (,0)(),(,0)(),(0) tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ?ψ?=<

3.有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ,其余边界上的温度保持零度,并且当y →+∞时,温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离 变量法求解).(20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 090,(,0) 0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>??? ==??. 第2页

5.求()2 1,1 (),()0,1 x x F f x f x x ?-≤?=?>??,其中()F ?表示Fourior 变换.(10分) 6.求()2(),()sin(),03 L f t f t t t π =-≥,其中()L ?为Laplace 变换.(10分) 第3页 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 (B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3.设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为 零,又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ, 并由此求出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7.证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。

数学物理方法期末考试试题典型汇总

一、 Mathematical methods for physics 二、 单项选择题(每小题2分) 1.齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。 A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )2 1 sin(=+n x n D) 2,1,0 )2 1 cos(=+n x n 2.描述无源空间静电势满足的方程是________。 A) 波动方程 B)热传导方程 C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3.半径为R 的圆形膜,边缘固定,其定解问题是??? ? ? ????====?-??===)(| ),(|0|0),(),(0t 02 22 2ρψρ?ρρρt t R u u u t u a t t u 其解的形式为∑∞ == 1 0)()(),(m m m k J t T t u ρρ,下列哪一个结论是错误的______。 A) )()()()(2 2 2 2t T k a t T dt d t T m m m m -=满足方程 B )圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0 t ak m C )0 m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。 D ))()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2 202=+'+''R k R R m ρρρ 4.)(5x P 是下列哪一个方程的解_________。 A )0202)1(2=+'-''-y y x y x B )0252)1(2=+'-''-y y x y x C )0302)1(2=+'-''-y y x y x D )052)1(2=+'-''-y y x y x 5.根据整数阶Bessel 函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。 A ))(2)()(120x J x J x J '=- B ))()()(111x J x x J x xJ '=+

研究生数理方程与特殊函数考题2014

科技大学研究生试卷 (考试时间: 至 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2014年 12 月 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.化简方程22222 (,)(,)(,) 1280u x y u x y u x y x x y y ???++=????并求其通解. (10分) 2. 设有一长度为L 的均匀细棒,其侧面和两端均绝热,初始温度分布为已知。(1)求以后时刻的温度分布;(2)证明:当初始温度分布为常数时,以后时刻的温度分布也必为常数. (20分) 第 1页 3.求解定解问题:(15分) 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

200000 (0,0),t xx x x l t u a u x l t q u u u k u u ===?=<<>? ? ==?? ?=?,00,,,a u k q 均为常数. 4.求函数()() 2 1 ()13f s s s =+- 的Laplace 逆变换.(10分) 第2页 5.求下面的定解问题:(15分) 号 效……………………

2 00,(,0) ,sin tt xx t t t u a u x at x R t u x u x ==?-=+∈>?? ==??. 6.求3()J x dx ? .(10分) 第3页 7.写出平面第一象限的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.(10分)

2021年研究生数理方程期末试题

北京交通大学研究生研究生-第一学期《数学物理方程》期末试题(A卷) (参照答案) 学院专业学号姓名 题号一二三四五六七总分分值10 15 15 20 15 15 10 100 得分 阅卷人 1、(10分)试证明:圆锥形枢轴纵振动方程为: 222 2 11 x u x u E x h x h t ρ ?? ??? ???? -=- ?? ? ? ??? ???? ?? ?? 其中E是圆锥体杨氏模量,ρ是质量密度,h是圆锥高(如下图所示): 【提示:已知振动过程中,在x处受力大小为 u ES x ? ? ,S为x处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园半径分别是 1 r和 2 r,如图所示。于是,咱们有 2 222 2112 1 2 (,)(,)(,) ()()()d ()tan ((d))tan u x dx t u x t u x t E r E r r x x x t r h x r h x x ππρπ α α ?+?? -= ??? =- =-+

上式化简后可写成 22 22 d 2 (,)(,)(,)[()|()|]()d x x x x x u x t u x t u x t E h x h x h x x x x t ρ=+=???---=-??? 从而有 2 222 (,)(,)[()]()u x t u x t E h x h x x x t ρ???-=-??? 或成 22222 (,)(,)[(1)](1)x u x t x u x t a x h x h t ???-=-??? 其中2 E a ρ = ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形散热片,它一边y b =处在较高温度U ,其他三边0y =, 0x =和x a =则处在冷却介质中,因而保持较低温度0u 。试求该截面上稳定温度分布 (,)u x y ,即求解如下定解问题: 2222000000,0,0;|,|,0;|,|,0. x x a y y b u u x a y b x y u u u u y b u u u U x a ====???+=<<<

2014同济大学数理方程期末考试试卷

2014同济大学数理方程期末考试试卷 230)()0xx yy u x y u ++=一、(分) (1判断方程的类型。 3,0()2,0x f x x >?? ?>?? ?==> ? ?=>?? 求解下列半无界问题(直接用公式) ()cos ,0,0(5)(,0)(,0)0,0(0,)0,0tt xx t u u f x t x t u x u x x u t t ωπ-=<<>?? ?==> ? ?=>?? 考虑下列强迫弦振动方程的边值问题:, 上述强迫弦振动问题是否发生共振?若发生共振,给出共振的条件。 cos 0,,0(,0)tan ,t x u t u x t u x x x -?=-∞<<∞>?? ?=-∞<<∞?? 二(10分)、用特征线方法求解下列问题。 22(,)0,01,t 0(,0)(1),01(0,t)(1,t)0,t 0t xx u x y u a u x u x x x x u u ??-=<<> ?=-<< ? ?==>??三(20分)、求的解。

{}222(,,z),inB (),(,,)|1,0,|(,,)B u f x y P B x y z x y z z u x y z ?+++???-?==++<> ? ?=?? 四(15分)、(1)()(2)()B B P Green Green P +?表示的边界。 求问题所对应的函数。 用函数写出问题解的表达式。 20,,0(,0)(),t xx u a u cu x R t u x x x R δ??-+=∈> ?=∈?? 五(15分)、 (提示,先用变量代换化为标准方程再求解) ()(,)(,),0, |(,)xx xy yy u u u c x y u f x y x l u x y ??Ω--++=<

(完整word版)数学物理方法期末考试试题

数学物理方法期末考试试题一、单项选择题(每小题2分) 1.齐次边界条件的本征函数是_______。 A) B) C) D) 2.描述无源空间静电势满足的方程是________。 A) 波动方程 B)热传导方程 C) Poisson方程 D)Laplace方程 3.半径为R的圆形膜,边缘固定,其定解问题是 其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。 A) B)圆形膜固有振动模式是和 C)是零阶Bessel函数的第m个零点。 D)满足方程 4.是下列哪一个方程的解_________。 A) B) C) D) 5.根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。 A) B) C) D)

二、填空题(每题3分) 1.定解问题 用本征函数发展开求解时,关于T(t)满足的方程是:__________ 2.Legendre多项式的x的值域是____________。 Bessel函数的x的值域是______________________。 3.一圆柱体内的定解问题为 1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________; 相应方程的解为___________________________; 2)关于z满足的方程是_______________________________________; 4.计算积分 5.计算积分 三、(10分)长为的弦,两端固定,初始位移为,初始速度为4x,写出此物理问题的定解问题。 四、(10分)定解问题 , 若要使边界条件齐次化,,求其辅助函数,并写出相应的定解问题 五、(10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题

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