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讲义一：《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义

一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。

提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。请看下面几道例题。

例题精选1：把4224b a b a -因式分解。

解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=-

解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。

有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。

例题精选2：把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。

解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+=

评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。例题精选3：把44b 4a +因式分解。

解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+

)b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。

评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。上面的解法中，把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件。

因式分解要进行到什么程度，对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解，例如，把44b a -因式分解时，得到)b a )(b a (2222-+，并未完全达到

要求，还需要继续分解到)b a )(b a )(b a (22-++。

在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适。

例题精选 4：已知5.0b a ,1b a 2222=-=+，计算44b a -。

解：5.05.01)b a )(b a (b a 222244=?=-+=-。

评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到)b a )(b a (2222-+问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题。

我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示。因此，因式分解是在某种数的范围中进行的，对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同。例题精选5: （1）在有理数范围内把4a 4-因式分解；

（2）在实数范围内把4a 4-因式分解。

解：（1）)2a )(2a (4a 224-+=-；

（2）)2a )(2a )(2a ()2a )(2a (4a 2224-++=-+=-。

评注：初中数学教科书中，如无特别声明，通常约定因式分解是在有理数范围内进行的。

5. 因式分解有什么用

因式分解是多项式的分解变形，式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏，而是解决数学问题的重要手段。在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用。

例题精选6：计算b 2a 21b

a a 22+-- 分析：这是两个分式相减，它们的分母不同，正如异分母分数相加减一样，这里也需要先通分。分数的通分中，可以先分解因数，再确定最简公分母，例如：

5322332222213214161=??+??=?+?=+。类似地，分式的通分中，可以先分解因式，再确定最简公分母。解：)b a )(b a (2b a )b a )(b a (2a 2)b a (21)b a )(b a (a b 2a 21b a a 22-+---+=+--+=+-- b

2a 21)b a (21)b a )(b a (2b a )b a )(b a (2b a a 2-=-=-++=-++-= 例题精选7：例解方程05x 6x 2=++。

分析：这是一个一元二次方程。它的一边等于0，如果能将它的另一边分解为两个一次

式的乘积，则可知当这两个因式中任何一个等于0时，乘积都等于0，于是可以得出方程的解。

解：原方程可化为04)9x 6x (2=-++，02)3x (22=-+，分解因式，得到0)1x )(5x (=++。所以1x ,5x 21-=-=。

总之，因式分解是针对多项式的一种分解变形，它是解决许多数学问题的一种重要手段。

当堂检测

一、填空：（30分）

1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____

3、232y x 与y x 612的公因式是_____

4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____)

)(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x

x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2

2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152

-+=--x x ax x 则a =_____。

14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。

二、选择题：（10分）

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（）

A 、－a 、

B 、))((b x x a a ---

C 、)(x a a -

D 、)(a x a --

2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（）

A 、m=—2，k=6，

B 、m=2，k=12，

C 、m=—4，k=—12、

D m=4，k=12、

3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（）

A 、1个，

B 、2个，

C 、3个，

D 、4个

4、计算)10

11)(911()311)(211(2232---- 的值是（） A 、2

1 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）

1 、234352x x x --

2 、 2633x x -

3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、2

2414y xy x +--

5、x x -5

6、12-x

7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、811824+-x x

9 、24369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

四、代数式求值（15分）

1、已知3

12=

-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值

3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值

五、计算：（15）（1） 0.7566.24366.3?-? （2） 200020012121??? ??+??

? ??-

（3）2244222568562?+??+?

六、试说明：对于任意自然数n ，2

2)5()7(--+n n 都能被动24整除。（8分）

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章一元二次方程 1．一元二次方程预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个，并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的． 3．一元二次方程的一般形式是．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

初一数学绝对值综合专题--优选讲义.docx

绝对值综合专题讲义绝对值的定义及性质绝对值的定义：绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示（2） |a|= （ 3）若|a|=a，则；若|a|=-a，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4）若 |a|=|b| ，则（ 5）|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】（ 1）绝对值大于而小于的整数有多少个（ 2）若 ab<|ab|，则下列结论正确的是（）＜ 0， b＜ 0＞ 0， b＜ 0＜ 0， b＞ 0＜ 0 （ 3）下列各组判断中，正确的是（） A．若 |a|=b，则一定有 a=b B.若|a| ＞ |b|,则一定有 a＞ b C. 若 |a| ＞b，则一定有 |a|＞ |b| D.若 |a|=b，则一定有 a 2 =(-b)2 （ 4）设 a， b 是有理数，则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少（ 5）若3|x-2|+|y+3|=0，则y 的值是多少x （ 6）若|x+3|+(y-1) 2 =0，求( 4 ) n的值 y x

【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|，则下面哪个答案正确（）＞b =b

等腰三角形一对一辅导讲义

教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一． 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明．重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明教学内容第一课时等腰三角形知识梳理 1、已知线段a ，h （如下图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ，5cm ，这个三角形的周长是 cm 。 3、请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。 5、已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D 。求证：∠DBC=21∠A 。课前检测 A B C D

图2-5 A B C D （1）等腰三角形的定义等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（如下图AB=AC ），相等的两边叫做腰（AB 和AC ），另一边叫底边（BC ），两腰的夹角叫做顶角（A ∠），腰和底边的夹角叫做底角（C ∠∠和B ）（2）等腰三角形的性质等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”。等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。注：上述性质指导学生通过证全等自己来推理（3）等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，各边相等，各角均为60度。第二课时等腰三角形典型例题题型一：根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度例1：等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为【点拨】：本题的考点是等腰三角形两底角相等，但题目中没有明确是底角：顶角=1:2还是顶角：底角=1：2，所以要分两种情况进行讨论，根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数，很多学生容易漏掉一种情况。变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度。知识梳理典型例题

初中一对一精品辅导讲义：圆与圆的位置关系.docx

教学目标重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系教学内容第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F．求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线．

知识梳理（一）两圆位置关系的定义注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部（2）两圆相切是指两圆外切与内切（3）两圆同心是内含的一种特殊情况（二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ）两圆内切 d =R－r （R ＞ r ）两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ）（三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系

1解一元一次方程预习班讲义

解一元一次方程（讲义）一、知识点睛 1. 一元一次方程的定义：． 2. 等式的基本性质：① ； ② ． 3. 解方程的五个步骤：① ；② ；③ ； ④ ；⑤_____________． 4. 七个易错点：① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ．二、精讲精练 1. 下列各式中，是一元一次方程的为（） A ．3+7=10 B ．3x -5 C ．2x +1=1 D ．x 2+ x =1 2. 若(a -1)x |a |+3=-6是关于x 的一元一次方程，则a = ． 3. 如果x =5是方程ax +5=10-4a 的解，那么a = ． 4. 若2是关于x 的方程3x +a =0的一个解，则a 的值是． 5. 方程12 73422-=--x x 去分母得（） A ．)7()42(42--=--x x B ．7)42(24-=--x x C ．)7()42(424--=--x x D ．7)42(424-=--x x 6. 方程 13 425=+--x x ，去分母可变形为________________． 7. 解下列方程：（1）25222323x x x --+=+ （2）151136x x +--= （3）13=37y y -- （4）14126110312--=+--x x x

（5）2 23 5 463y y +--= （6）2(1) 5(1) 1 3812x x ++=- （7）()()1382152--=--y y （8）30)72(2)115(9)13(8=-----x x x （9）43(112)6134x --=?????? （10）522(1)(1)253x x x --=-?????? （11） 4 1.550.8 1.230.50.20.1x x x ----=+

一元一次方程培优讲义(精品)

元一次方程培优讲义

1 2 ①2x — 5= 1;②8-7= 1;③x + y :④ 1 x — y = x 2;⑤3x + y = 6; 2 ⑥5x + 3y + 4z = 0;⑦1 — 1 = 8;⑧x = 0。其中方程的个数是（） m n A 5 B 、6 C 、7 D 8 举一反三: 方程的解的概念: 使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 (1) 解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。 (2) 判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程的解。元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路重点题型总结及应用知识点一：一元一次方程的概念例1、已知下列各式：

【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：__________________ (1)-2X2+3=X(2) 3x-仁2y (3) x+ 1=2 (4) 2x2-1=1-2(2x-x 2) X 【变式2】若关于X的方程mx m 2 m 3 0是一个一元一次方程，则m ___________________ . k 2 【变式3】若关于X的方程k 2 X3 kx —0是一元一次方程，则k 2 【变式4】若关于X的方程m 2x m3 mx 5是一元一次方程，则m _____________________ . 【变式5】若关于X的方程m 2 (m 2)X2 (m 2)X5是一元一次方程，贝 U m ______ . 【变式6】已知：(a —3)(2a + 5)X + (a —3)y + 6 = 0是关于X的一兀一次方程，a= 知识点二：方程的解题型一：已知方程的解，求未知常数例2、当k取何值时，关于X的方程化上5X 0.8 —的解为X 2 0.5 0.2 0.1 举一反三：已知y m my m . (1)当m 4时，求y的值；(2)当y 4时，求m的值. 2 题型二：已知一方程的解，求另一方程的解例3、已知X 1是关于X的方程1 - (m X)2X的解，解关于y的方程： 3 m(y 3) 2 m(2y 5). 题型三：同解问题例4、方程2x 3 3与1 3a x 0的解相同，求a的值.

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念梳理与强化：（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____；若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是；变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）（a ＞0） |a| = （a ＝0 ）（a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a

（1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ；（4），则______||=a a ；（5）0

一元一次方程及解法专题讲义(供参考)

一元一次方程的概念及解法一、知识梳理：知识点1、一元一次方程的概念：（1）、方程：含有未知数的等式叫方程，能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。（2）、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式0ax b +=（其中x 是未知数，a b 、是已知数，并且0a ≠）知识点2、等式及其基本性质（1）定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫等式。（2）等式的基本性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 ②等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。三、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住：移项要变号）；（4）合并同类项：把方程化为()0ax b a =≠的形式；（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。解一元一次方程时，可以根据方程的形式灵活地安排解题步骤，不必机械地生搬硬套。二、典例精讲：考点一、概念的考查例1、（2011、鄂州训练题）下列各式是方程的是，其中是一元一次方程的是。（1）327x -=；（2）4812+=；（3）3x -；（4）230m n -=；（5）23210x x --=；（6）23x +≠；（7）251 x =+ 变式训练： 1、判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？（1）253-+=；（2）317x -=；（3）0m =；（4）3x >；（5）8x y +=；（6）22510x x ++=；（7）2a b + 2、方程()110m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m = 考点二、方程的解例2、（2011、宜昌模拟）若关于x 的方程332x a x -= +的解是4x =，求2a a - 的值。变式训练： 1、已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，求m 的值。考点三、等式的性质例3、下列等式变形正确的是（） A 、如果,ay ax =那么y x = B 、如果y x =，那么y x -=-55 C 、如果,0=+b ax 那么a b x = D 、如果,2635-=-x x 那么1-=x ★变式赏析：由110.20.3x -=变形为1010123x -=的依据是（）

初中数学-七年级下-二元一次方程组的解法及运用培优讲义

实数一对一辅导讲义

第一课时实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小：（1）32.13 1.2，（2）3 32-34 3-，（3）337。课前检测

1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数；（2）特定意义的数如π等；（3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根（1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算：一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-?

七年级数学上册暑假班预习讲义第十六讲解一元一次方程(1)(新版)新人教版

第十六讲：解一元一次方程（一）姓名：_________日期：_________ 课前热身 1．在方程23=-y x ，021=-+ x x ，2121=x ，0322=--x x 中一元一次方程的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．解方程3 112-=-x x 时，去分母正确的是（） A ．2233-=-x x B ．2263-=-x x C ．1263-=-x x D ．1233-=-x x 3．方程x x -=-22的解是（） A ．1=x B ．1-=x C ．2＝x D ．0=x 4．下列两个方程的解相同的是（） A ．方程635=+x 与方程42=x B ．方程13+=x x 与方程142-=x x C ．方程021=+x 与方程02 1=+x D ．方程5)25(36=--x x 与3156=-x x 5．如果x=5是关于x 的方程x+m=﹣3的解，那么m 的值是（） A ．﹣40 B ．4 C ．﹣4 D ．﹣2 6．设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 7．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（） A ．如果a=b ，那么a+5=b+5 B ．如果a=b ，那么a ﹣=b ﹣ C ．如果ac=bc ，那么a=b D ．如果=，那么a=b 8．有下列等式：①由a=b ，得5﹣2a=5﹣2b ；②由a=b ，得ac=bc ；③由a=b ，得；④ 由，得3a=2b ；⑤由a 2=b 2，得a=b ．其中正确的是．知识点四解方程

【精选】苏科版数学七年级上册一元一次方程(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难） 1．同学们都知道，表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）求＝________．（2）若，则 =________ （3）同理表示数轴上有理数x所对应的点到－1和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ________(直接写答案) 【答案】（1）7 （2）7或-3 （3）-1，0，1，2. 【解析】【解答】（1）|5-（-2）|=7，故答案为：7；（ 2 ）|x-2|=5， x-2=5或x-2=-5， x=7或-3，故答案为：7或-3；（ 3 ）如图，当x+1=0时x=-1，当x-2=0时x=2，如数轴，通过观察：-1到2之间的数有-1，0，1，2，都满足|x+1|+|x-2|=3，这样的整数有-1，0，1，2，故答案为： -1，0，1，2．【分析】（1）化简符号求出式子的值；（2）根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5，求出x的值；（3）根据题意画出数轴，得到-1到2之间的整数有-1，0，1，2，得到满足方程的整数值有-1，0，1，2. 2．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划根用45座客车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座客年，则多出一辆车无人坐，且其余客车恰好坐满。已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：（1）这批游客的人数是多少?原计划租用多少辆45座客车? （2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算? 【答案】（1）解：设原计划租用x辆45座客年根据题意，得45x+15=60(x-1) 解得x=5

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

二年级语文一对一辅导讲义

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间授课题目第四单元预习、看图说话课型综合使用教具讲义教学目标 1.预习第14课、15课 2.提高学生的观察能力、想象能力。教学重点和难点看图作文的思维训练参考教材小学语文课本教学流程及授课详案一、听老师讲故事守株待兔的故事宋国有一个农民，每天在田地里劳动。有一天，这个农夫正在地里干活，突然一只野兔从草丛中窜出来。野兔因见到有人而受了惊吓。它拼命地奔跑，不料一下子撞到农夫地头的一截树根上，折断脖子死了。农夫便放下手中的农活，走过去捡起死兔子，他非常庆幸自己的好运气。晚上回到家，农夫把死兔交给妻子。妻子做了香喷喷的野兔肉，两口子有说有笑美美地吃了一顿。第二天，农夫照旧到地里干活，可是他再不像以往那么专心了。他干一会儿就朝草丛里瞄一瞄、听一听，希望再有一只兔子窜出来撞在树桩上。就这样，他心不在焉地干了一天活，该锄的地也没锄完。直到天黑也没见到有兔子出来，他很不甘心地回家了。第三天，农夫来到地边，已完全无心锄地。他把农具放在一边，自己则坐在树桩旁边的田埂上，专门等待野兔子窜出来。可是又白白地等了一天。后来，农夫每天就这样守在树桩边，希望再捡到兔子，然而他始终没有再得到。但农田里的苗因他而枯萎了。农夫因此成了宋国人议论的笑柄启示：这个成语故事比喻不主动努力，而存万一的侥幸心理，希望得到意外的收获。主要告诉我们的道理是：只有通过自己的劳动，才能有所收获，否则终将一无所获，留下终身遗憾。二、第四单元预习一、会读词语。（熟读）相得益彰管中窥豹一叶障目泰山水到渠成葫芦藤盯着邻居枣树深浅光秃秃忍受好呗虽然抽水继续行驶无影无踪责怪酸甜葡萄迫不及待生硬泡茶吃饱长袍鞭炮二、生字扫描第14课：《我要的是葫芦》言（发言）（言语）（言论）每（每天）（每组）（每人）治（治病）（治好）（治疗）棵（一棵树）（一棵树苗）挂（挂念）（牵挂）（挂号）哇（好哇）（行哇）（哇哇叫）怪（奇怪）（怪事）（怪物）慢（慢走）（慢慢）（慢行）时间分配及备注听老师讲故事，第四单元预习：30分钟。

绝对值专题讲义

【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5 -符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值： ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ② (0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③ (0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0 a b c ++=，则0 a=，0 b=，0 c= 绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =?； a a b b =(0) b≠；（4）222 |||| a a a ==； a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【例2】下列说法正确的有（） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥ 【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（） A．2 B．-2 C．±2 D． 1 2± 【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）绝对值专题讲义

一次函数一对一辅导讲义

教学目标1．通过复习进一步掌握如下概念：函数的概念；一次函数的概念；一次函数与正比例函数的关系；确定一次函数表达式。 2、经历函数、一次函数（正比例函数）概念的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。重点、难点使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围考点2：函数图象考点3：图象与坐标轴围成的面积问题考点4：求一次函数的表达式，确定函数值考点5：利用一次函数解决实际问题教学内容第一课时一次函数知识盘点一、主要知识点：一次函数的性质 1的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：（k≠0)（k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当0时，b为函数在y轴上的截距。 3为一次函数的斜率角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 一次函数的图像及性质 1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限：时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当0时，直线必通过原点,经过一、三象限当b＜0时，直线必通过三、四象限。

(完整word)解一元一次方程(提高篇)

一元一次方程的解法（提高篇）【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b (a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，分类讨论： (1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，b x a = ；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b≠0时，方程无解．（2）【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程 1．解方程：

七年级上一元一次方程培优讲义(精品).doc

精心整理个性化辅导专家——博大一对一辅导 ###### 年级 ###### 性别一元一次方程培优讲# 教学课题义知识点： 1、了解一元一次方程的概念，理解等式的基本性质。教学 2、理解移项法则，会解一元一次方程。目标 3、了解一元一次方程在解决问题中的应用。方法：讲解和练习教学重点；一元一次方程的概念、解法重点难点教学难点；一元一次方程的解法应用课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 一元一次方程复习提高要点一：方程及一元一次方程的相关概念方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。教一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数学是一次的方程叫做一元一次方程。内其中“元 ”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最容高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。等式、方程、一元一次方程的区别和联系：区别举例联系等式用等号连接的式子。3+2=5，x+1=0都是

方程含有未知数的等式。 X+1=0，x+y=2 用等一元一次方程两边都是整式，只含有一个未知数并且 X+1=0 ， 2 号连接的方程未知数的指数是一次的方程。 5 y+1= 1 y 式子 2 方程的解的概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。（1）解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程的解。一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。重点题一般步骤注意点型总结（ 1）去分母及应用方程的每一项都要乘以最简公分母知识点（ 2）去括号去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不一：一元变一次方（ 3）移项移项要变号程的概（ 4）合并同类项只要把系数合并，字母和它的指数不变。念例 1、已（ 5）方程两边同除相除时系数不等于 0。若为 0，则方程可能无以未知数的系数解或有无穷多解。知下列各式： ① 2x －5＝1；② 8－7＝1；③ x ＋y ；④ 1 x －y ＝x 2；⑤ 3x ＋y ＝6； 2

平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义

教学目标1、了解向量的背景及概念，能够区别向量与数量； 2、掌握相等向量和共线向量的概念及其求法； 3、平面向量的线性运算。重点、难点教学重点：相等向量和共线向量的概念及其求法教学难点：平面向量的线性运算考点及考试要求考点：相等向量和共线向量的概念；平面向量的线性运算教学内容第一课时平面向量的基本概念及线性运算知识点梳理 1、下列说法正确的是（） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小. 2、下列各量中不是向量的是（） A、浮力 B、风速 C、位移 D、密度 3、设O是正方形ABCD的中心，则向量,,, AO BO OC OD是（） A、相等的向量 B、平行的向量 C、有相同起点的向量 D、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个课前检测

5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量；（4）找出图中与EC 相等的向量. 1、向量的物理背景及概念 1）、向量的物理背景：位移是既有大小，又有方向的量；力是既有大小，又有方向； 2）、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量 3）、数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量 2、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；知识梳理 A B E C D A(起点) B （终点） a

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