从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化快慢
从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化的快慢
黄宝松 (武汉市江夏区一中 湖北 430200)
高中物理教材以及许多物理资料中都认为分子间斥力与引力都随分子间距离增大而减
小，都随距离减小而增大，但斥力随距离变化总是比引力快。贵刊2004年第10期于正荣和
季亚清两位老师在《分子间的斥力一定比引力变化快吗？》一文（以下简称原文）中提出了
不同的看法。如图1所示，粗线表示分子间总的作用力
的变化，细线分别表示分子间斥力和分子间引力的变
化，其中r 0表示分子间的平衡距离，r 1表示当分子间总
的作用力为引力最大值时分子间的距离。原文认为当
r 增大得更快；当分子间距离r 0 随距离的增大而减小，并且斥力减小得更快；当分子间 距离r> r 1时,引力与斥力都随距离的增大而减小，但却 是引力减小得更快；所以不能笼统地说斥力一定比引力 变化快。笔者非常赞同两位老师的这一观点，并采用和两位老师不同的方法加以说明。 在大学普通物理热学教材中，关于分子间作用力可以近似地用半经验公式来表示： F ＝r s λ－r t μ （s>t ） 其中，r 是两个分子中心间的距离，λ、μ、S 、t 都是正数，需根据实验数据确定，第 一项是正的，代表斥力，第2项是负的代表引力。对于分子斥力和引力变化谁更快的问题， 热学教材中没有给出进一步的结论。 以下我用导数的方法作如下推证。用函数f 1=r s λ 表示分子斥力的大小，用函数f 2=r t μ 表 示分子引力的大小。 1． r 0与r 1的表达式 当分子间斥力与引力大小相等时，分子间总的作用力F 为零，此时分子间的距离即为平 衡距离。由f 1= f 2可求得此时 r=r 0=t s -μ λ 由F ＝r s λ－r t μ 求导得F /＝－S λr -S-1－（－ t μr -t-1） 当F /=0时F 有极值，此时分子间距离即为r 1 r=r 1=t s t s -μ λ 2． 表示分子斥力和引力随距离变化快慢的的函数 可以用f 1导数的绝对值表示斥力变化的快慢,φ1表示f 1导数取绝对值构成的函数： φ1＝| f 1/|＝S λr -S-1 用f 2导数的绝对值表示引力变化的快慢,φ2表示f 2导数取绝对值构成的函数, 同样可 以得到： φ2＝|f 2/|＝t μr -t-1 上面φ1和φ２两个函数都是幂函数，这样分子斥力和分子引力随距离变化的快慢就可 以分别通过这两个幂函数函数值的大小来判断。 3． 幂函数的变化规律 幂函数r -S-1和r -t-1在第一象限(r>0才有意义)的图象具有如下规 律：它们相交（1，1）这一点，r<1时r -S-1的值大于r -t-1的值， r>1时 r -S-1的值小于 r -t-1的值。φ1＝S λr -S-1 和φ2＝t μr -t-1在 第一象限的图象具有类似的规律，即它们有一交点，如图2所示， 在交点以前（r<交点横坐标）区域，φ1的值大于φ2的值（斥力 变化快）；在交点以后（r>交点横坐标）区域，φ1的值小于φ2的 的值（斥力变化慢）。 由φ1＝S λr -S-1 和φ2＝t μr -t-1的值相等可求出交点横坐标为 r=t s t s -μ λ 此值正好等于r 1，说明r 1为引力和斥力变化快慢的分界点。 4． 得到的结论 由以上的分析明显可看出：在r 化慢于引力的变化。这一结论与原文的观点完全一致。 说明高中物理教材在这一问题上的表述存在疏漏之处，这一疏漏在中学物理教学过程中 延续了多年，为了维护教材的严谨与正确性，建议引起重视并尽快予以修正。 以上分析和观点是否正确，望各位同仁及专家参入这一问题的探讨，如有不妥之处，敬 请不吝指正。 备注：发表于《物理教学》2005年第4期 分子间相互作用力与分子势能的学习，要理解并记住四句话和一个关系。这四句话: 〔1）分子间同时存在引力斥力；通常所说的分子力是指引力和斥力的合力。 （2）分子间的引力和斥力都随分子间距离的增大而减小。 （3）分子间距离对斥力的影响比对引力的影响小,即距离增大（或减小）相同量，分子斥力减小（或增大）的量比引力大. （4）分子间距离的大小决定了分子力的性质。 即分子距离r＜r0，（r0=10*10 米），斥力大于引力，分子力表现为斥力; r=r0,斥力等引力,分子力为零; r>r0，斥力小于引力，分子力表现为引力。 ------------------------------------------------------- 以上四句话中注意以下两点: 1、第（3）和第（4）句话有因果关系(3）是因（4）是果．如图1所示，第（3）句话反映在该图上，就为斥力图线比引力图线陡。 设在小于r0范围内分子间距离从r1增大到r2由图可知相同距离变化引起的引力和斥力变化量ΔF引,ΔF斥.有ΔF斥＞ΔF 引.在此范围内把ΔF斥和ΔF引合成．合力显然为斥力．同样若在大于r0处将引力,斥力合成，合力显然为引力。 2.分子引力和斥力由图(1)知，它们随分子间距离变化而呈单调变化。但它们的合力分子力却不是隋分子间距离变化呈单调变化．在不同r 处将F 引、F 斥逐一合成，其合力F 随r 的变化如图2所示． 分子力的功是分子势能变化的量度。分子力做正功分子势能减小，分子力做负功分子势能增加，分子势能变化量就等于分子力所做的功量 一个关系是： 分子力的功是分子势能变化的量度。分子力做正功分子势能减小，分子力做负功分子势能增加，分子势能变化量就等于分子力所做的功量。 图1 图 课题：3.1 函数的变化率 教学目标： 1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念； 掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率； 理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用 为下一节导数概念的学习打好基础。 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用， 培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理 论解释生活问题、应用数学的能力。 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法， 鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究 ——总结型的学习习惯。 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解 函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。 教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。 教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用 教学过程： 一、引入： 1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的 陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？ 3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。 二、例举分析： （一）登山问题 例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 才 问题：当自变量x 表示登山者的水平位置，函数值y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎 样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A 自变量x 的改变量： 1x x =? 函数值y 的改变量：1y y =? 直线AB 的斜率： x y x x y y k ??=--=0101 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ?为定值）时， 垂直距离变化量（y ?）越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD 放大研究 方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。（图略） 结论：函数值变化量（y ?）与自变量变化量)(x ?的比值 x y ??反映了山坡的陡峭程度。 各段的 x y ??不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当x y ??越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当 x y ??越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。 所以， k k k k x x x f x f x y --=??++11)()(——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。 三、 函数的平均变化率与应用。 （一） 定义：已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义， 令0x x x -=?； )()()()(0000x f x x f x f x f y y y -?+=-=-=?。 则当0≠?x 时，比值 x y x x f x x f ??=?-?+)()(00 叫做函数)(x f y =在0x 到x x ?+0之间的平均变化率。 斥力和引力是分子之间的相互作用力,只有外力要改变他们的距离的时候才表现出来. 物体的分子之间是有距离的,这个距离是随温度(内能)的改变而改变的，在一定温度下这个距离是一定的。 若外力使这个距离增大(如掰开物体)那么分子之间的相互作用力就呈现为引力,这个力使你不易掰开物体。 若外力使这个距离减小,那么分子之间的相互作用力就呈现为斥力.所以压缩物体很困难. （很难把固体和液体压缩，就能说明分子间存在斥力） 1)经过研究发现分子之间的引力和斥力都随分子间距离增大而减小。但是分子间斥力随分子间距离加大而减小得更快些。 (2)由于分子间同时存在引力和斥力，两种力的合力又叫做分子力。两个分子在一定距离，分子间的引力与斥力平衡，分子间作用力为零，位置叫做平衡位置r0。 分子间距离当r< r0时，分子间引力和斥力都随距离减小而增大，但斥力增加得更快，因此分子间作用力表现为斥力。 当r>r0 时，引力和斥力都随距离的增大而减小，但是斥力减小的更快，因而分子间的作用力表现为引力，但它也随距离增大而迅速减小，当分子距离的数量级大于10^-10m时，分子间的作用力变得十分微弱，可以忽略不计了。。 1、分子间的斥力和引力随分子间距离增大而变化的情况是 A. 引力增大，斥力增大 B. 引力减小，斥力减小 C. 引力增大，斥力减小 D. 引力减小，斥力增大 解析：分子间引力和斥力的同时存在，当分子间距离增大时引力和斥力同时减小，只是斥力减小得更快，分子间表现为引力,当分子间距离减小时，引力和斥力同时增大，只是斥力增大得更快，分子间表现为斥力,所以分子间作用力是引力和斥力的合力表现。B对。 思路分析：分子间引力和斥力的同时存在，当分子间距离增大时引力和斥力同时减小 2、物体中分子间的引力和斥力是同时存在的，则对其中的引力和斥力下列说法正确的是: A、当物体被压缩时，斥力增大，引力减小; B、当物体被压缩时，斥力、引力都增大; C、当物体被拉伸时，斥力减小，引力增大; D、当物体被拉伸时，斥力、引力都减小 解析：因为分子间作用力与分子间距离有关，距离小于平衡时的距离，引力斥力都增大，但是斥力增加的更快一些。 距离大于平衡时的距离时，引力斥力都减小，但是斥力减小的更快一些。所以， 答案是B 、D 分子和分子之间有一个“安全”距离，这个距离的数量及一般在10的-10次方，此时引力等于斥力，当分子间距离小于这个距离时，表现为斥力； 一定限度内大于这个距离时，分子间力表现为引力，达到一定程度时，两分子就互相脱离 从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化的快慢 黄宝松 (武汉市江夏区一中 湖北 430200) 高中物理教材以及许多物理资料中都认为分子间斥力与引力都随分子间距离增大而减 小，都随距离减小而增大，但斥力随距离变化总是比引力快。贵刊2004年第10期于正荣和 季亚清两位老师在《分子间的斥力一定比引力变化快吗？》一文（以下简称原文）中提出了 不同的看法。如图1所示，粗线表示分子间总的作用力 的变化，细线分别表示分子间斥力和分子间引力的变 化，其中r 0表示分子间的平衡距离，r 1表示当分子间总 的作用力为引力最大值时分子间的距离。原文认为当 r 第5点分子力与分子引力、分子斥力的关系 分子间的作用力跟距离的关系的示意图如图1所示，由图可看出： 图1 (1)分子间相互作用力既有引力，又有斥力，表现出的是它们的合力，如图中的实线所示． (2)分子间相互作用的引力与斥力都随着分子间距离的增大而减小，只是斥力减小得更快一些．(由图中斥力的图线较陡可看出) (3)分子间存在一个平衡距离r0，分子间距离为r0的位置就叫做平衡位置(数量级为10－10 m) 当r>r0时，F引>F斥，对外表现的分子力F为引力； 当r＝r0时，F引＝F斥，对外表现的分子力F＝0； 当r 1.1.2瞬时变化率——导数 1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点) 2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点) 3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点) [基础·初探] 教材整理1曲线上一点处的切线 阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题． 设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 判断正误： (1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．() (2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．() 【答案】(1)×(2)× 教材整理2瞬时速度与瞬时加速度 阅读教材P11～P12，完成下列问题． (1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0) Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． (2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率 v (t 0＋Δt )－v (t 0) Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加 速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 1．判断正误： (1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)× 2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________． 【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×3 2 Δt ＝18＋3Δt ， 当Δt →0时，Δs Δt ＝18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数 阅读教材P 13～P 14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称 该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． (2)导数的几何意义 导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．导函数 若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 引力与斥力问题 《自然杂志》１９卷４期的 ‘探索物理学难题的科学意义'的 ９７个悬而未决的难题： １．自然界是否存在五种以上的基本作用力？５．负引力存在吗？ 1998年12月29日《科技日报》评选出世界十大科技新闻之一：宇宙中存在反引力，1998年美国《科学》杂志评选出世界十大科技突破之一：宇宙中存在反引力. 谈到广义相对论时，爱因斯坦说：“这理论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性.从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的.” 笔者认为宏观世界以及宇观世界中引力与斥力的关系类似于微观世界中分子的引力与斥力的关系，也就是说具有全息现象. 分子力实际上来源于多个方面，精确的计算与各分子内部结构有很大关系，会变得十分复杂.对于无极性分子，两分子间作用力可近似用以下半经验公式表示： t s r r r F μλ -=)( 其中正表示排斥力，负表示牵引力；r 为两分子间距，λ、μ、s 、t 为常数，随两分子不同而不同，且s>t.这种力的特点是 ? 在某一个值r 0以内，分子里表现为排斥力并且随r 减小而急剧上升； ? 在r 0以外表现为牵引力，分子力逐渐增大，到某最大值后减小； ? 力程短，在r 约为r 0十倍时已几乎为零. 由此，对无极性分子间的相互作用势能有以下几个常用曲线.一个典型且常用的模型是兰纳-琼斯势，该势能仅与两分子间距有关，具有球对称性，其函数解析式为： ])(2)[()(601200r r r r E r E p p -= 其中，r 为两分子距离，E p0为分子势能的势阱（势能最低处的势能绝对值），r 0为势阱处两分子间距.E p0与r 0需要对于具体分子通过实验确定. 对兰纳-琼斯势在排斥力部分简化，成为苏则朗势（Sutherland potential ），即： ???=∞-6) ()(r d E p r E d r d r ≤> 其中E 、d 为常数，因分子而异.满足苏则朗势的气体称为范德瓦尔斯气体，分子力又称作范德瓦尔斯力，满足范德瓦尔斯方程. 对苏则朗势在引力部分再次简化，成为刚球势，即： {∞ =0)(r E p d r d r ≤> d=0时，分子势能完全忽略，变为质点势，这时气体称作理想气体，满足理想气体状态方程. 北京天文台胡景耀研究员讲：“在数学，天文和物理等学科高度发展的今天，理论界无法解释的天文现象还很多”.南京大学曲钦岳院士讲：目前研究主流是采用已知的物理规律去解释新的天文观测现象，很有必要弘扬由已知的天文现象综合新的物理规律的科学方法.对于公转角速度大于或等于其绕转行星自转角速度的卫星或者逆向卫星就不一定成立，如火卫一公转周期，正在每周1毫秒的速度缩短，就无法解释.2003年2月11日，美国太空总署公告当时探测到的宇宙学参数，证明宇宙中确实存在“反引力”，因为观测结果表明许许多多的星系正在“加速远离”，而不是在引力作用下减速.美国著名的《科学》杂志也把“宇宙反重力”的发现列为二十世纪几项重大科学发现之一.在物理学上往往因为看出了表面上互不相关的现象之间有相互一致之点而加以类推，结果竟得到很重要的进展. (1)经典物理对于引力和斥力的研究 牛顿在论及引力时所说：“我谈到吸引与推斥，正如有同一意义上使用加速力和运动力一样……对这些力不从物理上面而只从数学上加以考虑……把力归因于某个中心（它只不过是数学点而已）.” 【1】康德（1724—1804）说：“不去钻研而满足于直接提出上帝的意志来，是一个苦恼的决断，牛顿对于斥力没有象对引力说得那么清楚，应当只用引力、斥力来说明大自然的秩序发展.”黑格尔（1770—1831）说：“‘一’的否定的自身关系就是排斥， §1.1 导 数 1.1.1 函数的平均变化率 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直 线的斜率来量化． 如用比值y C －y B x C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0 ＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6 ＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线 y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x ) 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率． x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组 §1(2) 瞬时变化率 【学习目标】 1.复习理解函数平均变化率的意义； 2.理解函数的瞬时变化率的概念； 3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】 函数的瞬时变化率 【学习难点】 求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习 1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？ 2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？ 例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位： s)的函数关系为22 1 gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球 在t=5s 这个时刻的瞬时速度. 解： 3．函数的瞬时变化率： 对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 . t 1/s t 2/s 时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（ t s ??）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … … … … 二.合作探究 1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度． 2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。 三． 课堂检测 1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？ 2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率. 3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为22 1 gt S =（g 为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。 四.课堂小结 求平均变化率和瞬时变化率的步骤： （1）作差：Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1)； （2）作商并化简得平均变化率：x x f x x f x x x f x f x ?-?+=--=??)()()()(y 111 212. （3）在上式中令Δx 趋于0时，得瞬时变化率. 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数——平均变化率与瞬时变化率w 二. 本周教学目标： 1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵． 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义． 三. 本周知识要点： （一）平均变化率 1、情境：观察某市某天的气温变化图 t (d) 20 2、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121 ()()f x f x x x -- 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． （二）瞬时变化率——导数 1、曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当 点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 割线PQ 的斜率为 PQ k =00()()f x x f x x +?-?，即当0→?x 时，00()()f x x f x x +?-?无 限趋近于点P 的斜率． 2、瞬时速度与瞬时加速度 1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度． 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量） 平均速度 t t s t t s t s v ?-?+=??= )()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间 足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt →0时，位移的平均变化率00()() s t t s t t +?-?无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体 在t ＝ t 0的瞬时速度 同样，计算运动物体速度的平均变化率00()() v t t v t t +?-?，当Δt →0时，平均速度00()() v t t v t t +?-?无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度． 3、导数 设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ?无限趋近于0时，比值 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常 思维特训(一)分子间的引力和斥力 |典|例|分|析| 分子间的引力和斥力 例1分子力，又称分子间作用力、范得瓦耳斯力，是指分子间的相互作用。当两分子相距较远时，分子力表现为引力；当分子间距离非常近时，分子力主要表现为斥力。 实验表明，气体很容易被压缩；把体积分别为50 cm3的水和酒精混合，总体积小于100 cm3；高温下碳原子可渗透到钢制表面。这些都说明分子、原子间有一定的距离。相隔一定距离的固体和液体分子仍能聚集在一起不分散，是因为存在分子间作用力。分子间作用力由引力和斥力组成，引力对抗拉伸，斥力对抗压缩。 图1－TX－1 如图1－TX－1所示为分子间作用力关系图，r表示两分子间距离，r0表示引力和斥力相平衡的距离。F斥表示斥力曲线，F引表示引力曲线，F分子表示合力曲线。由图可知，随分子间距离r的增大，分子力先减小到零后增大再减到零，对外表现为先斥力后引力。 (1)分子间引力和斥力大小均与________有关。固体和液体很难被压缩，说明分子间存在________。分子间的引力和斥力都随着分子间距离的增大而________。 (2)下列有关分子力的说法中，正确的是________。 A．当r＝r0时，分子间没有力的作用 B．当r＜r0时，分子间的作用力只有斥力 C．当r＞r0时，分子间的作用力只有引力 D．当r＝10r0时，分子间的作用力可以忽略 [解析] (1)由分子间作用力关系图可知：分子间的作用力与分子间的距离有关。分子间作用力随着分子间距离的增大而减小，且斥力减小得更快。固体和液体很难被压缩，说明分子间存在斥力。 (2)分子间同时存在着引力和斥力，当r＝r0时，分子引力与斥力相等，分子间既不表现为引力，也不表现为斥力，但并不是分子间没有力的作用，故A错误；当r＜r0时，分子引力小于斥力，分子间的作用力表现为斥力，并非只有斥力，故B错误；当r＞r0时，分子引力大于斥力，分子间的作用力表现为引力，并非只有引力，故C错误；当r＝10r0时，分子间的作用力小到可以忽略，故D正确。 [答案] (1)分子间的距离斥力减小(2)D 热量计算 导数的概念及运算 知识梳理 1. 平均变化率与瞬时变化率 （1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y ??＝ ． （2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念 （1）函数()f x 在x x =o 处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =o 处的瞬时变化率即()0'x f = （2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '= 3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义 切线方程为： （2）物理意义 4．基本初等函数的导数 ①;C '= ②();n x '= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '= ⑦()l g a o x '= ; ⑧()ln x '=. 5．导数的运算法则 _______ ______ ______ [](4)()'C f x ?=_______ ___________ 6．复合函数的导数 【题型分析】 一．导数的概念及其几何意义 例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时 00()()2f x k f x k --=________ （2）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 0(1)(1)lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 二．导数的计算 例2：求下列函数的导数 （1）2()(2)()f x x a x a =+- （2）22()cos sin cos f x x x x =?+ ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()()'3f x g x ??=???? 1．下列现象能说明分子间存在吸引力的是（） A、固体和液体很难被压缩 B、红墨水滴入水中很快散开 C、酒精和水混合后总体积变小 D、两个表面光滑的铅块紧压后会“粘”在一起 答案：D 解析：A、固体和液体很难被压缩是因为分子间存在相互的斥力，故A错误； B、红墨水滴入水中是因为墨水分子做无规则运动，故B错误； C、酒精和水混合后体积减小，是因为分子间有空隙，故C错误； D、两个表面光滑的铅块紧压后，由于分子间存在相互的引力而使两块铅块粘在一起，故D 正确 题干评注：分子间存在相互作用的引力和斥力 问题评注：物质是由大量分子组成的，分子在永不停息地做无规则运动，分子间存在相互的作用力． 2．把干净的玻璃板吊在弹簧测力计的下面，记下测力计的读数．如图让玻璃板的下表面接触水面，然后稍稍用力向上拉，发现弹簧测力计读数变大，其原因是玻璃板与水的接触面之间存在（） A、摩擦力 B、分子引力 C、分子斥力 D、大气压力 答案：B 解析：当玻璃接触水面时，由于水分子和玻璃分子距离较近，故两种分子之间会产生相互作用的引力，弹簧测力计要将玻璃拉起需提供比玻璃重力大的力．故说明玻璃和水的接触面之间存在相互作用的分子引力． 题干评注：分子间存在相互作用的引力和斥力 问题评注：物质是由大量分子组成的，分子在永不停息地做无规则运动，分子间存在相互的作用力． 3．科学家最新研究表明，壁虎脚掌没有吸盘，壁虎的每只脚底部长着数百万根极细的刚毛，而每根刚毛末端又有更多更细的分支，这种精细结构使得刚毛与物体表面分子间的距离非常近，由此可知壁虎在天花板上攀爬本质上靠的是（） A、分子引力 B、大气压强 C、地球引力 D、板壁弹力 答案：A 精心整理 同步分层能力测试题（一） （函数的平均变化率及瞬时变化率和导数） A 组（时间：60分钟满分：86分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.1+ Δ2.，则（） 0)不存在3.t →?lim A C 4.(4,f (4))处的切线的倾斜角为 A.2π B.0 C.锐角 D.钝角 5.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+--的值 为（） A ．' ()f x B ．' 02()f x C ．'02()f x -D ．0 6.曲线2 21y x =+在点()1,3P -处切线方程为（） A.41y x =-- B.47y x =-- C.41y x =- D.47y x =- 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 7.已知()2 1f x x x =++,则(1)(1) lim f x f +?-=. 1+垂直,9.y =f （（时， t →?lim （却和加热,如果第xh 时,原油的温度为()()2 71508f x x x x =-+≤≤,试分别计算 第2h 和6h 时,原油温度的瞬时变化率. 12.在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数 =)(t ?4t －0.3t 2 给出，求： （1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度； （2）飞轮停止旋转的时刻. B 组（时间：60分钟满分：64分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2 12 S gt =其中t 为经历 的时间，2 9.8/g m s =，若(1)(1)lim S t S V +?-=9.8/m s =，则下列说法正确的是 A.0 C.时段 2.A. 3.A ． 4.)(x 上点1(,1(f 5.若曲线()y f x =在点()(),P a f a 处切线的方程为210x y ++=,则（） A ．()0f a '= B.()0f a '> C.()0f a '< D.不确定. 6.已知曲线()2 2f x ax =-在横坐标为 1的点P 处切线的倾斜角为4 π,则a= （） 分子力(molecular force)，又称分子间作用力、范得瓦耳斯力，是指分子间的相互作用。当二分子相距较远时，主要表现为吸引力，这种力主要来源于一个分子被另一个分子随时间迅速变化的电偶极矩所极化而引起的相互作用；当二分子非常接近时，则排斥力成为主要的，这是由于各分子的外层电子云开始重叠而产生的排斥作用。 分子间存在引力 1.分子间虽然有间隙，大量分子却能聚集在一起形成固体或液体，说明分子间存在引力； 2.用力拉伸物体，物体内要产生反抗拉伸的弹力，说明分子间存在引力； 3.两个物体能粘合在一起，说明分子间存在引力。 分子间存在斥力 1.分子间有引力，却又有空隙，没有被紧紧吸在一起，说明分子间有斥力； 2.用力压缩物体，物体内要产生反抗压缩的弹力，说明分子间有斥力。分子间引力和斥力的变化情况 分子间作用力关系图 分子间引力和斥力随分子间的距离的增大而减小，随分子间的距离的减小而增大，且斥力减小或增大比引力变化要快些。 1.当r=ro(ro=10^-10米)时，分子间的引力和斥力相平衡，分子力为零，此位置叫做平衡位置； 2.当r＜ro时，分子间斥力大于引力，分子力表现为斥力； 3.当r＞ro时，分子间引力大于斥力，分子力表现为引力； 4.当r≥10ro时，分子间引力和斥力都十分微弱，分子力为零； 5.当r由ro→∞时，分子力（引力）先增大后减小。 编辑本段分类 分子间作用力实际上是一种电性的吸引力，从这个意义上讲，分子间作用力可以分为以下三种力： 取向力 发生在极性分子与极性分子之间。由于极性分子的电性分布不均匀，一端带正电，一端带负电，形成偶极。因此，当两个极性分子相互接近时，由于它们偶极的同极相斥，异极相吸，二个分子必将发生相对转动。这种偶极子的相互转动，就使偶极子的相反的极相对，叫做“取向”。这种由于极性分子的取向而产生的分子间的作用力，叫做取向力。 诱导力 发生在极性分子与非极性分子之间以及极性分子之间。在极性分子和非极性分子间，由于极性分子的影响，会使非极性分子的电子云与原子核发生相对位移，产生诱导偶极，与原极性分子的固有偶极相互吸引，这种诱导偶极间产生的作用力叫诱导力。同样地极性分子间既具有取向力，又具有诱导力。 色散力 当非极性分子相互接近时，由于每个分子的电子不断运动和原子核的不断振动，经常发生电子云和原子核之间的瞬时相对位移，产生瞬时偶极。而这种瞬时偶极又会诱导邻近分子也产生和它相吸引的瞬时偶极。由于瞬时偶极间的不断重复作用，使得分子间始终存在着引力，因其计算公式与光色散公式相似而称为色散力。 瞬时变化率--导数(1) 教学目标：⑴理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 ⑵会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 教学过程： 一.复习引入 平均变化率：一般地，函数)(x f 在区间上[]21,x x 上的平均变化率为 平均变化率近似地刻画了曲线)(x f 在区间[]21,x x 上的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 二.新课讲解 1.曲线上一点处的切线斜率 设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的 ，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线,l 这条直线l 称为曲线在点P 处的 ，即割线PQ 的斜率就会无限逼近曲线在点P 处的切线的斜率，所以我们可以用点P 处的切线的斜率来刻画曲线在点P 处的变化趋势 设曲线C 上一点)),(,(x f x P 过点P 的一条割线交曲线C 于另一点)),(,(x x f x x Q ?+?+则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-?，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ?无限趋近于0时， ()()f x x f x x +?-?无限趋近点))(,(x f x P 处的切线的斜率。 2.瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的 与 的比称为平均速度。 (2)瞬时速度：设物体作直线运动所经过的路程为s =f (t )。以t 0为起始时刻，物体在时间内的平均速度为 t t s t t s ?-?+)()(00，当△t 无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的 (3)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，运动物体速度)(t v 的平均变化率 t t v t t v ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 § 导 数 函数的平均变化率 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直 线的斜率来量化． 如用比值y C －y B x C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢． 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 错误!＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－12－6 ＝错误!＝(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线 y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x ) 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率． x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．分子间斥力、引力作用关系
《函数的变化率》教案(新人教A版1)
分子引力与斥力
从导函数的变化趋势看分子间斥力与引力变化快慢
高二物理 分子力与分子引力、分子斥力的关系 疑难规律方法 ABC
瞬时变化率——导数
引力与斥力问题
函数的平均变化率教案
第二节瞬时变化率
导数：平均变化率与瞬时变化率
思维特训(一) 分子间的引力和斥力
函数的平均变化率与导数
初中物理知识点题库096分子间存在相互作用的引力和斥力
函数的平均变化率及瞬时变化率和导数
分子的引力和斥力
瞬时变化率--导数(1)
函数的平均变化率教案