平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题

平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题

17.0 圆锥曲线几何性质

如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心

率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用?

PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆，

椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹，

PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段

|PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线

双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹

PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线

圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.

点线距

当0 e 1时，轨迹为椭圆；

当e =1时，轨迹为抛物线；

当e -1时，轨迹为双曲线；

当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）.

a

圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势

b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a

圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几

何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点

17.1圆锥曲线中的精要结论:

.其中e=c，椭圆中

a

a ex

a—

ex

=1:

1.焦半径：

2 2

(1)椭圆2+ y2=1(a Ab =0): PR = a + ex；3, PF2 = a —exj ；(左+ 右- a b

2 2

椭圆X2+E—1(a >b>0):

b a

a2 a2

PR =6(X0 —)=a+ex)(X0<0), PF2 =e(—-X0)=ex)-a(X0〉O)

c c

=1:

2 2

筈?与=t(t 是大于0的参数，a -b -0)的离心率也是e=￡，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a 2 b 2 a

5. 双曲线中的结论：

2 2

2

2

(1) 双曲线W 1 ( a 0,b 0)的渐近线：D 0 ；

2.2 2 .2

a b

a b

b 2 2

(2) 共渐进线y = _b

x 的双曲线标准方程为 D (-为参数，■工0)；

a a 2

b 2

(3) 双曲线焦点三角形：

2

⑵双曲线冷-

a 2

b 2 “长加短减”原则:

MF ! =ex 0 a

M F - _ex 0 _a

构成满足MF ! _MF 2|=2a

MF 2 =ex 0 -a

M F 2 - -ex 0 a

(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算， 而双曲线不带符号)

MF j =ey 0 -a

MF 2 = ey 0 a

M F i = —ey o M F 2 = -ey 0

⑵抛物线：PF =x 0 +卫

2

2.弦长公式:

AB = 1 k 2 X 2 - X i = (1 k 2)[(x i X 2)2 -4X I X 2】

n 二(i

：2)[(y i y 2)2 -4%y 2]；

【注】：(1)焦点弦长：i .椭圆：| AB 2a _&为? x 2)；

.抛物线：

AB 为 * X 2 * p - p

； sin ?

(2)通径(最短弦) i .椭圆、双曲线： ii .抛物线：2p .

2b 2 a

2 2

3. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

mx ? ny =1

( m, n 同时大

于 时表示双曲线)； 4. 椭圆中的结论：

(1) 内接矩形最大面积：

2ab ；

1 111

(2) P, Q 为椭圆上任意两点，且 OP _0Q ，贝U - - m

|OP | |OQ| a b

(3) 椭圆焦点三角形：

9

,,

0时表示椭圆,

ii .点M 是PF |F 2内心，

⑷当点P 与椭圆短轴顶点重合时

⑸共离心率的椭圆系的方程：椭圆

PM 交 F 1F 2于点 N ，则 L PM _|

；

| MN | c

—F 1PF 2 最大;

2 2

务与=1(a -b -0)的离心率是

a b

e =* (c = . a 2 -b 2)，方程

a

2 0 ①

i - S PF 1F 2 = b cot —,(寸=F 1PF 2);

2 2

ii . P 是双曲线X 2 —与=1(a >0, b > 0)的左(右)支上一点，F i 、F 2分别为左、右焦点，则厶PF 1F 2 a b 的内切圆的圆心横坐标为 _a,(a)； ⑷等轴双曲线：双曲线x 2_y 2 离心

率e =$2 . 二a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y 二x(渐近线互相垂直)， (5)共渐近线的双曲线系方程:

△ =0时，它的双曲线方程可设为 a b (6)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2

线.笃 a

⑺若P 在双曲线 2

y 孑

2 X

a 则P 到两准线的距离比为 _e_ PF? 简证：岂二

d 2

2 2 2 $_牛「(，0)的渐近线方程为笃 a 2 b 2 a 2 2 2 —(=0). a b 2

V 如果双曲线的渐近线为 二二枭互为共轭双曲线, 2 一一爲=1，则常用结论 b 2 m ： n . 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 2 2 —0 . a 2 b 2 ▲

它们具有共同的渐近线: 1 : P 到焦点

的

3

3

3

1

x

y

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离

(8)直线与双曲线的位置关系：

无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条；

即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线， 合计3 条; 2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条；

即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线， 即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

等于b . 区域① 区域② 区域③ 区域④ 区域⑤ 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 若

直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 根之和与

两根之积同号.

6.抛物线中的结论：

(1)抛物线y 2 = 2 px ( p ■ 0)的焦点弦AB 性质：

2 p %X 2

4

1 | AF |

?以AB ?以AF ii .

iii iv v . S .AOB (2)抛物线y 2

x 1x 2 2

y 1 y 2 - - p ;

|BF | p '

为直径的圆与准线相切；

(或BF )为直径的圆与y 轴相切; 2

P 2 sin :

^2 px (p - 0)内结直角三角形 OAB 的性质:

2 2

=4P ,y 』2 = -4P ；

ii . I AB 恒过定点(2p,0)；

iii .代B 中点轨迹方程：y 2二p(x-2p)；

iv . OM _ AB ，则 M 轨迹方程为：(x - p)2 y 2 二 p 2 ； 2

V . (S AOB ) min _ 4 p .

合计 2条; 0、2、 3、4 条. 法与渐近线求交和两

(3)抛物线y2=2px (p .0)，对称轴上一定点A(a,0)，则：

i .当0 ：：：a < p时，顶点到点A距离最小，最小值为a ；

2 ii .当a . p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2ap-p .

17.2、两个常见的曲线系方程

(1) 过曲线f i(x,y) =0, f2(x,y) =0的交点的曲线系方程是f i(x,y) ■ f2(x,y)=0(■为参数).

2 2

(2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程二2y i,其中k :: max{a2,b2}.

a2—k b2—k

2 2 2 2 2 2

当k ::: min {a ,b }时,表示椭圆；当min {a ,b } . k .max{a ,b }时,表示双曲线.

17.3、圆

1、圆系方程

(1)过点A(N, yj , B(X2, y?)的圆系方程是

(x - x1)(x - x2) (y - y1)(y - y2)，[(x - x1)(y1 - y2)- (y - y1 )(x1 - x2)] = 0

(x -xj(x -X2) (y — yj(y -y2)“ ■ (ax by c) = 0 ,其中ax by c=0 是直线AB 的方程，入是待定的系数.

2 2

⑵过直线l : Ax By C = 0与圆C：x y Dx Ey 0的交点的圆系方程是

2 2

x y Dx Ey F (Ax By C) =0,入是待定的系数.

2 2 9 2

⑶过圆G ：x y D1x E1 y F^ 0与圆C?: x y - D2x E2y F2 = 0的交点的圆系方程

2 2 2 2

是x y D1x E1y F^ ■ (x y - D：x - E z y ? F2) = 0 ,入是待定的系数.

特别地，当■- -1 时，x2y2D1X ■E1y F1 (x2y2D2X ■ E?y ■ F2) = 0 就是

(D1 —D2)x ■ (E1 —E2)y ■ (F1 —F2) = 0表示：

①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；

②向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程，有的称这条直线为根轴；

2、点与圆的位置关系：点P(x),y0)与圆(x-a)2? (y-b)2二r2的位置关系有三种

若d = ,(a -x。)2? (b-y。)2，则d ? r =点P在圆外；

d =r =点P在圆上；

d v r=点P在圆内.

3、直线与圆的位置关系

- 2 2 2Aa + Bb + C 直线Ax+By+C=0与圆(x—a) +(y—b) =r的位置关系有三种(d=—)：

J A2+B2 d相离 u = ：：0 ；

d=ru 相切=二=0 ；

d :::r =相交=:0.

4、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为半径分别为r1,r2, O1O2 = d

d ?斤+匚=外离二4条公切线；d=r1+「2 :=外切=3条公切线；

I；-r 2| : d ：：叫+「2 =相交二2条公切线；

d = % -「2二内切二1条公切线；

0 ：：：d ?朮兀：=内含=无公切线

5、圆的切线方程及切线长公式

2 2

(1)已知圆x y Dx Ey F =0.

①若已知切点(x°,y°)在圆上，则切线只有

条，其方程是

D(X Q +x) E(y ° + y) _

__ x 0x y 0y

- -

F = 0.

2 2

当(心丫-)圆外时,x 0x y 0y

X ) -E(y

-

9?F=0表示过两个切点的切

2 2

点弦方程.求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定 ② 过圆外一点的切线方程可设为

y - y ° = k(x - x °)，再利用相切条件求

k ，这时必有两条切 线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.

③ 斜率为k 的切线方程可设为 y = kx b ，再利用相切条件求

b ，必有两条切线.

2 2 2

⑵ 已知圆(x-a) ?(y-b) -r 的切线方程.

… 2 2 2

①若P(x 。，y °)是圆(x-a) ，(y-b)二r 上的点，则过点 P(?, y °)的切线方程为

(X 。- a)(x - a) (y ° - b)(y - b) = r .特别地，若 a = 0;b = 0 ,切线方程为 x °x y °y = r ； 若P (x ), y °)是圆(x-a)2 ? (y -b)2二r 2外一点，由P (x °, y °)向圆引两条切线，切点分 别为 A , B 则直线 AB 的方程为(x 0-a)(x-a) ? (y 0-b)(y-b)二r 2.特别地，若 a =0;b = 0, 丄 2

xx 0 yy^r

1

(⑴ 设人以丿“弋区小),S^°B =-X A 『B -X B 『A .

2

1

J | AB |2| AC |2 -(AB AC)2 ； 2

“ M 4 彳

轧贝y S BOC

OA _S AOC

O^

S AOB

O^0 ；

(13)在 ABC 中，给出OP =OA ? ■ (-A 电--A 匚)(… R )，则AP 通过厶ABC 的内心;

|AB| |AC |

17.5、解题规律盘点

17.4、

(1)

(2) ②圆x 2 y^r 2，斜率为k 的圆的切线方程为 y 二kx_r 、,1 k 2 ? (3)过圆 x 2 y 2 Dx Ey ^0外一点(x ),y °)的切线长为 I 十汶2 ? y °2 ?

? Ey> ? F .

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： 给出直线的方向向量 u = 1,k 或u = m,n ; 给出OA OB 与AB 相交，等于已知 OA OB 过AB 的中点；

1?

在 ABC 中，给出AD AB AC ，则AD 是.:ABC 中BC 边的中线；

2

:已知P 是MN 的中点；

给出PM ?斗=0，-等于. 给出AP ，AQ 「BP BQ ，等于已知 代B 与PQ 的中点三点共线；

T T _4 _4

给出以下情形之一：① AB ||AC ；②存在实数.,使AB W C ； ③若存在实数:■,'-,且:--=1,,使OC =〉OA 「：

OB 等于已知A, B,C 三点共线.

T -4

OA OB

(6) 给出OP =二 OB ，等于已知P 是AB 的定比分点，?为定比，即AP 「PB

T T T T

(7) 给出MA 啊=0,等于已知 MA _MB ，即Z AMB 是直角，给出 MA ?MB = m ：：: 0，等于已知 Z AMB 是 钝角，

给出 MA MB ^m 0，等于已知? AMB 是锐角；

(8) 给出

(3) (4) (5)

=MP ，等于已知MP 是.AMB 的平分线;

(9) 在平行四边形ABCD 中，给出(AB AD)肩-4。，等于已知ABCD 是菱形;

(10) 在平行四边形 ABCD 中，给出| AB ?AD|=|AB-AD|，等于已知ABCD 是矩形；

1 r

S ABC =丄| AB||AC|si nA =

2

(12) O 为 ABC 内一点，贝U

1、点 ⑴交点

[A>0 x =my b 与二次曲线联立，

y 1 ■ 111 ；

.y 1 y 2 =IH

「二次项系数不等于o

③直线与二次曲线有一个公共点:

双曲线=?二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为

次项系数为0,表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为

0,厶=0

(2) 定点处理思路；

②抛物线y 2 =2px(p=0)上的动点可设为：P (匹，y 。)或P(2pt 2,2pt)或P(x °,y °)，其中yf 二2px 。， 2p 以简化计算. 2、直线

(1) 设直线方程分斜率 k 存在、k 不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率

存在时，往往设为斜截式： y = kx ? b ； 巧设直线方程x -x 0 = k( y -y 0)回避讨论及运算等问题

当直线过定点(x °, y °)时，若设成y - y ° =k(x -X 0)有时会出现下列情况：

(i)

容易忽视斜率不存在的情形； (ii)运算较繁，有时还会陷入僵局

?

(2) 过x 轴上一点(m,0)的直线一般设为x 二ty ? m 可以避免对斜率是否存在的讨论

m=0,(0,人),斜率不存在 ⑶直线的方向向量(mj )二— |口式0,(1,—),斜率一 L m m

①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为

0时,

A>0

x i ' x ^ ~ 111

， .X 1 X 2

=111

②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立,

△ =0

直线I

J

、

2

(3)①设参数方程；椭圆笃 a 2

?爲=1(a b - 0)的参数方程是:

b

2 3

圆(x -a)

2

(x -b)

2

2

二r 的参数方程:

x = a COST “ (日为参

数)

y = bsi n

"x = a + rcos°

.(日为参数)

畀=b + r s in 日

2

⑷两解问题

:

(1)余弦定理；

截得平行线的弦长

C

)

3、相等(斜率不存在)

4、直线与圆锥曲线

(1)直线与圆锥曲线问题解法：

1.直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解 【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式

2 2

XV

2

2

⑴ 已知曲线 -

2

=1( Ax By 二1)与直线y =kx ?m 方程联立得：

a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2

(b

z 2 2 2

((A Ba )x 2Bmkx Bm 1 =0)

【注意】：当曲线为双曲线时，要对 (b 2

-k 2

a 2

)与0进行比较.

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

4

2

2

2

4

2

.■: =( -2mka ) _4(b k a )(a m -a b ) =4a b -4b a m 4a b

由根与系数关系知：

2 2 2 2 2

2mka

a m -a

b x

1

X 2— 2

22；

x 1x 2 — 2

2 2

b +k a

b +k a

【后话】：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“ x 还是关于“ y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为 0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑

了吗？④判别式验证了吗?

2.设而不求(代点相减法) ------ 处理弦中点与直线斜率问题

步骤如下：

2 2

已知曲线 笃—爲=1 a,b 0，①设点A (X 1, yj 、B(X 2,y 2)中点为Mgy 。)，②作差得

a b

【细节盘点】

*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后， 注意用判别式、韦达定理、弦长公式； 注意对参数分类讨论

和数形结合、设而不求思想的运用； 注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式

?

*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中， 常与“弦”相关，“平行弦”问题的 关键是“斜率”、“中点弦”

问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度

(弦长)”问题关键是长度(弦长)

公式或“小小直角三角形”.

*3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题； 先验证因所设直线

斜率存在，造成交点漏解情况， 接着联立方程组，然后考虑消元建立关于x 的方程还是y 的方程，接着

讨论方程二次项系数为零的情况，

再对二次方程判别式进行分析，即

-0时，直线与曲线相切，……

*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件(注意判别式失控情况)是他们构成的方 程组有实数解，当出现一元二次方程时， 务必先有“ ■：> 0 ” .求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如 涉及到二次方程问题， 必须优先 考虑“二次项系数”与“判别式”问题 . *5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的 平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角 三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 ).

*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数；

③求弦中点坐标；④求曲线的方程

.

(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式

：

AB = Ja -X 2)2 +(% -丫2)2

或 AB = J(1+k 2)[(为 +xj 2 -4X 2 xj 冲片 _x 21 丿1 + tan 2a

T 力

- y 2 丨 T cot 2 ：

— 1 k 2 I (x , x 2)^4x 1x 2

| AB F . (1 [)任-财「1 「2 .. W1 丫2)2 -4小2

* k V k

【注】:弦端点A (x 1, y 1), B(x 2, y 2),由方程门kx b 消去讨得到ax 2 bx 0

0,〉为

F (x, y) = 0

k AB

『1 -『2

x^x 2

；k AB k oM 吕 孚0 ；对抛物线 y 2 =2px(p = 0)有 k AB =

ay 。

％ + y 2

p

V

直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，|為_x2 | （x1 x2）2_4X J X2 .

（3）抛物线的切线方程

2

①抛物线y =2px上一点P（x o,y o）处的切线方程是y o y=p（x，X o）.

②过抛物线y2=2px外一点P（X D,y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y二P（X%）.

2 2

③抛物线y = 2 px（ p 0）与直线Ax By ^0相切的条件是pB = 2AC.

5、几何定值、极值问题

几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决?有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常

需要用如下结论：

①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；

②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；

③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；

④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；

⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；

⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；

⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；

⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.

几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的北欧谐几何性质或位置保持不变等问题

常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、

定积（面积、线段积）等?

常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等

几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数?这种定值为所

给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示

解决定值问题常用的处理思路和方法：

（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；

（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；

（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；

（4）综合运用几何、代数、三角知识证题?

6、求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y） = 0，是求轨迹的最基本的方法

⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可?

⑶代入法（相关点法或转移法）.

⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程

⑸交轨法（参数法）：当动点P（x, y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、

y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程?

7、定义解题

①椭圆：第一定义：平面上一动点P到平面上两个定点F i、F2的距离和为定值，且|PF i|+|PF 2|>|F 1F2I，

则P点轨迹为椭圆。

②双曲线：||PF i|-|PF 2||=定值< | F1F2I

③三种圆锥曲线的统一定义：！^巳=e （e € （0,1）:椭圆；e=1 :抛物线；e>1:双曲线

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的：

∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线与圆锥曲线的综合问题专题二

专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时． 双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，． 抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时． 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，． 3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．

直线和圆的方程知识与典型例题

直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零

直线和圆的方程

简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.

第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修

第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范

围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0

直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

直线与圆锥曲线的综合问题

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题 [题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例1 (1)(2015·改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45 ，则椭圆E 的离心率的取值围是________________. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，其离心率为22 . ①求椭圆M 的方程； ②若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.

变式训练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3). (1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 例2 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为6，点P 是椭圆短轴的一个端点，△PF 1F 2的周长为16. (1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45 的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标. 点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.

高中数学讲义 第八章 直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

直线与圆锥曲线的综合问题

第３2练 直线与圆锥曲线得综合问题 ［题型分析·高考展望］ 本部分重点考查直线与圆锥曲线得综合性问题,从近几年得高考试题来瞧,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线得联立外,在填空题中出现得圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分得主要特点就是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍得效果。预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆得位置关系进行命题,有时会与向量得共线、模与数量积等联系起来;对于方程得求解,不要忽视轨迹得求解形式,后面得设问将就是对最值、定值、定点、参数范围得考查,探索类与存在性问题考查得概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系得判断及应用 例1 (１)(2０15·福建改编)已知椭圆E :x 2a 2＋y ２ b 2＝１(a ＞b ＞０)得右焦点为F ,短轴得一个端点为M ,直线l :3ｘ—4y =0交椭圆Ｅ于A ,Ｂ两点。若ＡF ＋BF =4,点M 到直线l 得距离不小于＼f(4,5),则椭圆E 得离心率得取值范围就是_＿__＿_＿____＿__＿_。 (２)设焦点在x 轴上得椭圆M 得方程为错误!＋错误!＝１ (b >0),其离心率为错误!. ①求椭圆Ｍ得方程; ②若直线l 过点Ｐ(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交? 点评 对于求过定点得直线与圆锥曲线得位置关系问题,一就是利用方程得根得判别式来确定,但一定要注意,利用判别式得前提就是二次项系数不为零;二就是利用图形来处理与理解;三就是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线得位置关系也不同. 变式训练1 已知椭圆C :ｘ2ａ2+y 2 b 2＝1(ａ＞b >0)得焦距为4,且过点P (２,＼r(3))。 (１)求椭圆Ｃ得方程; (2)设Q (x ０,ｙ0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴得垂线,垂足为E 、取点A (0,2＼r(２)),连结AE ,过点A 作AE 得垂线交x 轴于点D 。点G 就是点D 关于ｙ轴得对称点,作直线Q Ｇ,问这样作出得直线ＱＧ就是否与椭圆Ｃ一定有唯一得公共点?并说明理由、 题型二 直线与圆锥曲线得弦得问题 例２ 设椭圆C :x ２ a 2+错误!＝1 (ａ>ｂ>0)得左,右焦点分别为Ｆ1,F 2,且焦距为6,点Ｐ就是椭圆短

最新高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)

专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。

4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。

平面解析几何初步(知识点 例题)

个性化简案 个性化教案（真题演练）

个性化教案

平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.

高中数学复习指导：直线与圆锥曲线问题之设而不求与设而求.doc

“设而不求”与“设而求” 一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式 研 究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而 求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关 参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题： 丫2 例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A 、B (在 A 、P 之间)，且满足西=2顾，求的取值范围. 解析1：设AB 的方程为)=尬+ 2, A3」)，Ba ，%)，贝9 PA = (x },y }-2), PB = (x 2,y 2 -2),由 PB = ZPA ,得 X 2 1 3 由 Q + * '得(1 + 2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1 + 2/)= 0>0,得k 2>~. y = kx + 2, Sk 6 由根与系数关系，坷+禺=一 ，= - 1+2F - 1 + 2亡 把七=2西代入坷+召=_] + 2加 有西(1+2) = _] +朮，(1) 6 0 6 把x 2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔，(2) 由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是 32k 2 (1+A)2 3 1 3(1+2/) 2 八 3 _― =—■—, 或者变为__+?7 =—石刁—= — ， 由* >二，可以求得 召=2坷， y 2-2 = A(y l -2).

3(1+2Q A 32k「 16 32k~(1 + 久)「2

初于是建立了关于2的不等式 '2 v￡,又0vQvl,解得￡v2vl. 32K I O O (1+A ) O 3 当初没有斜率时，宀亍所以扫＜「 解析2：构造2 + ]=玉+玉=(召+兀T ,如此可以直接把年+召=一￡「 / x } x 2 x }x 2 l + 2k 6 1 ao&2 3 也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知：宀亍可以 求得2＜丐＜罟,又061,解得打＜1?当仙殳有斜率时，4,所以押＜1. 解析3：设人(西,刃),8也,％)，则 力4 =(兀[,刃一2), PB = (X 2,>2-2),由 PB = APA ,得v 4+^=i, 2 O 1 又人(召,刃)，3(%,%)在二+b=l 上，所以]2 2 - + ^=1. 〔2 - 事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2，%中任意一个的关系. j 吕+*=1,⑴ F 字+(勿 _2Q +2)2=[.(2) (l)x A 2 _(2)得：(Ay.)2 -(心 -22 + 2)2 = / 一 1, (22-2)(22^ -2A + 2) = -1,注意到0<2<1,所以4仇开 一2 + 1) = 2 + 1,解得 气J) _ 3 斥彳一3 1 ”=—,注意到—1S)[S1，所以—is — <1,解得一5/153,又0V/lvl, 1 4A 1 4 2 3 所以-<2<1. 3 解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析 几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中 的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关 系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3 32k 1 冷=岔， y 2-2 = /l(y l -2).

2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》

第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式

(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)，

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化

(完整word版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案

第8章直线和圆的方程 练习8.4.1 圆的标准方程 1.圆心在原点，半径为3的圆的标准方程为 2.圆22(3)(2)13x y -++=的周长是 3.以C(-1,2)为圆心，半径为5的圆的标准方程是 练习8.4.2 圆的一般方程 1.圆224240x y x y +-+-=的圆心坐标是 2.求下列圆的圆心坐标和半径： （1）2210150x y y +-+= （2）22241x x y y -++=- 练习8.4.3 确定圆的条件 1． 求以点(4,1)-为圆心，半径为1的圆的方程． 2． 求经过直线370x y ++=与32120x y --=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的方程． 3． 求经过三点(0,0)O ，(1,0)M ，(0,2)N 的圆的方程． 练习8.4.4 直线与圆的位置关系 1．判断下列直线与圆的位置关系： （1）直线2x y +=与圆222x y +=； （2）直线 y =与圆22(4)4x y -+=； （3）直线51280x y +-=与圆22(1)(3)8x y -++=．

2．求以(2,1)C -为圆心，且与直线250x y +=相切的圆的方程． 练习8.4.5 直线方程与圆的方程应用举例 1． 光线从点M （?2，3）射到点P （1，0），然后被x 轴反射，求反射光线所在直线的方程 2． 赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆 的方程． 3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)．

直线和圆的方程练习题

《直线和圆的方程》练习题 一、选择题 1、三角形ABC 中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则k AB ，k BC 顺次为 （ ） A ． － 71，2 B ． 2，－1 C ． 0，2 D ． 0，－7 1 2、斜率为－21，在y 轴上的截距为5的直线方程是 （ ） A ． x －2y = 10 B ． x + 2y = 10 C ． x －2y + 10 = 0 D ． x + 2y + 10 = 0 3、经过(1，2)点，倾斜角为135?的直线方程是 （ ） A ． y －2 = x －1 B ． y －1 =－(x －2) C ． y －2 = －(x －1) D ． y －1 =x －2 4、原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程为 （ ） A ． x + 2y = 0 B ． x + 2y －4 = 0 C ． 2x －y + 5 = 0 D ． 2x + y + 3 = 0 5、如果直线ax + 2y + 2 = 0与3x －y －2 = 0直线平行，那么系数a = （ ） A ． －3 B ． －6 C ． －23 D ． 3 2 6、点(0，10)到直线y = 2x 的距离是 （ ） A ． 25 B ． 5 C ． 3 D ． 5 7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为 （ ） A ．(x －3)2 + (y + 2)2 = 5 B ． (x －3)2 + (y + 2)2 = 25 C ． (x + 3)2 + (y －2)2 = 5 D ．(x + 3)2 + (y －2)2 = 25 8、已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ） A ． 3x + 2y + 1 = 0 B ． 3x －2y + 1= 0 C ．3x －2y = 0 D ． 3x + 2y = 0 9、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为 （ ） A ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 25 B ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 100 C ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 25 D ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 100 10、直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A ． 4x －3y －2 = 0 B ． 4x －3y －6 = 0 C ． 4x + 3y + 6 = 0 D ． 4x + 3y + 8 = 0 11、直线3x －4y －5 = 0和(x －1)2 + (y + 3)2 = 4位置关系是 ( ) A ． 相交但不过圆心 B ． 相交且过圆心 C ． 相切 D ． 相离 12、点P (1，5)关于直线x + y = 0的对称点的坐标是 （ ） A ． (5，1) B ． (1，－5) C ．(－1，5) D ． (－5，－1) 13、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是 （ ） A ．x + y －5 = 0 B ．x + y + 5 = 0 C ．x + y －5 = 0 或x + y + 5 = 0 D ．x + y －5 = 0 或3x －2y = 0

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

圆的方程、直线和圆的位置关系(附答案)

高考能力测试数学基础训练25 基础训练25 圆的方程、直线和圆的位置关系 ●训练指要 掌握圆的标准方程及一般方程，会用待定系数法，求圆的方程. 熟练掌握直线与圆的位置关系的代数确定方法与几何确定方法. 一、选择题 1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 A.a ＜－2或a ＞3 2 B.－32＜a ＜0 C.－2＜a ＜0 D.－2＜a ＜ 32 2.圆x 2＋y 2－４x ＋４y ＋６＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 3.方程x 4－y 4－４x 2＋４y 2＝0表示的曲线是 A.两个圆 B.四条直线 C.两条平行线和一个圆 D.两条相交直线和一个圆 二、填空题 4.经过点M (1，3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是_________. 5.若圆经过点A (a ,0),B (2a ,0),C (0,a )(a ≠0),则这个圆的方程为_________.

三、解答题 6.求过直线2x＋y＋４＝0和圆x2＋y2＋2x－４y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程. 7.当C为何值时，圆x2+y2+x-6y+C=0与直线x+2y-3=0的两交点P、Q满足OP⊥OQ？(其中O为坐标原点) 8.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1=0， (1)求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点； (2)设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=17，求l的倾斜角； (3)求弦AB的中点M的轨迹方程.

高考能力测试数学基础训练25答案 一、1.D 2.A 3.D 二、4.x =1或4x －3y +5=0 5.x 2+y 2－3ax －3ay +2a 2=0 三、6.5 4)56()513(22=-++y x 提示：求得直线与圆的交点A (－5 2,511)，B (－3，2)，利用圆的直径式方程得所求圆方程为.5 4)56()513(.0)2)(52()3)(511(22=-++=--+++y x y y x x 即 7.C =3 提示：联立直线与圆方程，消去x 得5y 2－20y +12+C=0. 由Δ＞0?c ＜8. 设P (x 1,y 1),Q (x 2，y 2),则y 1+y 2=4,y 1y 2=5 12C +. x 1·x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=－15+5 4(12+C ). OP ⊥OQ ?x 1x 2+y 1y 2=0?C =3. 满足C ＜8. ∴C =3为所求. 8.(1)略；(2)60°或120° (3)x 2+y 2－x －2y +1=0(x ≠1) 提示：(1)l 方程化为y －1=mx ,