三角矩阵在压缩存储下的转置矩阵源代码
#include
#include
#define max 20
#define zero 0
typedef struct{
int i,j,v;
}node;
typedef struct{
node data[max];
int m;
}TSmatrix;
TSmatrix *Setmatrix(){ //建三对角矩阵TSmatrix *T;
T=(TSmatrix
*)malloc(sizeof(TSmatrix));
printf("请输入矩阵行数或列数:\n");
scanf("%d",&T->m);
printf("建立三对角矩阵:\n");
for(int n=0;n<3*T->m-2;n++)
scanf("%d%d%d",&T->data[n].i,&T->dat a[n].j,&T->data[n].v);
return T;
}
TSmatrix *Trabsmatrix(TSmatrix *T){ //三对角矩阵转置
int n,k,temp;
TSmatrix *F;
F=(TSmatrix
*)malloc(sizeof(TSmatrix));
F->m=T->m;
for(n=0;n<3*T->m-2;n++){ //将结点信息存入新三元组表中
temp=2*T->data[n].j+T->data[n].i; //计算待存入三元数组下标
F->data[temp].i=T->data[n].j;
F->data[temp].j=T->data[n].i;
F->data[temp].v=T->data[n].v;
}
return F;
}
void TSmatrixout(TSmatrix *T){ //三对角矩阵输出
int a,b,n;
n=0;
for(a=0;a
for(b=0;b
if(T->data[n].i==a&&T->data[n].j==b){
printf("%-5d",T->data[n].v);
n++;
}
else
printf("%-5d",zero);
}
printf("\n");
}
}
void main(){
TSmatrix *T;
T=Setmatrix();
printf("三对角矩阵:\n");
TSmatrixout(T);
T=Trabsmatrix(T);
printf("转置后三对角矩阵:\n");
TSmatrixout(T);
}
问题分析：
本程序要求实现对压缩存储下的三对角矩阵进行转置，为实现上述功能，需要解决的关键问题是三对角矩阵压缩存储及转置过程。
概要设计：
利用三元组表以行序为主序压缩存储三对角矩阵。转置时，先利用三元数组中的行标i 和列标j计算出待放入新三元数组的下标temp。由于转置时需要将行标和列标交换，所以temp=2*j+i。找出待存入的下标后，将相应的信息存入下标为temp的三元数组中。
详细设计：
由于三元组表中的结点存放了元素的行标i和列标j，因此可利用行标和列标互换进行转置，但这样操作后，新三元组表中的元素则以列序为主序存放，不便矩阵遍历输出，因此在将互换行标、列标后的元素存入新三元组表时，应先计算出按行序为主序存放时所在的下标temp。
由于三对角矩阵元素存入三元数组中，所在的下标temp与其行标i和列标j有temp=2*i+j关系，所以可先求出下标temp，同时将信息存入下标为temp的数组中，所得的新三元组表即以行序为主序存放的。
调试分析及小结：
错误及分析：在开始设计转置函数时，直接利用行标和列标交换方法，因此所得的新三元组表则以列序为主序存放，输出矩阵时并未正确的转置矩阵。
初步改进：参考课本的转置思想，对三元组表进行转置时，以列序为主序进行转置，转置后所得新三元组表则是以行序为主序存放，但该算法时间复杂度为O（n×t），其中n为列数，t为非0元个数。
最终改进：由于三对角矩阵元素存入三元数组中的下标temp与该元素的行标i与列标j 有temp=2*i+j关系，因此可直接将元素信息存放下标temp的数组中，该算法时间复杂度为O（t），t为非0元个数，程序代码如下：
for(n=0;n<3*T->m-2;n++){
temp=2*T->data[n].j+T->data[n].i;
F->data[temp].i=T->data[n].j;
F->data[temp].j=T->data[n].i;
F->data[temp].v=T->data[n].v;
}
三角矩阵
三角矩阵 在中，三角矩阵是的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。 描述 一个如下形状的： 被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵： 被称为上三角矩阵。 上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。 特殊的三角矩阵 严格三角矩阵
一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵其上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是。 单位三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵其上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。高斯矩阵 高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为： 高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上， 即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。
2.4直接三角分解法
§4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为
基于Verilog的下三角矩阵求逆设计与实现
基于V erilog的下三角矩阵求逆设计与实现 杨丰瑞1，熊军洲2 (1.重庆重邮信科(集团)股份有限公司重庆400065) (2.重庆邮电大学通信与信息工程学院重庆400065) 摘要：矩阵运算广泛应用于各类电路计算中，矩阵运算的硬件实现能够充分发挥硬件的速度和并行性，其中矩阵求逆是矩阵运算中重要的运算。根据矩阵求逆算法的基本思想，本文提出了一种最大阶数可达16×16的矩阵求逆方案，通过硬件描述语言Verilog建模，用Design Compile进行综合及进行modelsim仿真，仿真结果表明这种设计结构能够正确的计算出下三角矩阵的逆矩阵。 关键词：矩阵求逆，Verilog, 实现 【中图分类号】TN492 【文献标识码】A Design and Implementation of Inverse Down Triangle Matrix Calculation Based on V erilog Y ang Fengrui1，Xiong Junzhou2 (1.Chongqing Chongyou Information Technolog (Group)CO.,LTD.Chongqing) (2.Chongqing University Of Post and Telecommunications School Of Communication and Information Engineering,Chongqing) Abstract: Matrix operation is widely used in different kinds of circuit calculation. Hardware implementation of matrix operation can fully realize the speed and parallel of the hardware. Matrix inversion is a kind of very important matrix operation. According to the algorithm of inverse matrix calculation ,this article gives a design on inverse matrix which can reach a biggest rand of 16×16.The system is described in V erilog, which is compiled by Design Compile and verified in modelsim. The result shows that this design structure can be used for inverse matrix calculation. Key words: inverse matrix; Verilog; implementation 1 引言 矩阵运算是数字信号处理领域的基本操作，广泛应用于各类电路计算当中。而矩阵求逆的难点在于矩阵求逆。目前传统的矩阵求逆算法多用处理器串行计算来实现，严重制约着计算速度的提高。为此，作者在研究并行处理结构和并行算法[1～2]的基础上，试图寻求一种适合硬件实现的求逆算法及其硬件结构。此外，在专用集成电路设计方面我国起步较晚，在矩阵求逆的硬件实现方面的研究还不多。随着集成电路制造工艺的提高，采用大量超大规模集成单元和微处理器构成多处理器并行系统已经成为提高计算速度的有效手段。因而，矩阵求逆算法的研究实现有着十分重要的意义。由于可逆矩阵都可以通过LU分解分成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵[3]，而要求的原矩阵的逆可以通过这两个三角矩阵的逆相乘得到[4]，所以本文主要探讨的是下三角矩阵求逆的硬件实现。
列主元三角分解法在matlab中的实现
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,
就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现
上三角矩阵
1.题目：请找出矩阵(上三角矩阵)的规律，并使用Java实现任意N（N为整数，1
三角矩阵在压缩存储下的转置矩阵源代码
#include
第四章线性方程组直接法,矩阵三角分解
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
上三角矩阵代数
上三角矩阵代数 摘 要 本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ， ()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论. 关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵 HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRAS
ABSTRACT In this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique . KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix 目录
三角矩阵
三角矩阵 在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。 描述 一个如下形状的矩阵： 被称为下三角矩阵；同样的，一个如下形状的矩阵： 被称为上三角矩阵。 上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。 特殊的三角矩阵 严格三角矩阵
一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。 单位三角矩阵 一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。 高斯矩阵 高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为： 高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上，
三 矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) {
int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } }
矩阵的同时相似上三角化问题
矩阵的同时相似上三角化问题 张永伟（2011080010008） 数理基础科学班 指导教师：王也洲、何军华 【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。 【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式 一．引言 文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。 二．正文 定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。 性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。 证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得 111212221000n n nn a a a a a P AP a -?? ? ?= ? ???且111212221000n n nn b b b b b P BP b -?? ? ?= ? ??? 。 设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a αα=，1111B b αα=。 所以,A B 有公共的特征向量1α。■ 因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。 性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。 证明：由性质2.1的证明可知, 121112121000 00 00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---?? ? ? ?-= ? ? ?? ? 。
07 第七讲 矩阵的三角分解
第七讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 ?? ????? 1111221n n 1 2112222n n 2n11n22nn n n a ξ+a ξ++a ξ= b a ξ+a ξ++a ξ=b a ξ+a ξ++a ξ=b → Ax =b ?? ? ? ? ?? ij T 12n T 12n A =(a )x =[ξ ξ ξ]b =[b b b ] 设()0ij n ×n A =A =a ,设A 的k 阶顺序主子式为k Δ，若(0) 111Δ=a ≠0 ，可以令(0)i1 i1(0)11 a c =a 并构造Frobenius 矩阵 ???????????? 211n1n ×n 10c 1L =c 01 → ???????????? 21 -11 n11 0-c 1L =-c 01 计算可得 ???? ???? ??? ? (0)(0)(0)1112 1n (1) (1)(1)-1(0)222n 1 (1) (1)n2nn a a a a a A =L A =0a a → (0)(1)1A =L A 该初等变换不改变行列式，故(0)(1)21122Δ=a a ，若2Δ≠0，则(1) 22a ≠0 ，又可定义 (1)i2i2(1)22 a c =(i=3,4,,n)a ，并构造Frobenius 矩阵
????? ???? ??????? 232n2 11L =c c 1 → ?? ??? ?? ?? ??????? -1232n2 1 1L =-c -c 1 ???? ? ? ????????? ? (0)(0)(0)(0)1112 13 1n (1) (1)(1)22232n (2)-1(1) (2)(2)2 333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A =L A =a a a a → (1)(2) 2A =L A 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 ??? ? ? ? ????? ???????? ? (0)(0)(0) (0)111r-11r 1n (r-2)(r-2) (r-2)(r-1)r-1r-1r-1r r-1n (r-1) (r-1)rr rn (r-1) (r-1)nr nn a a a a a a a A =a a a a （r ＝2,3, ,n-1） 则A 的r 阶顺序主子式 (0)(1)(r-2)(r-1)r 1122r-1r-1rr Δ=a a a a ，若r Δ≠0，则(r-1) rr a ≠0 可定义(r-1)ir ir (r-1)rr a c =a ，并构造Frobenius 矩阵 ?????????????????? r r+11nr 11L =c 1c 1 → ?????? ?????? ???? ?? -1 r r+11nr 11L =-c 1-c 1
矩阵求逆中的上三角阵求逆
矩阵求逆中的上三角阵求逆 1．背景 ? 常见方法： – 伴随矩阵法 – 初等行变换法 – Gauss-Jordan 消元法 – 矩阵分解法 ? L-U 分解法 ? QR 分解法 ? SVD 分解 ? 满秩分解 ? Jordan 分解 ? 矩阵分解后再求逆矩阵的优点： – 三角阵大量元素为0， – 正交阵的逆是其转置矩阵， – 酉矩阵的逆是其共轭转置矩阵， 这些特性利于求得逆矩阵。 2．L-U 矩阵分解法 ? 分三个步骤： – L-U 分解 – 上三角阵求逆 – 矩阵乘法 3．上三角阵求逆 我们采用初等行变换先得到三角矩阵逆矩阵的一般公式。对于n 阶上三角矩阵U ，得到增广矩阵如下： 1112121 22212 11.1n n n n nn u u u l u u A l l u ????????????=????? ?????? ? 1112131411 12131422232422 2324133 3433 3444441111u u u u v v v v u u u v v v U U u u v v u v -???????????????????==?????????????? ? ?? ?111. A U L ---=
1112122 21 01(|)001n n nn U U U U U U I U ?? ? ?= ? ? ?? ? L L M M O M O L 在求逆过程中，先计算逆矩阵主对角线上得元素值，即取原矩阵主对角元素的倒数。然 后再求与矩阵主对角线平行且最接近的那一个斜列上元素值，接着依次求所有主对角线平行斜列的元素值。 由以上步骤可以给出U 逆矩阵V 的计算公式： 1 1(1,2,...,) (1,2,...,1;1,...,) ii ii j kj ik k i ij ii v i n u v u v i n n j i n u =+?==???? ? ?=-=--=+?? ∑ 由上式及步骤分析可以得到逆矩阵求解流程如下： 1112 122200 0n n V V V V V V ?? ? ? ? ??? L L M M O M L 在流程图帮助下我们可以做出脉动阵列，方便于硬件处理。 对于下三角矩阵，我们可以做如下处理： ()()()()1 11 T T T T L L L ---= = 先计算下三角矩阵L 的转置，再求上三角矩阵T L 的逆，最后得到1L -。 4．上三角阵求逆的脉动结构 ? 除法运算 乘加运算
矩阵的三角分解
§4矩阵的三角分解 矩阵的三角分解定理：设n n A R ×∈,如果A 的前 n-1个顺序主子式 det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ， 则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明： 1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U (1)(2)() 1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=? 1L A U ?=，A LU = 21 1 2 1 00101n n m L m m ??????=?? ???? ， (1) (1)(1)11 121(2)(1)222()0 n n n nn a a a a a U a ??? ???=?? ??????
2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异 考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠= 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。 因A 非奇异，所以1U 可逆，从而 11 2121L L U U ??=
11 2121 11 2121(,) L L E U U L L U U ?????==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ?== （2）A 奇异 因det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ，det()0n A = ()0,1,2,,1i ii a i n ?≠=? ，() 0n nn a = 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。对它们进行矩阵
矩阵的三角分解
第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n a a a b a a a b a a a b ξ+ξ++ξ=?? ξ+ξ++ξ=?? ??ξ+ξ++ξ=? → Ax b = ij T 12n T 12n A (a )x [,,]b [b ,b b ]=?? ?=ξξξ ? ?=?? 设() 0ij n n A A a ?==,设 A 的k 阶顺序主子式为k ?， 若(0)1 11 a 0?=≠，可以令(0) i1i1011 a c a = 并构造Frobenius 矩阵 21 1n1n n 1 0c 1 L c 0 1???????=???? ?? → 2111n1 10c 1 L c 01-????-??=???? -?? 计算可得
(0) (0)(0) 11121n (1)(1)(1)1(0) 222n 1(1)(1)n2 nn a a a a a A L A 0a a -???? ??==????? ? → (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故01 21122a a ?=， 若20?≠， 则1 22 a 0≠，又可定义 (1) i2i2(1)22 a c (i 3,4,n)a = = ，并构造Frobenius 矩阵 232n2 1 1L c c 1????? ?=??? ??????? → 1 232n2 11L c c 1-?? ??? ?=-??? ?????-?? (0) (0) (0) (0) 1112131n (1)(1)(1)22 232n (2)1(1) (2)(2)2333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A L A a a a a -???? ?? ??==??????? ? → (1)( 2 2 A L A = 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
矩阵直接三角分解法
矩阵直接三角分解法 算法 将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。具体算法： ○ 1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j 对i=2,3,…,n 计算 L i1=a i1/a 11 ○ 2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算 U kj=a kj- LkqUqj k?1q =1 b.对i=k+1，k+2，…，n 计算 l ik =(a ik-) LiqUqk k?1q =1/u kk ○ 3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k - LkqUq k?1q =1 ○ 4X n =y n /U nn ,对k=n-1，n-2，…2,1计算 X k =(y k - UkqXq n q =k +1/U kk 注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵 [A|b]= a11 a12…a1n a1,n +1a 21 a 22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1 施行算法○ 2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。 程序与实例 求方程组Ax=b A= 1 2 ?12 85 4 7 ?2?3 7 9 56 ?12 ?8 3 ，b= 2741149 程序 #include
2009-7-25 对角矩阵和上下三角形矩阵的乘法
对角矩阵的乘法 对角矩阵 对角矩阵是一类相当常见的矩阵，它的乘法很有特点. 设 111211121 222221 2 n n m m mn m n a a a b c a a a b c a a a b c ?????? ????????????===???????????? ????? ?12 A D D 那么有如下结论： 1111121111112212212222221122221211 22 n n n n n n m m m m m mn m m mn n b a b a b a a c a c a c b a b a b a a c a c a c b a b a b a a c a c a c ???? ????????==????????????12D A AD 下面给出证明. 证明：(1)D 1A 为m 行n 列矩阵，设D 1中的一般项为b ij ，那么有 0,,ij i i j b b i j ≠?=?=? D 1A 中的第m 行第n 列元素x ij ，有 1 m ij is sj ii ij i ij s x b a b a b a ====∑ 从而 111112112212222212 n n m m m m m mn b a b a b a b a b a b a b a b a b a ?? ????=??????1D A (2) AD 2为m 行n 列矩阵，设D 2中的一般项为c ij ，那么有 0,,ij i i j c c i j ≠?=?=? AD 2中的第m 行第n 列元素x ij ，有 1 n ij is sj ij jj ij j s x a c a c a c ====∑ 从而 111 1221211 222211 22 n n n n m m mn n a c a c a c a c a c a c a c a c a c ??????=???? ?? 2AD .
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵 高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵： 计算： 这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。 其它两个长为n? 1 包含下对角线和上对角线元素。 三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵 的平方是v v。如果矩阵形式为Q v的线性变换保持了向量长度，则 。 所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也 下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。 ?恒等变换。 ?旋转16.26°。 ?针对x轴反射。 ?旋转反演（rotoinversion）:轴(0,-3/5,4/5)，角度90°。 ?置换坐标轴。
它的正交性要求满足三个方程 。 在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p = cos θ, q = sin θ；因此要么t = ?q, u = p要么t = q, u = ?p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ = 0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。 旋转反射 在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0): 。 单位矩阵也是置换矩阵。 反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。 更高维度 不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于333矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如， 和 表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。 旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述333旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。 但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。 基本变换 最基本的置换是换位（transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何n3n置换矩阵都可以构造为最多n?1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射为 。 这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位向量，则Q = I?2vv T就足够了。Householder