分数与循环小数_练习题A及答案

分数与循环小数练习题A

一、分数与小数互相转化

1. 将下列分数化为小数

2. 将下列循环小数化为分数二、循环小数四则运算

3. 循环小数加减计算

4. 循环小数乘除计算

三、循环小数挑战题

5. 将最简真分数 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续位数字之和为，与分别为多少？

6. 给小数 添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，使得这个循环小数的小数点后第100位数字是8.

班级姓名日期

=125

19=32=94=247=74

15=397=440530.=1˙0.=1˙2˙0.2=1˙3˙0.1=2

˙3˙(1)0.0+2˙0.+1˙0.=5˙4˙(2)0.+3

˙1˙0.1+2˙0.12=4˙3˙(1)0.27×3.×1˙8˙66×0.1=5˙(2)(1.?2

˙0.)×9˙8˙ 2.=4˙1˙7

a n 1111a n 0.4081923785

1. 2.

3.

4.

5.

6. , 后一个循环点一定在数字5的头上, 依次枚举另一个循环点的位置即可.四、参考答案

=125190.152,=320.,=6˙940.,=4˙2470.291,=6˙74150.22,=0˙7˙3970.7948,=1˙7˙440

530.1204˙5˙0.=1˙0.=91

1˙2˙=99120.2=3341˙3˙0.1=333412˙3˙49561

(1)0.678(2)0.576957˙8˙(1)8.82,(2)980154973;2470.408923781˙5˙

高思竞赛数学导引 五年级第五讲 分数与循环小数学生版

第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1 .0)1( 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7 .0 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01 .0)4( +++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0 ++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1( ÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03 .0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？

8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将3 2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.1 3846536.6,3071.3,3351.0,84.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1( ++++ .0 11021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3( ++++

小学奥数 循环小数计算 精选例题练习习题(含知识点拨)

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.1 7的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110 -== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950 -==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分 母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 模块一、循环小数的认识 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算

分数与循环小数_提高

分数与循环小数_提高 1. 指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？能化为有限小数(提示: 有限看二五)有： 能化为纯循环小数(没有二五)有： 能化为混循环小数(有二五，还有其它)有： 2. 将下面循环小数化成分数。 3. 把 化成循环小数。这个循环小数的第 位上的数字是几？第 位上的数字是几？ 4. 写出一个最大的分数，它的分子是1，并且它所化成的小数是： 1）循环节里只有一位数字的纯循环小数； 2）不循环部分有一位数字，循环节里最少的位数是2的混循环小数。 班级姓名日期 ,,,,,327214250377826117100850 30.=7˙0.=6˙0.=3˙9˙0.7=3 ˙2˙0.0=2˙7˙ 4.17=8˙ 1.3=0˙7˙ 2.2=6 ˙3˙14 520202021

5. 计算下列各题 6. 解答题 1）把化成小数后，小数点后面50位各位上的数字的和是多少？2）在循环小数 中，移动“前”一个循环点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少? 3）假定是自然数，是十进制中的一个数字，若 ，求等于多少？（1）0.25+3˙0.1+5˙3˙0.41+3˙0.8；（2）0.+1˙0˙1 ˙0.+3˙7˙0.+3˙6˙0.；2˙1˙（3）0.+3 ˙；（4）+0.+3˙0.+3˙0.3˙11 1 1.7˙1.3˙0.1×6˙ 1.；1˙6˙（5）0.1+2 ˙0.2+3˙0.3+4˙0.4+5˙0.5+6˙0.6+7˙0.7+8˙0.89˙21 40.1001002 ˙3˙n d =810 n 0.2d ˙5˙n

第8讲 分数与循环小数—完整版

第8讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： （1）34，138，1325 ； （2）29，311，433； （2）56，522，790； （4）27，313，437 ； 答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) . 0.2 ，0.27,0.12 (3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.108 2．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255. 答案：(1)23100，479100 (2) 325，51200 3．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1?，0.4?；(2)0.01??，0.35??； (3)0.08? ， 0.38?. 答案：(1)19,49 (2)199 ,3599 (3)445，718 4．把下列循环小数转化为分数：0.7?，0.12??，0.123??，0.123?? 答案：79，433，41333，61495 5.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++ （4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。 答案：(1)23 (2)1 (3)213 (4)107300 (5)39110

解析：（1）123620.10.20.399993 ++=++==。 （2）23490.20.30.419999 ++=++==。 （3）3571520.30.50.7199993 ++=++==。 （4）112112312321390.10.120.123990900900110 --++=++==； （5）12123351390.120.239099990110 -+=+==。 6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。 答案：213 解析：把每个数化成分数，分母都是99999，所以计算会很方便． ()0.123450.234510.345120.451230.51234 12345234513451245123512349999999999999999999999999 111111234599999 159 213++++=++++?++++=== 7.计算下列各式，并用小数表示计算结果：（1）1.860.351?； （2）0.380.518÷。 答案：(1) 0.65 (2) 0.75 解析：（1）1953515371339651.860.3510.659999999373999 ????= ?=?==??。 （2）3835183599957933730.380.5180.75909999051892537274-???÷=÷=?=?==????。 8．将算式0.30.60.30.60.30.6+-?+÷的计算结果用循环小数表示是多少 答案： 1.27

分数与循环小数(教师版)

识要点 一. 判断分数化成的小数类型； 二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数； 三. 循环小数四则运算； 四. 分数与循环小混合计算； 五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目． 分数化为循环小数： 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求） （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求） （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 循环小数化分数： 1．纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。 2．混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 例题精讲 1. 将下列分数化为小数： 23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100 ． 【分析与解】 20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166 = ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900??+==== ． 2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ． 【分析与解】 123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110 -== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495 == ，136130.01369900220-== ．

各种循环小数化成分数的方法归纳

各种循环小数化成分数的方法归纳 、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢? 看下面例题。 例1把纯循环小数化分数： （1） 0.6 （2）3 102 解’ C1） 0.6 X 10 = 6.666 ... ① 0.6=0 666"?…② 由①一②得06X9 = 6 *62 所 KIO .6=|=| （2） 話先看小数部分oD ? ? 0 102 x 1000 = 102 102102 .... ① ■ ? 0.102^0.102102 ..... ② 由①一②得0 102 X 999 = 102 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数的分 子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是 9。9的个数与循环节的位数相 同。能约分的要约分。 所以0102 = 102 _ 34 999 = 333 3 102 999 333 0 216 = 216 999 8 37

999 333 二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为 分数呢？看下面的例题。 例2把混循环小数化分数。 (1) 0.215； (2)6 353 解.(1) 0.215 X 1000^215.1515 ......... ① 0.215X 10=2 1515 ..... ② 由①一②得0215X990 = 215-2 215-2 0 215-—— = 990 213 _ 71 990 330 (2)先看小数部分 0.353 0.353 X 1000 = 353 333 .... ① 0.353 X 100 = 35.333 ... ② 由①一②得0.353 X 900 = 353 - 35 * 353-35 318 53 0.353 = —————— 务——-* 900 900 150 ^318 Q 6 = 6 — 900 150 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数 的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成 的数的差。分所以 6.353=6 353-35 900

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。

2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)

小学数学五年级奥数2--循环小数

循环小数 例1：变换循环节 在下列循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.452415254 （2）4.7312415823 例2：巧组循环数 如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：5.81487581487，所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是（） 例3：妙猜循环位 算算3÷13的商，猜猜：

（1）小数点后面第2013位上的数字是几？ （2）小数点后2013个数字之和是多少？ 例4：循环数字和 在循环小数0.520483中，最少从小数点右面第几位开始到第几位止的数字之和等于2014？ 练习1：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 （1）0.158425244 （2）0.79137925213

练习2：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.357275239 （2）0.4068058 练习3：在循环小数0.56253128中，小数点右面第100位上的数字是几？ 练习4：在循环小数6.358237419中，小数点右面第2013位上的数字是几？小数点后2013个数字之后是多少？ 练习5：在循环小数0.2076852中，小数点右面第2014位上的数字是几？小数点后2014个数字之后是多少？

练习6：如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：2.59496259496.所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是多少？ 练习7：如图，圆周上的十个数字按顺时针方向可以组成具有两位整数的循环小数，例如：81.92381923，所有这样的循环小数中最小的一个循环小数是多少？ 练习8：从小数0.49340184205最后一位开始划去任意个数字（注意：不能跳着划，也就是不出出现0.98这样的小数），构造一个循环节至少有两位数字的循环小数，例如0.4934018，请找出这样的小数中最

分数与循环小数的互化教学案精编

第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??

例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ? 950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244

小学六年级奥数循环小数与分数

第二章循环小数与分数 知识要点 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1)1 2 ＝0.5， 3 25 (＝ 2 3 5 )＝0.12， 17 40 (＝ 3 17 25 ? )＝0.425； (2)1 3 ＝0.3， 5 7 ＝0.714285， 13 33 ＝0.39； (3)5 6 (＝ 5 23 ? )＝0.83， 67 175 (＝ 2 67 57 ? )＝0.38285714，101 360 (＝ 3 101 259 ?? )＝0.2805。 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有 限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。如17 40 ，因为40＝23×5，含 有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。 (2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 (3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的 个数相同。如 67 175 ，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有 两位。 于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论： 1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； 2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； 3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 典例巧解 例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 5 324 21 31 250 23 78 100 117 3 850 点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。

奥数之循环小数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化 因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；

（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。

五年级奥数.计算综合.循环小数与分数分拆

循环小数与分数拆分 考试要求 （1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律； （2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。 知识框架 【基本概念】 纯小数——整数部分是零的小数。 循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。 循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。 混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。 纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。 【基本方法】 （1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。 （2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 重难点 重点：循环小数化分数的基本方法与规律； 难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。 例题精讲

一、分数拆分 【例1】 110=()()11--()1=()()() 111++ 【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． ()()()()()()111111110=--=++ 【例2】 如果 1112009A B =-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 【巩固】若 1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a

循环小数化分数

纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:

小学奥数：循环小数计算.专项练习及答案解析

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.17的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19=&；1240.129933==&&；123410.123999333==&&；12340.12349999 =&&； ⑵121110.129090-==&；12312370.123900300-==&；123412311110.123490009000 -==&； ⑶ 1234126110.123499004950-==&&；123411370.123499901110 -==&& 以0.1234&&为例，推导1234126110.123499004950 -==&&． 设0.1234 A =&&，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =&&； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34 A =&&， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950 A -==． 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所 含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算

第4讲 循环小数与分数

第四讲 循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 (1) 425.0)5 217(401712.0)53(2535.02132=?==；； (2)?=3.03 1，??=514287.075，??=93.03313， (3)?=?38.0)325(65，??=?48571238.0)75267(17567，?=??5280.0)952101(3601013 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同，如40 17因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同如 175 67，因为175=53×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例题精讲 【例1】判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 325，214，25031，7823，117100，850 3 解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 325能化成五位有限小数；25031能化成三位有限小数；214、117100能化成纯循环小数；78 23能化成纯混环小数，且不循环部分有一位；8503能化成纯混环小数，且不循环部分有二位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 知识点拨

最新人教版七年级下册数学无限循环小数可以化成分数

无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90

所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5·化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．

分数拆项与裂项

分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌 握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小 数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111 ()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数

(完整版)分数与小数的互化

分数与小数的互化、混合运算、应用题 【知识点1】 1．把一个分数化成小数的方法：分子除以分母 2．一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数。 口答：判断下列分数能否化成有限小数？ 7 8 4 15 12 25 5 12 17 40 32 5 3 24 3．小数化成分数的方法：小数化分数时，小数位数上有几位数字，分母上就有几个0 4．（1）循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 口答：判断下列各数是不是循环小数，为什么？ 0.5555，0.123123...， 2.235464309...， 12.121212...， 5.317317...， （2）循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。如：0.1363636...的循环节为“36”，写作0.136&&。 5．一个分数总可以化为有限小数或循环小数；有限小数和循环小数也总可以化为分数。【例题讲解】 例1．把下列最简分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数。 （1） 2 15 （2） 31 4 （3） 5 6 （4） 16 25 （5） 4 27 （6） 17 100 例2．把下列小数分别化成分数： （1）0.9（2）0.25（3）3.32（4）1.125【基础练习】

（1）把下列各数化成小数：38＝ ；625 ＝ 。 （2）把下列各数化成分数：3.56＝ ；0.225＝ 。 （3）比较大小： 53 1.66；237 3.286。 （4）把下列各数化为循环小数：59＝ ；2533 ＝ 。 （5）下列分数中：23、74、88、516、3825 ，真分数有 个。 （6）已知n 是自然数，且分数8n 是假分数，11 n 是真分数，则满足条件的n 的值是 。 （7）38、21142、315、39中，能化为有限小数的是 。 2．小明3分钟打字169个，小红5分钟打字271个，问：小红、小明谁的的打字速度快？ 小拓展：观察下列小数化成分数的结果： 20.2222 (9) =； 370.373737 (99) =； 5030.1503503 (999) =； …… 总结：纯循环小数化分数时，若为无限小数，则小数的循环节有几位数字，化成的分数的分母就有几个9，循环节作为分数的分子。 小练习：把下列循环小数写成分数的形式： 0.6&＝ 2.61&&＝ 【知识点2】 1．分数、小数混合运算顺序： 2．整数中的运算律在分数、小数混合运算中成立。 【例题讲解】