第十二章-量子物理学
第十二章 量子物理学
§12.1 实物粒子的波粒二象性
一、 德布罗意物质波假设
νλ
h E h
P ==
h
E
P
h
=
=
νλ
二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1）
m
k T
v 32=
045.13A k Tm
h
mv
h p h ====
λ
（2）0191063.6A Mv
h p h -?===
λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱
顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c
m h e c =λ，罗意波长为p
h =
λ
由题知：c v c m c m E k
2
32)1(2020=
?=?=-=γγ
c m h v
m h p h e
e 2
3
2===
γλ，故 3
1=
c
λλ
三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜
例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A]
（A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ．
（C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D]
（A）２ａ2／Ｒ．]
（B）２ｈａ／ｐ．
（C）２ｈａ／（Ｒｐ）．
（D）２Ｒｈ／（ａｐ）．
§12.2 测不准关系
五、 坐标动量测不准关系
x 方向坐标的测不准量为Δx 电子在x 方向动量测不准量为φ
sin P P x =?
而x
k x ?≥
?=?λ
φλφsin sin 故h P P x xP
Ph
x P P x x
=≥?????=?≥
?λλ h P x x ≥???，或 ≥???x P x ，精确式为
2
1≥
???x P x 表示在x 方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。
测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。
例：同时确定能量为1KeV 的电子的位置和动量时,若位置的不准定量值在100Pm 内,则动量的不确定值的百分比ΔP/P 为何值?(电子的质量m e =9.11×10-31Kg 。)
解：1231071.12--???==s m k g mE P k
由h P x x ≥???得%39=?=???=
?xP
h P P x h P 例：光子的波长λ=3000A 0。确定此波长的精度Δλ/λ=10-6。求
光子位置的不确定量。 解：|||2
λλ
λ
?-
=??=h
P h
P
mm P x P x x 48222=??=?=?≥??≥???λ
λ
πλλπλ
六、 能量时间测不准关系
h t E ≥??? ≥???t E
2
≥
???t E
例：若一电子处于某一能态时间为10-8s ，则该原子处于此能态的的能量最小值为多少？若电子从该能态跃迁至基态，求所得谱线的波长宽度。 解：（1）)(1014.47eV t
h
E -?=?≥? （2）由03670A E
hc
hc
h E ==
?==λλ
ν
由)(1013.7052
A E
E
hc E hc -?=?=??=
λλλ 中子的质量为1.67?10-27 kg 。假定一个中子沿x 方向以2000ｍ.s -1
的速度运动, 速度的测量误差为0.01%, 则中子位置的不确定量最小为 (用不确定关系? x ?? p x ≥ 计算)[D]
(A) 3.16?10-17ｍ (B) 3.16?10-13ｍ (C) 3.16?10-10ｍ (4D 3.16?10-7ｍ 不确定关系指的是：[C] (A) 任何物理量都不确定
(B) 任何物理量之间都不能同时确定
(C) 某些物理量能不能同时确定, 这取决于这些物理量之间的关系
(D) 只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定
不确定关系式Δｘ·ΔＰ ≥h/2π有以下几种理解:
（1）粒子动量不可能确定．（2）粒子的坐标不可能确定．（3）粒子动量和坐标不可能同时确定．（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，以适用于其它粒子.
其中正确的是：
(A) (1),(2) (B) (2),(4) (C) (3),(4) (D) (4),(1)
§12.3 波函数 定谔方程
经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述。
状态随时间的变化由牛顿定律确定。 量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述。 状态随时间的变化用定谔方程描述。 七、 波函数 1、 量子力学基本假设之一
微观粒子的运动状态（量子态）用波函数ψ（r ，t ）数描述。 例、求自由粒子波函数。 解：自由粒的能量和动量λνh P h E ==,，不随时间变化。
（1） 若粒子沿x 方向运动
沿x 方向以ν、λ传播的波的波动方程为：
)(2cos ),(0λ
νπx
t t x -
ψ=ψ，用复数形式表示为：
)(0)(20)
(20),(Px Et i
Px Et h
i
x
t i e
e e
t x -----
-ψ=ψ=ψ=ψ
πνπ
（2） 若粒子沿r 方向运动，则
)(0),(r P Et i
e t r
?--ψ=ψ 2、 波函数的物理意义——统计解释
),(),(*t r t r
ψψ表示粒子在
t 时刻在（x ，y ，z ）处出现的几率密度。
),(),(*t r t r
ψψ=ρ
粒子在体积元dV=dxdydz 内出现的几率为
dxdydz t r t r dW ),(),(*
ψψ=
例、粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
a x a
x n a x n <<=
ψ0),sin(2
)(π 若粒子处在n=1的状态，求（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度、
（2）在区间[0，a/4]内找到粒子的几率是多少？（3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？
解：（1）
a
a
x
a a x a
x a x /1sin 2)
sin(2)(4/2*=?=ψψ==
ψ=ρπρπ
（2）091.0sin 24
/0
2==
?
a dx a
x a W
π （3）a
x a πρ2*sin 2
=ψψ=，当2
)12(ππ+=k a
x 时ρ
最大
=2/a
此时， ,3,2,1,0,2
)12(=+=k a k x 而0 3、 波函数的归一化条件 ???∞ =ψ1| |2 dxdydz 相差一个常数因子的波函数ψ与c ψ描述同一微观态。 思考：将波函数在空间的振幅增大D 倍，则粒子在空间的几率密度增加几倍？答案：不变。 4、 波函数的标准条件 波函数),(t r ψ是空间和时间的单值、有限、连续函数。 5、 物质波波函数与经典波函数的区别 德布罗意波是几率波，波函数不表示某实在的物理在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。 八、 定谔方程 量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足定谔方程。 1、 含时定谔方程 若粒在势场),(t r V V =中运动，则： ψ=?ψ ?H t i 其中：),(t r ψ=ψ。 ),(222t r V m H +?-=，称为哈密顿算符。 2 2 22222z y x ??+??+??= ?叫拉普拉斯算符。 2、 定态定谔方程 对于定态（能量不随时间变化的状态）)(r V V =。 ψ=ψE H 其中：) (r ψ=ψ，称为定态波函数。E 称能量本征值，即定态能级。 例1、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(),23cos()(a x a a x a x ≤≤-= ψπ 那么粒子在ｘ＝ 5a ／6处出现的几率密度为: [A] （A ）１／(2a) ． （B ）１／a ． （C ）１／(2a)1/2 ． （D ）１／a 1/2 ． 例2、波函数 ψ ( r 、t )的物理意义可表述为：[D] (A) ψ ( r 、t )为t 时刻粒子出现在 处的概率 (B) ψ ( r 、t )为t 时刻粒子出现在 处的概率密度 (C) ψ ( r 、t )无直接意义, |ψ ( r 、t )|2意为t 时刻粒子出现在r 处的概率 (D) |ψ ( r 、t )|2为t 时刻粒子出现在r 处的概率密度 设粒子运动的波函数图线分别如图（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？（A ） §12.4 势阱和势垒中的粒子 一、 一维无限深势阱 1、 势函数 设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为： 0 0≤x ≤a U= ∞ x<0，x>a 2、 方程的求解 当x<0时： 0)(=ψx 当0≤x ≤a 时： 0)(2)(22 2=ψ+ψx E m dx x d 当x>0时： 0)(=ψx 令2 22 mE k =，则0)() (22 2 =ψ+ψx k dx x d ，它的通解为： )sin()(δ+=ψkx A x 由波函数的标准条件得： 在x=0处：00sin =?=δδA 在x=a 处：),2,1(,0)sin( ==?=+n n ka ka A πδ 由波函数的归一化条件得： a A a A dx x Sin A xdx A a 2 12 sin 12 2222=?=?= = ? ? ∞ +∞ - 3、 求解结果 在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为： ),0.(0)(a x x x ><=ψ )0(,sin 2)(a x a x n a x ≤≤= ψπ 由2 22 mE k =及),2,1(, ==n n ka π得，在一维无限深势阱中运动的 粒子的能量为： ),2,1(,82 2 2 ==n ma h n E n 可见，能量是量子化的，它是定谔方程求解的自然结果。 4、 一维无限深势阱的驻波法求解 困粒子被束缚在0≤x ≤a 内运动，其德布罗意波在该区间内形成稳定驻波（x=0，x=a 处为波节）。根据驻波条件，其德布罗意波长λ应满足： ,2,1,2 =? =n n a λ 由德布罗意关系，粒子的动量P=h/λ，故P=nh/2a 。 在势阱内，U=0，粒子的能量E=P 2/2m ，从而： 2 2 2282ma h n m P E n = = x=0处是波节点，驻波方程为：kx A x sin )(=ψ x=a 处也是波节点，且A ≠0，故),2,1(, ==n n ka π，因而驻波波函数为：)0(,sin 2)(a x a x n a x ≤≤= ψπ 两种处理方法的一致，说明微观世界的定态对应德布罗意驻波。 二、 隧道效应 设粒子在一维方势垒中运动，其势函数为： U 0 0≤x ≤a U （x ）= 0 x<0，x>a 按经典理论，对于E 的粒子，在Ⅰ区域内，粒子将会在x=0处反射，不能进入区域Ⅱ和Ⅲ。但按量子理论，从区域Ⅰ入射的波，部分地被势垒反射，而部分能穿过势垒进入Ⅲ区域。 隧道效应：一个粒子能 穿移按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这种现象称为隧道效应。 §12.5 氢原子 一、氢原子光谱的实验规律 1、 氢原子的线状光谱 光谱学家在大量氢原子光谱数据的基础上，得到一些光谱线的经验公式： 紫外线： 4,3,2),1 11(1 22=-== n n R H λν赖曼系 可见光： 5,4,3),1 21( 122=-== n n R H λ ν 巴耳未系 6,5,4),1 31( 1 22=-== n n R H λ ν 帕邢系 红外线 7,6,5),1 41( 1 22=-== n n R H λ ν 布拉开系 8,7,6),1 51( 1 22=-== n n R H λ ν 普丰特系 其中：λ ν 1 =称为波数，1710096776.1-?=m R H 是氢原子的里德堡常 数。统写为：) 11( 1 2 2n k R H -==λ ν 2、 里兹并合原则 在氢原子光谱实验规律的基础上，里德堡和里兹分别于1900年和平共处1918年发现其它很多元素的光谱都存在一种普适关系。 里兹并合原则：原子的各谱项可表示为两光谱项之差 )()(1 n T k T -== λ νk ，n 为正整数。 K 一定，对应着一个谱系，n 一定，对应着谱系中的一条谱线。 极限波长：某谱线的最短波长（n →∞） 二、 原子核型结构 1、 原子模型 原子中的全部正电荷和几乎全部质量集中在远小于原子体积的核中（称为原子核），原子中的电子在核周围绕核运动。 2、 经典电磁理论在原子结构问题上的困难 （1） 原子系统的稳定性 绕核运动运动的电子作加速运动，从而向外辐射电磁波，其频率 为电子绕核运动的频率。 原子向外辐射电磁波，能量不断减少，轨道半径将沿螺线运动接近原子核，从而无稳定的原子存在。 （2） 原子光谱是线状光谱 电子绕核运动的频率是连续变化的，所辐射的能量应该是连续变化的，从而得到连续光谱。 三、 玻尔理论 1、 玻尔理论的三条基本假设 （1） 定态假设 定态：原子中存在的一系列能量不连续的状态。 能级：原子在定态相应的不连续的能量值，记为E n 。 E 1，E 2，E 3，……。 运动特征：处在定态中的电子在相应的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量。 （2） 量子化条件假设 电子绕核作圆周运动的角动量L ，只能是h/2π的整数倍。 3,2,1,2==n h n L π （3） 频率条件假设 电子从一定态E k 跃迁到另一定态E n 时，将发射（吸收）频率为的电磁波（光子），电子的能量为： k n kn E E h -=ν E k 和E n 分别表示初未定态的能量。 E k >E n ：表示原子吸收光子。 E k 由牛顿定律、原子核式模型及定态假设得： 2 20241n n r e r v m πε= 由量子化条件假设得： π 2h n mvr n = 可求： 22 2 0)(n me h r n πε= 令：2 200 me h a πε= 则： 20n a r n = 对于电子：00053.0A a =称为氢原子的波耳半径。 (2) 氢原子的能级 原子处于第n 个定态的能量E n 为： n n r e mv E 202 4121πε- = 由：n n r e mv r e mv 202 202 412121412 1 πεπε=?= 得： 2 2 2041 )8(n h me E n ε-= 令：2204 18h me E ε- =则： ,3,2,1,21 == n n E E n 对于氢原子：eV E 6.131-=叫基态能级。 基态：是能量最低的状态（n=1）。 激发态：是能量大于基态的状态（n=2，3，…）。 电离能：把基态电子移到无穷远处所需要的能量。 11E E E E -=-=?∞ 激发能：由基态跃迁某激发态所需要的能量。 1E E E n -=? 3、 氢原子线状光谱的解释 由频率条件假设：当原子从初态（较高能级）跃迁到未态（较低能级），所发射光子的频率为： )(1 k n kn E E h -= ν )1 1( )1 1(8) (1 122222 204n k R n k c h me E E hc c H k n kn -=-=-= = = ενλν 理论值1710097373.1-?=m R H 与实验值171006776.1-?=m R H 符合较 好。 4、 玻尔理论的局限性 （1） 玻尔理论对复杂原子的光谱及谱线的强度无法说明。 （2） 该理论在经典理论的基础上，加上神秘色彩的量子化条件假设， 理论系统本身是不自洽的。 例1． 大量氢原子处于n=5的激发态，则跃迁辐 射的谱线总共有 10 条，其中属于巴尔未系的有 3 条。 例2． 氢原子处于n=5的激发态，则该原子 能 （能、不能） 吸收 （吸收、发射）一个红外光子。 分析：处于n=5的激发态在氢原子， 能发射：E 3→E 1（紫外）、E 3→E 2（可见光）。 能吸收：E 3→E 4（E 5、E 6…）（红外）。 例3、设氢原子被激发后电子处在第四轨道( n =４)上运动。则观测时间内最多能看到谱线的条数为[C] (A) ２条 (B) ４条 (C) ６条 (D) ８条 例4、要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系（由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系）的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是: [C] （A ）1.5ｅＶ． （B ）3.4ｅＶ． （C ）10.2ｅＶ． （D ）13.6ｅＶ． 分析：最长波长的谱线是由E 2跃迁到E 1能级产生。故至少应向基态氢原子提供能使其跃迁至E 2的能量：ΔE= E 2- E 1=13.6-13.6/4=10.2(eV) 四、 氢原子量子力学处理 1、 氢原子的量子力学解法 （1） 势函数 r e r v 024)(πε- = （2） 定态定谔方程 0)4(202 22 =ψ++ψ?r e E m πε （3） 方程求解结果 )()(),,()(φθφθl l m lm nl R r r ΦΘ=ψ=ψ ,2,1,1 )4(2 2204=-=n n me E n πε π 2) 1(h l l L += π 2h m L l z = 2、 描写氢原子微观运动状态（量子态）的四个量子数 氢原子微观运动状态可用能量E 、角动量L ，角动量分量L z 、自旋角动量S 这四个物理量完全确定，每一物理量有一相应的量子数，即四个量子数完全确定氢原子的量子态。 >=ψs l m m l n ,,,| （1） 主量子数n ——能量量子化（大体上确定原子中电子的能量） ,2,1,6 .131 )2()4(2 22 204=- =-=n eV n n me E n πε 能量量子化由弗朗克——赫兹实验证明 （2） 角量子数l ——角动量量子化，又称轨道量子化（确定电子轨道 角量） 1,1,0,)1(-=+=n l l l L 描写电子轨道角量，l 的数目为n 。 （3） 磁量子数m l ——空间量子化（确定轨道角动量在外磁场方向上 的分量） l m m L l l z ±±±== ,2,1.0, m l 的数目为2l+1。空间量子化由塞曼效应证明。 （4） 自旋磁量子数m s ——电子自旋（确定自旋角动量在外磁场方向 上的分量） 2 1,)1(= += s s s S 称自旋量子数。 2 1,21,- ==s s z m m S 称自旋磁量子数。 电子的自旋由乌仑贝克——哥德斯密特提出，史特恩——盖拉赫实验证明了电子自旋的存在。 3．电子态及原子态的表示法 l=0，1，2，3，4，……用 电子态：s ，p ，d ，f ，g 原子态：S ，P ，D ，E ，F 表示。 例如：3d 表示：n=3，l=2的状态。 例1、（1）当n 、l 、m l 一定时，（2）当n 、l 一定时，（3）当n 一定时，可能的量子态有几个？ 解： （1）当n 、l 、m l 一定时，m s 取±1/2，故可能的量子态有2个。 （2）当n 、l 、一定时，m s 可能取2个值，m l 可能取（2l+1）个值，故可能的量子态有2（2l+1）个。 （3）当n 一定时，m l 可能取（2l+1）个值，m s 可能取2个值，故可能的量子态有： 2 10 2)12(2n l n l l =+∑-==个。 例2、n=2的氢原子有哪些可能的量子态？ 解：当n=2，l 取值0，1。 当l=0时，m l =0，m s =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 0 0 –1/2>，|2 0 0 1/2>。 当l=1时，m l =-1，0，1，m s =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 1 -1 –1/2>，|2 1 -1 1/2>。m l =-1 |2 1 0 –1/2>，|2 1 0 1/2>。m l =0 |2 1 1 –1/2>，|2 1 1 –1/2>。m l =1 共有8个可能的量子态。 例3、3d 的氢原子有哪些可能的量子态？ 解：对3d 态的电子，n=3，l=2，则m l =0，±1，±2。 当m l =-2时：|3 2 -2 –1/2>、|3 2 -2 1/2> 当m l =-1时：|3 2 -1 –1/2>、|3 2 -1 1/2> 当m l =0时：|3 2 0 –1/2>、 |3 2 0 1/2> 当m l =1时：|3 2 1 –1/2>、 |3 2 1 1/2> 当m l =2时：|3 2 2 –1/2>、 |3 2 2 1/2> 例4、氢原子处于第二激发态，求轨道角动量的可能取值有哪些？ 解：处于第二激发态的氢原子，n=3，l=0，1，2， 由 )1(+= l l L 得，轨道角动量的可能取值有： 3, 2,0=L 例5、氢原子中处于２ｐ状态的电子，描述其量子态的四个量子数（ｎ，L ，ｍL ，ｍS ）可能取的值为:[C] （A）（３，２，１，－1/2）．（B）（２，０，０，1/2）． （C）（２，１，－１，－1/2）．（D）（１，０，０，1/2）．例6、有人否定物质的粒子性, 只承认其波动性. 他们认为自由粒子是一个定域波包. 这种理论的局限性可用哪个实验来说明?[B] (A) 光电效应(B) 康普顿散射 (C) 戴维逊－革末实验(D) 弗兰克－赫芝实验 例7、戴维孙----革末实验中, 以电子射向晶体镍的表面, 该实验用来[A] (A) 测定电子的荷质比 (B) 确定光电效应的真实性 (C) 表明电子的波动性 (D) 观察原子能级的不连续性 例8、实物物质的波动性表现在一个衍射实验中, 最早的实验名称叫[A] (A)戴维逊－革末实验(B)弗兰克－赫芝实验 (C)迈克尔逊－莫雷实验(D)斯忒恩－盖拉赫实验 §12.6 原子的壳层结构 九、泡利不相容原理、能量最小原理 1、泡利不相容原理 在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于完全相同的量子态，即在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。 2、能量最小原理 原子处于正常状态时，应处于能量最低的状态。 能级的高低由n+0.7l确定, n+0.7l越大,能级越高. 例、4s和3d态，哪一个量子态先填入电子？ 解：4s态：n+0.7l=4+0.7×0=4 3d态：n+0.7l=4+0.7×2=4.4 4s先填入电子。 十、电子的壳层结构 多电子原子体系中，电子的排布应遵循泡利不相容原理、能量最小原理。 1、壳层 n相同的电子组成一个壳层。 n=1，2，3，4，…等壳层用 K，L，M，N…表示。 2、分壳层（支壳层） l相同的电子组成一个壳层。 l=0，1，2，3，…等壳层用 s，p，d，f…表示。 3、原子态的表示 原子中电子体系的状态叫原子态。 6 2 24 2 10 6 6 10 2 p s s s s p p d 4 3 1d 3 4 2 2 3 举例 例1、在原子的Ｋ壳层中，电子可能具有的四个量子数（ｎ，L，ｍL，ｍS）是:[B] （1）（１，１，０，1/2），（2）（１，０，０，1/2）． （3）（２，１，０，－1/2），（4）（１，０，０，－1/2）． 以上四种取值中，哪些是正确的？ （A）只有（１）、（３）是正确的． （B）只有（２）、（４）是正确的． （C）只有（２）、（３）、（４）是正确的． （D）全部是正确的． 例2、氩（Ｚ＝18）原子基态的电子组态是： [C] （A）1ｓ22ｓ83ｐ8．（B）1ｓ22ｓ22ｐ63ｄ8． （C）1ｓ22ｓ22ｐ63ｓ23ｐ6．（D）1ｓ22ｓ22ｐ63ｓ23ｐ43ｄ2. 例3、处于基态的钠原子，其价电子可能的量子态数为多少？18 分析：钠原子外有11个的电子，n=1层有2个电子，n=层有8个电子，n=3层有18个可能的量子态，从而其价电子可以处于n=3层中18个可能的量子态中任何一态。 量子信息论简介 一、什么是量子信息论？ 近20年来，量子力学除了更深入地应用于物理学本身许多分支学科之外，还迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科学、信息科学等领域。量子理论这种广泛，深入应用的结果、极大地促进了这些学科的发展，从根本上改变了它们的面貌，形成了众多科学技术研究热点，产生了许多崭新的学科；与此同时，量子力学本身也得到了很大的丰富和发展。 热点之一就是已经诞生、正在形成和发展中的量子信息科学———量子通信和量子计算机，简称为量子信息论。它是将量子力学应用于现有电子信息科学技术而形成的交叉学科。量子信息论不但将以住的经典信息扩充为量子信息，而且直接利用微观体系的量子状态来表达量子信息。从而进入人为操控、存储和传输量子状态的崭阶段。 近10多年来，量子信息论从诞生到迅猛发展，显示出十分广阔的科学和技术应用前景。这种崭新的交叉结合已经并正在继续大量生長出许多科学技术研究热点，并逐渐形成一片新兴广阔的研究领域，不断取得引人瞩目的輝煌成就。 量子信息论的诞生和发展，在科学方面有着深远的意义。因为它反过来极大地丰富了量子理论本身的内容，并且有助于加深对量子理论的理解，突出暴露并可能加速解决量子理论本身存在的基础性问题。借助这一新兴交叉学科的实验技术，改造量子力学基础，加速变革现有时空观念，加深对定域因果律的认识也许是可能的。 量子信息论在技术方面也有着重大影响。因为它的发展前景是量子信息技朮（QIT）产业，它是更新换代目前庞大IT产业的婴儿，是推动IT产业更新换代的动力，指引IT技朮彻底变革的方向。在这方面大量、迅猛、有效的探索性研究正在逐步导致以下各色各样的新兴分支学科的诞生：量子比特和量子存储器的构造，人造可控量子微尺度结构，量子态的各类超空间传送，量子态的制备、存诸、调控与传送，量子编码及压缩、纠错与容错，量子中继站技朮，量子网络理论，量子计算机，量子算法等等。它们必将对国际民生和金融安全技朮以及国防技朮产生深刻的影响。 目前，一方面是寻求各色各样存取量子信息的载体———量子比特和量子信息处理器。相关的实验和理论研究正在蓬勃开展。实验中的量子信息载体，不仅包括自然的微观系统，更着重于形形色色的人造可控微尺度结构———也就是人造可控量子系统。在研制可控量子比特和量子存储器件时，必须考虑它们和传送环节的光场之间的可控耦合，以保证量子信息的有效写入和取出。这里最重要的是研究光场和人造原子系综的相互作用。 第二方面是关于量子信息的传送。量子通信是量子信息论领域中首先走向实用化的研究方向。目前量子通信主要以极化光子作为信息载体，釆用纠缠光子对作为传送的量子通道。量子通信可以分为光纤量子通信和自由空间量子通信两个方向。关于光纤量子通信方面，建立光纤量子通信局域网和延长光纤量子通信鉅离的时机已经到来。而利用纠缠光子实施自由空间量子通信，其最终目标是通过卫星实现全球化量子通信。量子通信要求长程、高品质、高強度的纠缠光源。这需要掌握包括纠缠纯化、纠缠交换与纠缠焊接的量子中继器技术。同时还需要展开各类量子编码(纠错码、避错码、防错码)研究，各类量子态超空间传送方式研究，进而逐步创立完善的量子网络理论。 第三方面是关于量子计算机。目前的经典计算机受到经典物理原理限制，己经接近其处理能力的极限。而由于量子态迭加原理和量子纠缠特性，量子计算机具有经典计算机无法比拟的、快速的、高保密的计算功能，所以，有必要研究量子计算机。制造量子计算机的核心任务是造出可控多位量子比特的量子信息处理器。这里的关键是寻求能够避免退相干、易于操控和规模化的多位量子比特。这正是制约量子计算机研制进度的主要困难。1994年，计算机专家Chair C.H.Bennett宣布，量子计算机的研制己进入工程阶段。根据近10年来各国量子计算机研制己报导的有关资料预计，量子计算机技术的长远发展，最终有赖于固体方案。关于量子计算机研制进度：乐观估计是到20l0年可以在硅片技朮基础上制造出10多位可控量子比特，从而造出简单的台式计算机; 较稳健的估计是可能在下一个l0年之內; 持悲观估计的人们有个比喻：现在不必做出发展量子计算机的“哈曼顿计划”，因为现在还没有发现“核裂变”。 二、国內外量子信息专业的发展状况 2006年9月1日～4日，来自世界21个国家和地区的近200名科技人员聚集在北京友谊宾馆，参加由中国科大量子信息国家重点实验室举办的亚洲量子信息科学会议。在这次会议中首次提出量子隐形传态思想、首次提出第一个量子密钥分配协议的IBM研究机构科学家Chair C.H.Bennett接受采访时说：“量子信息现在还是个婴儿！”但鉴于量子信息科学技术的巨大发展潜力，目前已受到各国政府、科技专家和公众的广泛关注。 １、国外量子信息的研究和进展： 国际上重要的西方国家（美、英、法、加拿大、以色列、日本、瑞典、奥地利、意大利、瑞士等），特别是美国和欧盟均投入大量人力物力于量子通讯和量子计算的理论和实验研究，量子信息已成为学术界的热门课题，其发展十分迅猛，参与研究的国家、机构和人员日益增多，有关国际会议连接不断。以美国为例，加州理工大学、MIT和南加州大学联合成立了量子信息和计算研究所，其长远目标就是 第十二章 量子物理学 §12.1 实物粒子的波粒二象性 一、 德布罗意物质波假设 νλ h E h P == h E P h = = νλ 二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1） m k T v 32= 045.13A k Tm h mv h p h ==== λ （2）0191063.6A Mv h p h -?=== λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱 顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c m h e c =λ，罗意波长为p h = λ 由题知：c v c m c m E k 2 32)1(2020= ?=?=-=γγ c m h v m h p h e e 2 3 2=== γλ，故 3 1= c λλ 三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜 例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A] （A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ． （C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D] （A）２ａ2／Ｒ．] （B）２ｈａ／ｐ． （C）２ｈａ／（Ｒｐ）． （D）２Ｒｈ／（ａｐ）． 对量子力学的认识 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。经典力学奠定了现代物理学的基础，但对于高速运动的物体和微观条件下的物体，牛顿定律不再适用，相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。 量子力学是一个物理学的理论框架，是对经典物理学在微观领域的一次革命。它有很多基本特征，如不确定性、量子涨落、波粒二象性等，其基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。量子力学的关键现象有黑体辐射、光电效应、原子结构和物质衍射，前人正是在在这些现象的基础上建立了量子力学。爱因斯坦、海森堡、玻尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。 黑体是一个理想化了的物体，它可以吸收所有照射到它上面的辐射，并将这些辐射转化为热辐射，这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关。但从经典物理学出发得出的有关二者间关系的公式（维恩公式和瑞利公式）与实验数据不符（被称作“紫外灾变”）。1900年10月，马克斯·普朗克通过插值维恩公式和瑞利公式，得出了一个于实验数据完全吻合的黑体辐射的普朗克公式。但是在诠释这个公式时，通过将物体中的原子看作微小的量子谐振子，他不得不假设这些原子谐振子的能量，不是连续的，而是离散的。1900年，普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。 1905年，阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论，提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验，发现通过光照，可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率，超过一个临限值后，才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能，随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子理论，来解释这个现象。光的量子的能量在光电效应中被用来将金属中的电子射出和加速电子。假如光的频率太小的话，那么它无法使得电子越过逸出功，不论光强有多大。照射时间有多长，都不会发生光电效应,而入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射。 20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。首先，按照经典电磁学，这个模型不稳定。按照电磁学，电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱，由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列（来曼系）、一个可见光系列（巴耳麦系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。1913年，尼尔斯·玻尔提出了以他名字命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线，给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量的轨道上运转。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道，跃到一个能量比较低的轨道上时，它发射的光的频率为通过吸收同样频率的光子，可以从低能的轨道，跃到高能的轨道上。玻尔模型可以解释氢原子，改善的玻尔模型，还可以解释只有一个电子的离子，即He+, Li2+, Be3+ 等。 1919年克林顿·戴维森等人，首次成功地使用电子进行了衍射试验，路易·德布罗意由此提出粒子拥有波性，其波长与其动量相关。简单起见这里不详细描写戴维森等人的试验， 第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程----------薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件， 会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意 义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、----------------------------------------------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物 量子信息学 20世纪前半叶，自然学科诞生了最具影响力的两门学科，量子力学和信息学。前者成为目前研究微观粒子运动规律离不开的理论基础，使人类对自然界的认识发生了里程碑的突破，它解释和预言了大量奇妙的物理现象，如微观粒子的波粒二象性、隧道效应和纠缠现象等等。利用量子力学原理，不仅解释了原子结构、化学键、超导现象、基本粒子的产生和湮灭等重要物理问题，而且也促成了现代微电子技术、激光技术和核能利用技术等的出现。而后者已明显地改变了人们的生产和生活方式，提高了工作效率和生活质量。20世纪末叶，它们交汇在一起，产生了一门新的交叉学科——量子信息学。 鉴于量子信息学研究与应用的巨大潜力，特别是关系到国家信息安全的重大问题，许多国家投入了大量人力物力开展相关方面的研究工作，促进了这一学科在诞生后的10多年时间内飞速发展。目前主要在以下几个方面开展研究。下面简单介绍两个方面。 纠缠理论的研究：在量子信息学中，量子态是信息的载体，量子信息的许多技术是建立在量子态纠缠的基础之上 的。因此，量子纠缠是量子信息学中最重要的研究课题，在理论和实验上均有重要意义。但遗憾的是，对此问题的研究还处于初级阶段。现在只有2×3量子系统纠缠的充要判断|，而对一般量子体系仅有充分性或必要性判据。对于不同纠缠态，其内部的关联程度也是不同的。如果量子态之间纠缠，那么就要掌握其纠缠的程度(即纠缠度)。纠缠度是系统各个部分之间纠缠程度的量度，理想的纠缠度应满足3个条件：①对任意量子态，纠缠度大于零；对正交直积态，纠缠度等于零；②在子系统的么正变换下纠缠度不变；③在局域操作和经典通信条件下纠缠度不能增加。对对多粒子多维纠缠态的纠缠性质研究是目前量子信息学最重要、最活跃的研究方向之一。 量子计算机设计和硬件研究：由于量子计算机具有很高的商业价值，所以研制量子计算机从一开始就是各个国家关注的一个研究重点。目前，关于量子计算机的可行性问题已经解决，IBM公司在实验室中已经研制出7位量子计算机原型系统。由于量子计算机的信息媒介是量子比特，因此对它的储存、处理、提取所使用的方法与设备和经典计算机相比是完全不同的。虽然利用核磁共振、离子阱等物理技术已实现了量子态的纠缠与储存，但总的来说量子器件实现技术还处于实验研究阶段。由于量子态储存过程中，量子系统不可 习题十七 17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。 解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为： m 2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为： )(23 .12nm U emU h m h ==v ＝λ 若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。 17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问: (1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少? (2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来? 分析 本题考察德布罗意波长的计算。 解：(1)子弹的动量 )s /m kg (410010403?=??==-v m p 与子弹相联系的德布罗意波长 )m (1066.14 1063.63434 --?=?==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 10 34-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多, 因此不能通过衍射效应显示出来. 17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。 解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934 s m kg h p ??=??==---λ 电子的总能量为： )(1030.81420J hc c m E e -?=+=λ 而光子的总能量为： 第二章 量子物理学基础 思 考 题 2.1 什么是光的波粒二象性？ 2.2 有人认为微观客体的波动性表示粒子运动的轨迹是一条正弦或余弦的曲线，这种看法对吗？ 2.3 对于运动着的宏观实物粒子，德布罗意关系式也适用，为什么我们不考虑它们的波动性？ 2.4 有哪些实验证实了微观粒子的波动性？ 2.5 德布罗意波和经典波有何区别？ 2.6 汤姆孙原子模型有什么缺点？ 2.9 从经典物理看来，卢瑟福原子的核式模型遇到些什么困难？ 2.8 在玻尔的氢原子理论中，势能为负值，而且在数值上比动能大，这个结果有什么含义？ 2.9 试根据玻尔的氢原子能级公式，说明当量子数n 增大时，能级怎么变化．能级间的距离怎样变化? 2.10 若氢原于和氦离子都是从4=n 的轨道跃迁到2=n 的轨道，问两个原子发出的光的波长是否相同? 2.11 对应原理的内容是什么? 2.12 试从原子核运动引起的修正这一角度解释里德伯常数的理论值与实验值的区别。 2.13 弗兰克—赫兹实验证明了什么? 1.14 为什么说玻尔理论是半经典半量子的混合?它有什么局限性? 2.15 为什么说波函数是描述粒子的统计行为的一个物理量? 2.16 若) (t z y x ，，，ψ表示波函数，则dxdydz t z y x 2)(，，，ψ和1)(2=???dxdydz t z y x ，，，ψ各表示什么物理意义? 2.17 波函数的标准条件是什么? 2.18 波函数为什么要归一化? 2.19 薛定谔方程在量子力学中的地位怎样?试写出定态薛定谔方程． 2.20 什么是隧道效应? 2.21 描写氢原子中电子的状态需要几个量子数? 习 题 2.1 试求出质量为0.01kg 、速度为s m 10的一个小球的德布罗意波长． 2.2 一个质子从静止开始，通过lkV 的电压受到加速，试求它的德布罗意波长．(质子的质量为 kg 1067.127-?) 2.3 电子和光子的波长都是 A 2，它们的动量和总能量都相等否? 2.4 设卢瑟福散射用的α粒子动能为eV 1068.76?，散射物质是原子序数79=Z 的金箔．试求散射角尹 150=φ所对应的瞄准距离b 多大? 2.5 试计算氢原子帕邢系第二条谱线的波长． 2.6 已知氢原子莱曼系的最长波长是 A 1216，里德伯常量是多少? 2.7 用巴耳末公式计算巴耳末系中三条最长的波长． 2.8 将氢原子从1=n 激发到4=n 的能级． (1)计算氢原子所吸收的能量； (2)当它从4=n 的能级向低能级跃迁时，可能发出哪些波长的光子(17m 10097.1-?取R )?画出能级跃迁图． 2020高中物理竞赛 江苏省苏州高级中学竞赛讲义 第十二章 量子物理 §12-2 光的粒子性 一、光电效应的实验规律 1 光电效应(photoelectric effect) 光电效应：当光照射到金属表面上时，电子从金属表面逸出的现象叫光电效应现象。 逸出的电子称光电子(photoelectron)。 2 实验装置 GD 为光电管； 当A 接正极、K 接负极，光通过石英 窗口照射阴极K ，光电子从阴极表面逸出。 光电子在电场加速下向阳极A 运动，形成 光电流。 当K 接正极、A 接负极，光电子离开K 后， 将受反向电场阻碍作用，当反向电压为U 0时， 从K kmax 逸出的最大动能的电子刚好不能到达A, 电路中没有电流。此时U 0称为截止电压。有 3 实验规律 1) 饱和光电流强度 I S ∝ 入射光强 当光电流达到饱和时，阴极 K 上 逸出的光电子全部飞到了阳极A 上。 单位时间内从金属表面逸出的光电子数与入射光强成正比。 2）光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光强无关。 c max 0 k E eU = 当电压U = 0 时，光电流并不为零； 只有当两极间加了反向电压 U = -U c < 0时，光电流才为零。 U c ：截止电压(cutoff voltage) 表明：从阴极逸出的光电子必有初动能。 设u m 为光电子的最大初速度，则有最大初动能 其中m 和e 分别为电子的质量和电量。 显然，光电子的最大初动能与入射光强无关。 3) 截止电压U c 与入射光频率 ν 呈线性关系 U c =K ν - U 0 K ：普适常数 (即直线斜率) 代入得 4）只有当入射光频率 ν 大于一定的红限频率时，才会产生光电效应。 令 代入可得 当 ν = ν0 时，光电子的最大初动能为零 若 ν < ν0 时，则无论光强多大都没有光电子产生，不发生光电效应。 ν0 称截止频率(cutoff frequency)或红限频率。 5)光电效应是瞬时发生的 只要入射光频率 ν > ν0，无论光多微弱，从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间不超过10- 9 s 。 二、经典物理学所遇到的困难 按照光的经典电磁理论：光波的能量与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率；光波的能量分布在波面上，电子积累能量需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！ 1/2(m υm 2 )= eU c U -2 01()2 m mv e k U ν=-00U k ν= 2 000 1()2m eU mv ννν=- 关键词:量子通信安全性中国发展 摘要:用国际顶级量子专家王肇中教授的话说，量子通信就是单模光纤两端加上能代替常用光模块功能的、光量子态的发送和接收设备，实现基于物理加密的保密通信。 量子通信技术基于量子物理学的基本原理，克服了经典加密技术内在的安全隐患，是迄今为止唯一被严格证明是无条件安全的通信方式。为了拓展应用、与现有通信系统兼容以及大量减少成本，需对点对点的通信方式进行组网并充分利用经典通信设施。与此同时，量子克隆技术的出现也使得我们开始重新审视量子通信的安全性问题。量子通信是相对最安全的，但任何事情都不是绝对的，有矛就有盾。一方面有“量子非克隆原理”，另一方面有实现近似量子克隆的“量子克隆机”。怎样可靠地评估安全性？怎样进行攻击？是值得研讨的问题。在不久的将来，量子通信与经典通信的融合发展将会带来通信世界的新纪元。 例如一个量子态可以同时表示0和1两个数字，7个这样的量子态就可以同时表示128个状态或128个数字：0~127。光量子通信的这样一次传输，就相当于经典通信方式的128次。可以想象如果传输带宽是64位或者更高，那么效率之差将是惊人的2，以及更高。 1. 欧洲联合了来自12个欧盟国家的41个伙伴小组成立了SECOQC量子通信网络[8][9]。并于2008年10月在维也纳现场演示了一个基于商业网络的安全量子通信系统。该系统集成了多种量子密码手段，包含6个节点。其组网方式为在每个节点使用多个不同类型量子密钥分发的收发系统并利用可信中继进行联网。 息量子通信验证网”在北京开通，在世界上首次将量子通信技术应用于金融信息安全传输。 2014年11月15日，团队研发的远程量子密钥分发系统的安全距离扩展至200公里，刷新世界纪录。 2. 应用与用途 潘建伟教授指出，量子通信技术的实际应用将分三步走：一是通过光纤实现城域量子通信网络；二是通过量子中继器实现城际量子通信网络；三是通过卫星中转实现可覆盖全球的广域量子通信网络。 对市场角度来说，互联网本质上是一个不安全的网络，而量子通信在理论上的绝对保密特征，已经得到物理定理的证明，很显然在军事、国防、金融等领域有着广阔的应用前景。在大众商业市场，随着技术成熟，量子通信也将具有极大的发展潜力。 3.量子通信技术的发展趋势 4.不足 但量子通信本身，仍然处在研究阶段，还远远没有达到大规模商用化的水平，实用的量子通信网络其保密的绝对性还有待商榷。 量子通信面临四项难点：可扩展、强抗毁、广覆盖、立体化 子密钥分发在未来推广应用方面面临两大挑战：融合性和安全性。量子通信从量子力学的 量子信息 量子信息是量子力学与信息科学的巧妙结合。而量子信息的内容主要包括量子计算机与量子通讯两个部分。下图[1]生动地展示了量子信息与量子力学、信息科学间的错综复杂又富有逻辑的关系。 图1 量子力学与信息科学间的联系 量子计算机（quantum computer）是一种使用量子逻辑进行通用计算的设备。不同于电子计算机（传统电脑），量子计算用来存储数据的对象是量子比特（quantum qubit），它使用量子算法来进行数据操作。实际上，现在的计算机技术已经接近量子极限,量子计算机是一个新的发展方向。量子计算机具有巨大的信息携载量，在量子机和经典机中n个比特都可以表示2"个数。但在某一时刻,经典计算机只能表示其中的一个，而量子计算机可以同时表示所有的数的线性叠加。量子物理资源只需要经典计算机的对数多，即若经典机的需要为N，量子机的需要为log&N；经典平行计算时，每个计算机都在作不同的计算，而量子计算机的一个相同操作完成了不同的计算任务。以上两点便是量子计算机最大的特点。 早在1969年，史蒂芬·威斯纳最早提出“基于量子力学的计算设备”。而关于“基于量子力学的信息处理”的最早文章则是由亚历山大·豪勒夫（1973）、帕帕拉维斯基（1975）、罗马·印戈登（1976）和尤里·马尼（1980）发表。史蒂芬·威斯纳的文章发表于1983年。1980年代一系列的研究使得量子计算机的理论变得丰富起来。1982年，理查德·费曼（Feynman）在一个著名的演讲中提出利用量子体系实现通用计算的想法[3]。紧接着1985年大卫·杜斯（Deutsch）提出了量子图灵机模型[4]。人们研究量子计算机最初很 第17章 量子物理学基础 参考答案 一、选择题 1(D)，2(D)，3(C)，4(B)，5(A)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1)． λ/hc ，λ/h ，)/(λc h . (2)． 2.5，4.0×1014 . (3)． A /h ，))(/(01νν-e h . (4)． π，0 . (5)．3/ 1 (6)． 1.66×10-33 kg ·m ·s -1 ，0.4 m 或 63.7 mm . (7)． 1， 2. (8)．粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度. 单值、有限、连续. 1d d d 2 =???z y x ψ (9). 2， 2×(2l +1)， 2n 2 . (10). 泡利不相容， 能量最小. 三 计算题 1. 用辐射高温计测得炼钢炉口的辐射出射度为2 2.8 W ·cm -2，试求炉内温度． （斯特藩常量σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4) ） 解：炼钢炉口可视作绝对黑体，其辐射出射度为 M B (T ) = 22.8 W ·cm -2＝22.8×104 W ·m -2 由斯特藩──玻尔兹曼定律 M B (T ) = σT 4 ∴ T = 1.42×103 K 2．已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103 W/m 2 ． (1) 求太阳辐射的总功率． (2) 把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度． （地球与太阳的平均距离为1.5×108 km ，太阳的半径为6.76×105 km ，σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4 )） 解： (1) 太阳在单位时间内辐射的总能量 E = 1.37×103×4π(R SE )2 = 3.87×1026 W (2) 太阳的辐射出射度 =π= 2 04S r E E 0.674×108 W/m 2 由斯特藩－玻尔兹曼定律 4 0T E σ= 可得 5872/4 0== σE T K 3．图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 (1) 求证：对不同材料的金属，AB 线的斜率相同． (2) 由图上数据求出普朗克恒量h ． (基本电荷e =1.60×10-19 C) 解：(1) 由 A h U e a -=ν 得 e A e h U a //-=ν |U 14 Hz) 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第十七章 量子物理基础 17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。 解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为 34 8 44 10416.11067.5108.22) (?=??==-σ T M T B K 17–2 人体的温度以36.5?C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。 解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为 33m 10363.95.30910898.2?=?== -T b λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差U c = 。 解：由爱因斯坦光电效应方程W m h += 2 m 2 1v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则02 12 m =v m 。故红限频率 h A /0=ν 遏止电势差为 ()01011ννννν-=-=-= e h e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。 解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为 E ?=10.2eV ，故定态k 的能量为 eV 4.32.106.130-=+-=?+=E E E k 又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为 eV 55.2=-=k l E E E 17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。 A ．10mW/cm 2 B ．20mW/cm 2 C ．40mW/cm 2 D ．80mW/cm 2 E ．160mW/cm 2 解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即 ()4T T M B σ= 故应选（E ）。 第12章 量子物理学 12-1 氦氖激光器发射波长632.8nm 的激光。若激光器的功率为1.0mW ，试求每秒钟所发射的光子数。 解 一个光子的能量λ νhc h E ==，激光器功率P 数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数 1/s 1018.315?=== hc P E P N λ 12-2 某种材料的逸出功为3.00eV ，试计算能使这种材料发射光电子的入射光的最大波长。 解 光子的能量λ hc E =，要使这种材料发射光电子，入射光子的能量不能小于逸出功W ， 即有 W hc E == min λ 解得入射光的最大波长为 nm 4141014.470=?== -W hc λ 12-3 从铝中移去一个电子需要能量4.20eV 。用波长为200nm 的光投射到铝表面上，求： （1）由此发射出来的最快光电子和最慢光电子的动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长。 解 （1）根据爱因斯坦光电效应方程 W E h km +=ν 最快光电子的动能 W hc W h m E -=-== λ ν2m max k 21v eV 2.02J 1023.319=?=- 最慢光电子逸出铝表面后不再有多余的动能，故0min k =E （2）因最快光电子反抗遏止电场力所做的功应等于光电子最大初动能，即max k E eU a =， 故遏止电势差 V 02.2max k == e E U a （3）波长为红限波长λ0的光子，具有恰好能激发光电子的能量，由λ0与逸出功的关系W hc =0 λ 得铝的红限波长 nm 296m 1096.270=?== -W hc λ 12-4 在一个光电效应实验中测得，能够使钾发射电子的红限波长为562.0nm 。 （1）求钾的逸出功； （2）若用波长为250.0nm 的紫外光照射钾金属表面，求发射出的电子的最大初动能。 解 （1）波长为红限波长λ0的光子具有恰能激发光电子的能量，即光子能量等于逸出功 由W hc =0λ，得钾的逸出功 eV 2.21J 1054.3190 =?==-λhc W 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 第十九章 量子物理基础 19-1 某黑体在加热过程中，其单色辐出度的峰值波长由0.69 μm 变化到0.50 μm ，问其辐射出射度增加为多少倍？ （答案：3.63） 19-2 恒星表面可看作黑体．测得北极星辐射波谱的峰值波长λm =350nm(1nm=10-9m)，试估算它的表面温度及单位面积的辐射功率． （b = 2.897×10-3 m ·K ， σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4)） （答案：8280 K ，2.67×108 W/m 2） 19-3 一黑体在某一温度时的辐射出射度为 5.7×104 W/m 2，试求该温度下辐射波谱的峰值波长λm ． （b = 2.897×10-3 m ·K, σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4)） （答案：2.89×10-6 m ） 19-4 已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于 1.37×103 W/m 2． (1) 求太阳辐射的总功率． (2) 把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度． （地球与太阳的平均距离为1.5×108 km ，太阳的半径为6.76×105 km ，σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4)） （答案：3.87×1026 W ；5872 K K ） 19-5 用辐射高温计测得炼钢炉口的辐射出射度为22.8 W ·cm -2，试求炉内温度． （斯特藩常量σ = 5.67×10-8 W/(m 2·K 4) ） （答案：1.42×103 K ） 19-6 波长为λ的单色光照射某金属M 表面发生光电效应，发射的光电子(电荷绝对值为e ，质量为m )经狭缝S 后垂直进入磁感应强度为B 的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为R ．求 (1) 金属材料的逸出功A ； (2) 遏止电势差U a ． （答案：m B e R hc 2222-λ； m eB R U a 22 2=） 19-7 用单色光照射某一金属产生光电效应，如果入射光的波长从λ1 = 400 nm 减到λ2 = 360 nm (1 nm = 10-9 m)，遏止电压改变多少？数值加大还是减小？ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C) （答案：0.345V ，数值加大） 19-8 以波长λ = 410 nm (1 nm = 10-9 m)的单色光照射某一金属，产生的光电子的最大动能E K = 1.0 eV ，求能使该金属产生光电效应的单色光的最大波长是多少？ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s) （答案：612 nm ） 19-9 红限波长为λ0 =0.15 ?的金属箔片置于B =30×10-4 T 的均匀磁场中．今用单色γ 射 线照射而释放出电子，且电子在垂直于磁场的平面内作R = 0.1 m 的圆周运动．求γ 射线的波 长．(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C, 电子质量m e =9.11×10-31 kg) B × × × × × 第十二章 量子物理（一） 1．已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2eV ，而钠的红限波长是540nm ，那么入射光的波长是 （A ） 535nm . （B ） 500nm . （C ） 435nm . （D ） 355nm . 2．用频率为ν的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E k ，若改用频率为2ν的单色光照射此种金属，则逸出光电子的最大动能为 （A ） h ν+E k . （B ） 2h ν-E k . （C ） h ν-E k . （D ） 2E k .. 3．在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的60%，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的 (A) 2倍。 (B) 1.5倍。 (C) 0.5倍。 (D) 0.25倍。 4．光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程.对此过程，在以下几种理解中，正确的是： （A ）光电效应是电子吸收光子的过程，而康普顿效应则是光子和电子的弹性碰撞过程. （B ）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程. （C ）两种效应都属于电子吸收光子的过程. （D ）两种效应都是电子与光子的碰撞，都服从动量守恒定律和能量守恒定律. 5．电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.04nm ，则U 约为: （A ） 150V. （B ） 330V . （C ） 630V . （D ） 940V . 6．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同。 (B) 能量相同。 (C) 速度相同。 (D) 动能相同。 7．光子的波长为λ，则其能量ε = ；动量的大小为p = ；质量为m = . 8．低速运动的质子P 和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 αp p :p ＝ ；动能之比αE E :p ＝ 。 9．如果电子被限制在边界x 与x x ?+之间，5.0=?x ?，则电子动量x 分量的不确定量x p ?近似地为 -1s m kg ??。(不确定关系式h p x x ≥???，普朗克常量s J 1063.634??=-h )量子信息论简介
第十二章-量子物理学
对量子力学的认识
第22章量子力学基础教案
量子信息学
第十七章量子力学简介解答和分析
第二章 量子物理学基础
2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义设计—第十二章 量子物理：光的量子性
量子通信技术基于量子物理学的基本原理
量子信息小论文
大学物理习题答案 第17章 量子物理学基础
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第十七章 量子物理基础习题解
1大学物理简明教程习题解答第12章 2010.9
量子力学思考题及解答
Ch量子物理基础
19-活页作业-第十二章-量子物理-