10 第十章 典型相关分析
第十章 典型相关分析
在回归分析中，一元线性回归是研究一个变量与另一变量的线性关系，多元线性回归是研究一个变量与另一组变量的线性关系。现在，我们要研究一组变量与另一组量的线性关系，这就是典型相关分析所面临的问题。
与主成份分析类似，我们在第一组变量中选取若干个有代表性的综合指标，在第二组变量中也选取若干个有代表性的综合指标，这样便把原来教多的变量简化成少数几个典型变量。通过对少数几个典型变量之间的相关关系分析研究原来两组变量之间的相关关系，这种研究方法称为典型相关分析。
典型相关分析在化探中的应用虽然不如其它方法那样普遍，但它却有着广阔的应用前景。例如，研究成矿元素组份与伴生元素组份的关系可以帮助查清不同成矿作用中伴生元素的指示意义，研究矿石中元素组合与异常中的元素组合关系可以有助于异常的评价；研究矿床中的元素组合与围岩中元素组合的关系也可能对矿床成因起一定作用；研究矿体、矿床原生晕组合与土壤、水系沉积物中次生晕的组合关系无疑会对异常的评价预测起着重要作用。因此，典型相关分析的应用大有潜力可挖。
§1 典型变量与典型相关系数的概念
设有两组随机变量(x 1，x 2，…，x m )和（y 1，y 2，…，y p ，），它们分别有以下线性组合
??
?++=++=p
p m
m y b y b y b v x a x a x a u L L 22112211 （10.1） 其中，a i (i=1，2，…，m) 、b j (j=1，2，…，p)可以是任意常数，当它们取值不同时，便可获得一对不同的线性组合u ，v 。
在所有可能的线性组合中，如果能找到这样一对线性组合u ，v 使得u ，v 间的简单相关系数ρ（u ，v ）达到最大，那么，这两个线性组合u ，v 就称为典型变量。
典型变量u ，v 间的相关系数ρ（u ，v ）代表了两组变量x 1，x 2，…，x m 和y 1，y 2，…，y p 间的相关性，称为典型相关系数。
当我们找到一对典型变量u ，v 时，尽管它们间的典型相关系数ρ（u ，v ）达到最大，但它不一定能完全表达两组间的全部相关关系。为了尽可能多地表现两组变量间的相关关系，我们还要寻找其它的典型变量对。方法是这样的：
设已找到了第一对典型变量
??
?++=++=p
p m
m y b y b y b v x a x a x a u 1221111112211111L L 现在要找到第二对典型变量
??
?++=++=p p m
m y b y b y b v x a x a x a u 22221122
22221122L L 它应满足的条件是
ρ(u 1,u 2)=0 ρ(v 1,v 2)=0 ρ(u 1,v 2)＞ρ(u 2,v 2)＞ρ(u 3,v 3)
其中ρ(u 2,v 2)就是第二对典型变量得相关系数以此类推ρ(u 3,v 3)是第三对相关系数，它对应的一对典型变量是u 3,v 3……。这样进行下去，可得到若干对典型变量，进而提取出两组变量之间的全部相关信息。（296页）
可见典型相关分析的思路与因子分析中提取因子的思路类似。在因子分析中，主因子是按它们的方差贡献，由大到小逐个提取主因子，直到变量的公因子方差被全部分解完毕为止。在典型相关分析中，线性组合对u 1与v 1，u 2与v 2、…、u r 与v r 是按照典型相关系数大小逐对提取，直到两组变量之间的相关信息被分解完毕为止。
§2 典型变量与典型相关系数的计算
上节讨论了典型相关分析的基本思路与有关概念，现在从两组变量的样本观测值出发，给出计算方法。
一、原始数据与协方差矩阵
设对以下两组变量 x 1，x 2，…，x m
y 1，y 2，…，y p
各观测n 次得到一个n 行m+p 列的原始数据矩阵
Z =[X,Y ]==[x ??
????
?
???????np n nm n p m p m y y x x y y x x y y x x K K K
K K K K K 112212*********,x 2,…,x m ,y 1,y 2,…,y p ] (10.2)
其中各列向量x 1，x 2，…，x m ， y 1，y 2，…，y p ，都是n 阶的，它们分别代表两组变量的n
个观测值。矩阵（10.2）可按变量组分成两块，并以矩阵形式记为：
X = （x =?
????
????
???nm n n m m x x x x x x x x x K K
K K K 2122221
112
111，x 2，…，x m ） (10.3)
Y =（ y =?
?
?????????
??
?np n n p p y y y y y y y y y K K
K K K 2
122221
112111，y 2，…，y p ） (10.4)
以上就是典型相关分析中所需要的全部原始数据。
典型相关分析是研究变量之间的关系，因而离不开协方差矩阵。设以上两组变量中各变量的观测值都是中心化数据，则由前几章可知，它们的均值都为0，并且由中心化数据矩阵Z 容易简便地将全部m+p 个变量间的协方差矩阵表示为
S =
Z Z n
Τ
1 (10.5) 或者写成分块矩阵形式
S =[]??
?
???=??????=??????ΤΤ
ΤΤΤΤ2221
1211
11S S S S Y Y X
Y Y X X X n XY Y X n (10.6)
其中， S 11 =
X ZX n Τ1； S 22 =Y Y n Τ1； S 12 =Y X n Τ1；S 21 =X Y n
Τ1
(10.7) 它们的阶数和意义显然。
二、典型变量于典型相关系数的推导
设矩阵X 、Y 由（10、3）、（10、4）式定义，并设向量
a =（a 1，a 2，…，a m ）Τ
b =（b 1，b 2，…，b p ）Τ (10.8) 分别为m 、p 阶任意列响亮，待求一对典型变量u 、v 在n 个样品中的取值为
(10.9) ???==Τ
Τ
)
,,,(),,,(2121n n v v v v u u u u K K 则有
??
?==Yb
v Xa
u (10.10) 而且由于原始变量都是中心化的，故u 、v 也是中心化的。为方便起见，我们折典型变量都是标准化的，因此要求u 、v 的方差为1，即
?????======Τ
ΤΤΤΤΤΤΤ1
11
1112211b S b Yb Y n b v v n
a S a Xa X n a u u n (10.11) 由前面几章知道，变量u 与v 间的相关系数应为
b S a Yb X a n
v u n v u 1211
),(ΤΤΤ
Τ==
=ρ (10.12) 为求典型变量u 、v ，只要求适当的系数a 、b ，使得ρ（u ，v ）达极大。这归纳为以下条件极值问题：
在条件（10.11）下，求向量a 、b ，使（10.12）中的ρ（u ，v ）达极大。由拉格朗日不定乘法，就是使目标函数
b S b a S a b S a 222
111
122
2
ΤΤΤ?
?
=Φμμ
达极大，这时应满足如下方程组
?????=?=??=?=??002222111112b S a S b
a S
b S a μφ
μφ
（10.13）
对前一方程左乘a Τ，对后一方程左乘b Τ，并考虑（10.11）后可得
μ1 = a ΤS 12b
μ2 = b ΤS 21a = a ΤS 12b (10.14) 结合（10.12）可见，
μ1=μ2=λ=ρ（u ，v ） 于是（10.13）可整理成
(10.15)
??
?=?=?0
22211112b S a S a S b S λλ由上式前一方程得
(10.16) b S S a 121
111
??=λ将其代入后一方程并整理得
(10.17) 0222
121
1121=??b S b S S S λ这是一个广义的特征值和特征向量问题，由此可求得r 个非零特征值和对应的特征向量。设这些特征值由大到小排列为
,022221≥≥≥≥r λλλL (10.18)
),min(p m r ≤相应的特征向量为b 1，b 2，…，b r ，则将其代入（10.16）式可对应求出另一组向量a 1，a 2，…，a r ，由（10.14）知λ就是对应于典型变量u 、v 的典型相关系数。于是，根据我们的问题可得到以下结论：与最大特征值对应的向量λ12对应的向量
b 1 = (b 11，b 21，…，b m 1)Τ就是线性组合 V 1 = Yb 1
的系数，它对应的向量
a 1 = (a 11，a 21，…，a m 1)Τ就是线性组合
u 1=Xa 1
的系数，最大特征值λ12的平方根λ1就是u 1与v 1间的相关系数，即第一个典型相关系数。
类似地，次大特征值λ22对应的特征向量 b 2 = (b 12，b 22，…，b m 2)Τ就是线性组合
v 2=Yb 2
的系数，与其相应的向量
a 1 = (a 12，a 22，…，a m 2)Τ就是线性组合
u 2=Xa 2
的系数，次大特征值λ22的平方根λ2就是u 2与v 1间的相关系数，即第二个典型相关系数
一般地，在（10.17）下，我们可求出r 个满足条件（10.11）的特征向量
b j = (b 1j ，b 2j ，…，b pj )Τ j=1,2,…,r (10.19) 将其代入（10.16）可求出另一组向量
a j = (a 1j ，a 2j ，…，a mj )Τ j=1,2,…,r (10.20) 它们分别是线性组合
???==j j
j
j Yb v Xa u j=1,2,…,r (10.21) 的系数，并且第j 对典型变量u j 、v j 间的典型相关系数为λj 。
这样，我们就可以求出全部典型变量及相应的典型相关系数。当然，我们通过上面的讨论还注意到，矩阵S 11、 S 12均应满秩。而且它们都是正定的。而S 12则可以不满秩，半正定，实际上S 12的秩就是r 。
三、典型变量的性质
典型变量u 、v 具有如下性质：
1、每个典型变量均为标准化变量，而且u 1，u 2，…，u r 之间，v 1，v 2，…，v r 之间相不相关，即
???≠====Τ
ΤΤΤk
j k
j a S a Xa X a n u u n k j k j k j ,
0,11111 ??
?≠====Τ
ΤΤΤk
j k
j b S b Yb Y b n v v n k j k j k j ,
0,11122 (10.22) 2、每对典型变量的典型相关系数为λj ，j=1，2，…，r 。但u j 与v k 之间当j ≠k 时互不相
关，即
???≠====Τ
ΤΤΤk
j k
j b S a Yb X a n v u n k j k j k j ,
0,1112λ (10.23)
§3 典型相关系数的显著性检验
与其它相关分析一样，只有当典型相关系数足够大时，才认为两组变量间显著相关，这样的典型相关分析才有意义，因此要对典型相关显著性检验。
如果变量组X 与变量组Y 之间不相关，则协方差矩阵S 12中的所有元素均为0，且典型相关系数
, j=1,2,…,r
j j j b S a 12Τ=λ也都是0，于是统计量
)1()1)(1()1(2
22211
2
1r r
j j
λλλλ
???=?=
∧∏=L 应取值较大。则在正态假设及在两组变量X 和Y 不相关的假设Ho:ρ1=0下，统计量 )]1(2
1
1[1++?
??=p m n Q ㏑1∧ (10.24) 近似服从自由度为mp 的X 2分布。如果给定信度α，可查得X 2α（mp ）。若计算出的Q 1值大于临界值X 2α（mp ），则否定原假设Ho ，认为第一典型相关系数λ1显著大于0。否则接受Ho 。
还可以在λ1显著大于0时进一步检验第二个典型相关系数λ2，即假设ρ2为0，这时用统计量
)1(2
22∏=?=
∧r
j j
λ
当ρ2=0为真时，统计量
)]1(2
1
2[2++?
??=p m n Q ㏑2∧ (10.25) 近似服从自由变为（m-1）(p-1）的X 2分布。在给定信度α下，若Q 2大于临界值X 2α{（m-1）（p-1）}，则认为ρ2显著地不为0，否则认为ρ2=0。
一般地，在经检验第j-1个典型系数显著大于0，需检验第j 个典型相关系数ρj 时，作统计量 (10.26)
)1(2∏=?=
∧r
j
k k
j λ
而且当n 较大时，统计量 )]1(2
1
[++?
??=p m j n Q j ㏑j ∧ ～ (10.27) )]1)(1[(2+?+?j p j m X 并由此检验典型相关系数ρj 的显著性。
§4 典型相关分析的应用
例1、用典型相关分析探讨金矿成因
某地金矿床中有石英大脉与石英小脉两种类型，大脉中金较富，具有一定工业规模，小脉中的金也有够品位的，但规模较小，地表工业价值不大。假如他们成因相同，则值得研究小脉的深部情况，若成因不同，则别当讨论。所以利用微量元素组份特征研究石英大脉与石英小脉的成因是典型相关分析目的之一。另外为了进一步探讨金与围岩间有无成因关系，将8个元素分成两组，即Au 、Cu 、Pb 、Ag 与Ni 、Cr 、Ba 、Sr ，以石英大脉的96个样品与石英小脉的91个样品作了两次典型相关分析，现将较显著的第一个典型相关系数和第一对典型变量给出如下。
石英大脉： λ1=0.529
U 1=-0.11Au+1.46Pb+0.44Cu-2.2Ag V 1=0.94Ni+0.44Cr-0.06Ba+0.29Sr 石英小脉 λ1=0.568
U 1=-0.47Au+0.65Pb+0.51Cu-1.18Ag V 1=-0.24Ni-0.26Cr-0.83Ba+0.43Sr 具体解释如下：
1．由于石英大脉与石英小脉中主要微量元素组合都是Ag 、Pb 、Cu 、Au ，因此它们都可能属于后期热液形成。
2．石英大脉与石英小脉中Ag 、Pb 、Cu 之来源可能有所差异。因为与因子分析一样，每个典型变量的意义主要是由那些负载大的变量所决定。在石英大脉中，V 1反映的围岩物质成分的微量元素Ni 、Cr 起主要作用，而石英小脉中V 1是以Ba 、Sr 为主，而与Cr 、Ni 关系不大。
3．无论石英大脉或石英小脉中，Au 与围岩组分间的关系都属于次要地位，可能主要与热液作用有关。
例2、应用典型相关分析区分真假异常
在表4-5的汇水盆地数据中，用各种方法鉴别出了有“异常”组分的样品(即样品9、12、13、15、16、22、和23)之后，我们就可把注意力集中到剩下的18个代表真正“背景”
组分的样品上。现在的问题是：如何确定与矿化有关的元素在这一背景总体中的性状，并把由地球化学背景变化而富含这些元素的样品与因矿化或表生风化而富含这些元素的样品区分开。
如果把水系沉积物样品的成矿元素Zn 测值分为三部分 Zn=Z (矿化)+ Z (矿化)+Z (环境)
则我们便可以推测，在岩性单一的未矿化背景区，Z (矿化)为零,，Z (岩性)为常数，而Z (环境)则随地球化学环境中Ph 、Eh 有机物含量等因素变化而变化。在一个背景区，如果“矿化元素组合”与“环境元素组合”有很强的协变关系，那么，这两个元素组合的比值就应该接近于常数。典型相关分析就可以用来确定这种多变量组合间的比值。
在本例中，定义了如下两个变量组合 U 1=a 1Zn+a 2Cd+a 3Cu V 1=b 1Fe+b 2Mn
其中第一组合U 代表与矿化有关的元素，第二个组合代表与环境有关元素，并用18个背景样品求得了第一典型变量为
U 1=0.94Zn+0.35Cd+0.24Cu V 1=0.8Fe+0.29Mn
第一典型相关系数为0.994。第二典型变量为
U 1=-0.62Zn-0.46Cd+1.52Cu V 1=0.95Fe-1.21Mn
第二典型相关系数为0.147。在此，由于第二典型相关系数很小，故只讨论第一典型变量，其典型相关系数非常显著。
将表4-5中25个样品中各元素的标准化数值代入第一典型变量可得
Cu
Cd Zn S Cu
Cu S Cd Cd S Zn Zn U ???+?=1
111124.035.094
.0 Mn
Fe S Mn Mn S Fe Fe V ?+?=111129.08
.0 i=1,2,…,25
其中Zn i 、Cd i 、…、Mn i 表示第i 个样品中相应元素的原始数据，Zn 、Cd 、…、Mn 和S Zn 、S Cd 、…、S Mn 表示相应各元素的均值和均方差，且它们都是18个用背景样品求出的。
对背景样品i ，“矿化元素组合”值U 11与“环境元素组合”值V 11之间的比值应接近常数，在标准化数据下应接近于1，即应有
111
11
?→?V U 因为在背景样品中，U （Zn 、Cd 、Cu ）与V(Fe 、Mn)相关性很高,，U 绝大部分信息可被V 中的信息所解释。
图10-1是用第一典型变量U 11和V 11观测值（i=1、2、…25）所作的散点图。图中的黑色区域表示其中样品有潜在矿化意义，13、15和16号样品在此区；浅色阴影区表示值得检查的区域，14、12、和9号在此区，背景区用白色表示，全部背景样品和22、23号无意义异常样品均落入此区，且由于U/V 比值接近而大致呈一条直线分布。这些结果与我们在前几章中所得结果是一只致的。
图10-1 典型变量u和v的散点图
习题10
10.1 试比较典型相关分析与回归分析的异同点。
10.2 设计典型相关分析的计算流程图。
10.3 设某图幅内有若干个矿床，并且有与每个矿床对应的原生异常与水系沉积物的数据，分析了Cu、Pb、Zn三种元素。现在研究原生晕与分散流间的继承性，即原生异常与分散间的关系，试问：
1、可采用何种统计分析方法?
2、若采用典型相关分析，则典型变量U、V的线性组合形式怎样?
3、若采用典型相关分析时，如何定义样本与样品？
4、为了保证计算能顺利进行，即S11、S22满秩，问最少要取样品数为多少？
10.4 考虑回归分析的预测原理，试建立一个用典型相关分析进行预测的模型。
附录2：相关系数检验表
n-2 5% 1% n-2 5% 1% n-2 5% 1%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15 0.997
0.950
0.878
0.811
0.754
0.707
0.666
0.632
0.602
0.576
0.553
0.532
0.514
0.497
0.482
1.000
0.990
0.959
0.917
0.874
0.834
0.798
0.765
0.734
0.708
0.684
0.661
0.640
0.623
0.606
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.468
0.456
0.444
0.433
0.423
0.413
0.404
0.396
0.388
0.381
0.374
0.367
0.361
0.355
0.349
0.590
0.595
0.561
0.549
0.537
0.526
0.515
0.505
0.406
0.487
0.478
0.470
0.463
0.456
0.449
35
40
45
50
60
70
80
90
100
125
150
200
300
400
1000
0.325
0.304
.0288
.0273
0.250
0.232
0.317
.0205
0.195
0.174
0.159
0.133
0.113
0.098
0.062
0.418
0.393
0.372
0.354
0.325
0.302
0.283
0.267
0.254
0.258
0.208
0.181
0.148
0.128
0.081
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ第10章 一元回归及简单相关分析
第十章一元回归及简单相关分析 10.1对尿毒症患者采用低蛋白并补加基本氨基酸的食物进行治疗，分析该疗法对患者体内一些成分的影响。以下数据是在治疗前患者的基本数据[64]： 体重（BW） /kg 体内总钾（TBK） /mmol 血清尿素（UREA） /（mmol·L-1） 73 3 147 19 70 3 647 36 72 3 266 25 53 2 650 25 97 3 738 34 77 3 982 36 63 2 900 49 54 3 194 38 66 3 930 16 53 3 419 34 70 3 978 34 63 2 747 26 65 4 181 46 88 3 678 41 82 3 540 39 69 3 912 19 91 4 138 35 62 2 896 43 74 3 410 50 90 3 679 23 74 3 855 38 71 2 750 50 59 3 583 31 80 3 268 47 66 2 846 45 115 4 804 65 111 5 290 38 64 2 960 45 71 3 610 24 69 2 905 31 计算三者之间的相关系数，并检验相关的显著性。 答：所用程序及计算结果如下： options linesize=76 nodate; data uremia; infile 'e:\data\er10-1e.dat'; input bw tbk urea @@; run; proc corr nosimple; var bw tbk urea; run; The SAS System Correlation Analysis 3 'VAR' Variables: BW TBK UREA Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / N = 30 BW TBK UREA
应用多元统计分析习题解答典型相关分析Word版
第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X
初中物理电路故障及动态电路分析报告解题技巧和经典题型含详细答案
实用文档 初中物理电路故障及动态电路分析 、先根据题给条件确定故障是断路还是短路：两灯串联时，如果只1有一个灯不亮，则此灯一定是短路了，如果两灯都不亮，则电路一定是断路了；两灯并联，如果只有一灯不亮，则一定是这条支路断路，如果两灯都不亮，则一定是干路断路。在并联电路中，故障不能是短路，因为如果短路，则电源会烧坏。、根据第一步再判断哪部分断路或短路。2两端电压，开关闭合串联在电路中，电压表测L2L21：L1与例后，发现两灯都不亮，电压表有示数，则故障原因是什么？解：你先画一个电路图：两灯都不亮，则一定是断路。电压表有示数，说明电压表两个接线柱跟电源两极相连接，这部分导线没断，那么只L1断路了。有示数很大，V2电压，V2，串联，电压表L1与L2V1测L1、例2都断示数很大，说明L2V1=0B、若而V2L2则L1短路而正常；电压。闭合开关后，两灯都不亮。则下列说法正确的是：路。测L2V1=0 、若A。首先根据题给条件：两灯都不BA。其实答案为解：可能你会错选相当于V2L2亮，则电路是断路，A肯定不正确。当断路时，此时连接到了电源两极上，它测量的是电源电压，因此示数很大。而此时的示数为零。由于测有电流通过，因此两端没有电压，因此L1V1标准文案． 实用文档 首先要分析串并联，这个一般的比较简单，一条通路串联，多条并联。
如果碰上了电压表电流表就把电压表当开路，电流表当导线。这个是因为电流表电压小，几乎为零。但电压表不同。此处要注意的是，电压表只是看做开路，并不是真的开路。所以如果碰上了一个电压表一个用电器一个电源串联在一起的情况，要记得。电压表是有示数的（话说我当时为这个纠结了好久）。还有一些东西光看理论分析是不好的，要多做题啊，做多得题，在分析总结以下，会好很多。而且如果有不会的，一定要先记下来，没准在下一题里就会有感悟、一．常见电路的识别方法与技巧 在解决电学问题时，我们遇到的第一个问题往往是电路图中各个 用电器（电阻）的连接关系问题。不能确定各个电阻之间的连接关系，就无法确定可以利用的规律，更谈不到如何解决问题。因此正确识别电路是解决电学问题的前提。当然首先必须掌握串联电路和并联电路这两种基本的电路连接方式（图１（甲）、（乙）），这是简化、改画电路图的最终结果。 识别电路的常用方法有电流流向法（电流跟踪法）、摘表法（去表法）、直线法和节点法。在识别电路的过程中，往往是几种方法并用。 １．电流流向法 电流流向法是指用描绘电流流向的方法来分析电阻连接方式的方法。这是一种识别电路最直观的方法，也是连接实物电路时必须遵循的基本思路。具体步骤是：从电源正极出发，沿着电流的方向描绘标准文案．
第10章-简单线性回归分析思考与练习参考答案
第10章 简单线性回归分析 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。 A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错 2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。 A ．总SS =残差SS B ．残差SS =回归 SS C ．总SS =回归SS D ．总SS ＞回归SS E. 回归MS =残差MS 3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。 A ．ρ=0时，r =0 B ．|r |＞0时，b ＞0 C ．r ＞0时，b ＜0 D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1 4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。 A ．简单线性回归的截距等于0 B ．简单线性回归的截距等于Y 或X C ．简单线性回归的残差SS 等于0 D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总 E ．简单线性回归的总SS 等于0 5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。 A ．各观测点距直线的纵向距离相等 B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C ．各观测点距直线的垂直距离相等 D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小
E ．各观测点距直线的纵向距离等于零 二、思考题 1．简述简单线性回归分析的基本步骤。 答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。 答：区别： （1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。 （2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。 （3）两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。 （4）两个系数的取值范围不同：-1≤r ≤1，∞<<∞-b 。 （5）两个系数的单位不同：r 没有单位，b 有单位。 联系： （1）对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0时，r ＞0，均表示两变量X 、Y 同向变化；b ＜0时，r ＜0，均表示两变量X 、Y 反向变化。 （2）回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价，即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单，故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。 （3）用回归解释相关：由于决定系数2 R =SS 回 /SS 总 ，当总平方和固定时，回归平方 和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则2 R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20，n =100时，可按检验水准0.05拒绝H 0，接受H 1，认为两变量有相关关系。但2 R =(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
第3章多级放大电路典型例题
分析：（1）中频等效电路（微变等效电路或交流等效电路） （2）计算A u ])1([72be25i2be1i2 31u1R r //R R r R //R A ββ++=-=其中： be172be2531u1]} )1([{r R r //R //R A ββ++-=或者： 72be2L 62u2)(1R r R //R A ββ++-= u2u1u A A A ?= （3）计算R i ：be121i r //R //R R = （4）计算R o ：6o R R =
分析：（1）中频等效电路（微变等效电路或交流等效电路） （2）计算A u 3 2 be2 i2 be1 1 i2 2 1 1u 1R) ( r R r R ) R // R ( Aβ β + + = + - =其中： be1 1 3 2 2 2 1 1u } ) 1( [ { r R R r // R A be + + + - = β β 或者： 1 ) 1( ) 1( u2 3 2 2 3 2 2 u ≈ + + + =A R r R A be 或者： β β u2 u1 u A A A? = （3）计算R i： be1 1 i r R R+ = （4）计算R o： 2 2 be2 3 o1β + + = R r // R R
分析：（1）中频等效电路（微变等效电路或交流等效电路） （2）计算A u 2 1u A A A ?= （3）计算R i （4）计算R o 静态工作点的计算同单管放大电路的方法，此处略。 123be211be1123be2(1)()1(1)() R R r A A r R R r ββ+==++∥∥ 或者 ∥∥242be2 R A r β=-i 1be1123be2[(1)()] R R r R R r β=++∥∥∥o 4 R R =
统计学习题集第五章相关与回归分析(0)
所属章节： 第五章相关分析与回归分析 1■在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为（）。 答案： 负相关。干扰项： 正相关。干扰项： 完全相关。干扰项： 非线性相关。 提示与解答： 本题的正确答案为： 负相关。 2■在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之减少，则称为（）。 答案： 正相关。干扰项： 负相关。干扰项： 完全相关。干扰项： 非线性相关。 提示与解答：
本题的正确答案为： 正相关。 3■下面的xx中哪一个是错误的（）。 答案： 相关系数不会取负值。干扰项： 相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量。干扰项： 相关系数是一个随机变量。干扰项： 相关系数的绝对值不会大于1。 提示与解答： 本题的正确答案为： 相关系数不会取负值。 4■下面的xx中哪一个是错误的（）。 答案： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是： 所检验的回归系数的真值不为0。 干扰项： 相关系数显著性检验的原假设是： 总体中两个变量不存在相关关系。 干扰项： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是：
所检验的回归系数的真值为0。 干扰项： 回归分析中多元线性回归方程的整体显著性检验的原假设是： 自变量前的偏回归系数的真值同时为0。 提示与解答： 本题的正确答案为： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是： 所检验的回归系数的真值不为0。 5■根据你的判断，下面的相关系数值哪一个是错误的（）。 答案： 1.25。干扰项：-0.86。干扰项： 0.78。干扰项：0。 提示与解答： 本题的正确答案为： 1.25。 6■下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的（）。 答案： 数值越大说明两个变量之间的关系越强，数值越小说明两个变量之间的关系越弱。 干扰项：
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ第五章组合逻辑电路典型例题分析
第五章 组合逻辑电路典型例题分析 第一部分：例题剖析 例1．求以下电路的输出表达式： 解： 例2．由3线－8线译码器Ｔ4138构成的电路如图所示，请写出输出函数式． 解： Y = AC BC ABC = AC +BC + ABC = C(AB) +CAB = C (AB) T4138的功能表 & & Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 “1” T4138 A B C A 2A 1A 0Ya Yb S 1 S 2 S 30 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 S 1S 2S 31 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0 A 2A 1A 0Y 0Y 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 70 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 0
例3．分析如图电路，写出输出函数Ｚ的表达式。CC4512为八选一数据选择器。 解： 例4．某组合逻辑电路的真值表如下，试用最少数目的反相器和与非门实现电路。（表中未出现的输入变量状态组合可作为约束项） CC4512的功能表 A ? DIS INH 2A 1A 0Y 1 ?0 1 0 0 0 00 00 00 0 0 0 0 00 0 ?????0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0 1 0 11 1 01 1 1 高阻态 0D 0D 1D 2D 3D 4D 5D 6D 7 Z CC4512 A 0A 1A 2 D 0 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 DIS INH D 1 D A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 0 CD AB 00 01 11 1000 1 0 0 101 0 1 0 1 11 × × × ×10 0 1 × × A B 第一步画卡诺图第三步画逻辑电路图
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
电路分析典型习题与解答
中南民族大学电子信息工程学院电路分析典型习题与解答
目录 第一章：集总参数电路中电压、电流的约束关系 (1) 1.1、本章主要内容： (1) 1.2、注意： (1) 1.3、典型例题： (2) 第二章网孔分析与节点分析 (3) 2.1、本章主要内容： (3) 2.2、注意： (3) 2.3、典型例题： (4) 第三章叠加方法与网络函数 (7) 3.1、本章主要内容： (7) 3.2、注意： (7) 3.3、典型例题： (7) 第四章分解方法与单口网络 (9) 4.1、本章主要内容： (9) 4.2、注意： (10) 4.3、典型例题： (10) 第五章电容元件与电感元件 (12) 5.1、本章主要内容： (12) 5.2、注意： (12) 5.3、典型例题： (12) 第六章一阶电路 (14) 6.1、本章主要内容： (14) 6.2、注意： (14)
6.3、典型例题： (15) 第七章二阶电路 (19) 7.1、本章主要内容： (19) 7.2、注意: (19) 7.3、典型例题： (20) 第八章阻抗与导纳 (21) 8.1、本章主要内容： (21) 8.2、注意: (21) 8.3、典型例题： (21) 附录：常系数微分方程的求解方法 (24) 说明 (25)
第一章：集总参数电路中电压、电流的约束关系 1.1、本章主要内容： 本章主要讲解电路集总假设的条件，描述电路的变量及其参考方向，基尔霍夫定律、电路元件的性质以及支路电流法。 1.2、注意： 1、复杂电路中，电压和电流的真实方向往往很难确定，电路中只标出参考 方向，KCL,KVL均是对参考方向列方程，根据求解方程的结果的正负与 参考方向比较来确定实际方向. 2、若元件的电压参考方向和电流参考方向一致，为关联的参考方向， 此时元件的吸收功率P吸=UI，或P发=-UI 若元件的电压参考方向和电流参考方向不一致，为非关联的参考方向， 此时元件的吸收功率P吸=-UI，或P发=UI 3、独立电压源的端电压是给定的函数，端电流由外电路确定（一般不为0） 独立电流源的端电流是给定的函数，端电压由外电路确定（一般不为0） 4、受控源本质上不是电源，往往是一个元件或者一个电路的抽象化模型， 不关心如何控制，只关心控制关系，在求解电路时，把受控源当成独立 源去列方程，带入控制关系即可. 5、支路电流法是以电路中b条支路电流为变量，对n-1个独立节点列KCL 方程，由元件的VCR，用支路电流表示支路电压再对m（b-n+1）个网 孔列KVL方程的分析方法.（特点：b个方程，变量多，解方程麻烦）
第十章直线相关与回归
第十章 直线相关与回归 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 ⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容 ⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。 二、 学内容精要 (一) 直线回归 1. 基本概念 直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。 直线回归方程bX a Y +=?中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比 a b 含义 回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。 回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方 b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方 b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小 系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化 计算公式 X b Y a -= XX XY l l X X Y Y X X b =---= ∑∑2 )())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验 （1）方差分析； （2）t 检验。
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0(