【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现

第1章前言

1.1问题背景

在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。

在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。

科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。

解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。

1.2问题现状

近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。而且精度上更好。

目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB

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被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。

在我国，MATLAB在各大专院校的应用日益普遍，许多专业已把MATLAB作为基本计算工具。在科研机构和工业界，MATLAB正得到越来越广泛的应用。

MATLAB具有强大的图形绘制功能，为科学计算和图形处理提供了很大的方便。我们只需制定的绘图方式，再提供绘图数据，有程序指令就可以得到形象、直观的图形结果。因此，近些年越来越多的人开始使用MATLAB来求解数值计算和图形处理技术，我们也可以绘制出热传导方程数值解的二维、三维图形，从而可以更好的理解热传导方程的意义。

1.3 问题解决

目前，对于求解偏微分方程有很多方法，但差分法和有限元离散法式主要解决问题的两种方法。一般来说，用差分法来接偏微分方程，解得得结果就是方程的准确解函数再借点上的近似值。而用变分近似的方法求解，是将近似解表示成有限维子空间中基函数的线性组合。有限元法也是基于变分原理，由于选择了特殊的基函数，使它能适用于一般的区域。这种基函数是与区域的剖分有关的，近似解u表示为基函数的线性组合，二线性组合中的系数，又是剖分节点上u或其导数的近似值。

有关一维热传导方程的有限差分法求解的MATLAB实现，西安建筑科技大学的史策教授已经解决，本文借鉴史老师的求解思想，对二维热传导方程进行转换，再对解法编程实现，从而进一步对热传导方程进行探讨。二维热传导方程求解在现实生活中的应用也更加广泛，所以有很好的现实意义。

第2章 预备知识

定义2.1[8] 含有未知函数12(,,,,)n u x x x t 的偏导数的方程称为偏微分方程。 定义2.2[8] 方程

111()()(,),n n n

u u u k k F x t t x x x x ?????=+++????? 称热传导方程（或扩散方程）。

其中，(,)u u x t =是固体的传热过程中在x 处、t 时刻的温度。系数i k 称为热传导系数，当12(0)n k k k a a ====> 时，方程为

(,),u

a u F x t t

?=?+? 其中222

22212n

x x x ????=+++??? ，n 为维数。

定义2.3[8] 在特定条件下求解方程的解。这样的条件成为定解条件。给出了方程和定结条件，就构成了定解问题。 定义2.4[1] 一般说，边界条件有下列形式

(,)(,)(,)

(,)(,),u

x y u x y x y x y x y n

αβγ?+=?

其中

u

n

??为边界的外法向导数。有如下几种特殊形式 (1)Dirichlet （或第一类）条件：0,β=即u 值给定；

(2)Neumann （或第二类）条件：0α=.即u 的外法向导数给定； (3)Robbins （或第三类）条件：0,0αβ≠≠。

定 义2.5[8] 只有出事条件而没有边界条件的定解问题。 定 义2.6[8] 只有边界条件而没有初值条件的定解问题。 定 义2.7[8] 既有边值条件又有初值条件的定解问题。

定 义2.7[8] 定义在()+∞∞-,上的函数()x v 的一个关系式，设∞

-dx x v 2)(，有关系式

()12()(),i x v x v e d d λεπ

εελ+∞+∞

---∞

-∞

=??

以上变换称为Fourier 变换。 其中1-=i 是虚数单位。

定义 2.9[8] 由第n 个时间层推进到第1n +个时间层时差分方程提供了逐点直接计算1n u j +

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的表达式，我们称次差分方程为显式格式。

定义2.10[8] 有限差分格式在新的时间层上包含有多于一个的节点，这种有限差分格式称为隐式格式。 定义2.11[11]

(,)(,)(,),v x t v x t t v x t t ?=+?-+ (,)(,)(,).v x t v x x t v x t x ?=+?-+

称为向前差分。 定义2.12[11]

(,)(,)(,),v x t v x t v x t t t ?=--?-

(,)(,)(,).v x t v x t v x x t x ?=--?-

称为向后差分。 定义2.13[11]

11(,)(,)(,),2

2

v x t v x t t v x t t t δ=+?--?

11(,)(,)(,).2

2

v x t v x x t v x x t x δ=+?--?

称为中心差分。 定义2.14

[11]

用微分方程的解代替差分方程的全部近似解，这样得到的方程两边的差就

是截断误差。

定理2.1[8] 给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充要条件。

第3章 求解二维热传导方程的基本思想

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数的近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分来近似，于是原微分方程和定解条件近似的代之以代数方程，即优先差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。下面是有限差分法数值计算的基本步骤：

3.1区域的离散

用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化。为此首先要对求解区域给出网格剖分，由于求解的问题不同，因此求解区域也不尽相同。下面用例子来说明不同区域的剖分离散。并引入一些常用术语。

例3.1 双曲型和抛物型方程的初值问题，求解区域是

{}(,),0.1D x t x t =-∞<<+∞≥

我们在t x -的上半平面画出两族平行于坐标轴的直线，把上班平面分成矩形网格。其交点称为节点（或网格点）。可设距离0x ?>，称其为空间步长，平行线的距离按具体问题而定。可设距离0>?t ，称其为时间步长。这样两族网格线可以写作

,0,1,2,x x j x jh j j ==?==±±

,0,1,2t t n t n n n

τ==?==

网格节点有时记为),(n x t x 。

例3.2 双曲型和抛物型方程的初边值问题，设求解区域是

{}

,(,)0,02D x t x l t =<<≥

这个区域的网格由平行于t 轴的直线族

,0,1,x x j J

j == 与平行于x 轴的直线族

,0,1,2,t t n n ==

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所构成，其中,;.l

x j x h x h t n t n j n J τ=?=?===?=

3.2插值函数的选择

选择不同的插值函数对偏微分方程进行估计，可得到不同的差分方程，进而稳定性和精度会有所不同。

用Taylor 级数展开方法是最常用的方法，下面建立差分格式的同时引入一些基本概念及术语。

我们主要从对流方程的初值问题

0,,0,(,0)(),,

u u a x R t t

x u x g x x R ???+=∈>?

????=∈? (3.1) 和扩散方程的初值问题

22,,0,u u

a x R t t x ??=∈>?? (3.2) (,0)(),

.u x g x x R =∈

（其中0a >）进行讨论。

假定偏微分方程初值问题的解(,)u x y 是充分官话的，由Taylor 级数展开有

[

][][][][]

[]

???????

??

??

??+=+=+=+=?+=?+=??+-??-??-??-???-???--+-+-+-++).(),(),(),(),(),(2),(),(2),(22),(),(),(),(),(),(22),(),(),(),(2

22111111111h h h h t t n

j x u

h t x u t x u t x u n

j

x u h t x u t x u n

j

x u h t x u t x u n

j x u h t x u t x u n

j t u t t x u t x u n j t u t t x u t x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j οοοοοο

(3.3) 其中[]n j ?或用()n

j

?，表示看括号内的函数在节点),(n j t x 处取的值。利用（3.3）表达式中的第1式和第3式有

11(,)(,)

(,)(,)

[]()j n j n j n j n n

j u x t u x t u x t u x t u u a

a h h

t x

οττ

++--??+=+++??.

如果(,)u x t 是满足偏微分方程（3.1）的光滑解，则

[

]0.n j u u

a t x

??+=?? 由此看一看出，偏微分方程（3.1）在(,)u x t n j 处可以近似的用下面的方程来代替

110,n n n n

j j

j j

u u u u a

h

τ

++---= (3.4)

0,1,2,,0,1,2.j n =±±=

其中n

j u 为(,)j n u x t 的近似值。（3.4）式称为逼近微分方程（3.1）的有限差分方程或简称差分方程。

差分方程再加上初始条件的离散型式就可以按时间逐层推进，算出各层的值。差分格式（3.4）和初始条件的离散形式结合在一起构成了一个差分格式。

3.3方程组的建立

将离散后的差分方程转化为方程组的形式，便于求解。

3.4方程组的求解

利用矩阵的解法求解方程组，再用MATLAB 对矩阵求解方法进行程序化，以便对以后类似的方程进行求解。

隐式差分格式方程矩阵化后，得到的矩阵是严格的对角占优三对角矩阵，我们可以根据线性方程组的求解方法对其求解。其中这要应用的是追赶法，追赶法对于此类线性方程组的求解非常方便，用MATLAB 对追赶法进行编程，就可以轻松实现矩阵的求解，进而解出差分方程的近似解。

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第4章 二维热传导方程

4.1 网格剖分

在区域{}:(,,)0,0,0D x y t x X y Y t T ≤≤≤≤≤≤中，我们设二维热传导方程的初始值和边界条件如下：

00022(),0,0,0,

22(,,0)(,),0,0(,,)(,),(,,)(,),(,,)(,)(,,)(,)X Y u u u a x X y Y t T t x y u x y u x y x X y Y u x y t f y t u x y t g y t u x y t h x t u x y t k x t ???

?=+≤≤≤≤≤≤?????

?

?=≤≤≤≤?

==??==?（4.1）

，，

其中a 为正常数。

通过已知方程，建立一个关于时间和步长的函数，这样就把初始区域划分为一个网格图。 先将定义域

{}:(,,)0,0,0D x y t x X y Y t T ≤≤≤≤≤≤

剖分为网格

{(,,),0,1,,,;

,0,1,,;,0}.

h j h n j l n D x y t x j x j J J x X y l y l J J y Y t n t n ==?=?==?=?==?≥

其中T

t N ?=

为时间步长，,x y

X Y x y M M ?=?=分别为x 轴和y 轴的空间步长。 4.2 稳定性分析

利用有限差分格式进行计算时是按时间层逐层推进的。那么计算第1+n 层上的值时要用到第n 层上计算出来的结果值，而计算第n 层结果值时的舍入误差必然会影响到第1+n 层的值。从而就要分析这种误差传播的情况。希望误差不至于越来越大，以至掩盖差分格式的解的面貌，这便是稳定性问题。

我们先考虑一维差分格式

11()n n n n

j j j j u u a u u λ++=-- (4.2)

的稳定性，其中x

t

??=

λ为网格比，假设0>a 差分格式从初层开始计算，当初始数据

存在误差时考察这个误差在以后计算中的在传播情况。为方便起见，不考虑计算过程中的舍入误差。及确定初始数据误差绝对值为ε，则差分格式在),(n j t x 处的误差为

(1)()(1)0(1)()0

(1).

n n m m n n m C a a m m n n m m n C a a m m n a λλεελλλε--+--∑=-=+∑==+ 于是，对于固定网格比λ及0>a 的情况，差分格式的解的误差随时间步长的步数

n 的增加而增加。初始数据的误差将必定掩盖了差分格式的解的面貌，所以我们认为

差分格式（4.2）时不稳定的。

差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关，而且还与网格比的大小有关。差分格式的稳定性在差分方法的研究中具有特别的意义，我们再做进一步的叙述。

定义4.1[8] 为了度量误差及其他应用，引入范数

1

2

2

(),n

n j h

j u

u h ∞=-∞??=????

∑ 设0

j u 有一个误差0

j ε，则n

j u 就有误差n

j ε。如果存在一个正常数K ,使得当

T t n t t ≤??≤?,0时，一致的有

,

n K εε≤

则称差分格式是稳定的。

差分格式一旦具有稳定性，就可以用差分格式计算出偏微分方程的近似解来。 一维热传导方程的各种类型的差分格式可以推广到二维热传导方程，利用向前差分格式

111

2

2n n n n n

j j

j j j u u u u u t

h ++---+=

?

对（4.1）式进行离散，引入记号

21,1,2,1,12,2.

n n n n

x jl j l jl j l n n n n y jl j l jl j l u u u u u u u u δδ+-+-=-+=-+ （4.3）

其中n jl u 为差分方程在节点),,(n l j 的计算值。

差分格式

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1222

2

(

),n n n n

jl jl

x jl

y jl

u u u u a t

x

y

δδ+-=+

??? （4.4）

利用Taylor 级数展开易得差分格式（4.4）的截断误差为22()t x y ο?+?+?。

为方便稳定性的判断，设x y h ?=?=，令2t

h

λ?=，为网格比。即改写为：

122(),n n n n

jl jl x jl y jl u u a u u λδδ+=++ （4.5）

用Fourier 方法来分析（4.4）式的稳定性。令

12,ik jh ik lh

n n jl

u v e e = 把此式带入（4.5）式中有

{}

,1

12(cos 1)2(cos 1)12n n v a k h a k h v λλ+=+-+-

因此差分格式（4.5）的增长因子是

2212(,)14(sin sin ),22

k h k h

G t k a λ?=-+

其中12(,)k k k =。如果14

a λ≤，则有(,)1G t k ?≤由此得出差分格式（4.4）的稳定性条

件是

.14

a λ≤

容易看出在二维情况下采用这样的显式格式是不适合的，为此我们再转向考虑隐式格式。用一维向后差分格式

1

2112n n n n n u u u u u j j j

j j t

h

--+-+-=

?

的直接推广是

1

222

2

(

),

n n n n jl jl

x jl

y jl

u u u u a t

x y δδ--=+

???

（4.6）

此格式的截断误差仍为22()t x y ο?+?+?，仍用Fourier 方法来分析这个格式的稳定性，仿前可以得出其增长因子是：

,

1

(,)2212

14(sin sin )

22

G t k k h k h a λ?=

++

一维热传导方程的差分格式

《微分方程数值解》 课程论文 学生姓名1：许慧卿学号：20144329 学生姓名2：向裕学号：20144327学生姓名3：邱文林学号：20144349学生姓名4：高俊学号：20144305学生姓名5：赵禹恒学号：20144359学生姓名6：刘志刚学号： 20144346 学院：理学院 专业：14级信息与计算科学 指导教师：陈红斌 2017年6 月25日

《偏微分方程数值解》课程论文 《一维热传导方程的差分格式》论文 一、《微分方程数值解》课程论文的格式 1）引言：介绍研究问题的意义和现状 2）格式：给出数值格式 3）截断误差：给出数值格式的截断误差 4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子 5）参考文献：论文所涉及的文献和教材 二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准 1）文献综述：10分； 2）课题研究方案可行性：10分； 3）数值格式：20分； 4）数值格式的算法、流程图：10分； 5）数值格式的程序：10分； 6）论文撰写的条理性和完整性：10分； 7）论文工作量的大小及课题的难度：10分； 8）课程设计态度：10分； 9）独立性和创新性：10分。 评阅人： - 2 -

一维热传导方程的差分格式 1 引言 考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet 初边值问题 22(,),u u a f x t t x ??=+?? ,c x d << 0,t T <≤ (1.1) (,0)(),u x x ?= ,c x d ≤≤ (1.2) (,)(),u c t t α= (,)(),u d t t β= 0t T <≤ (1.3) 的有限差分方法, 其中a 为正常数,(,),(),(), ()f x t x t t ?αβ为已知常数, ()(0),c ?α= ()(0).d ?β= 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件. 本文将给出(1.1) (1.3)的向前Euler 格式, 向后Euler 格式和Crank Nicolson -格式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson -格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后Euler 格式误差最大. 2 差分格式的建立 2.1 向前Euler 格式 将区间[,]c d 作M 等分, 将[]0,T 作N 等分, 并记 ()/h d c M =-, /T N τ=, j x c jh =+,0j M ≤≤, k t k τ=,0k N ≤≤. 分别称h 和τ为空间步长和时间步长.用 两组平行直线 j x x =, 0j M ≤≤, k t t =, 0k N ≤≤ 将Ω分割成矩形网格.记{} |0h j x j M Ω=≤≤, {}|0k t k N τΩ=≤≤, h h ττΩ=Ω?Ω. 称() ,j k x t 为结点[1] . 定义h τΩ上的网格函数 {}|0,0k j U j M k N Ω=≤≤≤≤, 其中() ,k j j k U u x t =. 在结点() ,j k x t 处考虑方程(1.1),有

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

扩散方程的差分解法

扩散方程的差分解法 在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。 本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。 1.扩散方程 一维扩散方程为： 22u u t x α??=?? （1） 式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。 其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤ （2） 边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t == （3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。 2.有限差分法 有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。 差分格式可以分为显格式和隐格式。所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。隐格式的主要缺点是计算工作量大，因而不如显格式计算得快，但这只是就时间步长一样的情况而言的。隐格式的主要优点是时间步长可以比显格式能够采用的最大步长大很多。显格式的时间步长受到稳定性条件的限制，而隐格式则几乎不受限制。 3.方程的离散 3.1 显格式 采用时间前差及第n 时间层的空间中心差，得一维扩散方程的显格式解： 111 2 2()n n n n n j j j j j u u u u u t x α ++---+=?? （4） 即 111(2) n n n n n j j j j j u u r u u u ++-=+-+ （5）

一维热传导方程

一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。 三． 离散格式 第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。 第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。 1. 向前差分格式 （5） ,221 11j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++τ

【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现

第1章前言 1.1问题背景 在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。 在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。 科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。 解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。 1.2问题现状 近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。而且精度上更好。 目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB

热传导方程向后差分格式的MATLAB程序

向后差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end u(2:M,2)=S; u(:,1)=u(:,2); end %计算精确解 for x=0:M

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

文献综述 信息与计算科学 热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展. 计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”. 在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程. 有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解. 热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计

一维热传导方程

一维热传导方程 一． 问题介绍 考虑一维热传导方程： （1） ,0),(22 T t x f x u a t u ≤<+??=?? 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类： 第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2） ),()0,(x x u ?= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方 程（1）（l x <<0）和初始条件： （3） ),()0,(x x u ?= l x <<0 及边值条件 (4) .0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ?在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑 的解。 二． 区域剖分 考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。用两族平行直线： ),,1,0(N j jh x x j === ),,1,0(M k k t t k ===τ 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合； h Γ=h G --h G 是网格界点集合。 三． 离散格式 第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为

一维导热方程 有限差分法 matlab实现

第五次作业（前三题写在作业纸上） 一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf 文件，热扩散系数α=const ， 22T T t x α??=?? 1. 用Tylaor 展开法推导出FTCS 格式的差分方程 2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。 4. 编写M 文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde %以下所用数据，除了t 的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf 中得来 a=0.00001;%a 的取值 xspan=[0 1];%x 的取值范围 tspan=[0 20000];%t 的取值范围 ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t 轴的，后面的是x 轴的 f=@(x)0;%初值 g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二 [T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x ，t ，T xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') T%输出温度矩阵 dt=tspan(2)/ngrid(1);%t 步长 h3000=3000/dt;

h9000=9000/dt; h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:) T9000=T(h9000,:) T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布 %不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面 %稳定性讨论,傅里叶级数法 dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长 sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2; if sta>0,sta<2 fprintf('\n%s\n','有稳定性') else fprintf('\n%s\n','没有稳定性') error end %真实值计算 [xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [xe,te]=meshgrid(xe,te); mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Te xlabel('xe') ylabel('te') zlabel('Te') Te%输出温度矩阵 %误差计算 jmax=1/dx+1;%网格点数 [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax) rms%输出误差

热传导方程向前差分格式的MATLAB程序

向前差分格式MATLAB编程： c lear;clc; format short e a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值'); M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M; x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n %数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u(M+1,2); %追赶法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; while k~=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1))/T; k=k+1 end k=1; while k~=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end D=(1-2*r)*eye(M-1); temp=r*linspace(1,1,M-2); D=D+diag(temp,1)+diag(temp,-1); S=D*S

有限差分和Matlabpde求解一维稳态传热问题.(优选)

有限差分和pde 函数求解一维定态热传导方程 分别用有限差分方法和pde 函数求解一维定态热传导方程，初始条件和边界条件，热扩散系数α=0.00001， 22 T T t x α??=?? （1） 求解过程： 1. 用Tylaor 展开法推导出FTCS 格式的差分方程 首先对T 进行泰勒展开得到如下两式子： 2 3 1231 2 3 ... 232! 3! 2 3 ... 232!3!n n n n n j j j j j n n n n n j j j j j t t T T t x x T T x T T T t t t T T T x x x ++??=+?+ + +??=+?+ + +????????? ? ? ?????? ???? ????????? ? ? ?????? ?? ?? 上述两个方程变换得： ()11223 23...23n n n n n n n j j j j j j j T T T T T t T t T o t t t t t t ++--???? ???????= --=+? ? ? ???????????? （2） 223 123...23n n n n n j j j j j T T T x T x T x x x x --???? ???????= -- ? ? ??????????? ()1232422 342222...3!4!n n n n n n j j j j j j T T T T x T x T x x x x x x +-?? ????????????=--- ? ? ? ??????????????? ()()2112 22 22-n n n j j j T T T T o x x x +--+???=+? ????? （3） 将上述式子（2）（3）代入（1）得：

向前差分格式求解二维热传导方程

用向前差分格式求解二维热传导方程function varargout=liu(varargin) T=1;a=1;h=1/30;dt=1/150; [X,T,Z]=chfenmethed(h,dt,a,T); mesh(X,T,Z(:,:,3)); shading flat; % xlabel('X','FontSize',14); % ylabel('t','FontSize',14); % zlabel('error','FontSize',14); % title('误差图'); function [X,Y,Z]=chfenmethed(h,dt,a,T); %求解下问题 %u_t-a*(u_xx+u_yy)=f(x,y,t) 0

n=length(t); r=a*dt/h^2; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=zeros(m,m,n); U=zeros(m,m,n); for i=1:m for j=1:m U(i,j,1)=d(x(i),y(j)); end end for j=2:n for k=1:m U(1,k,j)=g0(y(k),t(j)); U(m,k,j)=g1(y(k),t(j)); U(k,1,j)=h0(x(k),t(j)); U(k,m,j)=h1(x(k),t(j)); end end for k=2:n for i=2:m-1 for j=2:m-1

热传导方程地差分格式

一维抛物方程的初边值问题 分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题： 22,01,u u a x t x ??=< 在0.05,0.10.2t =和时刻的数值解，并与解析解2 (,)sin()t u x t e x ππ-=进行比较。 1差分格式形式 设空间步长1/h N =, 时间步长0τ>，T M τ=，网比2/r h τ=. （1）向前差分格式 该问题是第二类初边值问题（混合问题），我们要求出所需次数的偏微商的函数 (,)u x t ，满足方程22,01,u u a x t x ??=<。 已知sin x π在相应区域光滑，并且在0,x l =与边值相容，使问题有唯一充分光滑的 解。 取空间步长1/h N =，和时间步长/T M τ=，其中,N M 都是正整数。用两族平行直 线 (0,1,,) j x x jh j N ===L 和 (0,1,,) k t t k k M τ===L 将矩形域 {01,0}G x t =≤≤≥分割成矩形网络，网络格节点为(,)j k x t 。以h G 表示网格内点集合， 即位于矩形G 的网点集合；h G 表示闭矩形G 的网格集合；h h G G -=Γh 是网格界点的集合。 向前差分格式，即 i k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++2 1 112τ （1）

综合实验2 热传导方程的有限差分数值模拟

微分方程数值解实验报告 专业信息与计算科学班级信计101 姓名学号 协作队员实验日期2013 年 4 月18 日星期四成绩评定教师签名批改日期 题目 一、问题提出

二、 模型建立 三、 求解方法 使用古典显格式：)2(111n m n m n m n m n m U U U U U -+++-+=τ 其中22/h k a =γ

(k 和h 分别为时间与空间方向的步长，取k=0.005，h=0.1使得2/1/2≤h k ) 有12=a L=1，细杆各处的初始温度为)sin(x π，两端截面上的温度为0。 Matlab 程序如下： clc; k=0.005; h=0.1; r=k/h^2; t=0:k:0.1; n=length(t); x=0:h:1; Un=sin(pi*x); un=[]; for i=1:n u=[]; for p=1:11 u1=exp(-pi^2*t(i))*sin(pi*x(p)); u=[u u1]; end un1=[]; for j=2:10 Un1=r*Un(j-1)+(1-2*r)*Un(j)+r*Un(j+1); un1=[un1 Un1]; end e=abs(u-Un); un=[un;u;Un;e]; Un=[0 un1 0]; end un 四、 输出结果

五、结果分析 在同一个时间下，细杆内的温度分布为：细杆内中间的温度最高，往两边逐渐下降到0，并且温度值关于x=0.5这条直线对称。 在不同的时间下，细杆内的温度分布为：随着时间的增加，在同一点的温度逐渐减少。 模拟值与真实值之间的误差不超过1％。

有限差分法解偏微分方程

有限差分法解偏微分方程综述 绪论 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式， 目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 有限差分法求解偏微分方程 在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： 1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格； 2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 3、逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程 有限差分法的应用 抛物型方程的差分方法 1. 简单差分法

一维热传导方程的前向 、紧差分格式

中南林业科技大学 本科课程论文 学院：理学院 专业年级：09信息与计算科学一班 课程：偏微分方程数值解法 论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师：陈红斌 2012年7月

学生姓名：唐黎学号： 20093936分工：程序编写，数值例子 学生姓名：何雄飞学号：20093925分工：格式建立，资料收集 学生姓名：汪霄学号：20093938分工：文档编辑，资料整理 学生姓名：毛博伟学号：20093931分工：公式编辑，查找资料 学生姓名：倪新东学号：20093932分工：数据分析，查找资料 学生姓名：何凯明学号：20093924分工：数据分析，查找资料

目录 1引言 (1) 2物理背景 (1) 3网格剖分 (2) 4．1.1向前Euler格式建立 (2) 4.1.2差分格式的求解 (4) 4.1.3收敛性与稳定性 (4) 4.1.4 数值例子 (7) 4.2.1紧差分格式建立 (10) 4.2.2差分格式求解 (12) 4.2.3数值例子 (13) 总结 (17) 参考文献 (18) 附录 (19)

1 引言 本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题： 22(,),0,0,u u a f x t x l t T t x ??-=<<<≤?? (,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(), (1,)(), 0.u t t u t t t T αβ==<≤ 其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ?αβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).?α?β== 目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子． 2 物理背景 热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设 (),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.() ,,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为 (),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得 ,u u u u c kx k k t x x y y z z ρ ????????????? =++ ? ? ???????????? ?? 如果物体是均匀的,此时,k c 以及ρ均为常数.令2 k a c ρ = ,上式方程化为 2222 2222,t u u u u a a u x y z ?? ???=++=? ?????? 若考虑物体内有热源,其热源密度函数为(),,F F x y z =,则有热源的热传导方程为 ()2,,,,t u a u f x y z t =?+ 其中F f c ρ = .

抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-<

热传导方程差分格式

热传导方程的差分格式第2页 一维抛物方程的初边值问题 分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题： .:u ；：2u a 2，0 ：：： x ：： 1, .:t ；x u(x,0) =sin 二x, 0 ：： x :: 1 u(O,t) =u(1,t) =0, t 0 2 在t =0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u(x,t)=ef t s in (二x)进行比较 1差分格式形式 2 设空间步长h =1/ N ,时间步长? ? 0, T =M ?，网比r = ? / h . (1) 向前差分格式 该问题是第二类初边值问题(混合问题)，我们要求出所需次数的偏微商的函数 Eu c2u u(x,t)，满足方程—a—^, 0 ：：：x ：：：1,和初始条件u(x,0)= sin x , 0 x ：：： 1抚ex 及边值条件u(0,t) =u(1,t) =0, t 0。 已知sin二x在相应区域光滑，并且在x =0,丨与边值相容，使问题有唯一充分光滑的解。 取空间步长h =1/ N，和时间步长-T /M，其中N,M都是正整数。用两族平行 直线x= j X =( j h0Hj 1 ，和tlNt k =X(k=0,1,|||,M) 将矩形域 G二｛0 — x — 1,t — 0｝分割成矩形网络，网络格节点为(X j,t k)。以G h表示网格内点集合， 即位于矩形G的网点集合；G h表示闭矩形G的网格集合；丨h=G h-G h是网格界点的集合。 向前差分格式，即 k 1 k k k k u, -u, u, 1 -2比■ u, 4 - j二a 亠2亠t ( 1) ￡h

热传导方程及其定解问题的导出

第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会 遇到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和. 在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3 ), q ρ 是 热流密度(焦耳/秒·米2 ),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D ?上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ρρ?-(n ρ 是 D ?的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(21 21 120??????????+?-=-?==t t D t t D D t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρρ ρ （） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,u k q ?-=ρ （梯度? ?? ? ????????==?z u y u x u gradu u ,,） （） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数. ,n u k n u k n q ρρρρ??-=??-=? 从而式可改写为