小学奥数 统筹规划.学生版

统筹规划

教学目标

1.掌握合理安排时间、地点问题.

2.掌握合理布线和调运问题．

知识点拨

知识点说明：

统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”。

例题精讲

板块一、合理安排时间

【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、

反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；

如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：

先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分

钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、

第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正

面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样

总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只

饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．)

【答案】3分钟

【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少

分钟？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛

【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时

取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块

已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分

钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙

21块饼，至少用213963

÷?=(分钟)．

【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续

往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325

+=分钟，煎

6个饼需要6226

+÷?=分钟，那么煎2009

÷?=分钟，煎7个饼需要34227

个饼至少需要2009分钟．

【答案】2009分钟

【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40

分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣

机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

【巩固】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分

钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛

【解析】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶

壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。

【答案】16分钟

【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需

要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，

问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】用最短时间贴完所有的奖状就相当于问如何最节省时间，这道题目应该从反面来考虑：时间如果浪费了，会浪费在等待上，也就是说

如果不想浪费时间，我们最需要做的就是不能等待．那么可以试验

一下，当第一张奖状涂完的时候，这时候不能贴也不能等那么就只

能继续涂下一张，等第二张涂完了就可以继续贴，但是这样下去到

了最后一张的时候还是需要等待胶水可以粘贴的一段时间．

那么继续试验先涂第一张A然后涂B，然后涂C，这时候A等待了4

分钟马上贴上，再涂一张D马上贴上已经等待了5分钟的B，再涂一张E贴上已经等待6分钟的C(题目中说等待超过6分钟就不可以，

那么等于六分钟应是可以的)这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，那么总时间是96分钟．【答案】96分钟

【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河

需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过

河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都

赶到对岸，最小要用多少分钟？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短：

第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：213

+=(分钟)；

第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了

+=(分钟)；

628

第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟；

所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用38213

++=(分钟)．【答案】13分钟

【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不

然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1

分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要

10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能

全部安全过桥？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送

给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起

用时间：21102217

++++=(分钟)，正好在桥倒塌的时候全部过河．(时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保

证总的时间是最短的)．

【答案】17分钟

【巩固】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严

重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动

作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只

要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光

都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可

以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持

30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】略．

【答案】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，

用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，

用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：

++++++=(分钟)．最后能够安全全部过河

3312161329

【巩固】小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只

有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先

由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个

人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过

桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小

蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分

钟？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯

【解析】方法一：要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送

回，这样就能保证时间最短了．

第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：

+=(分钟)；

1.51

2.5

第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了

+=(分钟)；

213

第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.53 2.58

++=(分钟)．方法二：要想用最少的时间，4人都能过桥，保证时间最短还可以：第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：

+=(分钟)；

1.51

2.5

第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，

共用了2.5 1.54

+=(分钟)；

第三步：最后小强与小小明一起过桥用了1.5分钟；

所以，4个人都通过小木桥，最少用2.54 1.58

++=(分钟)．

【答案】8分钟

【例 4】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现

在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他

们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候；第6个人接水时，只有他1个人等候．可

见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候

时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接

水，这个最短时间是364554637210100

?+?+?+?+?+=(分)．

【答案】100分

【例 5】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分

钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的

总时间最短，最短的时间是多少？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】一人打水时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打．安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分

钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟

的在乙水龙头打；在甲水龙头3分钟的人打时，有2人等待，占用

三人的时间和为(33?)分；然后，需 5分钟的人打水，有1人等待，占用两人的时间和为(52?)分；最后，需7分钟的人打水，无人等待．甲

水龙头打水的三个人，共用(33527

?+?+)分，乙水龙头的三人，共用

(436210

?+?+)分．等候总时间为25分．

【答案】25分

【巩固】车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损

失5元．现有两名工作效率相同的修理工，⑴ 怎样安排才能使得经

济损失最少？⑵ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最

短？

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】略．

【答案】⑴ 一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：（）

51732023018225

??+?++?+

=(元)．

910

⑵ 因为1830172520255

（）(分)，经过组合，一人修需18，17和++++÷=

20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最

短，为55分钟

【巩固】理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所

要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们

理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少

时间为多少？

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发

所需时间少的人先理．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，

最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的，甲给

需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为(103?)分；

然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为

(152?)分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三

个人，共用(10315224?+?+)分，乙理发的两个人，共用(12220?+)分．总

的占用时间为1031522412220128?+?++?+=（）（）(分)．

【答案】128分

【巩固】 设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满

第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……．如

此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他

们总的费时时间最少？最少的时间是多少？

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】三帆中学，入学考试

【解析】 要想总的时间最少，应该安排打水时间少的人先来打水，下面给出

排队方式：

显然计算总时间时，1、2计算了5次，3、4计算了4次，5、6计算

了3次，7、8计算了2次，9、10计算了1次．所以有最短时间为

1253445637829101125+?++?++?++?++?=（）（）（）（）（）分钟．

【答案】125分钟

【例 6】 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要

的时间(单位：分)．小明从A 到B 最快要几分钟？

H G

F E D C B A 75650

4

646

3

341

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】小学数学报

【解析】 我们采用分析排除法，将道路图逐步简化．从A 到O 有两条路，

A→C→O 用6分钟，A→F→O 用7分钟，排除后者，可将FO 抹去，

但AF 不能抹去，因为从A 到B 还有其它路线经过AF ，简化为图⑴．从

A 到E 还剩两条路，A→C→G→E 用12分钟，A→C→O→E 用10分钟，

排除前者，可将CG ，GE 抹去，简化为图⑵．从A 到D 还剩两条路，

A→C→O→D 用12分钟，A →H→D 用13分钟，排除后者，可将AH ，

HD 抹去，简化为图⑶．从A 到B 还剩两条路，A→C→O→E→B 用17

分钟，A→C→O→D→B 用16分钟，排除前者，可将OE ，EB 抹去，简

化为图⑷．

小明按A→C→O→D→B 走最快，用16分钟．

（4）

（3）（2）（1）55D C B A O 6411464O 7A B C D E H F E D C B A 7O 46467117

6464O 56

57A B C

D E F G

H ⑴ ⑵ ⑶

⑷

【答案】用16分钟

【巩固】 下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间

进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中1x ，2x ，3x 分别表示

该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时

间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问：

1x ，2x ，3x 的大小关系． 5055

30

35

3020

X 3

X 2X 1

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】十一学校考题

【解析】 13355505x x x =-+=-，211203010x x x =-+=+，32235305x x x =-+=-，所以231x x x >>

【答案】231x x x >>

【例 7】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共

汽车去.显然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一

个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他

总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达A、B、C三地采用

最佳方案所需要的时间.为了到达离住地8千米的地方，他需要花

多少时间？并简述理由.

【考点】统筹规划【难度】3星【题型】解答【解析】显然A、B两地所需时间与路程不成比例，所以不可能为A、B两地均为骑自行车．

①．如果A、B两地均采用公共汽车，那么到达B地比A地多1千米，

多用15.5－12＝3.5分钟，即公共汽车行1千米需3.5分钟，则等

候时间为12－2×3.5＝5分钟．

当达到A、B两个较短的路程都采用公共汽车，那么到达C地采用的方式一定也是公共汽车，于是所需时间为4×3.5+5＝19分钟，与题中条件不符，所以开始假设不成立；

②．所以只能是到达A采用自行车，到达B采用公共汽车，则C 地采用的也是公共汽车．

由C地比B地多1千米，多18－15.5＝2.5分钟，那么行3千米所

需时间为3×2.5＝7.5分钟，等候时间为15.5－7.5＝8分钟．那么行至8千米的路程及等候时间为8×2.5+8＝28分钟．

【答案】28分钟

板块二、合理安排地点

【例 8】如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何

处？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建

在C或D ．如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD

之间及点C、D均可．

【答案】CD之间及点C、D均可

【巩固】如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定．那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个车站放在AE之间的那

一点，A到车站的距离加上E到车站的距离就是AE的长度，也就是

说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；那么我们就

使其他的3个点到车站的距离之和最短，再看为了使B、D两个到车

站的距离之和小，应把车站放在BD之间．同理，只要是在BD之间，

B、D到车站的距离之和也是不变的，等于BD．最后，只需要考虑C

点到车站的距离最近就行了．那么当然也就是把车站放在C点了．这

里就体现了一个“向中心靠拢的思想”．

【答案】C点

【巩固】如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离

之和最短，应该设在何处？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】如果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站放在C点．因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选

择，所以答案不影响，应该把车站放在C点．

【答案】C点

【巩固】有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿

公路走到集合地点的路程总和最小？

【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】由于1993数目较大，不易解决．我们先从人数较小的情况入手．

当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然

集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以．因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2．

当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）．因为若集合

地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是

A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；

若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3．当然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C

都小．

当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）．因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”．根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点．

当有5个人时，类似地可把问题转化为“ 3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3

点．

依此递推下去，我们就得到一个规律：

当有偶数（ 2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1之间的任何地点（包括An和An+1点）；

当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An+1点．

本题有1993=2×996+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处．

【答案】第997个岗位处

【巩固】道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场(处理场也可以设在站点上)，希望所有站点到处

理场的距离总和最短．⑴若有2个回收站点，请在下面线上用▲标

出这个处理场的位置．

站点2

站点1

⑵若有3个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点1站点3

站点2

⑶若有4个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点1站点2

站点3站点4

⑷若有5个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．

站点4站点2站点1站点5站点3

⑸若有59个回收站点，请说明这个处理场应设的位置．

【考点】统筹规划 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 略

【答案】⑴站点1与站点2间的任意一点

⑵站点2

⑶站点2与站点3间的任意一点

⑷站点3

⑸站点30

【例 9】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一

号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40

吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一

个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要

多少运费才行？

40吨20吨10吨五四三二一

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观

察可知五号仓的最大，所以先把一号仓库的10吨货物往五号方向靠

拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有30吨货物了．再

根据“小往大处靠”的原则，那么这30吨货物应该集中到五号仓库

中．

所以所需的费用是：100.5100500??=(元)，300.53004500??=(元)，

共需要：50045005000+= (元)．

【答案】5000 元

【巩固】 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数

字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一

个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪

个仓库运费最少？ 6010吨20吨30吨10吨

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】人大附中，分班考试

【解析】 这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决．E 点60吨，存的货物

最多，那么先处理小势力，A 往E 那个方向集中，集中到B ，B 变成

40吨，判断仍是E 的势力最大，所以继续向E 方向集中，B 点集中

到C 点，C 点变成60吨．此时C 点和E 点都是60吨，那么C 、E 谁

看成大势力都可以．例如把E 点集中到D 点，D 点是70吨．所以C

点也要集中到D 点．确定了集中地点，运输费用也就容易求了．运

费最少为：10303020201060100.91530?+?+?+?÷=（）(元)．

【答案】1530元

【巩固】 在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有8座，图中数字表

示各仓库库存货物的重量(单位：吨)，其中C 、G 为空仓库．现在要

把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要

0.5元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？

60102030H G F E D C B A

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决．H 点60吨，存的

货物最多，那么先处理小势力，A 往H 那个方向集中，集中到B ，B

变成40吨，判断仍是H 的势力最大，所以继续向H 方向集中，B 点

集中到D 点，D 点变成60吨．此时D 点和H 点都是60吨，那么D 、

H 谁看成大势力都可以．例如把H 点集中到F 点，F 点是70吨．把D

点集中到E 点，E 点是65吨所以E 点也要集中到F 点．确定了集中

地点为F 点，运输费用也就容易求了．运费最少为：

1050030400202005100602000.516750?+?+?+?+??=（）(元)．

【答案】16750元

【巩固】 一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼

的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A 厂上班，第2号楼有2

名职工在A 厂上班……，第5号楼有5名职工在A 厂上班．A 厂计

划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职

工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米

处？ 【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】我爱数学夏令营

【解析】 如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼的位置，

距1号楼150米处．

5

4213

［小结］对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用

的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类

问题老师要强调“小往大处靠”的原则．

【答案】4号楼

【例 10】 某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学

生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，

为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择 十字路口附近的地点。（横线上填十字路口的坐标，如所在的十

字路口的坐标为3D ）。

97

21

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】学而思杯，6年级，1试

【解析】 先从横着考虑，学生的分布情况如下

43229G F E D C B

A

那么应该选择C 和D 之间，观察C 和

D 之间的两点靠C 近一点，所以选C 节点。

再从竖着考虑，学生分布情况如下

987654321

应该选在节点4上

综上所述，答案应该是4C 。

【答案】4C

【例 11】 右图是A ，B ，C ，D ，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是各村

要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千

米)．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使所有学生到

学校的总距离最短，试确定最合理的方案．

E

D C B A 542

35035202040

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】奥数网习题库

【解析】 “小往大处靠”的原则来解决，A 点向C 点集中，因为根据“小往

大处靠”的原则，虽然A 点40人比C 点20人多，但是人最多的点

是E 点，所以大方向是向E 点的方向靠拢．那么B 点当然也要向C

点靠拢．C 点就有80人了．此时人数最多的点变成了C 点了．D 、E

又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E

点要向D 点靠拢．此时D 点变成85人了．那么D 点比此时C 点的80

人多了．C 点又变成小势力了．所以最终要集中在D 点．也就是学校

要设在D 点．

【答案】D 点

【巩固】 有七个村庄1A ，2A ，，7A 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路

与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距

离和最小，车站应设在哪里？

公路A 6A 5A 7A 4A 3A 2

A 1

F E D B

C

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】三帆中学，分班考试

【解析】 本题可简化为“B，C ，D ，E ，F 处分别站着1，1，2，2，1个人(见

右图)，求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”．显然D 、E

最大，靠拢完的结果变成了4D =，3E =，所以车站设在D 点．

【答案】D 点

【巩固】 某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处

最好？(运输总量的千克千米数越小越好．)

6000千克4000千克

1000千克5000千克2000千克

3000千克

G

F E

D C B A

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】奥数网习题库

【解析】 依据“小往大靠”，“支往干靠”．我们不妨以F-E-C-D 为干，显

然麦场设在C 点．当然你以其他路经为干，都会的到同样结果．譬

如：若以F-E-C-A 为干，那么依据“支往干靠”，D 就靠到C ，B 移

到G ，当作“干”上一成员．

【答案】C 点

【例 1】 (奥数网习题库)右图是A ，B ，C ，D ，E 五个村之间的道路示意图，

○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距

离(单位：千米)．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使

所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.

53

42503520

2040

E D C B A

【解析】 “小往大处靠”的原则来解决，A 点向C 点集中，因为根据“小往大

处靠”的原则，虽然A 点40人比C 点20人多，但是人最多的点是E

点，所以大方向是向E 点的方向靠拢．那么B 点当然也要向C 点靠

拢．C 点就有80人了.此时人数最多的点变成了C 点了.D 、E 又变成

小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E 点要向D

点靠拢.此时D 点变成85人了．那么D 点比此时C 点的80人多了.C

点又变成小势力了.所以最终要集中在D 点.也就是学校要设在D 点.

说明：对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定

作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这

类问题老师要强调“小往大处靠”的原则．

板块三、合理布线和调运

【例 12】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离

单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村

庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管

每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费

用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？ J I H G F E D C B A 自来水厂

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那

么从自来水厂到J 村要铺设10根细管，自来水厂到I 村要铺设9根

细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管是细管价

格的4倍，如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大，仅在3

条或3条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水

厂一直接到G 村为止，再用三条细管连接H 、I 、J 三个村，这样费

用最低，总费用：800030524232200023225414000?+++++++??+?+=（）（）

(元)．

【答案】414000元

【例 13】 有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从

县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，

细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应

一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现

要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？

A 10A 9

A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 152223242530

县城

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】奥数网习题库

【解析】 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那

么从县城到1A 村要铺设10根细管，1A 村到2A 村要铺设9根细管，依

次下去，我们用图表示铺细管的情况．

因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价

钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3根细管的路段，

都应改铺粗管．

因此，从县城到7A 村铺1根粗管，7A 村到8A 村铺3根细管，8A 村到9

A 村铺2根细管，9A 村到10A 村铺1根细管．总费用为：

700030524232200023225136600?+++++++??+?+?=（）（）(元)．

【答案】36600元

【例 14】 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、

西安9台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？

6001000700800洛阳北京

西安杭州发站

运费/元到站

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，

而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜．所以，北京的机

器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安．最佳的调运

方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5

台．总运费为800710004600512600?+?+?=(元)．

方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运杭州x

台，调运西安 (11x -)台，则洛阳应调运杭州(7x -)台，调

运西安9112x x --=-（）(台)，

总运费

80010001170076002W x x x x =+-+-+-（）（）（）8001100010004900x x =+-+

7006001200x x -+-14700300x =-，因为要使总运费14700300x -最小，

需要300x 最大．

由于x 是北京调运杭州的台数，且7x ≤，

所以当7x =时，总运费14700300712600W =-?=(元)最小．由7

x =可知，北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0

台，调运西安5台．

【答案】北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0台，调运西安5台

【巩固】 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11

台，西安5台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？

到站

运费/元发站

武汉西安北京

上海5007006001000

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 与例题不同的是，北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，没有

出现一高一低的情况．此时，可以通过比较运输中的差价大小来决

定最佳方案．

⑴ 上表中第一行的差价为600500100-=(元)，第二行的差价为

1000700300-=(元)．说明从北京给西安多发1台机器要多付运费

100元，而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元．所以

应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，于是可知北京

调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总

运费为：6005500570069700?+?+?=(元)．

⑵ 如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为700500200-=(元)，

第二列差价为1000600400-=(元)，所以武汉需要的机器应尽量从上

海调运，而上海只有6台，不足的部分由北京调运．这个结论同

前面得到的相同．

【答案】北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉

【例 15】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京

可以支援外地10台，上海可以支持外地4台．现决定给重庆8台，

汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完

全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多

少？

5834上海北京

重庆汉口发站

运费/元到站

【考点】统筹规划 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有3百元，但是上

海到汉口比北京到汉口只节省

(43-=)1百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省

(85-=)3百元．所以重庆所需台数应由上海尽量满足，即上海

的4台全部调运重庆，北京再补给重庆4台，汉口的6台从北

京调运．总运费为：54844676?+?+?=(百元)

方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口x

台，调运重庆(10x -)台，则上海应调运汉口(6x -)台，调运

重庆462x x --=-（）(台)，总运费4810W x x =+-（）

36524808183510882x x x x x x x +-+-=+-+-+-=-（）（），

因为要使总运费882x -最小，需要2x 最大．由于x 是北京调运汉口的台数，

且6x ≤，所以当6x =时，总运费882676W =-?=(百元)最小．由

6x =可知，北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉

口0台，调运重庆4台．

【答案】北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台. 76百元

【例 16】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三

个工厂中去．其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需

要20吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)．已

知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工

厂的最小费用是多少元？

16125

6810

丙乙甲

南仓库北仓库

【考点】统筹规划 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 通过分析将题目给的图形先转化为下图⑴，我们仍可以通过差价的

大小来决定最佳方案．观察上表各列两数之差，最大的是第三列

16124-=，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库供应丙

20吨．在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差，所以南仓库

的货物尽可能的供应甲工厂，即南仓库供应甲25吨．因为南仓库货

物分配完，其余的甲需要的28253-=(吨)由北仓库供应，即北仓库供

给丙后剩下的15吨货物3吨给甲15312-=(吨)给乙，相应的运费为：

3101262012258542?+?+?+?=(元)．

20丙12253南仓库25吨北仓库35吨乙甲发站运费/元到站到站

运费/元发站

甲乙北仓库

南仓库10865丙1216

⑴ ⑵

【答案】542元

【例 17】 A 、B 两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分

别需要30吨、40吨和50吨大米．从A ，B 两粮店每运1吨大米到

三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？

到站

运费/元发站

甲乙A

B 030400丙30205

3丙10732B A 乙甲发站运费/元到站

【考点】统筹规划 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 A ，B 粮店共有大米 7060130+=(吨)，甲、乙、丙三个居民点需要大米

304050120++=(吨)，供应量与需求量不相等，但是我们仍可以通过差

价的大小来决定最佳方案．观察上表各列两数之差，最大的是第二

列1073-=，因此A 粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A 供应乙40

吨．在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A 粮店剩

下的30吨应全部供应丙．因为A 粮店的的大米已分配完，其余的由

B 粮店供应，即B 供应甲30吨，供应丙20吨，调运方案如右表，相

应的运费为：303407303205560?+?+?+?=(元)．

【答案】560元

最新版小学五年级奥数教程

目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻

方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数

幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！

(完整版)小学奥数-平均数问题(教师版)(2)

平均数问题 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分

小学奥数题库——统筹规划

板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最 少用多长时间？

【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能 再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把 这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【例 4】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟 后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？

最新四年级奥数教程(完美修复版本)

小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思 维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补 速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数 虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：

(小学奥数)1-3-5 换元法.教师版

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法

小学奥数统筹规划题库学生版

8-4统筹规划 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率． 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少 用多长时间？ 【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过

2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再 贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把 这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【例 4】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟 后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 【例 5】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持 劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正 是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们 有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟 了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？ 【巩固】(迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只 能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿 着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5 分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要 多少分钟？ 【例 6】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他 们等候的总时间最短，最短的时间是多少？ 【巩固】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，

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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻

方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填【 和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！

幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。 2 9

小学奥数教程最完美

1．和差倍问题 【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式? ①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型? ①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树； ②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树； ③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；④封闭曲线上植树。 基本公式棵数=段数＋1?棵距×段数=总长 棵数=段数－1?棵距×段数=总长 棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式 ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型

小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨

小学数学奥数教案

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二）

第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到

小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳

【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得 204812047a =-=。 方法二：找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1 1000 ？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜1 1000 ，解出n ＞999.5， 从n ＝1000开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算：111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项：()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳

(完整版)小学奥数教程(最完美)

勇于尝试，把握过程，关注细节 目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27)

综合演练 (31) - 1 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能1例遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】

【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ - 2 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 （第二课时）幻方 知识概述：的幻方，其实在幻方的知识世3×3上一讲中，我们讲述了如何填写像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我7……×5、7×3界里，像3×、5 们将来学习如何填写五阶幻方。个横列、使51-25这25个数字，×例题：在一个55的方格中，填入2个斜列所加之和都相等。先试试看！5个竖列、

表格，还真的的好这么多利要看样子，想顺填写牢：要个口诀记不行，下真不容易，没有口诀的面这一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边9 2 放，双出占位写下方。 8 1 7 5 6 4 10 - 3 - 勇于尝试，把握过程，关注细节 310 9 2 11

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例 计算题

2020-2021小学奥数教程∶比例和反比例计算题 一、比例和反比例 1．工人铺一条路，用边长4分米的方砖铺需要500块，如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块？ 【答案】解：设需要x块， 4×4×500＝5×5×x 25x＝8000 x＝320 答：如果改用边长5分米的方砖铺地，需要320块。 【解析】【分析】此题主要考查了反比例应用题，这条路的总面积是一定的，每块砖的面积与铺的块数成反比例，据此列比例解答. 2．如果10千克菜籽可以榨6.5千克菜油，那么有这种菜籽360千克，可以榨多少千克油?（用比例解） 【答案】解：设可以榨x千克油。 10：6.5=360：x 10x=6.5×360 x=2340÷10 x=234 答：可以榨油234千克。 【解析】【分析】菜籽的重量和榨油的质量的比值是不变的，二者成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例，解比例求出可以榨油的重量即可。 3．表中x和y是两个成比例的量，观察表格并填完整。 X36181210 y51020 X361812109 y510151820 空位中x和y的值。 4．甲乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3时行了240千米，照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解） 【答案】解：设小时可以到达乙地，

答：5.5小时可以到达乙地。 【解析】【分析】“照这样计算”的意思就是汽车的速度不变，路程与时间成正比例；设出未知数，根据速度不变列出比例，解比例求出到达乙地的速度即可。 5．小明打算12天看完一本故事书，平均每天看15页。如果要提前2天看完，平均每天应看多少页?(用比例知识解) 【答案】解：设平均每天应看x页，则 （12-2）x=12×15 x=18 答：平均每天应看15页。 【解析】【分析】根据故事书的总页数不变可得等量关系式：实际看的天数×实际平均每天应看多少页=计划看的天数×计划平均每天看多少页，据此代入数据列方程解答即可。 6．30kg花生仁能榨出花生油12kg。照这样计算，要榨出48t花生油,需要花生仁多少吨? 【答案】解：设需要花生仁x吨， 12：30=48：x 12x=30×48 x=1440÷12 x=120 答：需要花生仁120t. 【解析】【分析】花生油的出油率是不变的，花生仁的质量和花生油的质量成正比例，设出未知数，根据出油率不变列出比例解答即可. 7．一批零件20人去做需要15天，照这样计算，如果增加5人，几天可以做完？ 【答案】解：20×15÷(20+5) =300÷25 =12(天) 答：12天可以做完. 【解析】【分析】做这批零件的工作量是不变的，用20乘15求出工作量，然后除以现在的人数即可求出可以做完的天数. 8．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积成________比例；圆柱的侧面积一定，底面周长和高成________比例。

小学奥数 统筹规划.学生版

统筹规划 教学目标 1.掌握合理安排时间、地点问题. 2.掌握合理布线和调运问题． 知识点拨 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 例题精讲 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、

反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟； 如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到： 先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分 钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、 第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正 面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样 总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只 饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．) 【答案】3分钟 【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少 分钟？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛 【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时 取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块 已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分 钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙 21块饼，至少用213963 ÷?=(分钟)． 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续 往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325 +=分钟，煎 6个饼需要6226 +÷?=分钟，那么煎2009 ÷?=分钟，煎7个饼需要34227 个饼至少需要2009分钟． 【答案】2009分钟 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40 分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

小学数学奥数基础教程(五年级)--12

小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲 最大公约数与最小公倍数（一） 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。 所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

小学奥数教程：角度计算_全国通用(含答案)

4-1-3.角度计算 知识点拨 一、角 1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角 2、表示角的符号：∠ 3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种 （1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 （2）直角：等于90°的角叫做直角。 （3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 （4）平角：等于180°的角叫做平角。 （5）优角：大于180°小于360°叫优角。 （6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 （7）周角：等于360°的角叫做周角。 （8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。 （9）正角：逆时针旋转的角为正角。 （10）0角：等于零度的角。 4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。 二、三角形 1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 2、内角和：三角形的内角和为180度； 外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 3、三角形的分类 （1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。 直角三角形：有一个角等于90度。 钝角三角形：有一个角大于90度。 注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 （2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 模块一、角度计算 【例1】有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角， (2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角． (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角． (4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角． (7)25?的角用10倍的放大镜看就变成了250? 其中，正确说法的个数是 【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空 【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法． 【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法 【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。

小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算

定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）

湖南省湘潭市小学数学小学奥数系列8-4-1统筹规划(一)

湖南省湘潭市小学数学小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） (共23题；共120分) 1. （5分）妈妈用一口平底锅煎荷包蛋，一口锅能同时煎2个。煎一个荷包蛋需要煎两面，每面需要1分钟。 （1）煎2个荷包蛋至少需要几分钟？ （2）煎3个荷包蛋至少需要几分钟？ 2. （5分）两个油漆工要给7块同样的木板正反两面刷漆，每人刷完每面要2分钟，并且两人不能同时给同一块木板刷油漆。怎样安排才能使刷油漆用的时间最少？最少需要几分钟？ 3. （5分）一个平底锅，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面要烙2分钟。 （1）要烙3张併，至少需要（）分钟。把烙饼的过程记下来。 （2）如果要烙4张饼呢? （3）如果要烙5张饼呢?

4. （5分）小明学妈妈打鸡蛋汤，他做事的顺序是：打鸡蛋2分钟﹣﹣切葱花2分钟﹣﹣准备佐料2分钟﹣﹣洗锅1分钟﹣﹣把水烧热6分钟﹣﹣汤出锅3分钟．最后他一共花了16分钟．你能比他节省6分钟完成打鸡蛋汤吗？把合理安排做事的顺序写出来． 5. （5分） (2019五下·沂源期末) 亲爱的同学，五年的小学时光即将结東。在数学学习中，你学习了知识，也获得了解决问题的许多策略与方法，你印象最深的是哪种?请你试着举出一个运用这种方法（或策略）解决问题的例子。 6. （5分）苹苹的微信朋友圈中有这样一则信息： “求真相，一直不明白打车6.1千米为什么要21元？” 她的朋友依依跟帖： “有奖竞猜，我今天打车付了36元，亲们，猜猜我打车最多坐了几千米？” 下面是她俩所在的城市出租车计费标准。（不足1千米按1千米算） 你能写出计算过程，给苹苹和依依满意的回复吗？ 7. （5分） (2019三上·郑州期末) 有24名学生乘车去园博园．小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人．如果每车都坐满，怎样租车才能正好一次到达？ 8. （5分）售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 9. （5分）某次野外活动，需要2千克水，现在只有一个装3千克水的小桶和一个装4千克水的大桶，怎样才能用这两个空桶取回2千克水？(请写出取水过程．) 10. （5分）爸爸和妈妈共带领3个小朋友到游乐园游玩，活动项目及时间如下表，而且游乐园规定：小朋友不能单独参加这些项目，每位家长每次只能带1个小朋友参加。

小学奥数教程(最完美)

小学奥数教程(最完美)

目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31)

第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n 是几就表示为几阶幻方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】试试填一填吧！

幻方 （第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。