第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章?
??
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
平行四边形法则
3.共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
[小题体验]
1．判断下列四个命题：
①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.
其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：A
2．(教材习题改编)化简：
(1)(AB ＋MB
)＋BO ＋OM ＝________.
(2) NQ ＋QP ＋MN －MP
＝________.
答案：(1) AB
(2)0
3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－1
3
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏]
1．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 的关系是________．(填序号) ①共线；②不共线；③以上二者皆可能． 答案：③
2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB
＋CD |＝________.
解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD
|＝2.
答案：2
考点一 平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(易错题)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC
是四边形ABCD 为平行四边形的充
要条件；
③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④
D ．④⑤
解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB
|＝|DC |且AB ∥DC ，
又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，
则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC
.
③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.
2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第1题易混淆有关概念．
考点二 向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD
，则( )
A ．AD ＝－13A
B ＋43
AC
B ．AD ＝13AB －43AC
C ．A
D ＝43AB ＋13AC
D ．AD ＝43AB －13
AC
解析：选A AD ＝AC ＋CD
＝AC ＋13BC ＝AC ＋13(AC －AB )＝43AC －13
AB ＝－13AB ＋43
AC
，故选A.
2．已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________，BC
＝________(用a ，b 表示)．
解析：如图，DC ＝AB ＝OB －OA ＝b －a ，BC ＝OC
－OB ＝－OA －OB
＝－a －b .
答案：b －a －a －b
3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3
BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23
AC ，
所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝1
2
.
答案：1
2
用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤
(1)观察各向量的位置；
(2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．
考点三 共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB
＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，
求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 同向．
解：(1)证明：∵AB
＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，
∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB
. ∴AB ，BD
共线，
又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )， 即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a ，b 是不共线的两个非零向量，
?
???? k －λ＝0，λk －1＝0， 解得?????
k ＝1，λ＝1或?
????
k ＝－1，λ＝－1，
又∵λ>0，∴k ＝1.
[由题悟法]
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB
＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[即时应用]
如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23
AD ，AB
＝a ，AC ＝b .
(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF
；
(2)求证：B ，E ，F 三点共线．
解：(1)延长AD 到G ，
使AD ＝12
AG ，
连接BG ，CG ，得到?ABGC ，
所以AG
＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝1
2(a ＋b )，
AE ＝23AD ＝1
3(a ＋b )，
AF ＝12AC ＝12b ，
BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝1
3(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝1
2(b －2a )．
(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF
，
又因为BE ，BF
有公共点B ，
所以B ，E ，F 三点共线．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2015·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM
＝
( )
A.1
2a －b B.1
2a ＋b C ．a －1
2
b
D ．a ＋1
2
b
解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋1
2
a ，故选A.
2．在四边形ABCD 中，AB
＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，
则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
解析：选C 由已知，得AD ＝AB ＋BC ＋CD
＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ，故
AD ∥BC .又因为AB 与CD
不平行，所以四边形ABCD 是梯形．
3．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC
等于( )
A.23 OA －13OB B ．－13OA ＋23
OB C ．2OA －OB
D ．－OA ＋2OB
解析：选C 因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC
－OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .
4.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB
＋AD
＝λAO ，则λ＝________.
解析：因为ABCD 为平行四边形，
所以AB ＋AD ＝AC
＝2AO ，
已知AB ＋AD
＝λAO ，故λ＝2.
答案：2
5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB
－AC |，则|AM
|＝________.
解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC
，
则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，
因此，|AM |＝12
|BC
|＝2.
答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |
D ．|－λa |≥|λ|·a
解析：选B 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；
对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．
2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.
3．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32
MC
＝0，D 是AC 的中点，
则|MD
|
|BM |
的值为( ) A.13 B.12 C ．1
D ．2
解析：选A ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为
平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )．∵MB ＋32MA ＋32
MC ＝0，∴MB
＝－
32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD
|
|－3MD |＝13
，故选A. 4．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA
，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13
BC
，
BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，
CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，
因此AD ＋BE ＋CF ＝CB
＋13(BC ＋AC －AB )
＝CB ＋23BC ＝－13
BC ，
故AD ＋BE ＋CF 与BC
反向平行．
5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC
＝0，则△ABC 的面
积与△AOC 的面积的比值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B ∵D 为AB 的中点，
则OD ＝12
(OA ＋OB )，
又OA ＋OB ＋2OC
＝0， ∴OD ＝－OC
，∴O 为CD 的中点，
又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝1
4S △ABC ，
则S △ABC
S △AOC
＝4. 6．在?ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN
＝
________(用a ，b 表示)．
解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋1
2b ，所以MN ＝34
(a ＋
b )－????a ＋12b ＝－14a ＋1
4
b . 答案：－14a ＋14
b
7．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA
|，
则△ABC 的形状为________．
解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，
∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |. 故AB ⊥AC
，△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA
＝b ，给
出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝
0.
其中正确命题的个数为________．
解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－1
2a －b ，故①错；
BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋1
2b ，故②正确；
CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋1
2b ，故③正确；
∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －1
2
a ＝0.
∴正确命题为②③④. 答案：3
9.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，
且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG
.
解：AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12
b .
AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC
)
＝23AB ＋13(AC －AB ) ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13
b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB
＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝
2e 1－e 2.
(1)求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)若BF
＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．
解：(1)证明：由已知得BD ＝CD
－CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB
＝2e 1－8e 2， ∴AB ＝2BD .
又∵AB 与BD
有公共点B ，
∴A ，B ，D 三点共线．
(2)由(1)可知BD
＝e 1－4e 2， ∵BF
＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ＝λBD
(λ∈R)，
即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，
得?
????
λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段
CD 上，若AE ＝AD ＋μAB
，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB
＝2DC .
∵点E 在线段CD 上，
∴DE
＝λDC (0≤λ≤1)． ∵AE ＝AD ＋DE ，
又AE ＝AD ＋μAB ＝AD
＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ，
∴2μλ＝1，即μ＝λ
2.∵0≤λ≤1，
∴0≤μ≤1
2
.
即μ的取值范围是????0，12. 答案：???
?0，1
2 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB
(m ，n ∈R)．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，
则OP ＝m OA ＋(1－m ) OB ＝OB ＋m (OA －OB )， ∴OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，∴BP 与BA
共线．
又∵BP 与BA
有公共点B ，
∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，
存在实数λ，使BP ＝λBA
， ∴OP －OB ＝λ(OA －OB )． 又OP ＝m OA ＋n OB .
故有m OA ＋(n －1) OB ＝λOA －λOB ，
即(m －λ) OA ＋(n ＋λ－1) OB
＝0.
∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB
不共线，
∴?
????
m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0. a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小题体验]
1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－2 B. 2 C ．－2或 2
D ．0
解析：选C 由a ∥b ，得1×2－m 2＝0，所以m 2＝2，即m ＝±2. 2．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)
3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，
所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.
由平面向量基本定理，得?
????
m －n ＝1，
2m ＋n ＝1，
所以???
m ＝2
3，
n ＝－1
3.
答案：23 －13
1．若a ，b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；
2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；
3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有
可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
[小题纠偏]
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7,4)
C ．(－1,4)
D ．(1,4)
解析：选A 法一：设C (x ，y )，
则AC
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，
所以?
????
x ＝－4，y ＝－2，
从而BC
＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：AB
＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC ＝AC －AB
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
2．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．
解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
∴????? 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴?
????
m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3
考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则?????
1＝λ，
1＝0无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则?????
λ＝1，
－2＝2λ无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则?
????
λ＝1，
1＝－λ无解；
选项D 中，e 1＋3e 2＝1
2
(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．
2.(易错题)如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作?OADB ，BM
＝13BC ，CN ＝13
CD
，用a ，b 表示OM ，ON ，MN . 解：∵BA ＝OA
－OB ＝a －b ， BM ＝16BA ＝16a －16b ，
∴OM ＝OB ＋BM ＝16a ＋56
b .
∵OD
＝a ＋b ， ∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16
OD
＝23OD
＝23a ＋23
b ， ∴MN ＝ON －OM
＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16
b .
综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －1
6
b .
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．
考点二 平面向量的坐标运算…………………………(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2015·抚顺二模)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝???0，5
2，则c 可用向量a ，b 表示为( )
A.1
2a ＋b B ．－1
2a －b
C.32a ＋12
b D.32a －12
b 解析：选A 设
c ＝xa ＋yb ，则????0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以?????
2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得
?????
x ＝12，y ＝1，
则c ＝1
2
a ＋
b .
2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN
＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(－3,6)
C ．(6,2)
D ．(－2,0)
解析：选A MN
＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N (x ，y )，则MN
＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，
所以????? x －5＝－3，y ＋6＝6，即?????
x ＝2，y ＝0.
3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB
＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN
＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)求M ，N 的坐标及向量MN
的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????
m ＝－1，n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC
＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M (0,20)．
又∵CN ＝ON －OC
＝－2b ， ∴ON ＝－2b ＋OC
＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N (9,2)，∴MN
＝(9，－18)．
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧
(1)
向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
考点三 平面向量共线的坐标表示 (重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．
(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；
(2)若AB
＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1
2
.
(2) AB
＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC
＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．
∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ∥BC ，
∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32
.
[由题悟法]
向量共线充要条件的2种形式
(1)a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)；
(2)a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．
[即时应用]
1．已知向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC
＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k
的值是( )
A ．－23
B.43
C.12
D.13
解析：选A AB ＝OB
－OA ＝(4－k ，－7)， AC ＝OC －OA
＝(－2k ，－2)．
∵A ，B ，C 三点共线，
∴AB ，AC
共线，
∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－2
3
.
2．(2015·潍坊期中考试)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________．
解析：ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由于ma ＋4b 与a －2b 共线，
∴－(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－2
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝
( )
A ．b －1
2a
B ．b ＋1
2a
C ．a ＋1
2
b
D ．a －1
2
b
解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －1
2
a .
2．(2015·青岛二模)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB
＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD
＝( )
A ．(－1，－1)
B ．(3,7)
C ．(1,1)
D ．(2,4)
解析：选A 由题意可得AD ＝BC ＝AC －AB
＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
3．(2015·广东六校联考)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )
A ．(－23，－12)
B ．(23,12)
C ．(7,0)
D ．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以?????
23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得
?
????
x ＝－23，
y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 4．(2015·洛阳一模)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量ka ＋b 共线，则实数k ＝________.
解析：ka ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量ka ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.
答案：－1
5．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．
解析：AB
＝(a －1,3)，AC ＝(－3,4)，
据题意知AB ∥AC
，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，
∴a ＝－5
4.
答案：－5
4
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知在?ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM
＝( )
A.????－1
2，－6 B.????－1
2，6 C.????12，－6
D.????12，6
解析：选B 因为在?ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝12
(AB
＋AD )＝12
×(－1,12)＝????－1
2，6，故选B. 2．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
解析：选D 由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即?
????
k ＝λ，
1＝－λ，解得k
＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．
3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA
＋y OB ，且BP ＝2PA
，则( )
A ．x ＝23，y ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝3
4
D ．x ＝34，y ＝1
4
解析：选A 由题意知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB ＋23(OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13
. 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．
5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO
的坐标为( )
A.????－1
2，5 B.????
12，5 C.????12，－5
D.???
?－1
2，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD
＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)． ∴OC ＝12
AC ＝????1
2，5. ∴CO ＝???
?－1
2，－5. 6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA
＝(4,3)，
PQ
＝(1,5)，则BC ＝________.
解析：AQ ＝PQ －PA
＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ
＝(－6,4)．
PC ＝PA ＋AC
＝(－2,7)， ∴BC ＝3PC
＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
7．(2015·北京东城模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的
中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB
＝m AM ，AC ＝n AN
，则m ＋n 的值为________．
解析：连接AO ，则AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n 2
AN
.
又∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n
2＝1，即m ＋n ＝2. 答案：2
8．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．
则????? －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得?????
m ＝－12，n ＝－7.
此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)
9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，
所以?
????
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得
???
m ＝59
，
n ＝89.
(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－
1613
. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3
BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的
中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD
.
解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝1
3
b －a ，
最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁， 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充
O A P Q B a b 第4题 法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是 且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线， 则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若＝a ，＝b ，则＝， ＝ (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，， =a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21 33+a b OQ 12 33 +a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D C E F A 例1
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
复数、平面向量与算法(教师版)
高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定
第六章 平面向量与复数
第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________． 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．
第五章 5.4平面向量及复数
§5.4复数 最新考纲考情考向分析 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数 形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复 平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、 虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相 等的充要条件，考查复数的代数形式的 四则运算，重点考查复数的除法运算， 突出考查运算能力与数形结合思想.一 般以选择题、填空题的形式出现，难度 为低档. 1.复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类a＋b i为实数?b＝0
(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ). (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
复数与平面向量三角函数的联系习题精选
复数与平面向量、三角函数的联系 习题精选（三） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是 A.任何两个复数都不能比较它们的大小 B.复数的模都是正实数 C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量 D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2 －2a +3）－(a 2 －a +2 1 )i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3 B.x =5且y =1 C.x =5且y =－1 D.x =－1且y =1 4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i B.|3+2i |>|－4－i | C.|2－i |>2 D.i 2 >－i 5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上 D.坐标原点 6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小 B.A ≤B C.A ≥B D.A =B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________. 8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2 +1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______
第06练-平面向量与复数(解析版)
第06练-平面向量与复数 一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（ ） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交
点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ， 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ， 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （ ） A ．1 2 - B ．0
第五章 5.2平面向量及复数
§5.2平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、 数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向 量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能 力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查， 突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形 式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解 答题，属于中档题.
1.平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)平面向量的坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1). 3.平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线?x 1y 2－x 2y 1＝0.
复数与三角函数的联系
课 题：研究性学习课题：复数与三角函数的联系 教学目的：了解复数的三角形式及相关概念，并探究其运算 教学重点：化复数为三角形式． 教学难点：复数辐角主值的探求 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离||r OP == =>2．比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 3．复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ uuu r 4. 复数z a bi =+←???→一一对应平面向量OZ uuu r 二、讲解新课： １．复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r 2. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的非 负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内的辐角就叫做辐角主值，记为argz 当+∈R a 时，=a arg 0 ，=-)arg(a π，=)arg(ai 2 π ，=-)arg(ai 23π 3. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+ 其中22b a r += ，r a =θcos ， r b =θsin ；
复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③ θcos 与θsin i 之间用加号连结 4. 复数的三角形式的乘法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++ 5. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)： 若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n n z r n i n θθ=+ 6. 复数的三角形式的除法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则11212122 (cos()sin(r z z i r θθθθ÷=-+- 7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +， 由2 ()x yi a bi +=+222x y a xy b ?-=??=?，解出,x y 有两组解 ②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为： 22 sin ),(0,1,,1)k k i k n n n πθπθ+++=-L 共有n 个值 三、讲解范例： 例 化下列复数为三角形式：①z=3+i ;②z=1-i ③z=-1 解：①z=3+i 2(cos sin )66 i ππ =+; ②z=1-i 77sin )44i ππ=+ ③z=-1cos sin i ππ=+ 例2下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ （1）)4sin 4(cos 21ππi - ；（2）)3 sin 3(cos 21ππi +-；
高考数学专题练习：平面向量与复数
高考数学专题练习：平面向量与复数 1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A 2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝ －26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13 ＝－3. 答案：A 3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝ ±12＋32＝2,故选D. 答案：D 4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( ) A ．1 B.62 C. 2 D ．4 解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
高中数学讲义 第四章 平面向量与复数(超级详细)
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
平面向量、复数w
平面向量 一、向量 1、即有大小又有方向的量叫向量 2、O 方向是任意的 3、单位向量a =1 4、平行向量?共线向量 ?//,a b a b ? 方向相同或相反。（注意//o a ） 5、相反向量,a a - 6、相等向量——方向相同，长度相等。 注：//,////a b b c a c ?/ （当b o = 不成立）。 二、向量的运算 1．加法 （1）平行四边形法则（共起点、对角线） （2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 122311n n n A A A A A A A A -+++= 2．减法，共起点，终点指向被减数向量 3．实数与向量的积 （1）a λ 仍是一个向量|||||| 0000a a a a a a a λλλλλλλλ=?? >??
①a b b a ?=? ②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ③()a b c a c b a +?=?+? 但 ()()a b c a b c ??≠?? a b a c b c ?=??=/ ()0a b a o b o ?=?==/ 或（可能a ⊥b ） (4)cos ||||a b a b θ?==? (5) ||||||a b a b ?≤? 三、平面向量的基本定理 12,e e 不共线，在平面内任一向量a ，有且仅有唯一12,R λλ∈，使1122a e e λλ=+ 。当12,e e 为i ，j 时，12(,)λλ即为直角坐标 四、平面向量的坐标运算 1. 11222121(,)(,)(,)A x y B x y AB x x y y =-- 则 2. 1212(,)a b x x y y ±=±± 3. 1212a b x x y y ?=+ 4. 12120a b x x y y ⊥?+= 5. 1221//0a b x y x y ?-= ?=λ（)R ∈λ cos θ= 7. a b 在五、定比分点公式 AP AP PB PB λλ=?= 000,1P P P A P λλλλ>??
2015届高考数学总复习第四章 平面向量与复数第4课时 复 数课时训练
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ） ＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2， 所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一 复数商与内积的联系 复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,
平面向量与复数
专题复习___________平面向量与复数 【例题选讲】 例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1 ∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1 b a +=a+bi+2 2i b a b a +- =a+ 22 a a b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2 =1 当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2 =4 解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41 ±415i 解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1 =z +z 1 ∴(z －z )－z z z z -=0，(z －z )·2 2||1||z z -=0 ∴z=z 或|z|=1，下同解法一 例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d = ,且a b b c c d d a ?=?=?=? ，判断四边形ABCD 是什么图形？ 分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2 ， ∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2 ，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形. 例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2 +ab cos ∠ 22222b x a x ab x +++ 令t=x 2 +ab 故cos ∠ACB= 11)(1 )(1 222 +?-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2、
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