第二章 矩阵和矩阵的初等变换
第二章 矩阵和矩阵的初等变换
矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.
§2.1 矩阵的定义
一、 矩阵的基本概念
定义1 由n m ⨯个数ij a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==排成的m 行n 列的数表（常
用括弧将数表括起）
1112
1
2122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
称为m 行n 列矩阵，简称m n ⨯阶矩阵，其中ij a 叫做矩阵A 的元素，i 为行标，j 为列标，表明ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列. 为简单起见，记m n ⨯阶矩阵A 为
()ij m n a ⨯或m n A ⨯.
特别地，当m n =时，则称矩阵A 为n 阶矩阵或n 阶方阵，记为n A . 对于m n ⨯矩阵A ，当1m =时，有12
()n A a a a =.称矩阵A 为行矩阵，或行向
量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)n A a a a =.
当1n =时，有12m a a A a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.称矩阵A 为列矩阵，或列向量.
当1m n ==时，有11()A a a ==.这里把矩阵A 看成是数.
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的.
定义2 如果()ij A a =与()ij B b =是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即
(1,2,
,;1,2,,)ij ij a b i m j n ===，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A B =.
下面举几个关于矩阵应用的例子.
例1 3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵A ：
120180758575125354513019085100A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 其中ij a 为第i 产地到第j 销地的里程数.
例2 4个城市间的单向航线如图1所示. 若令
01ij a ⎧=⎨⎩
，
， 则图1可用矩阵表示为
000
1100
1()0100111
0ij A a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 n 个变量12,,
,n x x x 与m 个变量12,,,m y y y 之间的关系式
11111221221122221122,,n n n n m m m mn n
y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++=+++⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=++
+ (1)
表示一个从变量12,,
,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换，其中ij a 为常数.
线性变换(1)的系数ij a 构成矩阵()ij m n A a ⨯=.
给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，
如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.
二、几类特殊的矩阵
1）对角矩阵
n 阶方阵A 的元素1122,
,,nn a a a 称为A 的主对角元素.
例如，矩阵3491A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的主对角元素为3和
1.
定义3 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,(,1,2,,
ij a i j i j n =≠= 则称A 为n 阶对角矩阵或对角阵，即
1122
nn a a A a ⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
（此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为1122(,,
,)nn A diag a a a =.
例如， 100030005A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为对角阵.
特别地，当(1,2,
,)ii a a i n ==，则称对角阵A 为n 阶数量矩阵.即
a a
A a ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
例如， 300030003A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
为数量矩阵. 又当1a =时，称A 为n 阶单位矩阵或单位阵，记作n E ，有时简记为E ，即
1
1
1n E ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 例如线性变换1122
,,n n
y x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个n 阶
单位矩阵.
2）三角形矩阵
定义4 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足条件 0,()(,
1,2,ij a i j i j n =>=
则称A 为n 阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即
1112122
2n n nn a a a a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
. 若n 阶方阵()ij B b =中的元素满足条件
0,()(,1,2,ij b i j i j n =<=
则称B 为n 阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即
11
21
22
12
n n nn b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
. 例如，123045006A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为上三角矩阵，100230456B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
为下三角矩阵. 3）对称矩阵
定义5 若n 阶方阵()ij A a =中的元素满足
,(,1,2,,i j j i a a i j n == 则称A 为对称矩阵.
例如，110
250
311125
A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦为对称矩阵.
4）阶梯形矩阵
定义6 若矩阵()ij A a =满足：
(i)若A 有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；
(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵A 为行阶梯形矩阵.
例如，矩阵1121
40
2110
000330
00
00
A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
为行阶梯形矩阵，而矩阵
112101110213B -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
不是行阶梯形矩阵.
进一步，若行阶梯形矩阵满足： (i)行首非零元等于1；
(ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称A 为行最简形矩阵.
上例行阶梯形矩阵A 对应的行最简形为1101040
11030001300000A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
，而矩阵
21110401103000130
0000A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥
⎣⎦
不是行最简形矩阵.
§2.1 矩阵的运算
一、 矩阵的加法与数乘矩阵
定义1 两个m n ⨯阶矩阵()ij A a =和()ij B b =对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵A 与B 的和，记作A B +，即 ()()()i j m n i j m n
i j i j
m n
A B a b a b ⨯⨯
⨯+=+=+. 注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
例1 两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵A 和矩阵B ：
203453272103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312040861257B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为
20
343
1205
3274086210
31
2
57
230132405
15454302876931013.21
120
5373
3
510
A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦++++⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+
+++⎣⎦⎣⎦
定义2 以数λ乘m n ⨯阶矩阵()ij A a =的每一个元素得到的矩阵，称为数λ与矩阵A 的积，记作A λ，即
()().i j m n i j m
n A a a λλλ⨯⨯== 若取1λ=-，则有()ij m n A a ⨯-=-.称A -为矩阵A 的负矩阵.显然有 ()A A O +-=, 由此规定矩阵的减法为
().A B A B -=+- 即若()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，则 ()()()()i j m
n
i j m n
i j
i j
m n
A B A B a b a
b ⨯⨯
⨯-=+-=+-=- 例2 设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）为例1中的矩阵0.
已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元／吨）可以记为矩阵形式：
12018075851.5 1.5751253545130190851001.5120 1.5180 1.575 1.585180
270112.5127.51.575 1.5125 1.535 1.545112.5187.552.567.5.1.5130 1.5190 1.585 1.5100195285127.5150A ⎡⎤
⎢⎥=⨯⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦
矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足
下面的运算律：
设A 、B 、C 、O 都是m n ⨯阶矩阵，,λμ是数，则 (i) ;A B B A +=+
(ii) ()();A B C A B C ++=++ (iii) ();A B A B λλλ+=+ (iv) ();A A A λμλμ+=+ (v) ()().A A λμλμ=
例3 已知
1
2
31032
14
03
2A -⎡⎤⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312015792316B -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
且2A X B +=，求X .
解：由矩阵的加法和数乘运算律有
4311
11()129822
234431122221914.2231222X B A ---⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
二、 矩阵的乘法
设有两个线性变换
11111221332211222233,,
x a y a y a y x a y a y a y =++⎧⎨
=++⎩
111112222112223
311322,,,
y b z b z y b z b z y b z b z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 则变量12,z z 与变量12,x x 的关系为
111111221133111112122213322221112221233112112222223322
()()()()x a b a b a b z a b a b a b z x a b a b a b z a b a b a b z =+++++⎧⎨
=+++++⎩ (1)
定义3 设矩阵()ij m s A a ⨯=，()ij s n B b ⨯=.令
11221
,(1,2,
,;1,2,
,)s
ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b i m j n ==++
+===∑
则称矩阵()ij m n C c ⨯=是矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作C AB =. 对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：
(1)只有矩阵A 的列数等于B 的行数时，AB 才有意义. (2) 乘积矩阵AB 的第i 行第
j 列元素ij c 就是A 的第i 行上各元素与B 的第
j
列上的各对应元素的乘积之和.即
1212
3j j i i i ij
j
sj
j
b b i a a a
c i b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
(3) 乘积矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，列数等于矩阵B 的列数. 线性变换(1)用矩阵乘法表示即为
11121112131121222122
23223132b b a a a x z b b a
a a x z
b b ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
.
这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多.
例4 设矩阵1312140012,1134131402A B -⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭
⎪-⎝⎭
，求AB .
解 因为A 是24⨯矩阵，B 是43⨯矩阵，即A 的列数等于B 的行数，故
A 和
B 可相乘，其乘积AB 应是个23⨯矩阵.
131********
13
41314
2AB ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭
()()()()()()()()211041042311430021124102111031441311334011123142⎛⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯⨯⨯⎫= ⎪⨯+-⨯+⨯+⨯⨯+-⨯-+⨯-+⨯⨯+-⨯+⨯+⨯-⎝⎭
＋＋（－） 6782056-⎛⎫= ⎪
--⎝⎭
. 例5 设2
412A -⎛
⎫= ⎪-⎝⎭，2
436B ⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
，求AB 及BA 。 解 2
42416
321236816AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 2
4240
0361200BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 由例4知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB 是A 左乘B ，
BA 是A 右乘B . AB 有意义时，BA 可以没有意义. 当AB 与BA 都有意义
时，它们仍然可以不相等，如例5中的AB 和BA 不相等. 总之，矩阵的乘法不
满足交换律，即在一般情形下，AB BA ≠.
对于两个n 阶方阵,A B ，若AB BA =，则称方阵A 与B 是可交换的. 例5还表明，矩阵A O ≠，B O ≠，但却有BA O =.这里要特别注意的是：若有两个矩阵
,A B 尽管满足AB O =，也不一定能得出A O =或B O
=的结论；若A O ≠而()A X Y O -=，也不一定能得出X Y =的结论. 矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：
(i) ()()AB C A BC =; (ii) ()A B C AC BC +=+; (iii) ()C A B CA CB +=+; (iv) ()()()k AB kA B A kB ==.
三、 矩阵的转置
定义4 把矩阵m n A ⨯的行与列互换，得到一个m n ⨯新矩阵，称为A 的转置矩阵，记作T
A .即若
1112121
2221
2n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝，
则
11
21112
22212m m T n
n
mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
＝.
例如矩阵1
203
11A ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭的转置矩阵为1
3210
1T A ⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
. 矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都有意义）:
(i) ()T T A A =； (ii)
()
T
T T A B A B +=+；
(iii) ()T
T kA kA =，其中k 为数； (iv)
()
T
T T AB B A =.
这里仅证明(iv).设()
ij
m s
A a ⨯=，()
ij s n
B
b ⨯=，记()
ij
m n
AB C c ⨯==，
()
T T ij n m
B A D d ⨯==.于是按定义有
1
s
j i j k
k i
k c a
b ==∑， 而
T
B 的第
i
行为
()
12,,
,i i si b b b ，
T
A 的第
j
列为
()
1
2,,
,T
j j js a
a a ，因此
1
1
s
s
ij ki jk jk ki k k d b a a b ====∑∑，
所以
()1,2,
,;1,2,,i j j i d c i n j m ===，即T
D C =，亦即
()
T
T T B A AB =.
例6 已知2
011
3
2A -⎛⎫=
⎪⎝⎭，
1
7142320
1B -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，求()T
AB . 解法1 因为
1
712
010*******
32171310201AB -⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫
⎪==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
’ 所以017()1413310T
AB ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
.
解法2
14
221017()72
003141313112310T T T AB B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
. 定义5 若n 阶方阵()ij A a =的元素都满足
(,1,2,
,i j j i
a a
i j n ==，
则称A 为对称矩阵，即T A A =
；若元素都满足
(,1,2,
,)ij ji a a i j n =-=，
则称A 为反对称矩阵，即T
A A =-. 四、 方阵的幂及其行列式 定义6 对于方阵A 及自然数k
k A A A
A =⋅
称为方阵A 的k 次幂.
方阵的幂有下列性质： 设A 是方阵，12,k k 是自然数，则 (i) 1212k k k k A A A +=；
(ii)
1212()k k k k A A =.
定义7 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为
方阵A 的行列式，记为A
.
注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2
n 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数(也就是数表A )按一定的运算法则所确定的一个数.
由A 确定的A 的运算满足下述运算规律（设A 、B 为n 阶方阵，k 为
数）：
(i) T A A =;
(ii)
n kA k A =；
(iii) AB A B =.
例7 1
22
3A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，2415B ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求AB . 解法一 12240142315123AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 14AB ∴=-.
解法二
1A =-，14B =，14AB A B ==-.
例8 行列式A 的各个元素的代数余子式A 所构成的如下的矩阵
1112112
222*1
2
,n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
称为矩阵A 的伴随矩阵，简称伴随阵. 试证
AA A A A E **==.
证 设()ij A
a =，记()ij AA
b *=，则
1122ij i j i j in jn ij b a A a A a A A δ=++
+=，
其中1,0,ij i j
i j
δ=⎧=⎨≠⎩
故 ()(
)i j i j
A A A A A E
δδ*==
=. 类似有
1
()()()n
ki kj ij ij k A A A a A A A E δδ*
=====∑.
§2.3 矩阵的初等变换及初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的讨论中都起到非常重要的作用.
一、矩阵的初等变换与矩阵等价
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (i)对调两行(对调,i j 两行，记作i j r r ↔);
(ii)数0k
≠乘某一行中的所有元素(第i 行乘k ，记为i r k ⨯);
(iii)把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第j 行的k 倍加到第i 行上，记为i
j r kr +).
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(所有记号把r 换成c 即可).
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换.
容易证明三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换. 变
换i j r r ↔的逆变换就是其本身；变换i r k ⨯的逆变换为1i r
k
⨯ (或记作i r k ÷)；变换i
j r kr +的逆变换为()i j r k r +- (或记作i j r kr -).
定义2 若矩阵A 经过有限次初等变换化为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作~
A B .
矩阵之间的等价关系具有下列性质： (i)反身性:
~A A ;
(ii)对称性：若~A B ，则~B A ;
(iii)传递性：若~
A B ，~B C ,则~A C .
在后面章节将看到，初等行变换将成为解线性方程组的重要工具.
对行最简形矩阵施以初等列变换，可化为一种形式最简单的矩阵，称为标准形. 例如
1010401103000130
00
00A -⎡⎤⎢⎥
-⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
344125123
433~
c c c c c c c c c ↔++--+1000001000001000
000
0F ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 矩阵F 称为矩阵A 的标准形，其特点是：F 的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.
定理1 对于m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为标准形
r m n
E O
F O O ⨯⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦， 此标准形由,,m n r 三个数完全确定，其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
例1 化矩阵212341352012A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为矩阵F 的形式. 解
2131
121231
32
341232
242
2,(1)2
12321234
135~0
11120120
11120001000~0111~0
1110
1110000100010000100~010*********~r r r r c c c c r r c c c c r c c A -------⨯--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=---⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢
⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦
二、初等矩阵
定义3 对单位矩阵E 进行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵. 初等矩阵有下列三种：
(1) 对E 进行第(i)种初等变换得到的矩阵：
101
1
()1
1
1i E ij j i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
行
行
列
列
(2) 对E 进行第(ii)种初等变换得到的矩阵：
1
(())1E i k k
i i ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
行
列
(3) 对E 进行第(iii)种初等变换得到的矩阵：
1
1(())1
1l i E ij l j i j ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
行行
列
列
定理2 设()m n
ij m n A a ⨯⨯=，
(1)对A 的行进行某种初等变换得到的矩阵,等于用相应的m 阶初等矩阵左乘A ； (2)对A 的列进行某种初等变换得到的矩阵,等于用相应的n 阶初等矩阵右乘A . 证 现在证明交换A 的第i 行与第
j 行等于用()m E ij 左乘A .将m n A ⨯与
m E 表示为
12()T i j m A A A A A A =,
12
()T i j m E εεεεε=,
其中
12()(1,2,,),k k k kn A a a a k m == (00
1
0)(1,2,
,).k k m ε==
111().
j j j m i i i m m m k A A A A E ij A A A A A A εεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
列
由此可见()m E ij A 恰好等于矩阵第i 行与第j 行互相交换得到的矩阵.
用类似的方法可以证明其它各种初等变换为相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵A 的运算. 所以说矩阵的初等变换实际上是矩阵的一种乘法运算.
§2.4 逆矩阵
解一元线性方程ax b =，当0a ≠时，存在一个数1a -，使1x a b -=为方程的解. 那么，解矩阵方程AX B =时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X . 这就是本节要讨论的逆矩阵问题.
一、逆矩阵的基本概念
定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 AB BA E ==，
则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵.
如果矩阵A 是可逆的，那么A 的逆阵是惟一的. 这是因为：设B ，C 都是A 的逆阵，则有
()(),B BE B AC BA C EC C =====
所以A 的逆阵是惟一的.
A 的逆阵记作1A -. 即若A
B BA E ==，则1B A -=.
二、逆矩阵存在及判定定理
定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0A ≠，则称A 为非奇异矩阵，否则称A 为奇异矩阵.
定理1 n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是A 是非奇异矩阵，而且
1
A A A
*
-=， (1)
其中,A *为A 的伴随矩阵.
例1 求二阶矩阵a b A c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭的逆阵.
解 A ad bc =-，d b A c a *-⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
， 利用逆阵公式(1), 当0A ≠时，有
111d b A A c a A ad bc -*-⎛⎫
=
= ⎪--⎝⎭
.
例2 求方阵
123221343A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
的逆阵.
解 求得20A =≠，知1A -存在. 再计算A 的余子式
1112132122233132332,3,2,
6,6,2,4,5,2,
M M M M M M M M M ====-=-=-=-=-=-
得 11
213112
22
3213
23
33264365222M M M A M M M M M M *--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
， 所以 1
13
21353
2
2111A A A -*-⎛⎫
⎪ ⎪==-
- ⎪ ⎪-⎝⎭
. 由定理1，可得下述推论.
推论 若AB E =(或BA E =),则1B A -=.
证 1A B E ==，故0A ≠,因而1A -存在，于是 1111()().B EB A A B A AB A E A ----===== 例3 设
1231321221,,205334331A B C ⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
, 求矩阵A 使其满足
AXB C =.
解 若11,A B --存在，则用1A -左乘上式，1B -右乘上式，有
1111A AXBB A CB ----=,
即 1
1
X A CB --=.
由上例知0A ≠，而1B =，故知,A B 都可逆，且
1
113
231353,5222111A B ---⎛⎫ ⎪
-⎛⎫ ⎪=-
-= ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝
⎭， 于是
11
13
213313532052223111111213102104.5202104X A CB ---⎛⎫
⎡⎤ ⎪-⎛⎫⎢⎥ ⎪==-
- ⎪⎢⎥- ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎣⎦-⎝
⎭-⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
三、逆矩阵的性质
方阵的逆阵满足下列运算规律：
(i) 若A 可逆，则1A -亦可逆，且()1
1A A --=.
(ii) 若A 可逆，数0λ≠，则A λ可逆，且()1
11
A A λλ
--=
.
例4 如果
1
2000
00
n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其中0(1,2,,)i a i n ≠=.
验证11210010
0100
n a a A a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 证
第二章 矩阵和矩阵的初等变换
第二章 矩阵和矩阵的初等变换 矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算. §2.1 矩阵的定义 一、 矩阵的基本概念 定义1 由n m ⨯个数ij a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==排成的m 行n 列的数表（常 用括弧将数表括起） 1112 1 2122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦ 称为m 行n 列矩阵，简称m n ⨯阶矩阵，其中ij a 叫做矩阵A 的元素，i 为行标，j 为列标，表明ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列. 为简单起见，记m n ⨯阶矩阵A 为 ()ij m n a ⨯或m n A ⨯. 特别地，当m n =时，则称矩阵A 为n 阶矩阵或n 阶方阵，记为n A . 对于m n ⨯矩阵A ，当1m =时，有12 ()n A a a a =.称矩阵A 为行矩阵，或行向 量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)n A a a a =. 当1n =时，有12m a a A a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ .称矩阵A 为列矩阵，或列向量. 当1m n ==时，有11()A a a ==.这里把矩阵A 看成是数. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的. 定义2 如果()ij A a =与()ij B b =是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即
第二章矩阵
习题课一 （第二章） 内容介绍 一、 第二章基本内容回顾 二、 讲评第二章练习题 三、 讲评第二章部分习题 四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题 一、 第二章矩阵基本内容回顾 §2.1 基本内容 2.1.1 矩阵的运算 1．矩阵的加法 设,][,][n m ij n m ij b B a A ??==则 .][n m ij ij b a B A ?+=+ 2．矩阵的数乘 .][n m ij ka kA ?= 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律： ? ;A B B A +=+ ? );()(C B A C B A ++=++ ? );()(lA k A kl = ? ;)(lA kA A l k +=+ ? 。A A k kA n 为阶方阵|,|||= 3．矩阵的乘法 设,][,][p n kj n m ik b B a A ??==则,][,][p n kj n m ik b B a A ??== 其中.,,2,1,,,2,1,1 p j m i b a C kj n k ik ij === ∑=即矩阵C 的第i 行第j 列的元素等于 A 的第i 行的元素与 B 的第j 列对应元素乘积这和。 两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B 的行数。
矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在 ? 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BA AB ≠ ? 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0≠≠B A ，可能有.0AB = ? 矩阵乘法不满足消去律，即由0,≠=A AC AB 不能导出.C B =矩阵乘法满足以下运 算律： ? );()(BC A C AB = ? ;)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+ ? );()()(kB A B kA AB k == ? B A B A AB ,|,|||||=为同阶方阵。 4．矩阵的转置 设 nn n n n a a a a a a a a a A 21 21 222111211 = 则A 的转置为 nn n n m m T a a a a a a a a a A 212 2221 12111 = 矩阵转置满足以下算律： ? ;)(A A T T = ? ;)(T T T B A B A +=+ ? ;)(T T T A B AB += ? |A ||A |T =，此时A 为阶方阵。 5．矩阵的逆 设A 为一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使 ,I BA AB == 则称A 是可逆矩阵，B 称为A 的逆矩阵。A 的逆矩阵是唯一的，记为1A -，可逆矩阵满足以下算律：
线性代数(复旦大学出版社)第二章 矩阵
第二章矩阵 第一节矩阵的概念 1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵 列矩阵：只有一列的矩阵 零矩阵O：元素全为零的矩阵 单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵 数量阵（纯量阵）：λE 对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵 上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵 2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等 两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。记做A=B。 3、不同型的零矩阵是不相等的 第二节矩阵的运算 设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数 一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算 （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C) （3）A+O=A 二、减法： A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵 三、乘法： 1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时， 两个矩阵才能相乘。简记为：(m×s)(s×n)=(m×n) 例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵
2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA) （2）(λ+μ)A=λA+μA （3）λ(A+B)=λA+λ B （4）1*A=A, (-1)*A=-A 矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC) （2）分配律：A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA （3）λ(AB)=(λA)B=A(λB) （4）EA=AE=A （5）A k A l=A k+l （6）(A k)l=A kl 3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B 另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立） （2）AB=O，不能推出A=O或B=O （3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C （4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立） 4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。 纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。 四、矩阵的转置 1、转置：矩阵的行和列依次互换位置，记为A T（或A’） （1）（A T）T=A
第二章矩阵
第二章矩阵 本章要点 1. 矩阵的概念与运算； 2. 分块矩阵； 3. 可逆矩阵及性质； 4. 矩阵的初等变换； 5. 矩阵的秩。 学习目标 1．理解矩阵的基本概念； 2．掌握矩阵的运算及其基本性质； 3. 掌握逆矩阵和矩阵的秩的求法； 4. 掌握矩阵的初等变换； 5. 会进行矩阵的分块运算。 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。 矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。 第一节矩阵的概念与运算 一、矩阵的概念 矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念,它在自然科学的各个领域和经济管理、经济分析中有着广泛的应用。来看这样一个简单的实例：
例2.1 某种物资有3个产地,4个销地,调配量如表2.1所示。 表 2.1 那么，表中的数据可以构成一个矩形数表： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210402135361或⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡210402135361 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。 定义2.1 由n m ⨯个数或代数式()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1ΛΛ==构成的一个m 行n 列的矩形列表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a Λ Λ ΛΛΛΛΛ2 12222111211或⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 222 21 11211 称为一个m 行n 列的矩阵。其中ij a 称为矩阵的第i 行j 列的元素 ()n j m i ,,2,1;,,2,1ΛΛ==。 矩阵的元素属于数域F ，称其为数域F 的矩阵。若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域R 上的矩阵。一般用大写的字母A ，B ，C Λ,表示矩阵；有时
《线性代数考研资料》第二章矩阵
第二章 矩 阵 一、矩阵运算 1．（97，填（4）题，3分）设12243311A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，B 为三阶非零矩阵，且AB ＝0，则t ＝3- 【分析】由AB ＝0也可推知r(A)+r(B)≤3，而r(B)>0。于是r(A)≤2,故有|A|=0⇒t=-3. 【详解】由于B 为三阶非零矩阵，且AB=0,可见线性方程组Ax ＝0存在非零解，故 For personal use only in study and research; not for commercial use 122 4 303311 A t t -==⇒=-- 二、伴随矩阵 1．（05，12题，4分）设A 为n(2n ≥)阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，* A ， *B 分别为A ，B 的伴随矩阵，则 （A ）交换* A 的第1列与第2列得* B （B ）交换* A 的第1行与第2行得* B （ C ）交换* A 的第1列与第2列得* B - （D ）交换* A 的第1行与第2行得* B - 【 】 【答】应选（C ） 【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可 【详解】为书写简捷，不妨考查A 为3阶矩阵，因为A 作初等行变换得到B ，所以用初等矩阵左乘A 得到B ，按已知有 010100001A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是1 111010010100100001001B A A ----⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
从而 **010100||||001B A B A ⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ 又因|A|=-|B|，故** 010100001A B ⎡⎤ ⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，所以应选（C ） 三、可逆矩阵 1．（96，八题，6分）设T A E ξξ=-，其中E 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，T ξ是ξ的转置，证明： （1）2 A A =的充要条件是1T ξξ= （2）当1T ξξ=时，A 是不可逆矩阵 【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中ξ是n 维列向量，则T ξξ是n 阶矩阵且秩为1。而T ξξ是一个数 【详解】 （1）2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=-- 因此2 (2)(1)0T T T T T A A E E ξ ξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-= 因为0ξ≠，所以0T ξξ≠故2 A A =的充要条件为1T ξξ= （2）方法一：当1T ξ ξ=时，由T A E ξξ=-，有0T A ξξξξξξξ=-=-=， 因为0ξ≠故0Ax =有非零解，因此|A|=0,说明A 不可逆 方法二：当1T ξ ξ=，由2()0A A A E A =⇒-=，即E －A 的每一列均为0Ax =的解， 因为0,T E A ξξ-=≠说明0Ax =有非零解，故秩(A) 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m ×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩 阵A与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E 的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法， 构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. §2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵 1．矩阵的初等变换 定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之； （3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。 矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。 如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。 矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ； （2）对称性 如果~A B ，则~B A ； （3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。 对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。以§A 为例，矩阵A 的行最简形为 11610 03921010391000130 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ - ⎪ ⎪ ⎝⎭， 再经初等列变换 344151425253116211 ,,,,,39393 c c c c c c c c c c c c ↔---++ 化为 1 000001000001000000 0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ F 。 称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。 定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形： ()()()()r r n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫ = ⎪⎝⎭ I O F O O ， 其中下方及右边的零行，零列可能空缺。 由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。由此可得以下结论： 可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。 2．初等矩阵 定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。 相应于矩阵的三种初等变换，初等矩阵(elementary matrix)有三种： （1）(,)i j E ：由单位矩阵交换第,i j 行(列)而得的方阵； （2）(())i k E ：由单位矩阵的第i 行(列)乘非零数k 而得的方阵； （3）(,())j i k E ：由单位矩阵的第i 行乘数k 加于第j 行而得的方阵，也 即由单位矩阵的第j 列乘数k 加于第i 列而得的方阵。 在矩阵的初等变换与初等矩阵之间，存在着一种本质而美妙的关系。 定理2.2 设()ij m n a ⨯=A 。 （1）对矩阵A 施以某种初等行变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A 。 （2）对矩阵A 施以某种初等列变换得到的矩阵，等于用同种的n 阶初等矩阵右乘A 。 证明 以第三种初等列变换为例证之。将矩阵A 和单位矩阵I 按列分块， 1(,,)n =A a a ， 1(,,)n =I e e 。 经列变换t s c kc +，矩阵A 和单位矩阵I 分别变换为 1(, ,, ,)t s n k =+B a a a a ， 1(,())(, ,, ,)t s n s t k k =+E e e e e 。 由§1.4节例4.2知(1, ,)j j j n ==Ae a ，于是 1(,())(,,,,)t s n s t k k =+AE A e e e e 。 1(, ,, ,)a a a a B =+=t s n k 。 其余情形请读者证明。 由定理2.2可知，初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵，具体如下： 第二章 矩 阵 教学基本要求： 1. 理解矩阵的概念. 2. 了解基本矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵等）及 其基本性质. 3. 掌握矩阵的各种运算（加法、数乘、乘法和转置运算）及其运算规律. 4. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件. 5. 了解分块矩阵的概念. 6. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法. 7. 了解矩阵等价的概念. 8. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法. 线性代数是“矩阵”的代数，矩阵有着广泛的应用. 一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念 长方形数表：1112121 2221 2 n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 称为m n ⨯矩阵，常记作()ij A a =或()⨯=ij m n A a 或m n A ⨯等. 行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵. 2. 基本矩阵 行矩阵——只有一行的矩阵，即()1 2 n a a a . 列矩阵——只有一列的矩阵，即12 m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 零矩阵——元素皆为零的矩阵，即0000 0000 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ . 负矩阵——1112121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ∆ ---⎛⎫ ⎪--- ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ . n 阶矩阵(n 阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作n ij a A )(=或n A . 0() 0() 0()() 1()(=∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃⊃=∀=∀ij ij ij ii ii ij ji a i j a i j a i j a a i a i a a 上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵方阵单位矩阵对称矩阵,) (,) ⎧⎪⎪ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪=-∀⎪⎩ij ji i j a a i j 反对称矩阵 3. 矩阵运算及运算规律 (1)相等 (,)ij ij A B a b i j =⇔=∀ (2)加法(减法) 设p n ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，则 =+B A ()ij ij m n a b ⨯+ (n m ij ij b a B A B A ⨯-=-+=-)()(). 运算规律：A B B A +=+； (交换律）； ()()A B C A B C ++=++； (结合律) . )(O A A A O A =-+=+； (零矩阵的加法作用) (3)数乘 设n m ij a A ⨯=)(，则=kA n m ij ka ⨯)(. 运算规律：1A A =； ()()()(). kl A k lA k l A kA lA k A B kA kB =+=++=+； ；(分配律) (4)乘法 设(),()ij m n ij n p A a B b ⨯⨯==，则()ij m p C AB c ⨯==，其中1 p ij ik kj k c a b == ∑. 第二章 矩阵变换和计算 一、内容提要 本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。基本思想为将计算复杂的一般矩阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩阵的（带列主元的） LU 分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分解和奇 异值分解. (一) 矩阵的三角分解及其应用 1．矩阵的三角分解及其应用 考虑一个n 阶线性方程组b Ax =的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩阵D ，下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，这时方程的求解将会变得简单. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=n d d d D 2 1 , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n l l l l l l L 2 1 2221 11, ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=nn n n u u u u u u U 222 12111 . 对于b Dx =，可得解为i i i d b x /=,n i ,,2,1 =. 对于b Lx =，可得解为1111/l b x =,ii i k k ik i i l x l b x /)(1 1 ∑-=- =,n i ,,3,2 =. 对于b Ux =，可得解为nn n n l b x /=,ii n i k k ik i i l x l b x /)(1 ∑+=- =,1,,2,1 --=n n i . 虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解. 1）．Gauss 消去法 只通过一系列的初等行变换将增广矩阵)|(b A 化成上三角矩阵)|(c U ，然后通过回代求与b Ax =同解的上三角方程组c Ux =的解．其中第k 步消元过程中，在第1-k 步得到的矩阵)1(-k A 的主对角元素) 1(-k kk a 称为主元.从)1(-k A 的第j 行减去第k 行的倍数) 1()1(--= k kk k jk jk a a l （n j k ≤<）称为行乘数（子）. 2）．矩阵A 的LU 分解 对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶单位下三角矩阵L 和n 阶上三角矩阵U ，使得LU A =, 则称其为矩阵A 的LU 分解，也称为Doolittle 分解．Gauss 消去法对应的矩阵形式即为LU 分矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换与初等矩阵
东北大学线性代数书后答案第二章 矩阵
大连理工大学矩阵第二章(矩阵变换和计算)