高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义：解析几何(教师版)
高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义
第十五讲 解析几何一（教师版）
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
一、知识精讲
1.点到直线的距离 ：
d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
2.圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+??=+?.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若
d =
d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r
4.直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
①0相离r d ; ②0d r =???=相切; ③0>???<相交r d .
其中2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
5.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?.
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b
y a x ?渐近线方程：22
220x y a b -=?
x a
b
y ±
=. (2)若渐近线方程为x a
b
y ±
=?
0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2
2
22b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，
焦点在x 轴上，0<λ，
焦点在y 轴上）.
7.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =
1212||||AB x x y y ==-=-（1122(,),(,)A x y B x y
1.三角形四心的坐标
设ABC ?三边的长度分别为a,b,c ，三个顶点A 、B 、C 的坐标分别记为(,)A A x y 、
(,)B B x y 、(,)C C x y ，则重心G 、内心I 、垂心H 、外心O 坐标分别为,33A A x y G ??
? ???
∑∑、
,A A ax ay I a a ?? ? ???∑∑∑∑、cos cos ,cos cos A A ax ay A A H a a A A ?
? ? ? ???∑∑∑∑、sin 2sin 2,sin 2sin 2A A x A y A O A A ?? ? ???∑∑∑∑。 2.直线系
若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合111222()()0a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。特别的，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即为
1110a x b y c ++=。对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.
又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。
3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.
?备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，则这个定值为22d r -.
①当定点在圆内时，220d r -＜，22d r -等于过定点的最小弦的一半的平方； ②当定点在圆上时，22=0d r -；
③当定点在圆外时，220d r -＞，22d r -等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把22d r -称为定点对于圆的幂.
4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．
?对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
5.各曲线的定义：PF P F PH P l PH ????
??????
=1， 为定点， 是到定直线的距离，
（1）椭圆：{}121212222P PF PF a a F F F F a +=， ＞，、为定点， 为正常数，； （
2
）双曲线：
{}
1
2121
2
-2
22P
P F P F a a
=
， ＜，、为定点， 为正常数，
； （3）抛物线：PF P F PH P l PH ????
??????
=1， 为定点， 是到定直线的距离，
． 6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为一个常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．
当01e ＜＜时，曲线是椭圆；当1e ＞时，曲线是双曲线；当1e =时，曲线是抛物线．这个定点F 叫做曲线的焦点，定直线l 叫做曲线的准线，定点F 到定直线的距离P 叫做焦参数． 7.圆锥曲线的标准方程：
（1）椭圆：22221(0)x y a b a b +=＞＞，22
221(0)y x a b a b +=＞＞；
（2）双曲线：22221x y a b -=，22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）；
（3）抛物线：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-（p ＞0）． ?备注：比值e 叫圆锥曲线的离心率，其中c e a
=。 三、典例精讲
例1．（2011复旦）椭圆22
12516
x y +
=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（ ）。
（A ）11 （B （C ） （D ）9
?分析与解答：由平面几何知识，椭圆22
12516
x y +
=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆
22(6)1x y +-=圆心为'O ，(5cos ,4sin )P θθ是椭圆上的点，则
|'|PO ===
10≤=（当sin 1θ=-时取等号）。故所求
距离最大值为11.
?注：或者考虑2
2
2
(6)x y k +-=与22
12516
x y +
=的相交情况，用判别式法解决。
例2．（2012“卓越联盟”）抛物线22y px =(0)p >，F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于(,0)D a ，0a >，||||m AF BF =+。 （1）证明：a 是,p m 的等差中项；
（2）若3m p =，l 为平行于y 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l 的方程。 ?分析与解答： （
1
）
设
1
1
2(
,
)
,(,)A x y B x y ，
由抛物线定义知
1212||||22
p p
AF BF x x x x p +=+
++=++。 又
AB 中
垂
线交x 轴于(,D a
，
故
2
22211
2
2121
2
2
()(
)(2)
()
x a y x a y x x a
x x y
-
+=-+
?+--= 21212()y p x x -=-，因为21x x ≠，所以1222x x a p +-=-，1222x x a p +=-，故
||||m AF BF =+= 122,2
m p
x x p a p a +++=-=
，a 是,p m 的等差中项。 （2）因为3m p =，所以2a p =。设2(2,2)A p t p t ，(2,0)D p 。
圆心2'(,)O p pt pt +。设直线l 的方程为x n =。由于弦长为定值，故22R d -为定值，这里R 为圆的半径，d 为圆心'O 到l 的距离。
222222222222222
1
[(22)(2)]()[(1)]()34
R d pt p pt p pt n p t t p pt n p t -=-+-+-=-+-+-=-
2222222(23)(2)np npt n np p t np n ++-=-+-。
令2230np p -=，即3
2
n p =时，22R d -为定值22293344p p p -=，故这样的
直线l 的方程为3
2
x p =。
例3．（2006复旦）已知抛物线2y ax =，直线12,l l 都过点(1,2)-且互相垂直。若抛物线与直线12,l l 中至少有一条相交，求实数a 的取值范围。 ?分析与解答：
先看0a <的情形，如图13-8，显然，无论(1,2)-在抛物线2y ax =形内，还是在形外。2y ax =与12,l l 始终至少有一条相交，故0a <符合题意。
若0a >，过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，设这两条切线的张角为θ。若
090θ<，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与2y ax =不相交，（如图13-9）；若090θ≥，则过(1,2)-的两条直线中，必有一条与2y ax =相交（如图13-10）。
图13-8 图
13-9
图13-10
于是，原问题转化为如下一个问题：过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，这两条切线对抛物线的张角090≥。
设过(1,2)-的切线方程为(1)2y k x =--，由2,
(1)2y a x y k
x ?=?=--?，知
220ax kx k -++=。
令2480k ak a ?=--=。设方程两根为12,k k ，则012901k k θ≥?≥-。由韦
达定理，81a -≥-，故1
8
a ≤。
综上，a 的取值范围是1(,0)0,8a ??
∈-∞ ???
。
例4．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“?”：21212()x x x x ?=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y
，定义()d AB (1)若0x ≥
，求动点(,P x 的轨迹C ；
(2)已知直线11
:12
l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，
若
5
a 的值； (3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求
|()||()|
|()||()|
d ST d ST d SP d SQ +的取值范围。
?分析与解答：(1)
设y = 则2()()y x a x a =⊕-?22()()4x a x a ax =+--=
又由y =0可得
P (x
的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分
(2) 由已知可得241
12
y ax
y x ?=??=+?? , 整理得2
(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ?=--≥ ,得1
02a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥
==
=
=
解得2a =或3
2a =-(舍) ；2a ∴=
(3)∵12()||d AB y y =-
∴
|()||()|||||
|()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+
设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,
0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，
QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则
=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||
||||
||||||P Q OT OT c c PP QQ x x +=+． 由28y x
x my c ?=?=+?消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴
||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+
≥2||c
2||
2c ==． ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()|
|()||()|
d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）．
例5．（2011“华约”）抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，
0135OFA ∠=，求tan ACB ∠。
?分析与解答：
解法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为','A B ，依抛物线定义知1||1AF x =+，所以011|'|(1)sin 45,|'|1AA x CA x =+=+，所以|'|
tan '|'|
AA ACA CA ∠=
sin 452
o ==
。
同理，tan '2
BCB ∠=
，所以tan ACB ∠= 解法二：AB ：1y x =-
代入抛物线中，21610,3x x x -+==-
，
23x =+
所以
(3(3B A --++。所以(1,0),C C A C B
-?=，又||||12CA CB ?=?
1
cos 3
ACB ∠=，所以tan ACB ∠=
例6．（2012“北约”）已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC ?面积的最小值。
?分析与解答：
圆的方程22(1)1x y -+=。设(1cos ,sin )C θθ+到AB ：20x y -+=的距离为d ，则
d =
=
因为cos sin [
4πθθθ?
?-=+∈ ???。所
以
min d =
，所以
min 1()32ABC S ?=?=。当C 点的
坐标取1? ?
?时，ABC ?的面积有最小值
3
例7.（2010五校联考）如图，A B C D 、、、在24x y =上，
A D 、关于抛物线对称轴对称。过点D 作切线，//BC 切线，
点D 到AB AC 、距离分别为12,d d ，12|d d AD +=。 （1）试问：ABC ?是锐角、钝角还是直角三角形？
（2）若ABC ?的面积是240，求A 的坐标和BC 的方程。
?分析与解答：
（1）对24x y =求导，1'2y x =
。设2001,4D x x ??
???
，由导数的几何意义知BC 的斜率012BC k x =
。由题意知2001,4A x x ??- ???，设2111,4C x x ?? ???，2221,4B x x ??
???
，则2212
12012111144()42
BC
x x k x x x x x -==+=-
12020122x x x x x x ?+=?=-。从而2010112,(2)4B x x x x ??
-- ???
。
2
21010101()
1
4()4
AC
x x k x x x x -==-+，
220100101010100111
[(2)](3)()
144()234
AB
x x x x x x x k x x x x x x x ----===--+-，
12AC AB k k DAC DAB d d =-?∠=∠?=，再结
合12|d d AD +=知
045DAC DAB ∠=∠=，故ABC ?是直角三角形。
（2）由（1），不妨设C 在AD 上方，AB 的方程为2001
()4
y x x x -=-+。由
20021(),44y x x x x y
?-=-+???=?
得到另一个交点20
014,(4)4B x x ??
-- ???。 AC 方程为20014y x x x -=+，由22
00
4,
14y x y x x x ?=?
?-=+??得到另一个交点20014,(4)4C x x ??
++ ???
。
000||(4)()|24|AB x x x =---=-，
000||4()|24|AC x x x +--=+，
所以001
2|24||24|2402
S x x ?=?-?+=，解得08x =±，故(8,16)A 或(8,16)-。
08x =时，(4,4),(12,36)B C ，BC 的方程为412y x =-。 08x =-时，(12,36),(4,4)B C --，BC 的方程为412y x =--。 注：此题的关键是证明12d d =。
四、真题训练
1.（2001复旦）抛物线24(1)y x =--的准线方程为（ ）
（A ）1x = （B ）2x = （C ）3x = （D ）4x =
2.对于直角坐标平面内任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“新距离”：
2121AB x x y y =-+-.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上. 则AC BC AB += ； ②在ABC ?中，若90C ∠=,则2
2
2
AC CB AB +=； ③在ABC ?中，AC CB AB +>。
其中的真命题为 ( )
A. ①②③
B. ①②
C. ①
D. ②③
3.（2012复旦）极坐标方程2
(02cos 1
k
k k k ρθ=>-+为常数）所表示的曲线是（ ）。
（A ）圆或直线 （B ）抛物线或双曲线 （C ）双曲线或椭圆 （D ）抛物线或椭圆
4.（2010复旦）参数方程(sin ),
(0)(1cos )x a t t a y a t =-?>?=-?
所表示的函数()y f x =是
（ ）。
（A ）图像关于原点对称 （B ）图像关于直线x π=对称 （C ）周期为2a π的周期函数 （D ）周期为2π的周期函数
5.在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为
||||),(2121y y x x Q P d -+-=。若),(y x C 到点)9,6(),3,1(B A 的“直角距离”相等，其中实数y x ,满足93,100≤≤≤≤y x ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为__________。
6.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点。定义11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-。已知(1,1)B ，点M 为直线40x y -+=上的动点， 则(,)d B M 的最小值为 。
7.（2012 “卓越联盟”）如图，AB 是圆O 的直径，C D A B ⊥于H ，且
10,8,4AB CD DE ===，EF 是圆的切线，BF 交HD 于G 。
（1）求GH ；
（2）连结FD ，判断FD 与AB 的关系。并加以证明。
8.（2011“北约”）求过两抛物线22221,523y x x y x x =--=-++交点的直线方程。
9.（2010同济）如图，已知动直线l 经过点(4,0)P ，交抛物线22(0)y ax a =>于
A B 、两点，坐标原点O 是PQ 的中点，设直线AQ BQ 、的斜率分别为,AQ BQ k k 。
（1）证明：0AQ BQ k k +=；
（2）当2a =时，是否存在垂直于x 轴的直线'l ，被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线'l 的方程，若不存在，请说明理由。
10.（2009上海交大）P Q 、是圆22(3)1x y +-=与2y x =上的点，求||PQ 的最小值。
五、真题训练答案 1.【答案】B
【分析与解答】：令1',
'x x y y -=??=?则原抛物线方程为2'4'y x =-，其准线方程为'1x =，
故原抛物线的准线方程为'12x x =+=。 2.【答案】C 3.【答案】D 【分析与解答】：由知识拓展圆锥曲线的统一极坐标方程知：
2
22
122cos 11cos 1k
k k k k k k ρθθ+==-+-+，2
2011k e k <=≤+。故为椭圆或抛物线（当且仅当1k =时取抛物线）。
4.【答案】C
【分析与解答】：2(2sin(2))(sin )2t t x x a t t a t t a ππππ+-=+-+--=， 2(1cos(2))(1cos )0t t y y a t a t ππ+-=-+--=，
即()(2)y f x f x a π==+，故()f x 是以2a π为周期的周期函数。 5.【答案】：)12(5+
6.【答案】：4
7.【分析与解答】：（1）连结AF 、OF ，则A 、F 、G 、H 四点共圆。且由EF 是切线知，OF EF ⊥。所以
FGE BAF ∠=∠，且EFG BAF ∠=∠（弦切角等于弦所对的圆周角）
所以FGE EFG EF EG ∠=∠?=。
22222222222238548OH HE OF EF OE EF OH HE OF +=+=?=+-=+-=。
所以8EF EG GH EH EG ===-=-。
（2）FD 与AB 不平行（即相交），用反证法。
如图，以O 为坐标原点，AB 所在直线为y 轴建立一个平面直角坐标系。
若//FD AB ，则D 点的横坐标等于F 点的横坐标，即 4.从而(4,3)F 。又
(8,3)E -，所以EF 的斜率为
333842--=--。而3339
,14248
OF EF OF k k k =?=-?=-≠-。这与EF 是圆的切线矛盾！
8.【分析与解答】：设交点为1122(,),(,)x y x y ，则2
1112
211221,523y x x y x x ?=--??=-++?? ①×5+②×2有11761y x =-+，
同理：22761y x =-+。所以1122(,),(,)x y x y 都在直线6710x y +-=上，而过两点的直线方程是唯一的。所以所求直线方程为6710x y +-=。
9.【分析与解答】：（1）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y 。直线AQ 交抛物线于33(,)C x y
，
① ②
则直线AQ ：
14x k y =-，直线AB ：24x k y =+，先将14x k y =-
代入22y a x =中212(4)y a k y ?=-
21280y ak y a ?-+=。所以128y y a =-，同理138y y a =。所以23y y =-。所以B
与C 关于x 轴对称即
AQ l 与BQ l 关于x 轴对称。所以0AQ BQ k k +=。
解法二：设AB ：4x ky =+代入22y ax =中，2280y aky a --=，12
122,8y y ak y y a
+=??=-?11(8,),QA ky y =+ 22(8,)
QB ky y =+，
121212121228()
88(8)(8)
QA QB y y ky y y y k k ky ky ky ky +++=
+=++++1216160(8)(8)
ak ak
ky ky -+=
=++。
（2）因为2a =，所以抛物线为：2
4y x =。那么可设2,4y A y ??
???，又(4,0)P ，并
可得A 、P 中点'O ，
216',8
2y y O ??+ ???，
（如图）
则圆的半径|'|r O P ==。再设直线'l 存在且为：x t =。那么要使被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值C ；则
2
22
(',')2C r d O l ??-= ???2
21648y ??+?-+ ???
2
222
2222
2221616333448244244244y y C y C t C t t t t y y t t ??++????????--=?-+-=?--+=?= ? ? ? ? ?????????
??
即3t =。所以直线'l 存在，为3x =。
10.【分析与解答】：设圆22(3)1x y +-=的圆心为'O ，则'(0,3)O 。
再设Q 点坐标为2(,)t t ，则
|'|Q Q ==
=≥，
从而|||'||'|12
PQ O Q O P ≥-≥
-，等号成立252t ?=，且',,O P Q 三点共线，即
522Q ??
± ? ???
且',,O P Q 三点共线。
故||PQ 的最小值为
12
-。
第十六讲 解析几何二（教师版）
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
一、知识精讲
2.椭圆中的经典结论：
3.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=．
4.点000()P x y ，在椭圆上22
221x y a b
+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是
00221x x y y
a b
+=． 5.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，
12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2
F PF S b α
?=．
六、双曲线中的经典结论：
（3）点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的
切线方程是
00221x x y y
a b
-=． 2点000()P x y ，在双曲线上22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条
切线切点为12P P 、，则切点弦12PP
的直线方程是00221x x y y
a b
-=． 3.双曲线22
221x y a b
-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上
一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan 2
F PF S b α
?=．
三．抛物线：
1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，
AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠?+=线段平分角
（4）端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于
1122(,)(,)A x y B x y 、 ，
则：(1)2
124p x x =，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。 （5）共线： 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于A B 、两点，如图示，有下列三个结论：
（1）1A O B 、、三点共线 ．
（2）1B O A 、、三点共线．
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ，则1BB 平行于x 轴．
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1A ，则1AA 平行于x 轴．
高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
高中数学竞赛_函数【讲义】
1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)
高中数学竞赛讲义_复数
1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高中数学竞赛讲义-抽屉原理
§23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
高中数学竞赛_数列【讲义】
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).高中数学竞赛训练题(0530)
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