应用概率论_研究生_教案 ch6 鞅论及其应用
第六章 鞅论及其应用
§1离散鞅的定义及性质
“鞅”一词来源于法文martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指
一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在 金融学中的确切含义。鞅原指一类于18世纪流行于法国的投注策略，称为加倍赌注法（英语：Martingale (betting system)）。这类策略中最简单的一种策略是为博弈设计的。在博弈中，赌徒会掷硬币，若硬币正面向上，赌徒会赢得赌本，若硬币反面向上，赌徒会输掉赌本。这一策略使赌徒在输钱后加倍赌金投注，为的是在初次赢钱时赢回之前输掉的所有钱，同时又能另外赢得与最初赌本等值的收益。当赌徒的财产和可用时间同时接近无穷时，他掷硬币后硬币正面向上的概率会接近1，由此看来，加倍赌注法似乎是一种必然能赢钱的策略。然而，赌金的指数增长最终会导致使用这一策略的赌徒破产。鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由Ville(1939)引进，概率论中，鞅的概念是由法国概率学家保罗·皮埃尔·莱维（Paul Pierre Lévy）提出，而这一理论的初期基础理论的发展均是由约瑟夫·利奥·杜布（Joseph Leo Doob）完成，他于1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅论的系统研究成果，它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展，完成这些工作的部分动机是为了表明成功的投注策略不可能存在。伊藤清在分析应用方面作出了重要的贡献。从1970年**始，鞅论就在纯粹数学和应用数学的很多领域中有广泛的应用，特别是在数学物理和金融数学中。鞅在20 世纪70 年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在Pliska&Kreps.
相对于随机微积分而言，由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。
一、离散鞅的定义
鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？
例1 博弈（倍赌问题）
设 {X n , n ≥1}独立同分布，均服从参数为0.5的两点分布。 - 可将这些变量看为掷一枚硬币的结果。
如果出现正面，则赌徒盈利为赌金的一倍； 如果出现反面，则赌徒全部输掉赌金。 设赌徒下赌注的原则为：
如果赢，则停止赌博；
如果输，下次赌金为上次赌金的二倍； 设W n 表示第n 次赌博赌徒赢的钱(负数为输的钱) F n = σ{X 1, …, X n }; 求E(W n +1| F n )？ 过程分析：
设最初资本为1元
赌金： 1 2 4 …… 2n
1
2
n + ……
赢利 1 4-3 8-7 …… 1 1 …… 亏损 1 2+1 3+4 …… 21n
? 1
21n +?……
显然，Wn=1时 ，Wn+m=1，任意m 否则，Wn= (21)n
??
1(1|(21)(1)1/2n n n n P W W P X +==??===
11((21)|(21)(1)1/2
n n n n n P W W P X ++=??=??==?=
111(|(21))(|)(|1)n
n n n
n n
n n n E W W W
E W
E W W W +++?==??==?===?
F
定义1 若随机序列 ,2,1,0},{=n X n 对任意0≥n ，有
（1）||n E X <∞
（2） 10(|,,)n n n E X X X X += 则称}{n X 为离散鞅序列，简称为鞅
如果}{n X 为鞅，则它有某种无后效性。即当已知时刻n 以及它以前的值n X X ,,0 ， 那么n +1时刻的值1+n X 对n X X ,,0 的条件期望与时刻n 以前的值10,,?n X X 无关，并且等于n X 。
定义2设}{n X 及}{n Y ， ,2,1,0=n ，为两个随机序列，对任意0≥n ，有
(1) ||n E X <∞
(2)n X 是n Y Y ，， 0的函数； (3) 10(|,,)n n n E X Y Y X +=
则称}{n X 关于}{n Y 为鞅，简称{}n X 为鞅。 若将(3)改为
(3) 10(|,,)n n n E X Y Y X +≤ ，则称}{n X 关于}{n Y 为上鞅，简称{}n X 为上鞅。 (3) 10(|,,)n n n E X Y Y X +≥ ，则称}{n X 关于}{n Y 为下鞅，简称{}n X 为下鞅。 关于上、下鞅的的直观解释：
上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n 年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n 年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。
例2 博弈 （赌金选择）
若赌徒策略不为倍赌原则，所用策略(即所下的赌金)依赖于前面的结果，即
第n 次赌金为b n =b n (X 1, …, X n );
第一次赌资b 1任意，不超过初始资本W 0, 则： 如果赢，就赢到b n ；如果输，就输b n ； 如果输，下次赌金为上次赌金的二倍；
设W 0表示赌徒初始资本， W n 表示第n 次赌博后赌徒的资本，F n = σ{X 1, …, X n }; 求 E （W n +1| F n ）。
1011
W W b X =+ 201122122
W W b X b X W b X =++=+
01
1n n
i i n n n
i W
W b X W
b X
?==+=+∑ 1
(|)n n n
E W
W
+=F
说明：
如果每次赌博的输赢机会相等，输赢资本额度相等，则赌博是公平的。即：
论赌徒采取什么样的赌博策略，都不可能使赌博变成有利于自己的赌博。公平！！ 经济、金融中定价的基本原则！
把X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而EX n 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相
关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20 世纪80 年代以后迅速成 为主流金融经济学研究中标准的时髦。
简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称 之为上鞅(supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说 是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。 我们循序渐进地分成4 个步骤来正式定义鞅：
1)首先，描述概率空间。存在一概率空间{Ω,F ,P }，要求σ-代数F 是P-完备的，即对 于任何A ∈ F 且P (A ) = 0，对一切N ? A 都有N ∈ F 成立。 事件域，σ代数：
事件本质是Ω的某些子集,把“是事件”的这些子集归在一起, 则得到一个类,记作?,称作事件域, 即?={A：A ??, A 是事件}， 显然:? ∈?,Φ∈?， A∈?,B∈?, 则A∪B∈?、AB∈?、A－B∈?， 即事件域?关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的. 定义：设Ω是一集合， F 是Ω的某些子集构成的集合类，若：
（1）F ∈Ω
（2）若F A ∈，有：F A ∈ （3）若F A n ∈ ,2,1=n 则：
F A
n n
∈∞
=∪1
则称F 为?σ代数（Borel 域），也称为事件域，),(F Ω称为可测空间，F 中的元素称为事件。
σ代数: 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作σ代数.所以事件域应该是一个σ代数. 一个特殊的σ代数: 对于样本空间Ω,如果?是Ω的一切子集的全体,那么显然?是一个σ代数.
2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格(S n )n ∈Z +
3随时间的波 动情况。令(F n )n ∈Z +
代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间 的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当m < n < o 时，这 一族信息集合必然满足：
实际上F n 就是n 时刻的分割产生的σ-代数，这样的σ-增族记为：
我们称它为滤子(filter)或者滤波，或σ代数流。给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化和信息传播过程。四位一体的{Ω,F ,P ,F }
被称为滤过(filtered)的概率空
间或者随机基(stochastic basis)。
定义 设),,(P Y Ω为完备概率空间，{} ,2,1,0=N ，若Y
的子
σ域族
}{N n n ∈=,,Y F 满足
（ⅰ）0F 包含一切F 中的可略集； （ⅱ）对每个N n ∈，F F F 1n ??+n ， 则称F 为σ域流。),,,(P F F Ω称为带流的概率空间。
σ代数流F n = σ{X 1, …, X n }表示由随机变量X 1, …, X n 决定的事件及它们的有限和可列运算的全体构成的事件集，简称为由生成的事件‐σ域，它表示由随机变量可能提供的全部信息。
?
σ代数流：
{F n , n ≥0}为一列σ代数，满足：
F n ? F , F n ? F n +1, 称{F n , n ≥0} σ代数流。
?
例如： {Y n , n ≥0}一列随机变量，
F 0=σ{Y 0}，即关于Y 0的所有事件都在F 0中； F 1=σ{Y 0，Y 1}，关于Y 0、Y 1的所有事件都在F 1中； F 0 ? F 1； ……
F n = σ{Y 0,Y 1,……,Y n }; F n-1 ?F n ； ……
则{F n , n ≥0}为一个σ代数流；称之为由{Y n , n ≥0}生成的σ代数流。
3)如果对于任何n ≥ 0， S n 的值被包含在F n 中，就称S n 是F n 可测的，或者使用梅耶 (Meyer)的术语，称S n 为F n 适应的( F n –adapted)6。
?
{X n
, n ≥0}关于 {F n , n ≥0}适应： 若对任意的n, x , (X n ≤x ) ∈F n , 则 {X n , n ≥0}关于 {Φn , n ≥0}适应 例如：
{Y n , n ≥0}一列随机变量，
F n = σ{Y 0，Y 1,……，Y n }; X n 为Y 0，Y 1,……，Y n 的函数，则
任意的n, x ，(X n ≤x ) ∈F n ，故{X n , n ≥0}关于 {F n , n ≥0}适应。
定义 设),,,(P F F Ω为带流的概率空间，随机变量序列}1,{≥n X n 称为是适应的，如果对每个1≥n ，n X 关于n F 是可测的（常记作n n X F ∈）。
注 设}1,{≥n X n 为概率空间),,(P F Ω上的随机变量序列，令N n j X j n ∨≤=),(σF ,这里),(n j X j ≤σ是使n j X j ≤≤1,为可测变量的最小σ域，N 为n F 中的可略集的全体，
N n j X j ∨≤),(σ表示由),(n j X j ≤σ和N 生成的σ代数，那么)1,≥n n (F 称为
}1,{≥n X n 的自然流。另外
),N n n
∈Δ∨=∞n n (F F F σ
即n F 为由N n ∈,n F 生成的σ域。
对),,(P F Ω上的随机变量的}1,{≥n X n ，若F 取做它的自然流，则}1,{≥n X n 必为适应的，且F 是使}1,{≥n X n 为适应的最小σ域流。
4)条件数学期望。使用不同时刻的信息集，我们可以推测S n 的未来运动形式，很自然的，这种预测通常采用条件数学期望的形式：
这意味着在n 时刻对N 时刻的价格预期是基于在该时刻已确知的特定信息集合F n 的。注意在这里我们在期望算子上加的P 代表这种期望是基于特定概率测度（或者分布）的， 在不混淆的情况下它也可以被省略。
定义3 假定(S n )n ∈Z +
是滤过(filtered)的概率空间{Ω,F ,P ,F }上的一个F n -适应过程，如果：
1)无条件的数学期望是有限的，即：
+
E (S n ) < ∞, n ∈ Z
2)对下一时刻的预测就是现在观察到的数据，即：
E n (S n 1 |
F n ) = S n ,n ∈Z
则称
(S n )n ∈Z + 为（ F 下的）离散时间鞅或者简称离散鞅8。
因此鞅实际上就是未来变化完全无法预测的随机过程。不妨假设(S n )n ∈Z +
是一个鞅，在一个
单位时间间隔内， S n 的预期变化为
由于S n 是鞅，E n (S n +1 )等于S n ，而根据定义S n 是F n 可测的，所以E n (S n )在n 时刻是已知的，也等于S n ，所以：
因此对S n 在下一时间内变化的最好预测就是0。换句话说，该随机变量的未来运动方向和大小是不可预测的，这就是所谓鞅性(martingale property)。这里ΔS n 被称为鞅差(martingale difference)。显然，鞅差的部分和(partial summation)也是鞅，即：
需要强调的是：鞅是用条件期望来定义的，而条件期望的计算总是基于某种概率分布和特定信息集合的，这两点对于决定一个随机过程是不是鞅起关键作用，以后的分析会逐渐揭示这一点。只要对定义3中的第二个条件做适当修改，就可以获得相应的上鞅和下鞅的定义。
定义4 如果
二、离散鞅的性质
定理1 }{n X 关于}{n Y 是鞅的充要条件为，对任意非负整数m ，n （n m >）有
0(|,,)m n n E X Y Y X =
证：充分性显然，证必要性（用归纳法）： 由假设知当1+=n m 时（1）成立。
设当k n m +=（1>k ）时（1）成立，
10100(|,,)[(|,,)|,,]n k n n k n k n E X Y Y E E X Y Y Y Y +++++=
（条件概率性质110[(|,,)]n n n EX E E X Y Y ++= ）
0(|,,)n k n n E X Y Y X +==
即当1++=k n m 时（1）成立。
性质1 常数序列{}n c 为鞅，其中c c n =。
证 100(|,,)(|,,)n n n n E c Y Y E c Y Y c c +===
性质2若}{n X 为鞅，则对任意0≥n ，有0n EX EX =。即n X 的数学期望n EX 是一常数
0EX
证 110[(|,,)]n n n n EX E E X Y Y EX ++== 依次递推，可得10n n EX EX EX ?===
性质3 }{n X 为鞅的充分必要条件是， }{n X 既为上鞅也为下鞅。 性质4 {}n X 为上鞅?{}n X ?为下鞅，{}n X 为下鞅?{}n X ?为上鞅。 性质5 {}n X 为上鞅?0(|,,)m n n E X Y Y X ≤ ，0,0m n >>，m n >
{}n X 为下鞅?0(|,,)m n n E X Y Y X ≥ ，0,0m n >>，m n >
证明与定理1类似。用数学归纳法。
性质6 {}n X 为上鞅?0k n EX EX EX ≥≥，0k n ≤≤ {}n X 为下鞅?0k n EX EX EX ≤≤，0k n ≤≤ 证：由性质5
{}n X 为上鞅?0(|,,)m n n E X Y Y X ≤ ?0(|,,)n k k E X Y Y X ≤
0[(|,,)]n n k k EX E E X Y Y EX =≤
性质7 {}n X ，{}n Y 为上鞅?{}n n X Y +为上鞅，{}n X ，{}n Y 为下鞅?{}n n X Y +为
下鞅。
证：对n m >有
0[()|,,)]m m n E X Y Y Y +
00(|,,)(|,,)m n m n E X Y Y E Y Y Y =+ n n X Y ≤+ ?{}n n X Y +为上鞅。
性质8 {}n X 为上鞅，{}n Y 为下鞅?{}n n X Y ?为上鞅， {}n X 为下鞅，{}n Y 为上鞅
?{}n n X Y ?为下鞅。
证：由性质5及性质7即得结果。 性质9 {}n X 为鞅?{}n X 为下鞅。 证：对n m >有
0(|||,,)m n E X Y Y 0|(|,,)|m n E X Y Y ≥ ||n X =
例3设}{n Y （ ,2,1,0=n ）为独立随机序列，00Y =，且对任意0n ≥有0n EY =，令
n
n k k X Y ==∑，则}{n X 关于}{n Y 是鞅。
证 由条件期望的性质得
||||n
n k k E X E Y =<<∞∑
且
1010(|,,)[()|,,]n n n n n E X Y Y E X Y Y Y ++=+
010(|,,)(|,,)n n n n E X Y Y E Y Y Y +=+ 1n n n X EY X +=+=
所以，}{n X 关于}{n Y 是鞅。
例4设}{n Y 是任一随机序列，X 为满足∞<||X E 的任一随机变量，令
0(|,,)n n X E X Y Y = ，0n ≥
则}{n X 关于}{n Y 是鞅。
证 0|||(|,,)|n n E X E E X Y Y =
0[(|||,,)]||n E E X Y Y E X ≤=<∞
10010(|,,)[(|,,)|,,]n n n n E X Y Y E E X Y Y Y Y ++= 001[(|,,)|,,]n n E E X Y Y Y Y += 0(|,,)n E X Y Y =
所以，}{n X 关于}{n Y 是鞅。
例5直线上的随机游动
考虑在直线整数点上运动的粒子:
设质点在0时刻位于坐标原点, 每隔一个单位时间，质点向右移动一个单位的概率为p ，或向左移动1个单位的概率为1-p ，则质点在n 时刻的位置{}n X 就是一个随机游动,称
{}n X ，0,1,2,n = 在直线上整数点上的贝努利随机游动;它是一个以{0,1,2,}
I
=±± 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵()ij P p =满足：
,
1,10,||1i ij i p j i p q j i j i =+??==????>?
其中p p i ≡，q q i ≡，10<
(1) {n X ， ,2,1,0=n }是下鞅的充要条件是q p ≥； (2) {n X ， ,2,1,0=n }是上鞅的充要条件是q p ≤; (3) {n X ， ,2,1,0=n }是鞅的充要条件是q p =
证：设012n n X X ξξξ=++++ ，其中0X 表示初始位置，{n ξ}与0X 独立
{n ξ， ,2,1,0=n }相互独立，且具有同分布：(1)n P p ξ==，(1)n P q ξ=?=，1n ≥ 由n X 的定义知，1+n ξ与{0X ，1X ，…，n X }独立 所以，110(|,,,)n n n E X X X X +?
11010(|,,,)(|,,,)n n n n n n E X X X E X X X X ξ+??=+ 1()n n n E X p q X ξ+=+=?+
故
1100(|,,,)00n n n n E X X X X X p q +?>??
?=?
下鞅上鞅鞅
随机游动的另一个实例：公平赌博模型
假设甲乙两人进行赌博，每一局的赌注是一元，在每一局两人各以1/2的概率获胜。用Xi=1表示在第i 局甲赢，用Xi = -1 表示第i 局乙赢，并且假定每局赌博的结果不受其他局结果的影响。在经过n 局赌博后甲赢的钱数Sn=X1+X2+……+Xn 就是一个随机游动。
随机游动和股价过程----二叉树模型
设T={0,1,2,……}，对t ∈T, S t 刻表示t 时刻某股票的价格，且在n +1时刻以概率q
变为S t +1=uS t ，以概率1-q 变为 S t +1=dS t , 即
单周期
双单期
法二：随机游动描述股价过程： 令(),()1n n P X u p P X d p ====?
则111012n n n n n n n S X S X X S S X X X +??==== 若Sn 在 n 时刻的状态中n 个变量Xi 中有k 个u ，n-k 个d,则
(),()1n n n P S X u p P X d p =====?
此股价过程{Sn }又称为二项式股价过程或二项式模型。 若定义ln n n Y X =，(ln ),(ln )1n n P Y u p P Y d p ====?则
1
ln n
n
i i S Y S =??=????∑ 为一随机游动。
关于鞅的定义，额外的阅读材料：
设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =? ，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的
不间断子集，比如：{1,2,,}I n = ，{1,2,3,}I = 等。
定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ?F F ，,,n m I n m ?∈≤（或n m ?F F ）。设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。
定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：
1. ()n E Z <∞，
2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。 若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。 定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且
(|),,,n m m E Z Z n m n m I =?<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。
命题1.对于区间{1,2,,}I n = ,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n ?+?+≤≤F 为一个反鞅。 定义 4 设
{}
,,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若
(|)0,,,n m E Z n m n m I =?>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。
命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：
（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z ?=? （2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1
n
n i
i Z X
==∑。
简言之，“鞅=鞅差的部分和”。
设{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，f 为(,)?∞∞内实值可测函数，问()()
,,1n n f Z n ≥F 是否是鞅？首先，()n f Z 关于n F 可测，理由：n Z 关于n F 可测，假定()n E f Z <∞，1n ≥，其次，()|n n E f Z F 和()n f Z 的关系？
若f 为凸函数，由条件Jensen 不等式，()[]1|(|)()n n n n n E f Z f E Z f Z +≥=F F 表明
(){},,1n
n
f Z n ≥F 为一个下鞅。
命题3设{},,1n n Z n ≥F 为适可测随机变量列，f 为(,)?∞∞上凸函数，且
()n E f Z <∞，1n ≥，则下两条成立：
1若{},,1n n Z n ≥F 为鞅，则(){}
,,1n n f Z n ≥F 为下鞅。
2 若{},,1n n Z n ≥F 为下鞅，f 为单调不减，则(){}
,,1n n f Z n ≥F 为下鞅。
有意思的推论：若{},,1n n Z n ≥F 为下鞅，则{}
max(,0),,1n n n Z Z n +
=≥F 为下鞅；若
{},,1n n Z n ≥F 为鞅，则{}
,,1P
n
n Z n ≥F 为下鞅（1P ≥，假定,1P
n E Z n <∞≥）
。
定义1-2-1 设),,(P F Ω为概率空间，},{T t x t ∈为概率空间上的一族随机变量，则称
},{T t x t ∈为概率空间),,(P F Ω上的随机过程。
注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的T t ∈，t x 为),,(P F Ω上的随机变量，对固定的
Ω∈ω，)(ωt x 为t 的函数。以后设{} ,2,1,0=T 或[)}{,0+∞+∞=∪T 。
定义1-2-2 设{}T t x X t ∈=,为概率空间()P ,,F Ω上的随机过程，如果 （a ）X 是{}T t t ∈F 是适应的 （b ）[]
T t x E t ∈∞<,
（c ）对[]
..,,,,e a x x x E T t s t s s s t =∈
如果有
（'
c ）对[]
..,,,,e a x x x E T t s t s s s t ≤∈
如果有
（''c ）对[]
..,,,,e a x x x E T t s t s s s t ≥∈
注1-2-2 如果X 是上鞅，则X ?为下鞅。如果X 既是上鞅又是下鞅，则X 为鞅。
注1-2-3 由定义1-2-2的条件c 可知，如果X 是鞅，则对T t s ∈?,,都有[][]t s x E x E =。事实上，取t s t ∧<0，则t t s t <<00,，
[][]
0000,t t s t t s x x E x x E ==F F
于是
[
][]
00][][t t s s x E x E E x E ==F
[]][][0
t t
t
x E E x E F =
所以
[][]t s x E x E =。
如果X 是下鞅，T t s t s ∈
[][]s t x E x E ≥
事实上，取t t s t <<00,，则
[][]
00][][t t t t x E x E E x E ≥=F
[
]
[]s s t t x E x E E x E ≥=][][00F
所以
[][]
0t t x E x E ≥≥[]s x E 。
同样地，X 是上鞅，T t s t s ∈
[][]s t x E x E ≤（习题1-2-1）
例1 设}0,{{≥n y n 为相互独立的随机变量，且[]
∞ 1),,...,,(110≥=?n y y y g b n n n 并假设[] ∞ 01 0(,x y b x x n k k k n ∑=+=为常数） 1),,...,,(10≥=n y y y n n σF 则}1,,{≥n x n n F 是鞅。事实上， ∑=+≤n k k k n y b x x 1 []∞<+≤∑=n k k k n y b E x E x E 1 0][][ 又 111++++=n n n n y b x x [][][]n n n n n n n y b E x E x E F F F 111++++= +=n x []n n n y b E F 11++ 因为 n n n n y y y g b B ∈=+),...,,(101 所以1+n b 是n F 可测的，故 []n n n y b E F 11++[]n n n y E b F 11++= 又因为1+n y 和n y 是独立的，)(1+n y σ与),...,,(10n n y y y σ=F 也独立，故 [][]011==++n n n y E y E F []n n n x x E =+F 1 由此知}1,,{≥n x n n F 是鞅。 这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为2 1，事件}1{=n y 表示第n 局赢， }1{?=n y 表示第n 局输，所以 ()()2 111=?===n n y P y P []0=n y E 假定{}0,≥n y n 是独立的，而赌者在第n 局的策略n g 依赖于以前n-1局的战绩，即赌注n b 是 0121,,,...,y y y y n ?的函数，我们记之为 ()110,...,,?=n n y y y g b 则第n 局的盈亏为 ∑=+=n k k k n y b x x 1 这里设初始赌注为00≥x ，于是我们可知 []01=??n n x x E 即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上 [][][]11???=?n n n n x E x E x x E [][][]11???=n n n x E x E E F [][]011=?=??n n X E x E 例2 Doob 的鞅过程 设{}0,≥n y n 是随机变量序列，X 是随机变量，[] ∞ []n n X E x F = 则{}1,,≥n x n n F 是鞅。它 被称为Doob 的鞅过程。事实上， [][]{} []{}n n n X E E X E E x E F F ≤= =[] ∞ 又 [][]{}n n n n X E E x E F F F 11++=[]n n x X E ==F 定理1-2-1 设{}T t x t t ≥,,F ，{}T t y t t ≥,,F 是鞅（或下鞅），则 （1）{}T t y x t t t ≥+,,F 是鞅（或下鞅）； （2）{}T t y x t t t ≥∨,,F 是下鞅； （3）{}T t y x t t t ≥∧,,F 是上鞅。 证明：（2）设t t y x ≥，则[]()s s t s t t x x E y x E ≥=∨F F 。又[][] s s t s t y y E x E ≥≥F F ，所以，[] s s s t t y x y x E ∨≥∨F 。 习题1-2-2：证明（1）（3）。 定理1-2-2 （1）设{}T t x t t ≥,,F 是鞅，f 是定义在' R 上的凸函数。如果对一切T t ∈， ∞<)]([t x F E ，则{}T t x f t t ∈,),(F 是下鞅。 （2）设{}T t x t t ≥,,F 是下鞅，f 是定义在' R 上的非降凸函数。如果对一切T t ∈， ∞<)]([t x F E ，则{}T t x f t t ∈,),(F 是下鞅。 （3）设{}T t x t t ≥,,F 是上鞅，f 是定义在' R 上的非降凹函数。如果对一切T t ∈， ∞<)]([t x F E ，则{}T t x f t t ∈,),(F 是上鞅。 证明：（2）因为{}T t x t t ≥,,F 是下鞅，所以 []s s t x x E ≥F 因为f 非降， []()()s s t x f x E f ≥F 又因为f 是凸函数， []()()][s t s t x f E x E f F F ≤ 所以 ()≥]|[s t x f E F []()()s s t x f x E f ≥F 。 习题1-2-3：证明（1）（3）。 推论1-2-1 设{}T t x t t ≥,,F 是鞅（或非负下鞅），1≥λ，且对T t ∈?，λ ||t x 可积，则 },,|{|T t x t t ≥F λ是下鞅。 证明：习题1-2-4 推论1-2-2 如果{}T t x t t ≥,,F 是下鞅，则{} T t x t t ≥+ ,,F 也是下鞅。这里，0∨=+ t t x x 。 证明：习题1-2-5 习题1-2-6 设{}1,≥n x n 为独立随机变量序列，0][=n x E ，则∑==n k k n x x 1 为鞅序列，这 里()n k x k n ≤=,σF 。 §2停时及应用 一、停时的概念及性质 维基百科，自由的百科全书 停时的一个范例: 布朗运动的首中时 在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：Optional stopping theorem ）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” [1] 。 定义 对于一列随机变量 ，停时 是一个随机变量：对 能否出现仅依赖于12,,t X X X ； {}1P τ<∞=，即 是几乎必然有限的——尽管有部分书的作者忽略了这个条件。停时在 决策论中亦有出现， 称为停时规则，其中停止规则被描述为在彼时位置和已发生的事件已知的情形下对继续还是停止一个过程的决定机制，而且几乎总是会产生在某时刻停止的决定。 另外，更一般化的定义可以σ域流（英语：Filtration (mathematics)）的形式给出：设 是一个偏序集（常常使用 或其一个紧子集）， 是一 个有过滤结构的概率空间，则随机变量 被称为一个停时，若 ， 。为了防止混淆，我们称其为 -停时，并明确指定其筛选规则。 也就是说， 作为停时，根据对 的了解，我们可以判断 是否已经发生。 例子 为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元： ?赌且只赌一次，对应于停时 = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。 ?当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。 ?当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的 信息。 ?当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系 （加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这 类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。） ?当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。 局部化 停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 是一个（随机）过程， 是它的一个停时，那么 就用来表示过程 在 时刻停止。 那么， 被认为局部满足 特性，若存在一列停时 ，， 满足特性 。常见的例子如下面两个，其中 ：. ?（局部鞅）过程是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时，，使得对是一个鞅。 ?（局部可积）非负连续的过程是局部可积的，若存在一列停时，，使得，。 停时的类型 停时（表示时间的下标取自 ）常常依据发生时间能否预测被分成几类。 若 ，， ，满足 ，有，则停时 是可预测的。 被称为 的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程的到达时间。取 ，设 是实值连续过程，若 是第一个使得 的时刻，则 是可被 逼近的，即 是第一个使得 的时刻。可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即， 是可接近的，若：对于部分 ，，其中 是可预测的时刻。 若停时 不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为完全不可接近的。等价地， ，其中 是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。 每个停时 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 和惟一的完全不可接近的 ，使得凡有 则 ，凡有 则 ，若 ，则 。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 。 概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不 能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应 第三章 多维随机变量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。 本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布； （2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。 2、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。 二、教学内容 本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。 3.1 多维随机变量及其联合分布 一、多维随机变量 定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω???是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。 二、 联合分布函数 1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ???，则n 个事件 1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤???≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ???=≤≤???≤ 称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ???的联合分布函数。 专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定 《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题： 1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系； c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数关于x处处连续，且单点处概率为0，其中x为任意实数； e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题； 五．思考题和习题 思考题：1.会判别给定函数是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数两种定义主要的区别是什么？ 3. 均匀分布与几何概率有何联系？ 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5．列举正态分布的应用。 第三章二维随机变量及其分布 一．教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。 三．本章教学内容的重点和难点 第五章统计量及其分布 一、教材说明 本章内容包括：总体与样本，样本数据的整理与显示，统计量及其分布，三大抽样分布。本章的基本概念和重要结论是学习数理统计的基础。 1、教学目的与教学要求 1）掌握数理统计的总体、样本、样本经验分布函数、统计量及常用统计量等基本概念。 2）掌握三大分布的定义，并能熟练应用来求随机变量的分布。 3）牢记Fisher定理的内容及其三大推论。 4）使学生了解数理统计研究问题的方法与概率论研究问题方法的不同。 5）了解如何对样本数据进行整理与现实。 2、本章重点与难点 本章重点是数理统计的基本概念、三大分布的定义、Fisher定理及其推论。难点是Fisher 定理结合三大分布来求随机变量的分布。 二、教学内容 本章共分总体与样本、样本数据的整理与显示、统计量及其分布、三大抽样分布等4节来讲述本章的基本内容。 §5.1总体与样本 一、总体与样本 在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每一个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重等等，而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标——身高就是个体，而所有身高全体看成总体。这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说： 总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。 例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示： 不同的p反映了总体间的差异。 在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。这种总体称为多维总体。 若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。 2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计 第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。 §1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发 生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件 8.2.2 条件概率 一、教学目标 （一）知识目标 在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. （二）情感目标 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质． （三）能力目标 在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法． 二、教学重点 条件概率的概念，条件概率公式的简单应用. 三、教学难点 正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程 （一）引入课题 [教师] （配合多媒体演示） 问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答） 6 1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6 1 )(＝中的元素数中的元素数Ω= ∴B B P [教师] （配合多媒体演示） 问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答） 3 1 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝ 3 1 A ＝中的元素数中的元素数 B . [教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？ [学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B). [教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率. （板书课题——条件概率） （二）传授新知 1．形成概念 [教师] 在引入课题的基础上引出下列概念： （多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概 概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 第一章随机事件与概率 第一节随机事件 教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。 （2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（Ω）和不可能事件（E） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作业：习题一1、2 第二节概率的定义 教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。 教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定 P(A)= n k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验 向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A 发生) 的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。 （2）几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)= 的度量 的度量 G G 1 4、频率与统计概率 （1）事件的概率 设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值 n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n r A f n =)( （2）频率的性质 ○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n （3）统计概率，规定 P(A)=P （4）统计概率的计算 n r A p ≈ )( (n 很大) 5、概率的基本性质 从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 《概率论与数理统计》课程教案 第一章 随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概 率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 第二节 频率与概率 2学时 第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1） 随机事件及随机事件之间的关系； 2） 古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组 合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律 或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)； 四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任 《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? A 2所含样本点数： 363423=??C A 3所含样本点数：443 3=?C 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0 2、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则 定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ） 推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式： P(A/B)= ) () (B P AB P （P(B)≠0） P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 第一节 随机事件 教学目的： 了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念； 掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点： 随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点： 事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（ E ） 对随机现象的观察。 特点①试验可在相同条件下重复； ②试验的所有可能结果不只一个， 但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （ 1）基本事件： E 中的结果（能直接观察到，不可再分） （ 2）样本空间： E 中所有基本事件的集合称为这个随机试验 示。 教学目的： 概率的基本性质。 教学难点： 古典概率的计算，频率性质与统计概率。 第一章 随机事件与概率 ，也称为样本点，用 表示。 E 的样本空间，用 表 4、 随机事件 （ 1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用 （2） 随机事件的集合表示 （ 3）随机事件的图形表示 必然事件（ ）和不可能事件（ E ） 5、 事件间的关系与运算 （1） （2） （2） （3） （4） （5） 6、 事件间的运算规律 （1）交换律； （ 2）结合律； （ 3）分配律； （ 4）对偶律 教学时数： 作 业： 包含（子事件）与相等 和事件（加法运算） 积事件（乘法运算） 互斥关系 对立关系（逆事件） 差事件 （减法运算 ） 2 学时 习题一 1、2 A 、 B 、 C 等表示。 第二节 概率的定义 掌握概率的古典定义，几何定义， 统计定义及这三种概率的计算方法； 了解 概率论与数理统计英 文版总结 Sample Space样本空间 The set of all possible outcomes of a statistical experiment is called the sample space. Event 事件 An event is a subset of a sample space. certain event（必然事件）： The sample space S itself, is certainly an event, which is called a certain event, means that it always occurs in the experiment. impossible event（不可能事件）： The empty set, denoted by?, is also an event, called an impossible event, means that it never occurs in the experiment. Probability of events （概率） If the number of successes in n trails is denoted by s, and if the sequence of relative frequencies /s n obtained for larger and larger value of n approaches a limit, then this limit is defined as the probability of success in a single trial. “equally likely to occur”------probability（古典概率） If a sample space S consists of N sample points, each is equally likely to occur. Assume that the event A consists of n sample points, then the probability p that A occurs is ()n p P A N == Mutually exclusive(互斥事件) Mutually independent 事件的独立性 Two events A and B are said to be independent if ()()() P A B P A P B =? I Or Two events A and B are independent if and only if (|)() P B A P B =. 教案 2006-2007学年第二学期 课程名称：概率论与数理统计 课程编号： 学院、专业、年级：信工学院、计算机、二年级任课教师： 教师所在单位：信息科学与工程学院 山东师范大学 课程简介 《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学考试课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 教学大纲 课程名称：概率统计 课程编号：4111105 课程类别：基础课 学时数：76学时（理论76学时，实验0学时） 学分数：4 先修课程：高等数学、线性代数 适用年级：二年级 适用专业：计算机科学与技术 一、内容简介 本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课，内容包括概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 二、本课程的性质、目的和任务 概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。 通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。 通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 三、本课程与其它课程的关系 本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整体教学水平。 四、本课程的基本要求 基本了解概率论与数理统计的基础理论，充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的思想方法解决应用问题。 五、课程内容与学时分配 （一）概率论的基本概念（12学时） 基本要求： 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件 (2) §4等可能概型（古典概型） (3) §5．条件概率 (3) §6．独立性 (3) 第二章随机变量及其分布 (3) §1随机变量 (3) §2离散性随机变量及其分布律 (3) §3随机变量的分布函数 (3) §4连续性随机变量及其概率密度 (3) §5随机变量的函数的分布 (3) 第三章多维随机变量 (3) §1二维随机变量 (3) §2边缘分布 (3) §3条件分布 (3) §4相互独立的随机变量 (3) §5两个随机变量的函数的分布 (3) 第四章随机变量的数字特征 (3) §1．数学期望 (3) §2方差 (3) §3协方差及相关系数 (3) 第五章 大数定律与中心极限定理 (3) §1． 大数定律 ........................................................................................ 3 §2中心极限定理 (3) 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??概率论重要知识点总结
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高中数学概率统计教案
概率论与数理统计教案.doc
最新概率统计教案3
考研数学概率论重要知识点梳理
概率论基本知识(通俗易懂)
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