人口数量及结构预测模型
基于Leslie矩阵的中国计划生育政策探讨
摘要
我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响,人口问题也是我国的根本
问题,可是我国目前人口的发展却出现老龄化严重，男女性别比例失调等不良现象。
在本文中，我们首先针对近几年的人口数据做出了一些简要的分析，特别是自从2002年计划生育政策实施至今，我国的人口自然增长率出现一定的降低，为了考虑其以后的人口发展情况，我们在实行计划生育政策的情况下对未来人口数量和结构进行一定的预测，并评价其合理性。
从种群的方面出发，在种群的Leslie模型的基础上，我们将整个中国的年龄按阶段分成20组，通过Leslie矩阵建立起他们的相关关系，我们以最近中国第六次人口普查所得的数据进行研究，通过控制5年内总生育率的倍数来控制每个夫妇所生孩子的个数，通过多次迭代求解，最终可得到：若我国严格采用现行的计划生育政策，即每个夫妇仅生一个孩子，则50年后我国的人口将为5亿左右，可见人口老龄化现象的严重。
为了提出新的政策，我们通过改变其倍数关系来改变其人口的结构，我们发现当生育率为原总和生育率的倍数为1.8左右，也即每个夫妇大约生2个孩子时，从人口数量来看，50年后我国的人数将在10亿左右；而从人口的结构来看，男女比例也接近于1，老少比也比较合适。所以，这应该是一个我们比较容易接受的结果。关于放宽二胎政策的时间，我们通过探索两个不同总和生育率的相关人口变化情况下，发现在2015年对计划生育进行改变，其改变的内容为：在控制人口数量为10亿情况下，在最近50年里，可以对二胎政策给予一定的放宽。
在模型的检验中，在现行总和生育率与原总和生育率的倍数为1.8时，我们通过增大或减小其值时，其效果都不是往老龄化方向发展就是往人口数量急剧上升的方向发展，所以，
我们就认为其值为1.8时，在未来50年内，其效果是最好的。
关键词：计划生育，Leslie矩阵，人口老龄化，总和生育率，二胎政策
目录
一、问题重述1
二、问题分析1
2.1 关于人口数量与结构的分析1
2.2 二胎政策相关问题的分析3
三、模型的建立与求解3
3.1 模型的假设3
3.2符号的定义4
3.3基于Leslie的矩阵模型建立5
3.3.1 Leslie种群模型的介绍5
3.3.2基于Leslie矩阵的人口模型6
3.4模型的求解6
3.4.1 存活率s的求解7
3.4.2 生育率的确定7
3.4.3 Leslie矩阵的确定及模型求解9
四、模型的分析11
4.1实施当前计划生育政策的分析11
4.2 a值对人口年龄结构的影响12
4.3人口政策的分析15
4.4人口政策的建议15
五、模型的评价16
5.1优点16
5.2缺点16
六、模型的检验16
七、参考文献17
一、问题重述
我国是一个人口大国,人口问题始终是关系着我国发展的关键问题,已成为经济发展中的一个重要组成部分, 对我国的经济社会发展有着越来越大的影响.。人口问题也是我国的根本问题。
我国由于人口基数大，国家实施了计划生育的政策，虽说人口的自然增长率较之前有一定的降低，人口的递增速度也有所减缓。但是，近年来，我国人口面临着老龄化进程加速,出生人口性别比严重失调，以及乡村人口城镇化等不良现象。所以很有必要利用现有的相关人口统计数据，在当前计划生育政策实施的情况下，通过建立数学模型来研究我国人口在结构及数量上在近阶段的变化情况，并对其未来情况进行一定的预测，以适应整个中国国情与经济的形势.同时,还需要我们分析现行人口政策的优缺点，同时，为了解决上述人口结构的一些的问题，我们也还得考虑是否需要对该政策进行一定的改变来改善我国人口老龄化，男女比例失调等现象。从而使我国人口向一个比较乐观的方向发展。
二、问题分析
2.1 关于人口数量与结构的分析
随着人们生活水平和社会医疗水平的提高，我国人口的平均寿命显著变长。在人口的数量和结构上，根据表一的相关数据显示：
表一：我国人口年龄结构数据表格【1】
从表一中，我们可以看出，自2002年实施计划生育以来，我国人口变化
有如下特点：
○1人口的数量持续增加，到2010年底，我国的人口达到13.4亿，这与我国的人口基数大这一点是分不开的。
○2我国的老年人比重逐渐增加，少儿的比重逐渐降低，而总抚养比重却出现降低，这充分说明了我国人口老龄化但劳动人口增加的现象。
所以，在本文中，我们将通过2010年的人口数量及结构的相关数据，基于Leslie模型【2】，结合中国当今的人口情况，对其作一定的改进与分析，最终对未来时间的人口数量以及年龄结构进行一定的预测与分析。
2.2 二胎政策相关问题的分析
所谓二胎政策，是指农村户口的话，头一抬是女的就可以生第二胎，但是前提条件是年满28周岁的夫妇，否则两胎要相隔四年才能生第二胎，如果头一抬是男的，无论是什么户口，则只能生一胎。
所以，如果考虑是否需要全面实施二胎政策，则需要我们从原来的计划生育政策中改变一定的条件，也即是要我们探究在基本保持人口增长速度保持较慢的情况下，使人口的男女性别出现均衡以及老龄化的进程得到减缓。所以，我们将会对上述所建立的数学模型作一定的参数修正，同时也用其对未来近几年进行一定的预测。并能使其达到相关的预期目标。通过对其所得相关结果给予一定的分析与讨论，我们将从中对该政策是否实施、什么时候实施以及怎么实施给予最终的结果。
三、模型的建立与求解
3.1 模型的假设
1.假设没有重大的自然灾害，政府的政策没有重大的变化以及医疗水平基
本保持不变。
2.所研究的人口没有太大的迁出与迁出，且基本相等。
3.我国人口数量主要取决于出生率与死亡率两个因素。
4.短期内人口的生育率与死亡率的总体水平可以视为常数
5.本文参考的所有文献及资料的所有的数据来源均真实可靠。
3.2符号的定义
3.3基于Leslie 的矩阵模型建立 3.3.1 Leslie 种群模型的介绍
Leslie 模型是一个研究群体的离散模型，对于人这种特殊的群体也同样适用，而且特别是其考虑年龄结构，所以其显得比Logical 等其他群体的模型更具有优越性。
我们将群体按年龄的大小等间隔的分成n 个组，讨论其在不同时间年龄的分布，对时间加以离散化，其间隔也必须与年龄组的间隔相同。 设某生物种群的最大生存年龄为l （年），我们将其按年龄的大小区间
[0,]l 分为n 等分，可得到n 个年龄间隔为
l
n
的年龄组，即有 对于第i 个年龄组1[
,],i i
l l n n
-设其存活率为i s ，生育率为i b ，一个年龄组的变化时间为1，则有当时间从1t +到t 的过程中，显然有
1=0
(t+1)=(t)
(t+1)=s (t),i=1,2,,n-1
n
i i i i
i i x b x x x ?
????∑L （3.1） 其中若计矩阵L 为 则○
1式可写为 （3.2）
当,(0)L X 均已知时，当1,2,3...,t n =时，通过多次迭代，则不难得到
()(0)n X t L X = （3.3）
其中若（3.2）式中的元素满足
则称矩阵L 为Leslie 矩阵。
所以只要已知Leslie 矩阵和初始时间种群年龄组的分布向量，就可以求出以后各时间t 的种群年龄组的分布向量。
(1)()
X t LX t +=s 0,=1,2,,-1;
i i n >L
3.3.2基于Leslie 矩阵的人口模型
按照每五岁一个年龄组，我们将0-99岁分为20个组，即0-4岁为第一个年龄组，5-9岁为第二个年龄组，10-14岁为第三个年龄组…,把95-99岁为第20个年龄组，而100岁及100岁以上分为第21个年龄组。在这里，我们引入实数a ，并设实数a 为未来年份的生育率与现在种群的生育率之比，并且(0.8,1.9)a ∈,很显然,在平均生育率一定的情况下,我们可以通过改变a 值来改变每个夫妇所生的孩子的个数.而且a 的值大概等于每对夫妇所生的孩子的数除以总和生育率，各年龄组的育龄妇女在五年内的平均生育率向量实际上应该为[]1221,,T
B a b b b =L 。把t 阶段全部存活的新生儿全部划分到1t +阶段的第一年龄组，并设各年龄组人口在5年时间里的存活率向量为[]1221s ,,T
S s s =L ，而且t 阶段第1k -年龄组人存活到第1t +阶段就是第k 年龄组的人(1,2,...20)k =，且第21年龄组的人五年后存活下来的仍然属于第21年龄组。根据我们前面叙述的Leslie 种群的模型应用于这21个年龄组，则必满足
()
211=1
-1-121
20202121(t+1)= (t)
(t+1)=s -1(t+1)=s (t)+s (t)
k k k k k k k x ac b x x x t x x x ?
???
?????
∑ （3.4） 3.4模型的求解
我们以2010年中国第六次人口普查的相关数据来获取L 矩阵以及(0)X ，由于我们以每5岁作为一个年龄组，所以也必须以每五年作为一次人口数量及年龄结构的相关推测，通过控制a 值的大小来控制当今我国适龄夫妇的生育孩子个数,实质上其对应的也是计划生育的政策,然后通过改变a 值来讨论这个相应的人口结构的变化,.除此以外，我们还得对存活率进行一
定的求解.下面,我们对这些参数进行一一求解.
3.4.1 存活率s 的求解
根据死亡率的相关定义及微分的相关思想,则有, 1()()
()()
i i i i x t x t u t x t +-=
(3.5)
对该公式两边进行全微分运算,则有
k
k k dX u X dt
=- (3.6) 对该微分方程(3.6)进行整理,并对其两边求定积分,则有 51
0k s k ds
u dt s
=-?
? (3.7) 所以,可以解得五年的平均成活率为
5k
u k s e -= (3.8)
3.4.2 生育率的确定
根据全国第六次人口普查的结果,我国各年龄组的人口总数,女性比例,年均生育率的数据如下表所示
表二 2010年第六次全国人口普查相关数据记录表格
当第k 组的育龄妇女的年平均生育率为k f 时,则五年的平均生育率就是
5k k b f =.计算可得以五年为一个单位时间的人口存活率和平均生育率向
量.
所以,由上表中的数据可得: 其中平均生育率向量为
[0,0,0,0.0308,0.4330,0.4829,0.2514,0.0992,0.0378,0.02890,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]B =，而
其存活率的向量为
=[0.9936 , 0.9985 , 0.9985 , 0.9981 , 0.9975 , 0.997 , 0.996 , 0.9942 , 0.9913 , 0.987 , 0.9793,0.9695 , 0.9498 , 0.9176 , 0.858 , 0.7807 , 0.6544 , 0.5288 , 0.3852 , 0.3377 , 0.1031]
k s
3.4.3 Leslie 矩阵的确定及模型求解
由于在前面我们已将存活率向量以及生育率向量给出,所以我们可以很容
易的得到Leslie 矩阵,再通过公式(3.4)编程,在MATLAB 下经过多次迭代运算对其进行一一进行求解.
可知在2010年的总和生育率R =1.364, 为响应计划生育政策时,也即每对夫妇仅生一个孩子,此时我们需将实数a 值设为0.8,也即此时以总和生育率a ?R 的值约为1,
这样,我们则可以求得结果如下
表三 实施现行计划生育政策的未来人口变化趋势表格
借助表三的数据,,我们由式(3.9),式(3.10)进一步计算老少比和负担老年系数
65=
15-64岁以上的人口数
负担老年系数岁以上的人口数
(3.9)
65=
0-14岁以上的人口数
老少比岁的人口数
(3.10)
表四实施现行计划生育政策的未来人口结构变化
四、模型的分析
4.1实施当前计划生育政策的分析
为了让表三和表四的数据更加的直观化,以便于更好的进行计划生育政策该不该改变的分析,我们将人口总数,老少比,男女比例,以及负担老年系数分别对时间作图,通过其整个过程中的相关变化,我们来从这几方面来对当前实施的计划生育政策进行评价.
图一
图二
图三
图四
从图一,图二,图三,图四中,我们可以很直观的看出实施当前计划生育政
策的优缺点:.
缺点:
1.当我国严格的执行现行的计划生育政策时,也即严格控制一对夫妇仅生一个孩子,可得其人口总数显著减少,且当时间到2060年时,人口将不到五亿,由此可见,人口的趋势明显出现衰退情况.
2.从老少比的变化趋势来看,其比值随时间的变化是单调递增的,所以人
口的老龄化越来越严重,
3.从负担老年系数来看,它也随时间呈现单调递增的变化,这一趋势说明
了中青年的负担会越来越重.
优点:
1.从性别的比例来看,男女的性别比随着时间的变化是逐渐接近于1的,这也是我们所要希望达到的一个状态.
综上来看,当我国严格执行计划生育政策时,从数量上来讲,人口的数量大大的减少,虽然说起到了计划生育控制人口增长的目的,但是其抑制的程
度还是过于太大,而从结构上来讲,老龄化的现象越来越严重,不但改善人口老龄化的进程,反而加速了人口的进一步老龄化,总的来说,人口在未来的几十年中是呈现一个衰退型的,所以,这是极其不利于中国未来人口发
展的,所以说,计划生育政策对未来人口的发展弊大于利,所以必须加以改进.
4.2 a值对人口年龄结构的影响
从上述分析中可以看出,人口的发展趋势不是很乐观,为了让其得到一定
的改善,我们将通过改变a值来改变整个人口的数量以及整个人口的结构. 我们不妨假定每对夫妇生两个孩子,同样在原总生育率R=1.364的情况下,
由此可计算得a值的大小应该为1.8左右,在此情况下,我们也用上述方法对其进行同样的求解运算,可得其结果应该为表五所示:
表五每对夫妇生两个孩子所对应的人口变化趋势
由上述数据,我们同样对这些参数做出求解,可得表六的内容
表六每对夫妇生两个孩子时未来人口变化趋
同样的,我们也分别用上述值对年份进行一一作图,则有
图五
图六
图七
图八
从图五,图六,图七,图八来看
1.人口的总体数量较2010年要低,且随着时间的推移,人口在2040年后趋近于10亿左右.这也是一个我们所要要求达到的效果.
2.人口的老少比随时间的变化是呈现先单调下降,再单调上升直至达到一个最大值,此时再出现下降的情况.而且其最大值为0.6左右,较0.8
a=的情况要低得多.
3.人口的性别比也是逐步接近于1,且离数1越来越近,这也是我们所渴求的状态.
4.人口负担系数较0.8
a=时也要小得多.
所以,我们可以得出如下的结论
随着a值的增大,人口的总数呈现一个比较健康的态势,其数量比较满足当今未来人口的发展趋势,而更重要的是,人口的年龄结构以及性别结构愈来愈合理,特别是老少比以及负担系数均不是很大,也即人口的老龄化现象非常轻微,综上来看,整个人口的变化趋势是属于一个稳定型的.但是a
值并不是越大越好, a值太大,反而会出现一个相反的情况.
4.3人口政策的分析
从上面的分析可以看出,在控制人口增长政策时要多方面考虑,如果只看重多人口总数的控制,严格实行当前的计划生育政策,可能导致严重的社会老龄化,劳动力不足这种严重的社会现象.如果为了防止社会老龄化加快,全面放开二胎政策,放任人口的增长,也会导致社会人口过多对资源和环境的压力.因此要制定正确的人口政策才能使国民经济持续增长,人民生活水平不断提高.
4.4人口政策的建议
从上面的一些分析来看,结合我国的整个人口增长的情况,提出对我国人口发展的一些相关性人口政策建议
我们针对人口未来的情况提出了比较新的生育政策:
在实施计划生育政策的同时,逐步放开二胎政策,也即一对夫妇最好生育两个孩子.同时稳定整个相对比较低的生育水平.
从图五,图六,图七,图八等图解来看, 图中在2035年时人口的整个变化趋势出现了一个折点,,从人口的居多年龄结构来看,这一点将使整个人口局势发生一定的变化,也就是说在20年后出现一个人口变化的拐点,我们再看a=0.8时的情况,也即严格的情况下一对夫妇仅生育一个孩子,当其时间到2035年时,人口的老少比明显大于1,这是一个老龄化现象比较严重的情形.由于其要20年后才会达到一种相对比较满意的状态,我们认为计划生育政策的修改时间为2015年.,因为从整个人口的数量来看,这一时间也是相对合理的.
五、模型的评价
5.1优点
首先，本文采用定性与定量、理论与实证相结合的方法进行研究，使得所建立的模型具有一定的依据。
然后，本文运用Leslie模型，通过建立动态数学模型，分别对人口总数及人口结构进行预测分析。在人口结构中，对全国人口总数、男女人口数、人口年
龄结构、人口老龄化等方面等随时间的变化规律。所以，模型得到的结果全面、简洁、直观、有效。
最后，我们设定了总生育率的倍数a，根据不同的a值，即每对夫妇所生孩子数量的不同得到的不同预测结果。本文分别取a=0.8和a=1.8两个值，对模型所得到的结果进行分析。这样分析得到的结果有很强的对比性和有效性。
5.2缺点
：本文基于2010年人口普查得到的相关数据建立的模型，模型建立所需要的数据只用到了2010年一年的数据，所以可能对最后的结果产生误差。基于模型的假设，以及出生率和死亡率都会随时间的变化而有所变化的，数据选取的有限性，因此预测的结果存在一定的误差。
六、模型的检验
本文采用选取不同的a值，即每对夫妇生不同数量孩子，通过建模得到的具体数据来进行横向和纵向分析，最终来确定模型的准确性和稳定性。
对于所建立的模型，改变其中的参数a，这里设定a=2.8,得到以下数据：
表七讨论a值对人口结构的变化
通过对以上数据的分析：
第一,当a=2.8时，人口总数、男女比都随时间的变化而不断增加，老少系数、负担系数都随时间的变化不断减少。根据实际情况分析比较可以得出具有一定的合理性。说明我们所建立的模型准确性比较理想。
第二，通过对a=1.8 a=0.8 a=2.8时模型解得的数据进行比较，发现当每对夫妇只生一个孩子时，人口数量不断减少，男女比加大，老少比增加，即人口数量和结构都不稳定。当每对夫妇生两个孩子时，人口数量和人口结构都比较稳定和理想。当每对夫妇生超过两个孩子时，人口数量和人口结构再次出现不稳定情况。
综上所述，我们所建立的模型具有一定的有效性、准确性，并且与实际情况比较吻合。
七、参考文献
【2
【4】薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京，2008
人口预测模型经典
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
数学建模人口模型
摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划
数学建模 人口模型 人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
数学建模logistic人口增长模型
数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')
中国人口预测模型(精)
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
2019年人口增长的预测.doc
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
人口结构与经济发展预测=数学建模好论文
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： j4228 所属学校（请填写完整的全名）：**工程大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 人口结构和经济发展预测模型 摘要 众所周知，人口结构和影响经济发展的因素是国家发展和制定政策的基础和依据。如果不能进行合理的预测，就会给政策制定带来困难甚至做出错误决策。因此，有必要对人口结构和影响经济发展的因素建立定量的数学模型。 问题一：首先建立了科布道格拉斯生产函数模型，计算出技术进步、固定资产投资、
数学建模中国人口模型
数学建模论文 论文题目：中国人口的预测模型 学院：理学院 专业：数学与应用数学 姓名：陈保锋 学号：200812010117 2010 年5月9日
目录 一摘要 (3) 二问题的提出 (3) 三问题分析 (3) 四模型假设 (4) 五符号说明 (4) 六模型建立 (5) 模型一 (5) 模型建立 (5) 模型求解 (5) 模型二 (7) 模型建立 (7) 模型求解 (8) 七模型检验 (9) 九参考文献 (10) 【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10) 【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11) 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。 关键词：人口模型中国人口数量 二问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。 三问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
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承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：福州大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 李译(135********) 2. 李志坤(135********) 3. 殷婷 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2007 年 9 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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中国人口增长预测 摘要： 针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。 为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。 为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。 在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。
人口预测的最小二乘模型
实验24 人口预测的最小二乘模型 表 24-1 世界人口数据（单位 亿） 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。作出这一预测结果所用 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数 N 不是很大时，在不长的 时期内，人口增长率与人口数 N 成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微 分方程描述为 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达 式中a 和b 均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确 定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是 经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为 3.6974 杓-4 为了计算方便，将上式两边冋取对数，还原为 y = ln N 或 In N = a + b t ,令 N = e y 变换后的拟合函数为 dN dt bN 其中，b 为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得 N(t) a bt e (24.1) In N = b t + a ，即 (24.2) 图24-1指数函数图形与原始数据散点图
y(t) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数(y = In N )计算，得下表 表24-2世界人口数据(单位：亿) 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1, 2, ……,9)可列出关于两个未知数 a、b的9个方程的线性方程组 a 1960 b 3.3918 a 1961 b 3.4213 a 1962 b 3.4503 a 1963 b 3.4698 a 1964 b 3.4763 a 1965 b 3.4920 a 1966 b 3.5133 a 1967 b 3.5322 a 1968 b 3.5505 (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示为 AU = f (24-5) 显然A矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时 乘以A的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A, b = A T f。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解(广义解)。由于原方程组一般无解，将最小二乘解 代入下式计算 R = f -A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的 逼近程度。 三、问题求解的计算机实验 输入下面命令
2007年全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析(1)(1)
中国人口增长预测与控制 摘要 近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。 对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。 对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。 对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口
人口增长模型数学建模论文
基于最小二乘拟合法的人口增长模型 摘要： 针对题目所提问题，本文结合题目所给数据，采取最小二乘拟合法，利用1982年到1998年的出生率和死亡率，对1999年到2008年的出生率和死亡率进行预测，并得出此时间段内的人口自然增长率，进而得出1999年到2008年的人口总数，并和实际人口总数进行对比。 一、问题背景及重述 1.1 问题的背景 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 1.2 问题的重述 下表列出了中国1982～1998年的人口统计数据，去1982年为起始年（t=0），1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并
给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。 时间1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口（万人）101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口（万人）111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间1994 1995 1996 1997 1998 人口（万人）119850 121121 122389 123626 124810 二、问题分析 三、模型假设与符号说明 3.1、模型假设 1．在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁 灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。
数学建模 之 人口模型
数学建模 ———关于人口增长的模型
摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A
2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):
人口预测模型
一、问题重述 人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国实行计划生育政策，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但该政策实施30多年来，其负面影响也开始显现。如临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应进行了大量的研究和评论。 党的十八届三中全会《决定》提出，启动实施单独两孩政策。这是新时期我国生育政策的重大调整完善，备受社会关注。 请解决以下问题： （1）针对国家卫生计生委副主任王培安单独二孩不会导致人口大增的人口预测，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对单独二孩会不会导致人口大增进行分析，并发表自己的独立见解。 （2）建立数学模型，针对深圳市讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 二、问题分析 问题1、启动实施单独二胎政策，是经过充分的论证和评估的。对于我国目前为什么要放开二胎政策这个问题，以及为什么单独二孩不会导致人口大增是有以下情况决定的。 进入本世纪以来，我国人口形势发生了重大变化。一是生育水平稳中趋降，我国目前总和生育率为1.5-1.6，如果不实行单独二胎新政策，总和生育率将继续下降。二是人口结构性问题，劳动年龄人口开始减少，人口老龄化速度加快，出生人口性别比长期偏高。三是家庭规模持续缩减。四是城乡居民生育意愿发生很大变化，少生优生、优育优教的生育观念正在形成。 通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化来验证单独二孩政策的必要性以及单独二孩不会导致人口大增的预测。
数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 的效果好并结合中国实情分析原因。 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为 x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r - = （3）
将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[,,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; x1=[,,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; x2=[,,,66,,,,,,,,,,,,83,,,,,,,95,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0) 解得：x(m)= (千万)，r= (年),x(0)=
数学建模人口预测
摘 要 中国是一个人口大国，人口问题与我国的经济发展等方面息息相关。随着我国人口数量的不断变化，人口的老龄化问题也日益突显,政策的调整不可或缺。从当初实行计划生育政策到逐步放开生育政策再到全面实行二孩政策，我国人口发展呈现了一些新特点。本文旨在通过多种预测方法对“全面二孩政策”下的人口数量及其结构进行预测，筛选出了经济发展的指标，并分人口结构对经济发展的影响，结论如下： 针对问题一，本文参考中国国家统计局等官方资料的数据统计出各年人口总数、自然增长率等数据，建立了logistic 模型，得出人口总数的变化公式，然后建立GM(1,1)预测模型，预测2016年的人口总数，再利用SPSS 进行回归、曲线估计，得出最为符合的方程式，再利用MATLAB 函数拟合工具箱对所得数据进行拟合。预测出2017-2030年间人口先增后减，在2021年达到峰值。 针对问题二，通过建立BP 神经网络模型，利用GM(1,1)灰色预测处理人口结构数据得到训练及测试数据集，将数据BP 神经网络算法进行多次训练，最终得到具有相当精度的稳定预测结果。提取相当数量的经济指标并对其进行主成分分析降维处理，之后对主要经济指标及人口结构指标进行多元回归分析得到2020-2030年人口结构对经济发展的影响。 针对问题三， 关键词：灰色预测 BP 神经网络 Leslie 人口结构预测模型 问题假设 1.将我国看做一个封闭系统，没有人口的迁入和迁出 2.人口增长只与人口基数、生育率、死亡率等有关 3.没有大规模战争及瘟疫等传染性疾病 4.假设短期内没有外来物种对人类生存造成影响 5.假设所有数据均为准确数据 6.假设2050年前医疗水平和科学技术不会对人类的死亡率、出生率造成影响 模型符号说明： r : 人口自然增长率 x ：总人口数 0x ：初始年份的人口数量 t ：时间 )()0(k x ：灰色预测的原始序列 )(?)0(k x ：灰色预测的原始数列预测值 ij x ：第i 个指标的第j 个数据 i d ：第i 岁的死亡率
人口增长的预测(数学建模论文
关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1． Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：