初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型

初中数学九大几何模型

一、手拉手模型----旋转型全等

（1）等边三角形

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；

【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED

（2）等腰直角三角形

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；

O

A

B C D

E

图 1

O

A

B

C

D E

图 2

O

A

B

C

D

E

图 1

O

A

C

D

E

图 2

【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED

（3）顶角相等的两任意等腰三角形

O

A

B

C

D

E

O

A

B

C

D E

图 1

图 2

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB

【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况

【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠

BOA （2）特殊情况

【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90

° 将△OCD 旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；

O

B C

D

O

B

C

D

E

O

B C

D

E

O

A B

C

D

③

===OA

OB

OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22

22CD AB BC AD +=+；⑥BD AC 21

S △BCD ⨯=

三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°

【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB

【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2

1

S S S =+= 证明提示：

①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN

②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；

③2△OCD △OCE OC 21

S S =-

（2）全等型-120°

【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB

A

O

B

C

D

E 图 1

A O

B

C

D

E

M N

图 2

A O

B

C

D

E

F

图 3

A O B

C

D

E

M

N 图 4

【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 4

3

S S S =

+=

证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；

②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

（3）全等型-任意角ɑ

【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；

【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=

※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）：

原结论变成：① ； ② ； ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

A

O

B

C

E

F

A

O

B

C

E

F

F A

O

B

E

D

C

A

C

对角互补模型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③注意OC 平分∠AOB 时，

∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？

四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1

【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；

【结论】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半； 也可以这样：

【条件】：①正方形ABCD ；②EF=DF+BE ；

【结论】：①∠EAF=45°；

A

O B

C

D

E A

D

F A

D

F

（2）角含半角模型90°---2

【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；

【结论】：①EF=DF-BE ；

（3）角含半角模型90°---3

【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；

【结论】：222DE CE BD =+（如图1）

若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论222DE CE BD =+仍然成立（如图2）

A

B C

D E

F

A

B

C

D E F

A

B

C

D

E F

A

B

C A

B

C

F

（4）角含半角模型90°变形

【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；

【结论】：△AHE 为等腰直角三角形； 证明：连接AC （方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，

∴∠DAH=∠CAE ，又∵∠ACB=∠ADB=45°；

∴△DAH ∽△CAE ，∴

AE

AC

AH DA ∴△AHE ∽△ADC ，∴△AHE 为等腰直角三角形

模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1 【条件】：①矩形ABCD ；②BD=BE ；

③DF=EF ；

A B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

A

B

C D G

H

F

E

A

B

C

D G

H

F

E

A

B

C

E

F D

H A

B

F

D

H

【结论】：AF⊥CF

模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；

可以构造“8”字全等△ADF ≌△HEF 。 （2）倍长中线类模型---2

【条件】：①平行四边形ABCD ；②BC=2AB ；③AM=DM ；④CE ⊥AB ； 【结论】：∠EMD=3∠MEA

辅助线：有平行AB ∥CD ，有中点AM=DM ，延长EM ，构造△AME ≌△DMF ，连接CM 构造 等腰△EMC ，等腰△MCF 。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）

模型六：相似三角形360°旋转模型

（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF

辅助线：延长DF 到点G ，使FG=DF ，连接CG 、BG 、BD ，证明△BDG 为等腰直角三角形；

突破点：△ABD ≌△CBG ； 难点：证明∠BAO=∠BCG

A

B C D

M

E A

D

M

E F

A

E

B

D

F

C

A

B

D

F

C

G

（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG 、△AHC ；

辅助线思路：将DF 与BF 转化到CG 与EF 。

（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法

【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； 【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO

辅助线：延长BA 到G ，使AG=AB ，延长CD 到点H 使DH=CD ，补全△OGB 、△OCH 构造旋转模型。转化AE 与DE 到CG 与BH ，难点在转化∠AED 。

A E

B

D

F

C

A E

B

D

F

C

H

G

O

A B

D

C

E

O

A

B

D

C

E

G H

（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法

【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ；

【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO

辅助线：延长DE 至M ，使ME=DE ，将结论的两个条件转化为证明△AMD ∽△ABO ，此为难点， 将△AMD ∽△ABC 继续转化为证明△ABM ∽△AOD ，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠

ABM=∠AOD

模型七：最短路程模型

（1）最短路程模型一（将军饮马类）

总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

O

A

B

D

C

E

O

A B

D

C

E

M

l

A

A'

（2）最短路程模型二（点到直线类1）

【条件】：①OC 平分∠AOB ；②M 为OB 上一定点；③P 为OC 上一动点；④Q 为OB 上一动点； 【问题】：求MP+PQ 最小时，P 、Q 的位置？

辅助线：将作Q 关于OC 对称点Q ’，转化PQ ’=PQ ，过点M 作MH ⊥OA ，

则MP+PQ=MP+PQ ’≥MH(垂线段最短）

（3）最短路程模型二（点到直线类2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n ）

【问题】：n 为何值时，PA 5

5

PB +

最小？ 求解方法：①x 轴上取C(2,0),使sin ∠OAC=

5

5

；②过B 作BD ⊥AC ，交y 轴于点E ，即为所求；③A

P

O

Q M

B

Q'

H

P

A

1

tan∠EBO=tan∠OAC=

，即E（0，1）

2

（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；

【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？

【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为

“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

。

最大值：OA+OB；最小值：OA-OB

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；

③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；

【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ；

若PA的最小值为2，则PC的取值范围是

0

A

B

最小值位置最大值位置

【条件】：①Rt △OBC ，∠OBC=30°；

②OC=2；③OA=1；④点P 为BC 上动点（可与端点重合）； ⑤△OBC 绕点O 旋转

【结论】：PA 最大值为OA+OB=321+；PA 的最小值为

13OA OB 2

1

-==

如下图，圆的最小半径为O 到BC 垂线段长。

模型八：二倍角模型

【条件】：在△ABC 中，∠B=2∠C ；

辅助线：以BC 的垂直平分线为对称轴，作点A 的对称点A ’，连接AA ’、BA ’、CA ’、 则BA=AA ’=CA ’(注意这个结论）

B

C

此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。

A

B C

A

B C

A'

模型九：相似三角形模型 （1）相似三角形模型--基本型 平行类：DE ∥BC ；

A 字型 8字型 A 字型

结论：

BC

DE

AC AE AB AD ==(注意对应边要对应）

（2）相似三角形模型---斜交型 【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°； 【结论】：AE ×AB=AC ×AD

A

B C D

E

A D

E

B C A

D

E

C

A

B C

D

E

A

B

C

D

E

斜交型

斜交型

A

B

C E

A

B

C

E

斜交型双垂型

初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型

1/9 初中数学九大几何模型（一） 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2 O C O C D E O B C D E O A B C D

2/9 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE -OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中数学九大几何模型解题思路

九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 D

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠ BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90 ° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C O B C D E O B C D E O C D

∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】 ：①CD=CE ；②证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②； （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 图 1 图 2 A O B C D E M N 图 4

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中数学九大几何模型

1 / 11 初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2

2 / 11 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③= ==OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 2 2CD AB B C AD +=+；⑥ BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③ 2△OCE △OCD △DCE OC 21 S S S = += 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD= 2OC ； ③2△OCD △OCE OC 2 1 S S = - O C D O C D E O A B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3A O B C D E M N 图 4

初中数学几何公式大全和九大几何模型

初中数学几何公式和九大几何模型 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360°

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

初中数学 九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O A B C D O B C D E O B C D E O C D

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初中数学九大几何模型 一、手拉手模型-—--旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形; 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形; 【结论】：①△OAC ≌△OBD;②∠AEB=90°;③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O C D E O D E

【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型—---旋转型相似 （1）一般情况 【条件】:CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD; ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠ BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90 ° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】:①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O C O C D E O A B C D E O A B C D

③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB BC AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE;②OD+OE= 2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S = += 证明提示: ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时(如图4)： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE —OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型—120° 【条件】:①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】:①CD=CE ；②OD+OE=OC;③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S = += A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ➢条件：均为等边三角形 ➢结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ➢条件：均为等腰直角三角形 ➢结论：①；②； ➢③平分。 （3）任意等腰三角形 ➢条件：均为等腰三角形 ➢结论：①；②； ➢③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ➢条件：，将旋转至右图位置 ➢结论： ➢右图中①； ➢②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ➢条件：，，将旋转至右图位置 ➢结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ➢条件：①；②OC平分 ➢结论：①CD=CE;②； ③ ➢证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ➢当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ➢条件：①； ➢②平分； ➢结论：①；②； ➢③

➢证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ➢条件：①；②； ➢结论：①平分；②； ➢③. ➢当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ➢对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ➢条件：①正方形；②； ➢结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ➢条件：①正方形；② ➢结论：

初中几何常见九大模型解析(完美版)

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初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 (1)等边三角形 A条件：AOABAoCD均为等边三兔形 >结论：①'OAC鼻'OBD ；②LAEB = 60o Z③OE平分乙M£7)。 ⑵等腰RTA A条件：A°M,AOCQ均为等腰直角三角形 E A 结论：①、OACMM)BD；②Z^AEB= 90°. A③OE平分LAED Q (3)任意等腰三角形 A条件：A°M,AOCD均为等腰三角形 A 结论：①M)AC 以OBD ；②LAE B = LAOB. A③OE平分厶4ED 模型二：手拉手模型-旋转型相似 (1)一般情况 A条件：CDMAB ,将'OCD旋转至右图位置 A结论： A 右图中① 'OCDs∖oA B <=> Δ0∕4 C 'OB D ： A②延长AC交BD于点&必有LBEC = LBOA

（2）特殊情况 A条件：CDuAB i乙AoB = 90。,将'OCD旋转至右图位置 A结论：右图中①卜OCDSM）ABGhoAC WBD.②延长AC交BD于点£,必有LBEC = LBOA. BD OD ®AC OC OB OA tan LOCD ④BD丄AC. ⑤连接AD. BC,必有AD2 +BC2 = AB2 +CD2. S4RCn■ —AC× BD ⑥ 2 （对角线互相垂直的四边形）模型三：对角互补模型

A证明提示：①可参考“全等型・90中证法一； ②如图：在OB 上取一点F,使0F=OC,证明AoCF为等边三角形。 (3)全等型•任意角α A 条件：①"O B = 2a,Z7)CE = 180・2a；②CD = CE i A 结论：①°C平分乙②OD + OE ≈ 20C∙COSa . A ③ SoDCE = ^NOCD + Sb oC E =，SilI(X ∙ COSa A 当乙DCE的一边交Ao的延长线于点D时(如右上图)：原结论变成：①；③；可参 考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 D A对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补：注意两点：四点共圆及宜角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意OC平分GoB时，厶CDE = LCED = LCOA =乙Co相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90。 (1)角含半角模型90° -1 A条件：①正方形ABCD,②乙EAF = 45° ； A结论：①EF = DF+ BE：②MEF的周长为正方形ABCD周长的一半; 也可以这样： A 条件：①正方形ABCD.②EF = DF+ BE A结论：厶EAF= 45°

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初中数学九大几何模型 一、手拉手模型————旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】:①△OAC ≌△OBD;②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O C D E O D E

【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二:手拉手模型--——旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD; ②延长AC 交BD 于点E,必有∠BEC=∠ BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90 ° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD; ②延长AC 交BD 于点E,必有∠BEC=∠BOA ； O A B C O A B C D E O B C D E O A C D

③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC; ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型—90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC;③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）: 以上三个结论：①CD=CE;②OE —OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】:①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE;②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S = += A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

(word完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 O D E C A B AED D O E C B A B O C E C AED D 图2 图2 、手拉手模型----旋转型全等 D E ③OE 平分/ AED 图2 图1 O A B D O A O ②/ AEB=Z AOB 且/ COD M AOB (1)等边三角形 (3 )顶角相等的两任意等腰三角形 (2 )等腰直角三角形 图1 图1 匸C 【结论】：①厶0A3A OBD E 、C 【条件】：△ OAB^H A OCD 均为等边三角形 【条件】：△ OAB^H A OCD 均为等腰直角三角形 【条件】：△ OAB^H A OCD 均为等腰三角形 【结论】：①厶OA3A OBD ②/ AEB=60 :③OE 平分/ 【结论】：①厶OA3A OBD ②/ AEB=90 :③OE 平分/

、模型二：手拉手模型----旋转型相似 (1 )一般情况 【条件】：CD// AB, 将厶OCD 旋转至右图的位置 O O 」D E A 【结论】：①右图中△ OC 3A OAB^n A OAS A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有/ BECN BOA (2 )特殊情况 A 【条件】：CD// AB, / AOB=90 将厶OCD 旋转至右图的位置 A 【结论】：①右图中△ OC 3A OAB^n A OAC^A OBD ②延长 AC 交BD 于点E ,必有/ BEC=/ BOA ③ AC OD OB tan / OCD ④BD 丄 AC ⑤连接AD BC,必有AD 2 BC 2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①/ AOB / DCE=90 :②OC 平分/ AOB 【结论】：①CD=CE ②OD+OE='2OC ③S ^DCE CD :⑥ S ^BCD 证明提示: ①作垂直，如图 2,证明△ CDM ^A CEN ②过点C 作CF 丄OC 如图3,证明△ FEC ※当/ DCE 的一边交 A0的延长线于 D 时(如图4): S ^OCD S 以上三个结论：① CD=CE ② OE-OD=''2 OC ③ S ^OCE S ^OCD

初中几何九大模型汇总

初中几何九大模型汇总 1. 点（Point）：点是几何中最基本的对象，它没有长度、宽度或高度，只有位置。点通常用大写字母标记，例如A、B、C等。 2. 线段（Line Segment）：线段是由两个点确定的，它是一条有限 长度的直线。线段通常用两个字母标记，如AB。线段具有长度和方向。 3. 直线（Line）：直线是无限延伸的线段，它由无数个点组成，没 有起点和终点。直线通常用一条小箭头标记，如AB。直线上的任意两点 可以确定一条直线。 4. 角（Angle）：角是由两条射线共享一个起点而形成的，它是两边 之间的夹角。角可以分为锐角、直角和钝角。角通常用大写字母标记，如 ∠ABC。 5. 三角形（Triangle）：三角形是由三条线段组成的一个闭合图形。三角形的内部有三个顶点和三条边。三角形可以根据边长和角度分为不同 的类型，如等边三角形、等腰三角形等。 6. 四边形（Quadrilateral）：四边形是由四条线段组成的一个闭合 图形。四边形的内部有四个顶点和四条边。四边形可以根据边长和角度分 为不同的类型，如矩形、正方形、菱形等。 7. 五边形（Pentagon）：五边形是由五条线段组成的一个闭合图形。五边形的内部有五个顶点和五条边。五边形可以分为凹五边形和凸五边形。 8. 六边形（Hexagon）：六边形是由六条线段组成一个闭合图形。六 边形的内部有六个顶点和六条边。六边形可以分为凹六边形和凸六边形。

9. 圆形（Circle）：圆形是由一个中心点和一个半径确定的，它由 无数个点组成的闭合曲线。圆形的内部为圆的内部，外部为圆的外部。 通过研究这九大基本模型，我们可以深入了解几何形状的特征和性质。学生们可通过观察和比较不同形状的特点，理解几何变换、相似性、对称 性等概念。此外，还可以通过实际生活中的例子，将几何知识应用于实际 问题中，提高学生的应用能力。 总之，初中几何九大模型是学习几何必不可少的基础，通过对它们的 认识和掌握，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识。