证明学案

3.1平行四边形（1）

教师寄语：人若有志,万事可成

学习目标：

1、掌握平行四边形的性质定理及等腰梯形的性质定理及判定定理。

2、进一步发展逻辑推理能力,能用一至两种推理方法解决问题.

3、培养严谨扎实的治学态度和勇于探索的科学精神。

学习过程：

一、前置准备：

1、什么是平行四边形？

2、什么是等腰梯形？

二、自主学习：

1、补充完整性质定理，并试着予以证明。

（1）平行四边形的对边__________。

已知:

求证:

证明:

（2）平行四边形的对角有怎样的大小关系？如何证明？它们的对角线呢？由此我们得到平行四边形的性质：。注意：平行四边形的性质是从哪几个角度来总结的？

2、补充完整性质定理，并试着予以证明。

（1）等腰梯形在同一底上的两个底角相等。

已知:

求证:

证明:

（2）等腰梯形的对角线有怎样的大小关系？如何证明？

由此我们得到等腰梯形的性质和判定分别是：

。

三、合作交流；

议一议:证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC ,DE//BC,EF//AC,

试说明线段BE与CF的关系，并给出推理过程。

六、当堂训练：

1、平行四边形ABCD中，如果∠A=550，那么∠C的度数是( )。

A. 450

B. 550

C. 1250

D. 1450

2.如图:已知L1∥L2, AB∥CD, CE⊥L2与点E，

FG⊥L2与点G，则下列说法中错误的是（）

（A）、AB=CD; （B）、CE=FG;

（C）、A、B两点简的距离就是线段AB的长度；

（D）L1与L2之间的距离是线段CD的长度。

3、等腰△ABC的腰为8cm,过底边BC上任一点D作两腰的平行线分别交两腰与E、F，则四边形AEDF的周长为 cm.

学习笔记：

课下训练：

１．等腰梯形的上底、下底和腰分别为4cm、10cm、5cm，则梯形的高

为 cm，对角线为 cm

２．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交与点O，下列式子中一定成立的是( )

(A). AC⊥BD (B).OA=OC (C). AC=BD (D).AO=OD

3.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB≠AD，对角线AC、BD相交与点O，如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA;③△AOB≌△DOC④△AOD∽△COB

请把其中正确结论的序号填在横线上。

4．已知，在平行四边形ABCD中，2AB=BC,CA⊥AB, ∠B= ,

∠CAD= .

5. 平行四边形两条邻边分别是20 cm和16 cm，若两条长边之间的距离

是8 cm，则两条短边之间的距离是 cm。

6．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是（）

(A). 1：2 (B).2：3 (C).4：1 (D).3：5

7．如图，EF分别是平行四边形ABCD的AD、BC

边上的点，且AE=CF，求证△ABE≌△CDF

中考真题：

已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角

线AC上的两点，AE=CF，

求证: （1）△ADF≌△CBE（2）EB∥DF

3.2平行四边形（2）

教师寄语：命运是可以被改写的，但是需要付出艰辛的代价

学习目标：

1、能证明平行四边形的判定定理及其它相关结论。

2、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

3、体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想。

学习过程：

一、前置准备：

1、平行四边形的性质定理的内容是什么？

2、你学过那些平行四边形的判定方法？

二、自主学习：

1、补充完整判定定理，并试着予以证明。

两组对边分别__________四边形是平行四边形.

已知:

求证:

证明:

2.已知四边形ABCD中,AB=5,BC=7,CD=5,当AD=______时,该四边形是平行三边形,判定的依据是________________.

三、合作交流；

1、议一议:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?

如果是,证明它,并将其归纳成判定定理:_____________________________

2.证明:图中的四边形MNOP是平行四边形

3.证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形

4.证明:两组对角线分别相等的四边形是平行四边形.

四、归纳总结：

判断四边形是平行四边形的定理有哪些?

五、例题解析：

四边形ABCD是平行四边形,DE和BF分别是∠ADC和∠CBA的角平分线。求证:四边形BEDF 是平行四边形

六、当堂训练：

1、如图,下面不能判定四边形ABCD是平行

四边形的是( )

A.AB∥CD,AB=CD

B.AO=CO,BO=DO

C. AB∥CD,AD=BC

D.AB//CD,AD//BC

2.如图:E和F分别是平行四边形ABCD的边BC

与DA的三分之一点,则四边形AECF是_______。

3.在四边形ABCD中,给出下列判断(1)AB∥CD,(2)AD=BC,(3)∠A=∠C,以其中两个作为题设,另一个作为结论,用＂如果……，那么……＂的形式，写出一个正确的命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

学习笔记：

课下训练：

１．满足条件＿＿的四边形是平行四边形．

Ａ．一组对边平行，一组邻角互补；Ｂ．一组对边平行，一组对角相等

Ｃ．一组对角相等，一组邻角相等；Ｄ．一组对边平行，另一组对边平行

２．下列给出的四边形ABCD中,∠A, ∠B, ∠C, ∠D的度数之比,其中能判定ABCD为平行四边形的是( )

A.1:2:3:4

B.2:3:2:3

C.2:2:3:3

D.1;2;2;3

3.BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在

BD上，要使四边形AECF是平行四边形，

还需要增加的一个条件是___________.

4.形状和大小完全相同的两个三角形最多可以拼成不同的平行四边形的个数为( )

A.1

B.3

C.6

D.9

5.四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB//DC,AO=CO.求证:四边形ABCD是平行四边形

6.在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点。

求证：(1)△AFD≌△CEB

(2)四边形AECF是平行四边形

7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,P、Q分别为AB、CD上的点，且AP=CQ 求证：PD=QB

8．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的三等分点。

求证：四边形AECF是平行四边形

中考真题：

如图：四边形ABCD是平行四边形，AF=CE,AF、CE分别为∠BAD、∠BCD的角平分线.

求证:四边形BEDF是平行四边形

3.3平行四边形（3）

教师寄语：积极主动的习惯代表着立即采取行动，从自我做起，从现在做起。

学习目标：

1、会推导三角形中位线定理并会运用其定理进行计算或证明。

2、培养严谨扎实的治学态度和勇于探索的数学精神。

学习过程：

一、前置准备：

1、平行四边形的性质定理和判定定理分别是什么？

2、如图：E、F 分别是平行四边形ABCD的边BC

于DA的三分点，则四边形AECF是形。

二、自主学习：

1、你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？

2、请同学们阅读教材P80，看小明的做法对吗？你能设法验证以下吗？

3、什么是三角形的中位线？

三、合作交流；

1、画三角形的一条中位线，量一下这条中位线与第三边的长度，看它们之间有什么关系？

2、猜想三角形的中位线与第三边之间的关系？能证明你的猜想吗？与同伴交流。

3、如图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流。

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

如图，在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，求证：DE∥BC（2）2DE=

（BC-AC）

六、当堂训练：

1、P82 （1）

2、△ABC的周长为20cm,则△ABC的三条中位线所构成的三角形周长是。

3、已知三角形长分别为6、8、10，则由它的三条中位线围成的三角形的面积是。

4、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但

颜色不同的布料，生产一批形状如图所示的风筝，点

E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴

影部分用甲种布料，其余部分用乙中种布料，若生产

这批风筝需要甲种布料30匹，那么需要乙种布料（）

A、15匹；

B、20匹；

C、30匹；

D、60匹。

5、如图：在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D，

E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，且2GD=AC，

求证：四边形EFDG是等腰梯形。

学习笔记：

课下训练：P85 习题1、2、3、4

中考真题：已知：如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF，请你猜想OF与AB的关系，并证明你的结论。

3.4特殊的平行四边形(1)

教师寄语：行动是通往知识的唯一道路

学习目标：1、能用综合法证明矩形的性质定理和判定定理；

2、经历探索、猜想、证明过程，发展推理论证能力；

3、体会证明的必要性以及计算与证明在在问题中的作用。

学习过程：

一、前置准备

1、你还记得平行四边开有哪些性质？

2、如何判定一个四边形是平行四边形？

3、你还了解哪些特殊的平行四边形？

二、自主学习：1、已知矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O，

观察图形，你发现矩形的角有什么性质？

2、自己动手量一量矩形的对角线，你发现有什么性质：

定理：__________________________________________ 。

三、合作交流：1、阅读课本P86的议一议，自己和同伙交流，你发现图中的BE和AC有

什么数量关系？你能证明吗？

2、你能用一句话总结上面的命题吗？

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

例:已知如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，求矩形的对角线的长？

六、当堂训练：

1、选择题：

（1）EF过矩形ABCD的对角线的交点O且分别交ABCD于

点EF，那么阴影部分的面积是矩形面积的_____

A：1∕5 B：1∕4 C：1∕3 D：3∕10

（2）矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC，若AC=18CM，则AD=____CM.

A：18 B：9 C：6 D：12

2、填空：

（1）在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD，若矩形的周长为48CM，则矩形ABCD的面积为______c㎡。

（2）已知四边形ABCD的两组对边分别相等，增加一个条件__________就为矩形。

学习笔记：

课下训练：

P87-88 1、2、3。

中考真题：

1、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，

已知∠CED’=60，则∠AED的大小为____________

A: 60°B: 50° C: 75° D: 55°

2、已知矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，O为对角线的交点，且∠CAE=15°。

（1）试说明△AOB为等边三角形；

（2）求∠AOE的度数。

3.5特殊的平行四边形(2)

教师寄语：想象力比知识更为重要

学习目标：1、能用综合法证明菱形的性质定理和判定定理；

2、经历探索、猜想、证明过程，进一步发展推理能力；

3、体会证明的严密性和知识的应用。

学习过程：

一、前置准备

1、你还记得平行四边开有哪些性质？

2、如何判定一个四边形是平行四边形？

3、矩形有什么性质，它的判定呢？

4、什么叫菱形？

二、自主学习：菱形也是平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，它又是特殊的平行四边形，它又具有自己的性质，自己的画图，总结菱形的性质，并证明：

三、合作交流：与同伙交流怎样判别一个四边形是菱形，一个平行四边形是菱形，并证明你的结论：

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：已知四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中

对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长？

（2）菱形ABCD的面积？

六、当堂训练

1、选择题：

（1）菱形和矩形一定都具有的性质是_____

A：对角线相等 B：对角线互相平分

C：对角线互相垂直 D：每条对角线平分一组对角。

（2）已知菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大的内角是______ A: 60° B:90° C:120° D:150°

2、填空：

（1）已知菱形ABCD的边长为6，A=60°，P是菱形内一点，且PB=PD=

2√3，则AP=_____

（2）已知菱形ABCD的中心在直角坐标系的原点上，且AD X轴A（-4，3）则C坐标_______。

学习笔记：

本节课你的收获：_________________________________________

课下训练：

P90：1、2

中考真题：

1、已知菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，

且AC=BD=1：√3，若AB=2，求菱形ABCD的面积：

2、已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，交AC于O，则四边形AECF为菱形吗？为什么？

3.6特殊的平行四边形(3)

教师寄语：学而时习之，不亦说乎

学习目标：1、能够用综合法证明正方形的性质和判定；

2、经历探索、猜想、证明过程，发展推理能力；

3、体会知识的应用性。

学习过程：

一、前置准备：

1、矩形有哪些性质和判定？

2、菱形有哪些性质和判定？

3、什么叫正方形？

二、自主学习：我们知道正方形既是矩形，也是菱形，它具有它们的一切性质，结合矩形菱形的性质，你能总结证明吗？

1、________________________________________________________

2、________________________________________________________

三、合作交流：

1、结合矩形菱形的判定，与同伙交流总结正方形的判定有哪些：

（1）、_________________________________________________

（2）、_________________________________________________

（3）、_________________________________________________

2、我们知道依次连接任意四边形各边中点得平行四边形，那么

依次连接菱形、矩形、正方形各边中点得什么图形？

猜一猜，与同伙交流，再证明（口述）。

依次连接四边形各边中点所得到的新年四边形的开关与哪些线段有关系？有怎样关系？总结：

___________________________________________________________

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、当堂训练：

1、P91 做一做

2、已知正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线 AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形， 则两个小正方形的周长的和是_______。

3、在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，延长BC 至F ，使CF=CE ，连接DF 、BE 与DF 相交与G ，下面结论错误的是_______ A:BE=DF B:B G ⊥DF C :∠F+∠CEB=90° D: ∠FDC+∠ABG=90° 学习笔记： 中考真题：

1、已知正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 过点A 作AH ⊥BE ，垂足为H ，延长交CD 于点F ，求证：DE=CF

2、已知两正方形的边长为1，正方形OPMN 绕点O 旋转则两正方形重叠部分的面积为_______。

3、已知EFGH 分别为正方形ABCD 各边中点，中间阴影面积为5，则大正方形的边长为_____

A ：2√5

B ：3√5

C ：5

D ：√5

第三章 证明（Ⅲ）检测题

一、选择题（每题3分，共30填在括号内. 1、如图1中,O 为对角线AC 、BD 则图中共有相等的角（ ）

A 、4对

B 、5对

C 、6对

D 、8对 2、如图2，已知

E 、

F 的中点， 连接AE 、CF 所形成的四边形AECF 的面 的面积的比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:3 D 、1:4 3、过四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 作 BD 、AC 的平行线围成四边形EFGH,若EFGH 是菱形,则四边形ABCD 一定是( )

图2

A 、平行四边形

B 、菱形

C 、矩形

D 、对角线相等的四边形

4、在菱形ABCD 中，,,CD AF BC AE ⊥⊥ 且E 、F 分别是BC 、CD 的中点， 那么=∠EAF （ ）

A 、075

B 、055

C 、450

D 、060

5、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（ ） A 、56 B 、55 C 、54 D 、35

6、矩形的内角平分线能够组成一个（ ）

A 、矩形

B 、菱形

C 、正方形

D 、平行四边形

7、以正方形ABCD 的一组邻边AD 、CD 向形外作等边三角形ADE 、CDF ，则下列结论中错误的是（ ） A 、BD 平分EBF ∠ B 、030=∠DEF C 、BD EF ⊥ D 、045=∠BFD 8、已知正方形ABCD 的边长是10cm ，APQ ?是等边三角形，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，则BP 的边长是（ ） A 、55cm B 、

33

20cm C 、)310

20(-cm D 、)310

20(+cm

9、若两个三角形的两条中位线对应相等且两条中位线与一对应边的夹角相等，则这两个三角形的关系是（ ）

A 、全等

B 、周长相等

C 、不全等

D 、不确定 10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）

A 、四个角都是直角

B 、两组对边分别相等

C 、内角和为360

D 、对角线平分对角 二、填空题（每空3分，共30分）

11、平行四边形两邻边上的高分别为32和33，这两条高的夹角为060，此平行四边形的周长为 ，面积为 .

12、等腰梯形的腰与上底相等且等于下底的一半，则该梯形的腰与下底的夹角为 .

13、三角形三条中位线围成的三角形的周长为19，则原三角形的周长为 . 14、在A B C

?中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，AC CE 3

1=

，BE 、CD 交于点O ，cm BE 5=，

则=OE .

15、顺次连接任意四边形各边中点的连线所成的四边形是 .

16、将长为12，宽为5的矩形纸片ABCD 沿对角线AC 对折后，AD 与BC 交于点E ，则DE

的长度为 .

17、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则

矩形的两条对角线夹角为 .

18、菱形两条对角线长度比为1:3,则菱形较小的内角的度数为 .

19、正方形的一条对角线和一边所成的角是度.

20、已知四边形ABCD是菱形，AEF

EF=，

?是正三角形，E、F分别在BC、CD上，且CD 则=

∠BAD .

三、解答题（第21、22小题各10分，第23、24小题各5分，共30分）

21、证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

22、从菱形钝角的顶点向对边作垂线，且垂线平分对边，求菱形各角的度数？

23、如图3，AB//CD，0

∠ACB，E是AB

=

90

CE=CD，DE和AC相交于点F.

求证：（1）AC

DE⊥；

（2）ACE

∠.

ACD∠

=

24、如图4，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形.求证：EG

AC⊥.

图5

四、（第25、26、27题各10分，共30分）

25、如图5，正方形纸片ABCD 的边BC 上有一点E ，AE=8cm ，若把纸片对折，使点A 与点E 重合，则纸片折痕的长是多少？

26、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF ⊥于点F ，证明：EC=EF.

27、如图7，已知P 是矩形ABCD 2

PD +.

宁阳二十四中参加学案编写的教师有:潘军锋、陈宝振、王锦章、邵纯、 董留在、赵彬