积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().

1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ

αβαβ

±=±±=±±=

m m

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

1

sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-

1

cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--

1

cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-

1

sin sin [cos()cos()].2

αβαβαβ=-+--

sin sin 2sin cos .22

αβαβ

αβ+-+=

222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2

tan .21cos αα

αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+?

2

sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22

ααααααααα?==±=±

sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=-

22tan tan 2.1tan ααα

=-

cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=

sin

sin 2cos sin .22αβαβαβ+--=

cos

cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-

生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)

=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

=2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式

2tan 12tan

2tan ,2tan 12tan 1cos ,2

tan 12tan

2sin 2

2

2

2α

-α

=αα+α-=αα

+α

=

α 证：2tan 12tan

22cos 2sin 2cos 2sin 21

sin sin 2

22α+α=α+ααα=

α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1

cos cos 2

2

2222α+α-=α+αα-α=

α=α 2

tan 12tan

22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2

22α-α=α-ααα=

α

α=α 注意：

1、上述三个公式统称为万能公式。

2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.

2、倍角公式

ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，

则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.

3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。

Λ=--+=-+

+=

--=-+=2

22

2

)()(α

ββ

αβ

αβ

ααββββαα

2()()()()2(

)2(

)2

2

2

2

αβαβ

βα

βα

ααβαββαβα+-+-=++-=+--=+

=-

=L

三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sin α=

551010

，sin β=，求α+β的值。

解析：由已知条件有cos α=

255310

10，cos β=，且0＜α+β＜π。 又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=

-=+=

255310105510102

2

04

××＞，

所以αβπ 例2已知sin(3)cos()tan()cot(

)2(),()cos()

n x x x x f x n Z n x πππππ---+=

∈-

（１） 求52(

);3

f π

（２） 若34

cos(),25

πα-=求()f α的值．

解当2()n k n Z =∈时，

sin cos tan cot ()sin ;

cos x x x x

f x x x

-=

=- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )

()sin tan .cos x x x x f x x x x

--=

=-

34

cos()sin ,sin .25

πααα-=-∴=-Q

故当n 为偶数时，

525243

(

)sin sin 3334

()sin ;

5f f πππαα=-=-==-=

当n 为奇数时，

2222

2

5252524433

()sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-?=

例3已知21

sin(),sin().35

αβαβ+=-=

（１） 求tan cot αβ的值； （２） 当(,),(,)2222

ππ

ππ

αβαβ+∈-

-∈-时，求sin 2β的值．

解（１）

［方法１］2sin cos cos sin ,31

sin cos cos sin ,5137

sin cos ,cos sin .

3030αβαβαβαβαβαβ?

+=???

?-=??

?==

从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7

αβαβαβ=

=

［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβ

αβαβ

==

sin()10

,sin()3

sin()

sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 1

1tan ,tan 11tan x x αβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβα

β

α

β

+=-+++==---++==--Q

且

11013

,tan cot .137

x x x αβ+∴

=?==- （２）由已知可得

sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()465

βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+--=

例4已知11

cos(),cos(),22

αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.

解

1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351

cos cos ,sin sin .

1212

αβαβαβαβαβαβ?

-=???

?+=??

?==- sin sin 1

tan tan .cos cos 5

αβαβαβ∴=

=-

例5已知11

sin cos ,cos sin ,23

αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.

解 将两条件式分别平方，得

22221

sin 2sin cos cos ,

4

1

cos 2cos sin sin .

9

ααββααββ-+=-+=

将上面两式相加，得

1322sin(),36

59

sin().

72αβαβ-+=

?+= 例6 sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-o o o

o o o

的值等于 （ ）

A ．23

B ．23

C ．

23

2

+ D ．232

解

0000

0000

00000000000000000

00

sin(158)cos15sin 8cos(158)sin15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302 3.-+=

---+=

+--==-=

+=-原式

故选B.

例7 已知cos(α－β)= βα=α、，，23

12sin 21都是锐角，求cos(α+β)的值。 解析：由已知条件有

。3

2

2)31

(12sin 12cos ,

312sin 2202

2=-=α-=α=απα则，又＜＜

因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜π6，所以0＜α＜π

12。 ①

又因为0＜β＜

π2，所以-π2＜-β＜0 。 ②由①、②得-π2＜α-β＜π

12

。

又因为cos （α-β）=

1

2，所以--παβ2

0＜＜。 )

(cos 1)sin(2β-α--=β-α所以=2

3

-

。 从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

。6

3

2223

3121322-=

-+=

）（××

评析：本例通过0＜sin2α= 1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜π

12

，将α-β的范围缩小为--παβπ212＜＜，进而由cos(α-β)= 1

2,将α-β的范围确定

为-

-π

αβ2

0＜＜，从而避免了增解。

例8 已知-

-

π

απ

π

βπ

2222

＜＜

，＜＜

，且tan α,tna β是一元二次方程

x x 23340++=的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tan α+tan β= -330＜，tan αtan β=4＞0， 所以tan α＜0，tan β＜0。

又因为 -

-

π

απ

π

βπ

2

2

2

2

＜＜

，＜＜

，

所以,0＜＜2

，0＜＜2

βπ-απ-所以-π＜α+β＜0。 又因为tan(α+β)=

tan tan tan tan αβ

αβ

+-1 =--=33143 所以α+β= -2

3

π。

评析：本例根据韦达定理tan α+tan β= -33，tan αtan β=4，挖掘出了隐含条件tan α＜0,tan β＜0，知02＜＜απ

-，0＜＜2

βπ-，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

例9 已知tan 3α=，求①

sin 2cos 5cos sin αααα

+-；②2

sin 2cos αα+．

解：①

sin 2cos 5cos sin αααα+-=tan 25tan αα+-5

2

=；

②2

2

2

222

sin 22sin cos 2tan 17

sin 2110

1cos cos cos sin cos tan ααααααααααα+?+++====++．

例10 已知1

sin cos 3

αα+=，0απ∈（，）

，sin cos αα-求的值． 解：1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα?+?=82sin cos 09αα??=-

9

(sin cos )αα=?-，

又因为（?）及0απ∈（，）

，所以π

απ∈（，）2

，即sin cos 0αα->， 所以5

sin cos 3

αα-=．

注：“已知sin cos αα+”与 “未知sin cos αα-”的联系是“2(sin cos )αα+ =2

4sin cos (sin cos )αααα+?-”，从而目标是求出sin cos αα?的值．

例11 已知4

sin ()1,5

tan θθ?=+=，且θ是第二象限的角，求tan ?．

解：∵θ是第二象限的角，4

sin 5

θ=，

∴3cos 5θ=-，即4

tan 3

θ=-，

∴tan ?=tan[()]θ?θ+-=tan()tan 71tan()tan θ?θ

θ?θ

+-=-++?．

注：“未知?”与“已知θ”和“已知θ?+”的联系显然是“()?θ?θ=+-”．

例12 已知12cos(),13αβ-=4cos(),5αβ+=-3,4

ππ

αβ<<<且2sin 2α求．

解：∵3,4ππαβ<<<2∴,44ππαβ-<-<3,2

π

παβ<+<

又12cos(),13αβ-=4

cos(),5

αβ+=-

所以可知αβ-是第一象限的角，αβ+是第三象限的角．

∴25

sin()1(),13

cos αβαβ-=--=23sin()1(),5cos αβαβ+=-+=-

∴sin 2αsin[()()]αβαβ=++-sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=+?-++?-， 31245()513

513

=-?+-?5665

=-．

注：“未知2α”与“已知αβ+”和“已知αβ-”的联系显然是“2()()ααβαβ=++-”．

例13 已知1sin sin 4αβ+=，1

cos cos 3

αβ+=，求（１）cos()αβ-，

（２）αβ+cos()． 解：解法一：

1sin sin 4αβ+=?22

12sin sin 16sin sin ααββ+?+=……①

1cos cos 3αβ+=?22

12cos cos 9

cos cos ααββ+?+=……②

①＋②得：cos()αβ-＝263

288

-；

②－①得：11

cos 2cos 22cos()916αβαβ+++=-，

即7

2cos()cos()2cos()144

αβαβαβ+?-++=，

所以αβ+cos()＝77

288[cos()1]25

αβ=-+．

解法二：把已知和差化积得：

1sin sin 4αβ+=?1

2sin cos 224αβαβ+-=……③

1cos cos 3αβ+=?1

2cos cos 223

αβαβ+-=……④

③２＋④２得：22542144cos αβ

-=，

即252[1cos()144

αβ+-=，

∴αβ-263

cos()=-

288． ③÷④得：3

tan 24

αβ+=

∴αβ+cos()＝2

21722512

tan

tan αβ

αβ+-=++．

注：求cos()αβ-利用方法一简单，求αβ+cos()利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差． 【 课堂练习1】

1．cos105°的值为 （ ）

A ．

6 ＋ 2

4

B ． 6 － 2

4

C ． 2 － 6

4

D ．

－ 6 － 2

4

2．对于任何α、β∈（0，π

2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ）

A ．sin(α+β)＞sin α+sin β

B ．sin(α+β)＜sin α+sin β

C ．sin(α+β)=sin α+sin β

D ．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜

3π

2

，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ） A ． a+1 B ．－ a+1 C ． a 2+1 D ．±a 2+1 4．已知tan α=13，tan β=1

3，则cot(α+2β)= ．

5．已知tanx=1

2

，则cos2x= ．

【 课堂练习2】 求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 2．1

2

（cos15°+ 3 sin15°）= ．

3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．

5．11－tan θ－ 1

1＋tan θ= ．

【课后反馈1】 1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－4

5

，则sin β等于 （ ）

A ．0

B ．0或2425

C ． 2425

D ．0或－24

25

2．

sin7°+cos15°sin8°

cos7°－sin15°sin8° 的值等于 （ ）

A ．2+ 3

B ．

2+ 3 2 C ．2－ 3 D ． 2－ 3

2

3． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为

（ ）

A ．

π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π3

4．若α是锐角，且sin(α－π6)= 1

3，则cos α的值是 ．

5．cos

π7cos 2π7cos 3π

7

= ． 6．已知tan θ=12，tan φ=1

3，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π

2，π），α+

β∈（3π

2

，2π），求cos2α、cos2β的值．

8．已知sin(α+β)= 1

2，且sin(π+α－β)=

1

3

，求

tanα

tanβ

．

【课后反馈2】

1．cos75°+cos15°的值等于（）

A．6

2

B －

6

2

C．－

2

2

D．

2

2

2．a=2

2

（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=

2

2

，则（）

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c

3．化简

1+sin2θ-cos2θ

1+sin2θ+cos2θ

= ．

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan A

2

+tan

C

2

+ 3 tan

A

2

tan

C

2

的值

为．

6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

参考答案：

【 课堂练习1】

1． C 2． B 3． B 4．12 5．3

5

【 课堂练习2】

1．－ 12 2． 2 2 3． 2 4． 2

2 5．tan2θ

【课后反馈1】

1． C 2． C 3． A 4．

2 6 －16 5． 1

8

6．略 7． cos2α=－

725，cos2β=－1 8． 1

5

【课后反馈2】

1． A 2． A 3． tan θ 4． sin β 5． 3 6． sin 2（A ＋B ）． 7. 1 8 .略．

例14 已知5

cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ

+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵

5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ

+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )

∴

53tan 1

tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57

2122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32

22222=+??++-=θ+θ?+θ+θ-=

【 课堂练习1】 1. ．已知sin x =

54，且x 是锐角，求2

cos 2sin x

x ±的值。

2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？

① x x y 2cos 2sin =

② x x y 2cos sin 2-=

③ )7

cos(2)722cos(π

+-π+=x x y

【课后反馈1】

1. 求函数x x x f sin cos )(2+=在]4

,4[π

π-上的最小值。

参考答案：

【 课堂练习1】 1、)5

5

,553(

- 2、)21,21(min max -==

y y 、)21,23(min max -==y y 、)2

3

,3(min max -==y y 【课后反馈1】 1．)2

2

1(

-

和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然

高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

三角函数式的化简 要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法 例1. 化简 x x x x x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ?+- -? 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P += =.tan ,sin x y x r y x == 0)(222=-+-=+--=?+ --?=∴x r y x r y y x r x r y r y x y r y x y r y x y r y x y 原式 二: 弦切互化法 例2. x x x x x x x 222 2 tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-?+?+化简 解: 原式x x x x x x x x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 222 22?+?=+-??+?= x x x x x 2sin 22cos cos 1 2cos 2sin =??= 三: 变用公式 例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ?+?+?化简 解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ?++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ?+-+?= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=?+?-= 说明: 公式β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ±在解题中运用非常灵活.常常变形为 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法 例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简 解: 原式 12cos 24cos 48cos 6sin ???= 6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ????= = 16 16cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21 = ====??? 说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法 例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22?--++化简 解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2 )22cos(12)22cos(1?---+++=

积化和差与和差化积公式

积化和差与和差化积公式 田云江 [基本要求] 能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。 [知识要点] 1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个： sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] 2、和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin cos sinθ-sinφ=2cos sin cosθ+cosφ=2cos cos

cosθ-cosφ=-2sin sin 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 ④合一变形也是一种和差化积。 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。 [例题选讲] 1、求下列各式的值 ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26° ③csc40°+ctg80° ④cos271°+cos71°cos49°+cos249° 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°=

数学和差化积公式

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 法2 根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e ^I（a+b） =e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb +sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=- 生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然

和差化积公式记忆口诀顺口溜

和差化积公式记忆口诀顺口溜 和差化积公式，包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是 三角函数中的一组恒等式，可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到， 为了方便同学们记忆，小编整理了和差化积公式记忆口诀，供参考。 和差化积公式记忆口诀1帅+帅=帅哥，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2帅- 帅=哥帅，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2哥+哥=哥哥，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2哥-哥=负嫂嫂。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2(反之亦然)和差化积公式记忆口诀2正和正在先，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正差正后迁，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余和一色余，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2余差翻了天。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀3口口之和仍口口，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2赛赛之和赛口留，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2口口之差负赛赛，cosa+cosβ=2cos(a+β) /2*cos(a-β)/2赛赛之差口赛收。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2和差化积公式记忆口诀4正弦加正弦，正弦在前面，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2正 弦减正弦，余弦在前面，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余弦加余弦，余弦 全部见，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余弦减余弦，余弦(负)不想见。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2注：角度(a+β)/2在前，(a-β)/2在后的标准形式和差化积公式记忆口诀5正加正，正在前，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β) /2正减正，余在前，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2余加余，余并肩， cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2余减余，负正弦。cosa-cosβ=-2sin(a+β) /2*sin(a-β)/2以上就是小编收集整理的和差化积公式记忆口诀，希望对同学们 记忆和差化积公式有所帮助。

积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题

整理为word格式

1．下列等式错误的是( ) A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B 整理为word格式

B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( ) A.1 8 B. 1 4 C. 1 2 D．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 6 4 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.3 4 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 4 整理为word格式

整理为word 格式 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－1 2 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2 C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ? ???x －π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.2 2 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝1 3，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ? ???x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2])的值域是( )

和差化积公式推导(非常简单实用)

关于和差化积公式的推导 Von · braun Zhan jiang normal university 2009.11.17 关于积化和差及和差化积得公式，在高中数学学习过程中，教材及考试并未做过多的讲述及要求，这导致同学们在学习过程中难免会对其运用的程度不够，以致在大学学习数学的时候运用积化和差及和差化积公式解题时感到无从下手以致无法进行下一步的运算；特别是对于和差化积公式；鉴于此种情况，我在这里就其推演做一简单而有效的证明。 在这里我先给出积化和差公式： ()()[]βαβαβα-++= sin sin 2 1cos sin [])cos()cos(2 1sin sin βαβαβα--+-= [])sin()sin(2 1sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= 及和差化积公式： 2 cos 2sin 2sin sin ?θ?θ?θ-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin ?θ?θ?θ-+=- 2 c o s 2c o s 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=+ 2 s i n 2s i n 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+-=- 写到这里，我们会发现对于积化和差公式其实是非常容易理解的，无非就是三角公式的展开，这要求大家对这些公式有清晰的认识；而对于和差化积公式，也许对于一些人就有些麻烦了，不过相信你在看完这份资料后，对于和差化积公式的运用就并不是那么糟糕的事情了，下面我们一起看看推导过程吧！ 首先，我们来看和差化积公式的第一条公式： ?θsin sin + 从这左边的一半，我们很难找到对应的公式化简，但是，我们换一个角度来看，我们还是可以应用三角公式进行展开的，不过我们要对角进行一定的处理，就像这样： 令 22? θ? θθ-++= 22? θ?θ?--+= 代入?θsin sin +中，可以得到 ??? ??--++??? ??-++=+22 s i n 22s i n s i n s i n ?θ?θ?θ?θ?θ 对于这道等式的右边，我们已经并不感到陌生了，为此成功已经属于我们的了，下一步是

积化和差和和差化积公式记忆窍门

积化和差 sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 和差化积 sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 我们背公式时往往要么不是死记硬背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对于高中生用得更多一些，不久前做了一道满综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我说的方法来记忆，保证20秒内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法： 对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。 对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。 希望对大家有所帮助，小弟班门弄斧了。。。。。

三角函数和差化积与积化和差公式

和差化积和积化和差公式 1、正弦、余弦的和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-?+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-?+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβ αβα-?+=+ 2sin 2sin 2cos cos β αβ αβα-?+-=- 【注意右式前的负号】 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么2φθα+= ，2 φθβ-= 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin ?+2φθcos 2 φθ- 2、正切和差化积 tan α±tan β=β αβαcos cos )sin(?± cot α±cot β= βαβαsin sin )sin(?± tan α+cot β=β αβαsin cos )cos(?- tan α-cot β=β αβαsin cos )cos(?+- 证明：左边=tan α±tan β= ββααcos sin cos sin ± =β αβαβαcos cos sin cos cos sin ??±? = βαβαcos cos )sin(?±=右边

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 3、积化和差公式 ))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=?（注意：此时差的余弦在和的余弦前面） 或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=?（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=? ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=? ()()[]2 sin sin sin cos βαβαβα--+=? 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： ()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ?-?- =? ()()[]2 sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。 结果除以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β 故最后需要除以2。

三角函数公式和积化和差公式汇总

三角函数公式积化和差公式汇总 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2π -a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina= 2 )2 (tan 12tan 2a a +

积化和差与和差化积同步练习(教师版)

3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习 1．下列等式错误的是( ) A ．sin(A ＋ B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确． 2．sin15°sin75°＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 解析：选B.sin15°sin75°＝ －1 2[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－1 2(cos90°－cos60°) ＝－12(0－12)＝14. 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64

解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15° 2 ＝2sin60°cos45°＝6 2. 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 解析：sin37.5°cos7.5°＝1 2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝1 2(sin45°＋sin30°) ＝12? ???? 22 ＋12＝2＋14. 答案：2＋1 4 一、选择题 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50° ＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°) ＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34. 2．cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.1 2

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-

和差化积积化和差万能公式

正、余弦和差化积公式 指三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然

积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式

1.积化和差公式 证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式. 积化和差公式记忆口诀 积化和差角加减,二分之一排前边 正余积化正弦和,余正积化正弦差 余弦积化余弦和,正弦积化负余差 2.和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 和差化积公式记忆口诀 和差化积2排前,半角加减放右边 正弦和化正余积,正弦差化余正积 余弦和化余弦积,余弦差化负正积。

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明） cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ） tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ） tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ） =sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边 ∴等式成立

高中数学和差化积、积化和差、万能公式

高中数学和差化积、积化和差、万能公式 正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

和差化积,积化和差

和差化积公式： sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]编辑本段推导过程 和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 这样，得到了积化和差的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把

积化和差公式应用

第三章1．1 两角差的余弦函数 1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( ) A ．－12 B ．12 C ．0 D ．1 2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( ) A ．cos α B ．cos β C ．cos(2α＋β) D ．sin(2α＋β) 3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 4．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010 ，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．3π4 D ．5π6 5．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12 ，则cos(α－β)的值为( ) A ．12 B ．－32 C ．34 D ．1 6．cos 15°的值是________ 7．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010 ，则α－β的值为________． 8.已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114 ，α、β均为锐角，求cos β的值． 1．2 两角和与差的正弦、余弦函数 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A ．12 B ．33 C ．22 D ．32 2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32 3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35 ，则sin β的值是( ) A ．1725 B ．35 C ．725 D ．15 4．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 5．化简sin ????π6＋α＋cos ??? ?π3＋α的结果是________． 6．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8° 的值是________ 1．3 两角和与差的正切函数 1．已知α∈????π2，π，sin α＝35 ，则tan ????α＋π4的值等于( ) A ．17 B ．7 C ．－17 D ．－7

教你3秒记住和差化积,积化和差公式(原创).txt

和差化积公式3秒记住的方法： 第一步：首先观察公式，你很明显可以看到和差化积时，积的三角函数的角是一样的，就是前面是（A+B）/2，后面是（A-B）/2，这个先记住，下面我们就该确定和化为积时，三角函数依次是什么 第二步：记住“+”代表的意义是“本函数和差公式之前”，“-”代表的意义是“本函数和差公式之后”，什么意思呢？比如说把sinA+sinB和差化积，“+”意思是本函数也就是sin 和差公式之前，我们知道sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，那么前面就是“sin”“cos”。第三步：记住在进行第二步时，如果用到了cos和差公式之后时，也就是“sin”“sin”时前面系数是-2 ，其余都是2 好了，接下来我们就可以快速的凑了： 1，将sinA+sinB和差化积 看到+，是sin和差公式之前，是sin,cos，所以sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] 2，将sinA-sinB和差化积 看到-，是sin和差公式之后，是cos,sin，所以sinA-sinB=2*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] 3，将cosA+cosB和差化积 看到+，是cos和差公式之前，是cos,cos，所以cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] 4，将cosA-cosB和差化积 看到-，是cos和差公式之后，是sin,sin，所以cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] （此时特别注意cos和差公式之后时，前面是-2） 于是： sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] 同学们看了和差化积公式的记法后是不是有点感觉了呢？告诉大家只要知道了怎么和差化积，积化和差其实轻而易举！现在还是一样的方法教大家记住积化和差公式：首先记住固定的前后两个角：（A+B）,（A-B），前面系数是1/2，然后观察是什么类型的三角函数之积，比如“sinAcosB”，这时你可能会问了，那个“+”，“-”呢？不是用这种方法吗？那么怎么用呢？呵呵，别急，你要倒着记：sinAcosB，是“sin和差公式之前”，那么sinAcosB=1/2[sin（A+B）+sin（A-B）]，看懂了么，“+”出现了！就是sin和差公式之前代表“+”！同样，当要求sinAsinB的积化和差时，因为sinAsinB是“cos和差公式之后”，那么别忘了前面加个负号哦~ 1，将sinAcosB积化和差 看到sinAcosB，是sin和差公式之前，那么sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)] 2，将cosAsinB积化和差 看到cosAsinB，是sin和差公式之后，那么cosAsinB=1/2[sin(A+B)-sin(A-B)] 3，将cosAcosB积化和差 看到cosAcosB，是cos和差公式之前，那么cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)] 4，将sinAsinB积化和差 看到sinAsinB，是cos和差公式之后，那么sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]（注意了！cos和差公式之后，前面要加负号哦！）

高中数学必修第二册 第四章 2.4积化和差与和差化积公式-教案-北师大版(2019)

积化和差与和差化积公式【教学目标】 1．能根据公式Sα ±β和Cα ±β 进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式． 2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 【教学重难点】 三角函数的积化和差与和差化积公式 【教学过程】 一、问题导入 两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？二、合作探究 1．积化和差问题 【例1】（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. （2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. [思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角． [解]（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝1 2 (sin 90°－sin 50°)－ 1 2 (cos 60°－cos 40°) ＝1 4 － 1 2 sin 50°＋ 1 2 cos 40° ＝1 4 － 1 2 sin 50°＋ 1 2 sin 50°＝ 1 4 . （2）原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝ 3 2 cos 10°cos 50°cos 70° ＝ 3 2? ? ? ? ? ?1 2 (cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝ 3 8 cos 70°＋ 3 4 cos 40°cos 70°

＝38cos 70°＋38 (cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316 . 【教师小结】积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质. (2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. 2．和差化积问题 【例2】已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 ，求sin(α＋β)的值． [思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解． [解] ∵cos α－cos β＝12 ， ∴－2sin α＋β 2sin α－β2＝1 2. ① 又∵sin α－sin β＝－13 ， ∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13. ② ∵sin α－β2≠0， ∴由①②，得－tan α＋β 2＝－32，即tan α＋β2＝32 . ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2 α＋β2 ＝2tan α＋β 21＋tan 2α＋β2＝2× 3 21＋94＝1213.