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初中-数学-中考-2019年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷

2019年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分. 每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不得分） 1、16的算术平方根为（）

A. ±4

B. 4

C. ﹣4

D. 8

2、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

3、从棱长为2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（）

A. B. C.

4、不等式组1

1250

x x ?-

的解集中，整数解有（）个．

A. 5

B. 8

C. 6

D. 7

5、如图，直线m ∥n ，∠1=70°，∠2=30°，则∠A 等于（）

A. 30°

B. 35°

C. 40°

D. 50°

6、小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）

A. 50，50

B. 50，30

C. 80，50

D. 30，50

7、在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（）

A. x＜0

B. 0＜x＜2

C. x＞2

D. x＜0或x＞2

8、《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

y x

x y

y x

x y

9、如图，直径为10的圆A经过点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）

A. （0，5）

B. （0，53

C. （053）

D. （053

）

10、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）

A. 1

B. 2

C. 422

- D. 324 11、如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）

A. b2＞4ac

B. ax2+bx+c≥﹣6

C. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1

D. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n

12、如图，Rt∠ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以23为边长的正方形DEFG 的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与∠ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）

A. B.

C. D.

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

13、分解因式：2x3﹣6x2+4x=______．

14、已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为______．

15、运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：

则计算器显示的结果是______．

16、对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝______．

17、如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1C1，弧A1C1与OB1相交于点B2，设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，弧A2C2与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设正方形OA2018B2018C2018与扇形OA2018C2018之间的阴影部分面积为S2018，则S2018＝______．

三、解答题（共7小题，共52分）

18、解方程：

122

x x

．

19、如图，∠ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=3，AD=1，求DB的长．

20、2018年某市学业水平体育测试即将举行，某校为了解同学们的训练情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行了体育测试（把成绩分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）求本次抽测的学生人数；

（2）求扇形图中∠α的度数，并把条形统计图补充完整；

（3）在测试中甲乙、丙、丁四名同学表现非常优秀，现决定从这四名同学中任选两名

给大家介绍训练经验，求恰好选中甲、乙两名同学的概率（用树状图或列表法解答）．

21、如图，∠O是∠ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交∠O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是∠O的切线；

（2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长．

22、如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=

4 5，反比例函数

（x＞0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标

是（3，n），连接OM，MC．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证：∠OMC是等腰三角形．

23、若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L 的表达式；

（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

24、有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连接BD，MF，若BD=16 cm，∠ADB=30°．

∠试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；

∠把∠BCD与∠MEF剪去，将∠ABD绕点A顺时针旋转得∠AB1D1，边AD1交FM于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当∠AFK为等腰三角形时，求β的度数；

∠若将∠AFM沿AB方向平移得到∠A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∠AB时，求平移的距离．

参考答案1、【答案】B

【分析】本题考查算术平方根的定义.

【解答】16的算术平方根为16

=．选B．

2、【答案】C

【分析】本题考查中心对称图形以及轴对称图形．直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分别分析得出答案．

【解答】第一个图形和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；

第二个图形是轴对称图形不是中心对称图形；

第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形．

选C．

3、【答案】B

【分析】本题考查简单组合体的三视图．

【解答】俯视图是从上往下看得到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B．

4、【答案】D

【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用．先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．

【解答】解不等式

-<，得x＞﹣2，解不等式5﹣x≥0，得x≤5，

∠不等式组的解集是﹣2＜x≤5，整数解为-1，0，1，2，3，4，5，共7个．选D．5、【答案】C

【分析】本题考查平行线的性质．

【解答】∵m∥n，

∴根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.

又∵∠3是△ABD的一个外角，

∴∠3＝∠2＋∠A，

即∠A＝∠3-∠2＝70°-30°＝40°.选C．

答案第1页，共14页

6、【答案】A

【分析】本题考查扇形统计图，中位数与众数．根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为100、80、50、30、20元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解．【解答】由扇形统计图可知，

购买课外书花费为100元的同学有20×10%=2（人），

购买课外书花费为80元的同学有20×25%=5（人），

购买课外书花费为50元的同学有20×40%=8（人），

购买课外书花费为30元的同学有20×20%=4（人），

购买课外书花费为20元的同学有20×5%=1（人），

20个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，

50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，

在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为50元，

中位数为（50+50）÷2=50（元）．选A．

7、【答案】B

【分析】本题考查一元二次不等式与二次函数、一次函数图象的关系.

【解答】由图可知，抛物线y1=﹣x2+4x的图象在直线y2=2x的图象上方部分所对应的x 的取值范围是0＜x＜2，

∠不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．选B．

8、【答案】C

【分析】本题考查二元一次方程组的应用．分析题意，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”可分别列出方程．

【解答】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得

x y

y x

，

选C.

9、【答案】A

【分析】本题考查圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．

【解答】如图，首先设∠A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是∠A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或

等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=1

CD=5，因此点C的坐

标为（0，5）．选A．

10、【答案】C

【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质.【解答】在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠BAE=22.5°，

∠∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°．

在∠ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∠∠DAE=∠ADE．∠AD=DE=4．

∠正方形的边长为4，∠BD=2

∠BE=BD-DE=424．

∠EF∠AB，∠ABD=45°，

∠∠BEF是等腰直角三角形，

∠EF=

BE=()

424

-=422

-．选C．

11、【答案】D

【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线与x轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误．

【解答】∠抛物线与x轴有两个交点，

∠b2﹣4ac＞0，

∠b2＞4ac，结论正确，故A选项错误；

∠抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，

∠ax2+bx+c≥﹣6，结论正确，故B选项错误；

∠抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），

∠关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根为﹣1，

∠抛物线对称轴为直线x＝﹣3，

答案第3页，共14页

∠另一个根为2×（﹣3）﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5，结论正确，故C 选项错误；

∠﹣2﹣（﹣3）＝1，（﹣3）﹣（﹣5）＝2，

∠点（﹣5，n ）到对称轴的距离比点（﹣2，m ）到对称轴的距离大， ∠m ＜n ，本选项结论错误，故D 选项正确．选D ． 12、【答案】A

【分析】本题考查一次函数、二次函数的图象及特殊角的三角函数值. 【解答】解：如图1，CH 是AB 边上的高，与AB 相交于点H .

∠∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8， ∠AC =AB ×cos 30°=8×

=3BC =AB ×sin 30°=8×12=4，∠CH =AC ×BC ÷AB =43

×4÷8=3AH =2AC ÷AB =2(43)86÷=；（1）当0≤t ≤23S =

1(tan 30)2t t ?=2

；（2）当236t ≤时，S =11

(tan 30)(23)[(23)tan 30]22

t t t t ?---?=23t - （3）当6＜t ≤8时，S =

[(23)tan 3023][6(23)][(8)tan 6023](6)22t t t t -?+?--+-?+?-=2

23(283)2633

t t -

++- 综上，(2

22362832023223236368.33t S t t t t t ≤≤-<≤-???

=??

?++-?

<≤，，，，

， ∠正方形DEFG 与∠ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是A 图象．选A ．

答案第5页，共14页

13、【答案】2x （x ﹣1）（x ﹣2）

【分析】本题考查提取公因式法以及十字相乘法分解因式．首先提取公因式2x ，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【解答】2x 3﹣6x 2+4x =2x （x 2﹣3x +2） =2x （x ﹣1）（x ﹣2）．故答案为2x （x ﹣1）（x ﹣2）． 14、【答案】0

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.

【解答】由根与系数的关系，得α+β=3，αβ=-4，∴原式=a （α+β）-3α=3α-3α=0． 15、【答案】﹣7

【分析】本题考查运用计算器计算．

【解答】根据题意，得(

3.5

4.537-?-，故答案为﹣7．

16、【答案】2或﹣1

【分析】本题考查解一元二次方程——直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．首先理解题意，进而可得min{（x ﹣1）2，x 2}＝1时分情况讨论，当x ＝0.5时，x ＞0.5时和x ＜0.5时，进而可得答案．【解答】∠min{（x ﹣1）2，x 2}＝1，

当x ＝0.5时，x 2＝（x ﹣1）2，不可能得出最小值为1， ∠当x ＞0.5时，（x ﹣1）2＜x 2，则（x ﹣1）2＝1， x ﹣1＝±1，

x ﹣1＝1，x ﹣1＝﹣1，

解得x 1＝2，x 2＝0（不合题意，舍去），当x ＜0.5时，（x ﹣1）2＞x 2，则x 2＝1，

解得x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝﹣1. 综上所述，x 的值为2或﹣1．故答案为2或﹣1． 17、【答案】

2017

2019

122π-

【分析】本题考查扇形面积的计算以及正方形的性质．正方形OA 1B 1C 1的边长为1，则

S 正方形OA 1B 1C 1＝1，OB 1

O 为圆心，OA 为半径作扇形OA 1C 1，得到S 1＝1﹣S 扇

形OA 1C 1＝1﹣

；以OB 2为对角线作正方形OA 2B 2C 2，又以O 为圆心，OA 2为半径作扇形OA 2C 2，得到S 2＝

﹣22OA C S 扇形＝1π

28-；依此类推得到11122n n n S -+π=-．进而可

将n ＝2018代入求解．【解答】S 2018＝

20181

2017

2019

π1π2

-+-

．故答案为

2017

2019

π2

．

18、【答案】5

x =

【分析】本题考查解分式方程，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：方程变形，得1x

x -﹣

()

121x -=3，方程两边同乘以2（x ﹣1），得2x ﹣1=6（x ﹣1），解得x =

. 经验：把x =5

代入2（x ﹣1）≠0， ∴原分式方程的解为x =5

．

19、【答案】BD =2．

【分析】本题考查相似三角形的

判定以及相似三角形的性质．根据∠ACD =∠ABC ，∠A 是公共角，得出△ACD ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质得出AB 的长，从而求出DB 的长．

【解答】∠∠ACD =∠ABC ，∠A =∠A ， ∠∠ABC ∠∠ACD ， ∠

AD AC

AC AB

=， ∠AC

，AD =1，

， ∠AB =3，

∠BD =AB ﹣AD =3﹣1=2．

20、【答案】（1）本次抽样测试的学生人数是400人；（2）扇形图中∠α的度数是108°；

补全条形图如图见解答；（3）P（恰好选中甲、乙两位同学）＝

．

【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图以及概率计算公式的综合运用．

（

1）根据B级的频数和百分比求出学生人数；

（2）求出A级的百分比，360°乘百分比即为∠α的度数，根据各组人数之和等于总数求得C级人数即可补全图形；

（3）根据列表法或树状图，运用概率计算公式即可得到恰好选中甲、乙两名同学的概率．

【解答】（1）160÷40%＝400.

答：本次抽样测试的学生人数是400人.

（2）120

400

×360°＝108°.

答：扇形图中∠α的度数是108°.

C等级人数为400﹣120﹣160﹣40＝80（人），补全条形图如图：

（3）画树状图如下：

或列表如下：

甲乙丙丁

甲——（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）

乙（甲，乙）——（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）——（丁，丙）

丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）——

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，

答案第7页，共14页

∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝

21 126

．

21、【答案】（1）见解答；（2）PB＝25 8

．

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质．

（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；

（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可．

【解答】（1）证明：∠圆心O在BC上，

∠BC是圆O的直径，

∠∠BAC＝90°，

如图，连接OD.

∠AD平分∠BAC，

∠∠BAC＝2∠DAC.

∠∠DOC＝2∠DAC，

∠∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD∠BC.

∠PD∠BC，

∠OD∠PD.

∠OD为圆O的半径，

∠PD是圆O的切线.

（2）∠PD∠BC，

∠∠P＝∠ABC，

∠∠ABC＝∠ADC，

∠∠P＝∠ADC，

∠∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∠∠PBD＝∠ACD，

∠∠PBD∠∠DCA；

∠∠ABC为直角三角形，

∠BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25，

∠BC＝5，

∠OD垂直平分BC，

∠DB＝DC，

∠BC为圆O的直径，

∠∠BDC＝90°，

在Rt∠DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25，

∠DC＝DB

＝

，∠∠PBD∠∠DCA，

∠PB BD DC AC

=，

则PB

＝25

48 DC BD

==．

22、【答案】（1）

=；（2）见解答．

【分析】本题是反比例函数综合题，考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，待定系数法，两点间的距离公式．

（1）先根据菱形的性质求出AD=AB=5，再根据三角函数求出OA，进而利用勾股定理求出OB，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出直线CD解析式，进而求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）先求出点M坐标，再用两点间的距离公式求出OM和CM，即可得出结论．【解答】：（1）∠四边形ABCD是菱形，

∠AD∠BC，AB=AD=BC=5，

在Rt∠AOB中，sin∠ABC=

55 OA OA

==，

∠OA=4，

根据勾股定理，得OB=3，

∠OC=BC-OB=2，

答案第9页，共14页

∠C（2，0），

∠AD=5，OA=4，∠D（5，4），

∠直线CD的解析式为y=4

，

∠点N的坐标是（3，n），

∠n=484

333?-=，

∠N（3，4

3），

∠点N在反比例函数y=k

（x＞0）图象上，

∠k=3×4

=4，

∠反比例函数的解析式为y=4 x .

（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4

，

∠点M在AD上，

∠M点的纵坐标为4，

∠点M的横坐标为1，

∠M（1，4），

∠C（2，0），

∠OM=CM=

∠OM=CM，

∠∠OMC是等腰三角形．

23、【答案】（1）“带线”L表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标

为

917

?? ???

，．

【分析】本题以新定义为背景，考查二次函数与几何的综合应用．

（1）由“路线l”的表达式为y=2x-4可得，“路线l”与y轴交于点（0，-4）；把x=-1代入y=2x-4可得y=-6，由此可得“带线L”的顶点坐标为（-1，-6），结合“带线L”过点（0，-4）即可求得“带线L”的解析式；

（2）由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（m-1）2-1可得“带线L”顶点坐标为（1，-1），与y轴交于点（0，m-1），把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得m、n的值；

（3）如图，由（2）可知，若设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B 作BC∠y轴于点C，连接P A并延长交x轴于点D，由∠P与“路线”l相切于点A可得PD∠l 于点A，由此证Rt∠AOD∠Rt∠BCA即可求得点D的坐标，结合点A的坐标即可求得

AD的解析式为y=

x+1，由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组，解方程组即

可求得点P的坐标．

【解答】（1）∠“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4，

∠y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，

∠“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．

设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，

∠“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4），

∠“带线”L也经过点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2，

∠“带线”L的表达式为y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4.

（2）∠直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），

∠抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，

∠抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1），

∠直线y=nx+1经过点（1，﹣1），解得n=﹣2.

（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC∠y轴于点C，

∠∠BCA=90°，

又∠点A坐标为（0，1），

∠AO=1，BC=1，AC=2．

∠“路线”l是经过点A、B的直线，

且∠P与“路线”l相切于点A，连接P A交x轴于点D，

∠P A∠AB，

∠∠DAB=∠AOD=90°，

答案第11页，共14页

∠∠ADO +∠DAO =90°，又∠∠DAO +∠BAC =90°， ∠∠ADO =∠BAC ， ∠Rt∠AOD ∠Rt∠BCA ， ∠OD =AC =2，

∠D 点坐标为（﹣2，0）， ∠经过点D 、A 的直线表达式为y =

x +1. ∠点P 为直线y =

x +1与抛物线L ：y =2x 2﹣4x +1的交点，解方程组2241112y x x y x ?=-+?

?=+??，得1101x y =??=?（即点A 舍去），2294178x y ?

=????=??， ∠点P 的

坐标为917 48??

???

，

． 24、【答案】（1）BD =MF ，BD ∠MF ．理由见解答；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（6﹣23）cm ．

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，平移的性质和旋转的性质．

（1）由题意得BD =MF ，△BAD ≌△MAF ，推出BD =MF ，∠ADB =∠AFM =30°，进而可得∠DNM 的大小．

（2）根据旋转的性质得出结论．

（3）求平移的距离是A 2A 的长度．在矩形PNA 2A 中，A 2A =PN ，只要求出PN 的长度就行．用∠DPN ∠∠DAB 得出

PN DP

AB DA

=，解得A 2A 的大小．【解答】（1）BD =MF ，BD ∠MF ．如图，延长FM 交BD 于点N .

由题意，得∠BAD ∠∠MAF ．

∠BD=MF，∠ADB=∠AFM．

又∠∠DMN=∠AMF，

∠∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，

∠∠DNM=90°，

∠BD∠MF.

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，

则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；

∠当AF=FK时，∠F AK=180

?-∠

=75°，

∠∠BAB1=90°﹣∠F AK=15°，即β=15°；

∠β的度数为60°或15°；

（3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x，∠在Rt∠A2M2F2中，F2M2=FM=8，

∠A2M2=4，A2F2

∠AF2

x．

∠∠P AF2=90°，∠PF2A=30°，

∠AP=AF2?tan 30°=4

，

∠PD=AD﹣AP

．

∠NP∠AB，

∠∠DNP=∠B．

∠∠D=∠D，

∠∠DPN∠∠DAB．

∠PN DP

AB DA

=．

x x+

∴=

解得x=6﹣

即A2A=6﹣

答：平移的距离是（6﹣

）cm．

答案第13页，共14页