”十字交叉法“的原理和应用
化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用
一. “十字交叉法”简介
“十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。
例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？
采用十字交叉法计算的格式如下：
设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式：
10%的溶液 10 30 — x
X
30%的溶液 30 x — 10
50g(10%
的溶液质量) 150(30%的溶液质量)
由此可得出x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。
以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。
针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。由于十字交叉法常用于：
①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算；
②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算；
③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。
因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。
二、“十字交叉法”的数学原理
若用A 、B 分别表示二元混合物两种组分的量，混合物总量为A+B （例如mol ）若用M 1、M 2分别表示两组分的特性数量（例如相对分子质量），x 表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有：
M 1×A ＋ M 2×B ＝ x ×（A + B ）将此数学表达式变形即可转化为下式：
A/B = （x - xb ）/ (xa - x ）此式又可由十字交叉法推导得出。
A 组分 xa x - M 2 A
即：
X = B 组分 xb M 1 - x B
两组份物质的量之比等于各自摩尔质量与平均摩尔质量之差的比
由此我们可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演变而来的，这就是“十字交叉法”的数学原理。即运用“十字交叉法”计算的习题必须具备的条件，是此习题能列出二元一次方程。也可以说只要能用二元一次方程解决的习题就能用“十字交叉法”计算。
由于我们在列二元一次方程时，要设两个未知数，因此转化为“十字交叉法”时，所涉及的最后差值的比的意义就与所设未知数的意义有x M M x B A --=12
了紧密的关系。也就是说用二元一次方程计算时，所设未知数的物理意义是什么，则最后差值的比就等于该物理量之比。因此在运用“十字交叉法”计算时，特别要注意避免不明化学涵义而滥用。否则会由于不明确差值之比的物理意义，而使计算结果错误。我们可以根据下面例题来体会明确差值之比物理意义的重要性。
例2、由CO 2和CO 组成的混合气体，经分析测知含氧的质量分数为70%，则该混合气体中CO 和CO 2的体积比为多少？
解法一：利用CO 和CO 2中氧的质量．．
分数列十字交叉式。(注意物理意义表述的质量．．
)
在CO 中氧的质量分数为4/7，CO 2中氧的质量分数为8/11，则
CO 4/7 8/11
– 7/10
7/10 =
CO 2 8/11 7/10 – 4/7
至此若即得出CO 和CO 2的体积比为7 ：33，则为错误结果，原因是不明了如此计算所得的比值的物理意义。而实际上由此得出的比值 7 33
是两种气体的质量之比，而非物质的量之比，也不是体积之比。这一点我们可以从下面二元一次方程的解法去理解。
解法二：设混合气体中CO 2质量为x ，CO 质量为y ，根据氧元素的质量固定可得出下列方程：
%70)(28164432y x y x +=+ 不难解得 x : y = 33 : 7
由此我们可以看出在解法一中所得的CO 和CO 2的比值7 ：33是两种气体的质量之比。再从两气体的质量比求物质的量之比就很容易了。
n(CO) /n(CO2) = V(CO)/V(CO 2) = m(CO)/28 : m(CO)/44 =7/28 : 33/44 = 1:3
那么能否用“十字交叉法”直接计算出两种气体的体积之比呢？要解决此问题，应该利用混合气体中氧元素的质量分数求出混合气体的平均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。
解法三：
设：混合气体的平均分子式为COx ，则：利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。
16x/(12+16x) = 7/10，解得：x = 7/4。即我们可以认为混合气体的平均分子式为CO7/4，然后依据“十字交叉法”原理可列出下面式子计算。
CO 1 8/4 – 7/4 1 V(CO)
7/4 = = ————
CO2 2 7/4 – 4/4 3 V(CO2)
求出平均分子式后，还可继续求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。
解法四：因为混合气体的平均分子式为CO7/4，故混合气体的平均分子量为12+16×7/4 = 40
CO 28 44 – 40 1 V(CO)
40 ———— = —— = ————
CO2 44 40 – 28 3 V(CO2)
利用这种方法求出的差值之比之所以能确定是两种气体的物质的量
之比，或者说能确定是两种气体的体积之比，我们可以利用下面方程来进行证明。
方法五：设：混合气体中CO2物质的量为x，CO物质的量为y，则: 利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。
32x +16y = (44x + 28y) ×7/10，解得x :y = 3 : 1
因此：混合气体中CO和CO2的体积之比为1 : 3。
为了将“十字交叉法”理解透彻，我们再看下列一些例题，认真体会“十字交叉法”解计算题的类型和原理。
例3 K35ClO3与K37Cl 在酸性溶液中反应生成Cl2，则该Cl2的相对分子质量为多少？
解：因为K35ClO3中Cl的化合价为+5价，K37Cl中Cl的化合价为-1价，所以生成Cl2时，K35ClO3与K37Cl的物质的量之比为1/5，即生成的Cl2分子中35Cl与37Cl的原子个数之比为1/5。设生成的Cl2的相对分子质量为M，
则6 ×M= (35 g/mol + 37 g/mol ×5)×2
M ＝73.33 g/mol
由：6 ×M= 35 g/mol ×2 + 37 g/mol ×2 ×5
可以推出5×M+M = 70 g/mol + 74 g/mol ×5
5×（74 g/mol - M ）= 1 ×（M - 70 g/mol ）
（74 g/mol - M ）/ （M - 70 g/mol ）= 1/5
因此对于此题我们可以直接利用右边的式子进行计算，即十字交叉法37Cl
74g/mol M - 70g/mol 5
2
M ———— = ——
35Cl
70g/mol 74g/mol - M 1
2
例4已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均原子量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为
[]
A．39∶61B．61∶39 C．1∶1D．39∶11
此题可列二元一次方程求解，但运用十字交叉法最快捷：
铱-191191 0.78 39
192.22 ———— = ——
铱-193193 1.22 61
解得这两种核素的原子个数比为39 ：61，正确答案是A。
例5一定量的乙醇在氧气不足的情况下燃烧，得到CO、CO2和水的总质量为27.6g，若其中水的质量为10.8g，则CO的质量是[]
A．1.4g B．2.2g C．4.4g D．在2.1g和4.4g 之间
此题考查有机物的不完全燃烧，可运用十字交叉法：
CO与CO2总质量：27.6 g - 10.8 g = 16.8 g，
生成水的物质的量为：10.8 g ÷18 g/mol = 0.6 mol，
则燃烧的乙醇为：0.6 mol ×1/3 = 0.2 mol。
因此生成CO、CO2的物质的量共0.2 mol ×2 = 0.4 mol
则CO和CO2混合气体的平均分子量为：16.8 g / 0.4 mol = 42 CO 28 44 – 42 1 n(CO)
42 ———— = —— = ————
CO244 42 – 28 7 n(CO2)
所以，n(CO) = 0.4 mol ×1/ 8 = 0.05 mol
m（CO）=28 g/mol ×0.05 mol = 1.4 g
正确答案是A
例6右图中横坐标表示完全燃烧时耗用
可燃气体X（X=A、B、C）的物质的量n
（X），纵坐标表示消耗O2的物质的量n
（O2），A、B是两种可燃性气体，C是A
和B的混合气体，则C中n（A）∶n（B）为（）A．2∶1B．1∶2 C．1∶1D．任意比仔细地观察图示，分析图象可以看出：
1 mol A完全燃烧消耗0.5 mol O2
1 mol B完全燃烧消耗
2 mol O2
1 mol C（C是A、B混合气）完全燃烧消耗1 mol O2可以利用1mol气体燃烧耗O2进行十字交叉计算：
A 0.5 1 2 n(A)
1 —— = —— = ———
B 2 0.5 1 n(B)
正确答案为A。
三、结论
“十字交叉法”是中学化学中很常见的一种计算方法，有很多类型的计算习题均可采用此方法进行求解，所有二元混合物中，求解各组分比例的习题就可以采用“十字交叉法”进行计算。关键是要明确得出的差值之比的物理意义。由于此方法是由二元一次方程转化而来，所以在列方程时所设未知数的物理意义就是此方法中所得差值之比的物理意义。
十字交叉法的原理及其在化学计算中的应用
陈积常
（琼州学院化学系,海南五指山572200 ）
摘要:十字交叉法是有关二组分混合物计算中一种常见的巧解方法,它可以简化解题过程、提高解题速度.介绍了十字交叉法的原理,并通过例证说明其应用.
关键词：十字交差法;原理;应用;化学计算
十字交叉法又称对角线法,也叫混合规则.作为一种简化的解题
方法,是实际计算方程式图解形式，应用于二元混合体系具有平均值的计算问题,它具有简化思路、简便运算、计算速度快等显著优点.近年来,十字交叉法在中学化学计算中广泛使用,通过十字交叉得到差值的比值的含义如何确定,如果没有真正理解十字交叉法含义,在使用该方法时将没有真正达到简化思路、快速准确求解的目的,从而限制了该方法的推广和应用.“十字交叉法”是通常中学化学计算必需掌握的一种计算方法,因为用此法解题实用性强、速度快.学生若能掌握此方法解题,将会起到事半功倍的效果.以下是笔者几年来对“十字交叉法”理解及体会.
1 十字交叉法的原理[4]:A×a%+B×b%=(A+B)×c%整理变形得:
A/B=(c-b)/(a-c )①
如果我们以100 g溶液所含的溶质为基准
上式表示溶液混合时它们的质量比与有关质量分数比的关系.
可得如下十字交叉形式
a c-b
c ②
b a-c
对比①,②两式不难看出:十字交叉关系中(c-b)/(a-c)为组分A和组分B混合时的质量比.推广到二组分混合体系中,当以一定质量的混合体系为基准所得十字交叉关系,其比值为质量比(例如,质量分数是以质量为基准);若有c-b比a-c的化学意义由平均值c决定,则比值就表示组分A中c-b和组分B中a-c所表示的量的比值.如c为质量或质量分数,则(c-b)/(a-c)表示组分A和组分B溶液的质量之比.若c为密度,则(c-b)/(a-c)就表示组分A和组分B的溶液体积之比.若c为摩尔质量,则(c-b)/(a-c)就表示组分A和组分B的物质的量比;此时可用十
字交叉法求混合物中各组分的含量.
指导老师:黎瑞珍
2 十字交叉法的应用例析：
2.1 用于混合物中质量比的计算
例1将铝铁合金18.5克溶于足量的盐酸中产生标准状况下的氢气
11.2升,求合金中铝铁的质量之比是多少？
解：在标准状况下，求出氢气的质量M=1g,以混合物总质量18.5g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关系列出十字交叉式如下：Al 37 / 18 19/56
1
Fe 37/56 19/18
求得铝与铁质量的比是9/28
例2镁和铝的混合物10g,与足量的稀硫酸充分反应,生成1.0g氢气,混合物中镁和铝的质量比为多少?
解：在标准状况下，以混合物总质量10g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关交叉式如下：
Mg 5/6 1/9
1
Al 10/9 1/6
求得镁与铝的质量比是2/3
例3KHCO3和CaCO3的混合物和等质量的NaHCO3分别与盐酸完全反应时,所消耗的酸的量相等,则混合物中KHCO3与CaCO3的质量比是多少?
解析:由化学反应方程式:KHCO3+HCl=KCl+H2O+CO2↑
CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑
以消耗HCl物质的量1mol作为基准物, 求出反应掉KHCO3、CaCO3、NaHCO3的质量的数值分别为100g、50g、84g，依题意KHCO3和CaCO3的混合物84g与NaHCO384g均消耗1molHCl，即两个分量值分别为100和50,平均值为84, 用十字交叉法图解如下:
KHCO3100 34
84
CaCO3 50 16
因为是以物质消耗HCl的物质的量1mol为基准物,所以比值34/16=17/8为碳酸氢钾与碳酸钙消耗HCl的物质的量之比,故原混合物中碳酸氢钾与碳酸钙的物质的量之比为17/4,即质量比也为17/4（因它们的相对分子质量相等）.
2.2 用于混合物中物质的量比的计算
例4在标准状况下，测得空气和HCl混合气体对氢气的相对密度为17，求空气和HCl气体的物质的量之比
解:混合气体的平均式量为17×2=34 ,以1 mol混合物为基准物则十字交叉法如下:
空气29 2.5
34
HCl 36.5 5
求出空气与HCl气体的物质的量比是1/2
例5某Na2SO3已部分氧化成Na2SO4,经测定该混合物中硫的质量分数为25%,求混合物中Na2SO3和Na2SO4的物质的量之比 (整数比)？解：由平均质量分数25%，列出十字交叉法如下：
Na2SO3中S % 25.397 % 2.465 %
25%
Na2SO4 中S % 22.535 % 0.397 %
求得Na2SO3与Na2SO4的物质的量比是6/1
2.3 用于混合物中体积比的计算
例6已知CH4, C2H4及其混合气体在同温同压下分别为0.71 g / L 、1.25 g / L 、1.16 g / L.求混合气体CH4和C2H4的体积比是多少？解：以1mol混合气体密度1.16 g / L作为基准物则十字交叉法如下：CH40.71 0.09
1.16
C2H4 1.25 0.45
求得CH4与C2H4的体积比是1/3
例7已经2H2(g)+O2(g)=2H2O(g);△H=-571.6千焦
C3H8 (g)+5 O2(g)=3CO2(g)+4H2O(1); △H=-2220千焦
求H2和C3H8的体积比.
解析:lmol C3H8完全燃烧放热为:571.6/2=285.8千焦
lmol C3H8完全燃烧放热为:2220千焦
lmol混合气体完全燃烧放热为:3847/5=769.4千焦
列出十字交叉法如下：
H2 285.5 1460.6
769.4
C3H8 2220 483.6
求得H2和C3H8的体积比为3/1
例8一种气态烷烃和一种气态烯烃，它们的分子式中所含碳原子数相同，若l体积这种混合烃在O2中充分燃烧，能生成2体积的和2.4体积的水蒸气，则混合中烷烃和烯烃的体积比是多少？
解:设混合烃分子式为CxHy、烷烃与烯烃的体积比为
CxHy + 3.2 O2= 2 CO2+ 2.4 H2O
1 3.
2 2 2.4
根据原子守衡定理得混合烃分子式为C2H4.8即氢的原子数是4.8.十字交叉法如下：
C2H6 6 0.8
4.8
C2H4 4 1.2
求得混合物中C2H6和C2H4的体积比是2/3
2.4 用于混合物中原子个数比的计算
例9已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素,而铱的相对分子质量为192.22,求这两种同位素原子个数比.
解：以1 mol铱的相对分子质量为192.22为基准则十字交叉法如下：191Ir 1910.78
199.2 191Ir / 193Ir = 0.78 / 1.22
193Ir 193 1.22
求得191Ir 与193Ir 物质的量比39/61 也是它们原子个数比.
2.5 用于混合物中质量分数和体积分数的计算
例10 把0.200gNaCl和KI混和物溶于水后加入过量AgN03溶液析出0.449 g，求原混和物中NaCl和KI的质量百分数.
解：分别计算产生沉淀物的质量,根据化学方程式得：
0.200 g NaCl生成0.490 g AgCl
0.200 g NaI生成0.283 g AgI
则十字交叉法如下：
NaCl 0.490 / 0.200 0.166
0.449/0.200 m( NaCl ) / m(KI)
=0.166/ 0.041
KI 0.283 / 0.200 0.041
求得NaCl 和 KI 的质量比是4/1，即他们的质量分数分别为80% ，20%
例11在标准状况下氢气和一氧化碳的混合气体7L，质量为2.25g，求H2和CO的体积分数？
解：设混合气体的摩尔质量为M
2.25 / M = 7 / 22.4 L / mol M=7.29
列出十字交叉法如下：
CO 28 5.2
7.2 V( CO ) / V( H2 )=5.2 / 20.8
H2 2 20.8
求得CO与H2体积比是1/4即它们体积分数分别是25% ,75%
例12 已知Fe2O3在高炉中发生反应Fe2O3+CO = 2FeO+CO2,反应形成的固体混合物Fe2O3、FeO中,元素铁和氧的质量之比用m(Fe)∶m(O)表示.若m(Fe)∶m(O)=21∶8,计算Fe2O3被CO还原的质量分数.
解析:此题用方程式法甚为烦琐,用十字交叉法则非常简单.即:若Fe2O3全部被还原,则m(Fe)∶m(O)=21∶6;若Fe2O3未被还原,则m(Fe)∶m(O)=21∶9.列出十字交叉法如下：
未被还原Fe2O39 / 21 2 / 21
8/21
被还原Fe2O3 6 / 21 1 / 21
则未被还原的氧化铁与被还原的氧化铁的物质的量之比为2∶1,所以被还原的氧化铁的质量分数为13×100%=33.3%.
例13将20%NaCl溶液与60%NaCl溶液按质量比1:3混合,计算NaCl 溶液的质量分数.
解：设20%NaCl溶液为mg,则60%NaCl溶液质量就为3mg,所得NaCl
溶液的质量为x%
列出十字交叉法如下：
m 20% x%-60%
x%
3m 60 % 20%-x%
则m / 3m = ( x % - 60% ) / ( 20% - x % )求出x=50既NaCl质量分数50%
通过上面的论述,我们可以看出,十字交叉法确实简单、方便、容易操作,但值得一提的是,在应用十字交叉法进行运算时,必须满足它的运算基础.十字交叉法应用于处理两组分(或相当于两组分)的混合物的组成计算十分方便.不断积累、总结、发掘新的解题方法，可促进知识的有效迁移、同化和深化对问题的理解，提高解题的效率与正确率.
十字交叉法解题两个易错点
十字交叉法解题 十字交叉法是化学计算中常用的一种速解巧解方法，适用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题。对于等量关系：ma+nb=(m+n)c 整理得：m n= c-b a-c 可写成图式： a c-b ↘↗ c ↗↘ b a-c 其中a、b为分量，c为平均量，一般只写其数值。因图式成十字交叉形，所以叫十字交叉法，多用于计算型的选择题或填空题。一般用起来比较简捷，但任何解题方法都有其局限性，十字交叉法也不例外，有时候不仅不能起简化作用，反而会造成失误。因此应具体问题具体分析，恰当采用。下面就十字交叉法解题最易出错的二元混合物反应的有关计算，通过例题加以分析。
1．十字交叉法比值的含义 例1：镁和铝的混合物10 g，与足量的稀硫酸充分反应，生成1.0 g氢气，混合物中镁和铝的质量比为 解析：用十字交叉法解题，关键是定好基准，找出分量和平均量。该题以失去电子的物质的量1mol作为基准，求出所对应金属的质量。失去单位物质的量电子的金属质量称作该金属的摩尔电子质量，则镁和铝的摩尔电子质量分别为12g/（mol e－）、9g/（mol e－）作为分量，1.0 gH2是H+得到1.0 mol电子所生成的，说明10 g镁和铝的混合物共失去1.0 mol电子，即镁、铝混合物的平均摩尔电子质量为10g/（mol e－），作为平均量，即两个分量值分别为12和9，平均值为10，用十字交叉法图解如下： Mg 12 1 ↘↗ 10 ↗↘ Al 9 2 那么比值1/2的含义是什么？是镁和铝的质量比、物质的量之比，还是镁和铝失去电子的物质的量之比，这就是用十字交叉法解题最易出错的地方。十字交叉法的解题要点是“斜向找差值，横向看结果”，指的是：十字交叉所得的两个差值与它横对的物质成正比例关系，两个差值比的含义取决于分量和平均量单位的分母，即该比值是产生分量的基准物的分配比，并且是基准物所对应的物理量之比，它与两个分量比值的乘积有一定的物理意义。本题所得比值1/2显然是镁和铝失去电子的物质的量之比，原混合物中镁和铝的质量比为：1×12∶2×9=2∶3。 如果本题由十字交叉法所得比值求镁和铝的物质的量之比，据镁和铝失去电子的物质的量之比为1/2，很容易求得：n（Mg）：n（Al） =1×1 2 ∶2× 1 3 =3∶4。
化学十字交叉法的原理和应用
化学十字交叉法的原理和应用 孟州一中 王俊强 化学计算是中学化学中的重要组成部分，运用恰当的数学方法和模型解决化学问题，可以培养学生的科学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时也可以加深学生对化学基本概念和基本原理的理解。“十字交叉法”的应用就是其中的典型。 一、十字交叉法的原理 对于一个具有平均意义的由组分A 、B 形成的二元混合体系，设a 、b （a ＞b ）为组分 A 、 B 单位物理量的分属性，c 为混合物的混合属性即平均值，a,b,c 表示的物理量是一致的(如摩尔质量、相对原子质量、质量分数、焓变、分子式等)，X 、Y 两组分单位物理量的数量因子。此时通常可以建立一个二元一次方程组： aX+bY=c X+Y=1 对上边的二元一次方程组进行变式得： X c-b Y a-c 为了方便同学们的记忆，将其变为固定模式： 单位物理量的组分A a c-b c 单位物理量的组分B b a-c 二、十字交叉法的应用 十字交叉法作为一种简单算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的有关计算。具体适用题型如下： （1）有关质量分数的计算（用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比） 例1 将50%的盐酸溶液与10%盐酸溶液混合成40%的盐酸溶液，求所取两种溶液的质量比。 解析： （2）有关物质的量浓度的计算（用混合钱的物质量的浓度与混合后的物质量的浓度做十字交叉，求体积比） 13 )%10() %50( HCl m HCl m 100g50% 盐酸 50 30 40 100g10% 盐酸 10 10 例2 现有浓度为 4mol ·L -1 和6mol ·L -1 的两种硫酸溶液，欲配制5 mol/L 的硫酸溶液（混合时体积变化忽略不计）则取两种硫酸溶液的体积比是多少？
行测：十字交叉法的应用
行测备考：十字交叉法的应用 在加权平均数的相关题型中，由于数量关系复杂，列方程做比较困难，十字交叉法能轻松解决这一问题。十字交叉法经常运用于浓度、比重、人口、平均分等问题的求解，同时也可以运用于某些较为复杂的问题中。在数学运算及资料分析中经常用到，达到行测考场上的“秒杀”。 下面我们首先学习下十字交叉法的原理。 十字交叉法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，右侧对角线上，大数减小数。 下面我们通过例题来看一下十字交叉法在浓度问题中的应用。 【例1】有100克溶液，第一次加入20克水，溶液的浓度变成50%;第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液，则溶液的浓度变为( ) A. 45% B. 47% C. 48% D. 46% 【解析】本题相当于是120克50%的溶液与80克40%的溶液混合，我们利用“十字交叉法”，把选项代入到其中，很明显只有D选项46%得出的比例等于120:80=3:2. 【例2】红酒桶中有浓度为68%的酒，绿酒桶中有浓度为48%的酒，若每个酒桶中取若干混合后，酒浓度为52%;若每个酒桶中取酒的数量比原来都多12 升，混合后的酒浓度为53.2%。第一次混合时，红酒桶中取的酒是( )。
A.17.8 升 B.19.2 升 C.22.4 升 D.36.3 升 【解析】运用“十字交叉法”，易知第一次混合前的质量比为1:4， 所以假设第一次分别取x，4x升，再用十字交叉得到第二次混合前的质量比为13:37，所以(x+12):(4x+12)=13:37，得到x=19.2，选择B。 【例3】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%?(假设烧杯中盐水不会溢出)( ) A.6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：运用“十字交叉法”，易知 所以至少要加60克，每次最多14克，至少5次。 以上就是我们的十字交叉法在溶液问题中的运用，做题中遇到类似这样的题目，解答起来就比直接列方程要省时省力一些。
十字交叉法解析
十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话 那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方 1.因式分解 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。 （*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法： 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。 解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。 例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式 解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+ (x15) =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6]
”十字交叉法“的原理和应用要点
化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用 一. “十字交叉法”简介 “十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。 例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？ 采用十字交叉法计算的格式如下： 设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式： 10%的溶液 10 30 — x X 30%的溶液 30 x — 10 50g(10% 的溶液质量) 150(30%的溶液质量)
由此可得出x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。 以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。 针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。由于十字交叉法常用于： ①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算； ②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算； ③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。 因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。
(新)高中化学十字交叉法运用
?? ?=+=+平 a x a x a x x 2211211高中化学十字交叉法 一. 本周教学内容： 十字交叉法运用——1 二. 教学要求： 1. 能够理解十字交叉法的原理，此法的适用范围。 2. 较为熟练的使用十字交叉法。 三. 知识分析： 凡能列出一个二元一次方程组来求解的命题，即二组分的平均值，均可用十字交叉法。此法把乘除运算转化为加减运算，给计算带来很大的方便，应用时一定要注意交叉量的含义。尤其要注意在知道质量平均值求体积或物质的量的比时，用此法并不简单。高考常以选择题的形式出现，有时也应用于综合计算之中，适用范围列表如下： 【典型例题】 1. 有关分子量、平均分子量计算中的应用。 [例1] 在容积为1L 的干燥烧瓶中用向下排空气法充入 3NH 后， 测得烧瓶中的气体对2H 的相对
密度为7.9，若将此气体进行喷泉实验，当喷泉停止后进入烧瓶中溶液的体积为L 54，溶质的 物质的量浓度为 。 解析：4.197.92=?=M 17 6.9 4.19 14? 29 4.2 故烧瓶为含3NH 为： L L 544141=+? 氢气不溶于水，当喷泉停止后，烧瓶内溶液应为L 54 L mol L mol L L C /045.0544.22/54 1 =?=- 2. 有关同位素原子量及平均原子量的应用。 [例2] 晶体硼由B 10 5 和B 115两种同位素构成，已知g 4.5晶体硼与2H 反应全部转化为硼烷 )(42H B 气体，可得标况下426.5H B L ，则晶体硼中B 10 5和B 11 5两种同位素原子个数比为（ ） A. 1:1 B. 3:1 C. 4:1 D. 2:1 解析： mol mol L L H B n 25.04.226.5)(142=?= - 由42222H B H B =+知： mol H B n B n 5.0)(2)(42== B 的摩尔质量 mol g mol g /8.105.04.5== 即硼的相对原子质量为8.10 B 11 5 11 8.0
化学十字交叉法计算解题
十字交叉法： 一、适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。 例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（ ） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=32128328 3?+??×100 ％=72.4% 答案：C 。 （解毕） 二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据： 对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。 如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 C 2H 4 28 O 2 32 29 3 1
2.十字交叉法的常见形式： 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为： 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。 关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽可能的将待求量设计为上述化学量2（分数中的分母） ，至于化学量1则依题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，这样上述第1论点中的a 、b 、c 应该是分别这样的一些化学平均量（如下图）： 而这些化学平均量a 、b 、c 交叉相减后所得差值之比，则是组分1和组分2的化学平均量的量纲中化学 量2 [如a 、b 、c 为摩尔质量 （g/mol ）时，便是物质的量 mol]的比值。 例2：把CaCO 3和MgCO 3组成的混合物充分加热到质量不再减少时，称得残留物的质量是原混合物质量的一半。则残留物中钙和镁两元素原子的物质的量之比是 A.1:4 B.1:3 C.1:1 D.1:2 解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用
十字交叉法原理
“十字交叉法”与“杠杆原理” (162650)内蒙古扎兰屯林业学校孙涛 摘要：化学计算是中学化学重要的一环，只有掌握正确的解决方法，才能得心应手，“十字交叉法”就是一种十分 有效、快捷的计算方法。 关键词：化学计算、十字交叉法 随着中学化学新教改，化学计算很多都可有“十字交叉法”简洁、迅速而准确地求解。理解“十字交叉法”的理论实质，不妨联想一下力学中的“杠杆原理”。 设有两个力f1与f2分别作用在杠杆的a、b两个端点，杠杆支点为c，将杠杆看作有向线段，各点坐标a＞b＞c. 如图所示 b .c a------ 其平衡条件可表述为：“作用在杠杆两端的两力矩相等，则杠杆平衡即f1(a-c) = f2(c-b) 或表述为：”若作用在杠杆两端的两个力与其力臂长成反比，则杠杆平衡。 亦即f1/f2 = (c-b)/(a-c) 导出“十字交叉法”为 a c-b c b a-c 由此可知，化学计算中的问题若能和“杠杆原理”联系起来，找出两个“力”，两个“力臂”：或找出杠杆上的一个“支点”，两个“端点”以及作用在“端点”的两个“力”，就可求解。 下面谨举几例说明： 1、关于相对原子质量（同位素相对原子质量）的计算 例：氯元素有两种同位素35Cl和37Cl。已知氯元素的原子量为35.5，则35Cl的天然丰度。 分析：本题中氯的两种同位素的原子量可看作杠杆两端的两 第 1 页,共5页
第 2 页,共 5页 个“力”，各自的天然丰度为其“力臂”，而相对原子质量35.5为其“支点”。 35 1.5 35.5 =1 3 36 0.5 可知35Cl 与37Cl 的物质的量之比(即天然丰度之比)为3:1. 所以35Cl 的天然丰度为3 11+×100% =75% 2、 相对分子质量的计算 例2，在标准状况下，11.2LCO 和CO 2混合气体质量为20.4g, 求混合气体中CO 和CO 2的体积比？ 分析：混合气体CO 和CO 2的相对质量作两个“力”，各自的体积看作“力臂”，而混合气体的平均相对分子质量作为“支点”。 解：混合气体的平均相对分子质量为 混M =n m = 2 .114.20×22.4=40.8 CO: 28 3.2 40.8 =4 1 CO 2: 44 12.8 即4 12=CO CO V V 3、 关于体积分数的计算 例：在标准状况下，CH 4、CO 和C 2H 2混合气8.96L,完全燃烧生成26.4gCO 2, 则混合气中乙炔体积分数是多少? 解:①求混合气平均1mol 含C 原子数n 混合气=mol 4.04 .2296.8= 共生成CO 2=mol 6.044 4.26= 所以n 5.14 .06.0==
十字交叉法
某机关共有干部职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少？（） A.51% B.43% C.40% D.34% 裁人后比例为50%— 55以下 280（4）50%-X 55以上70 （1）50%+20% 十字交叉 4 对应20% 1对应X 即5% 裁人后比例为50%—所以选43% 不是十字相乘应该为十字交叉法不过我研究的时候给他起的名字叫权重法自己起的名字，感觉这个更恰当 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C
X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，
十字交叉法运用原理
一、十字交叉法的原理 （这个有的前辈和大侠有比较详细的讲解，简单易懂，在这里就直接用前辈写的东西来说明了，但是为了符合我的一些习惯，还是做了一定的修改） 首先通过例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。 月月讲解：这个就是咱常用的特殊值法吧，不过思路稍微特殊一点。 方法二：假设男生有X,女生有Y。有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。 月月讲解：这个就是常用的列方程法 方法二：假设男生有X,女生有Y。 男生：X 75 85-80=5
80 女生：Y 85 80-75=5 男生：女生=X：Y=1：1。 月月讲解：这一步前辈说的不是很清楚，补充修正了一下，其实说白了，十字交叉的左侧是各部分的量，右侧是混合后的量。 总结一下， 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。
月月讲解：这个是大侠的，不过我个人觉得，十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。 有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？ 假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有： X*x+Y*y=（X+Y）*r 整理有X（x-r）=Y（r-y）； 所以有X：Y=（r-y）：（x-r） 上面的计算过程就抽象为： X x r-y r Y y x-r 这样就看着清楚多了吧，知道是哪个比哪个等于什么值了。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 月月讲解：这个尤其需要注意，因为在资料分析中运用的时候，好多时候都会忘记得到的值是基期的，而感觉到十字交叉法应用错误，不过十字交叉法在资料分析中的用法，我们会在下面有更加详细的讲解。
国考行测：十字交叉法在各种题型中的应用
国考行测：十字交叉法在各种题型中的应用 “十字交叉”法做为数学运算中常用的一种解题思想，老师会在基础班型中向学生重点讲述。一般情况下，我们是在“溶液问题”中引入“十字交叉法”，我们简单把“十字交叉”法的原理重述一遍。 例：重量分别为A和B的溶液，浓度分别为a和b，混合后的浓度为r。 例：A个男生的平均分为a，B个女生的平均分为b，总体平均分为r。 上述两个例子，我们均可以用如下的关系表示：(此处假设a>b) 上述“十字交叉”法的操作过程很简单，但是碰到类似的题目，学生很难把握A到底放哪个量，因此就很难将复杂的计算转化成简单的“十字交叉”法来操作。如果学生能理解“十字交叉”法到底适合哪类题型，并且记住接下来讲的做题套路，就可以从“战略”层次提升“十字交叉”法的应用。 【例题1】(山西路警2010-12)现有含盐20%的盐水500g，要把它变成含盐15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？ A.200 B.250 C.350 D.500 【答案】B 【华图公务员[微博]考试研究中心解析】这是一道非常典型的溶液问题，溶液由两部分混合而成，我们可以用“十字交叉”法来操作，如下：
此题在溶液问题中是一道非常基础的题。其特点是：难度较低，考察溶液混合过程中各个量的变化，在国考中类似难度的题不太会出现，但确是我们掌握“十字交叉”法的典型例题。 【例题2】(河北选调生-2009-47)一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？ A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【华图公务员考试研究中心解析】本题是典型的一个整体由两个部分组成。 根据倍数特性，晴天的天数能被5整除。选C。 此题符合“十字交叉”法的特征，考生抓住A与a分母的关系，很容易将题目求出来。本解难度不大，在国考中出现类似题型的可能性还是很大的。类似的题目是考生得分的题。 【例题3】某地区按以下规定收取燃气费：如果用气量不超过60，按每立方米0.8元收费，如超过60，则超过部分按每立方米1.2元收费。某用户8月份交费平均每立方米0.88元，则8月份燃气费为多少？ A.66元 B.56元 C.48元 D.61.6元 【答案】A
高中化学十字交叉法的应用
十字交叉法在化学计算中的应用 化学计算是高考每年必考的题目，而计算中的巧解巧算又是高考命题的热点，特别是在选择、填空题中体现尤为突出。那么如何来对付这类题型呢？这就要求我们教师在平时的教学中，经常给学生介绍一下这方面的知识；今天咱们就来讨论“十字交叉法”在化学计算中的应用，十字交叉法这个名词大家很熟悉，在许多的资料中也都有论述，但学生在实际应用中还存在许多问题，按十字交叉法求出的结果往往有出入。那么这是怎么回事呢？如何来解决这个问题呢？下面就我在教学中的做法和大家共同商讨一下。 一、 十字交叉法公式（大家很熟悉） 二、 十字交叉法适用范围 凡是能用二元一次方程组求解的题，均可用十字交叉法。 三、 防止滥用 防止滥用是十字交叉法教学的重点和难点，如何突破这个难点呢？我在教学 中是先给学生写出两句话： 1、用十字交叉法求出的比值该是什么比就是什么比，不是想是什么比就是上什么比。换句话说不是题中求什么比就是什么比。 2、每几份（始终不变的物理量）是多少（不断变化的物理量），用十字交叉法求出的比值是不变的物理量之比。 然后通过实例加以分析理解： 例1：若Na 2CO 3和NaHCO 3的混合物的平均摩尔质量为：M =100g ·mol -1 则用十字交叉法求出的比值该是什么比呢？ 如果我们把摩尔质量拆开来理解的话，就是：其中的物质的量是始终不变的，即都是1 mol ，而质量是在不断变化者，分别是106 g 、84 g 和100 g ，所以按十字交叉法公式求出的比值应该是始终不变的物质的量之比，当然可以是以物质的量成正比例的物理量之比，如相同条件下气体的体积之比等。 练习1：已知空气的相对分子质量为28.8，则空气中N 2和O 2质量比为 ， 体积比为 ，物质的量之比为 （忽略空气中的其他气体）。 X 2 X 1—X X X 1 X —X 2 （ ） 注：推断号，不是等号 摩尔质量 ：106 g ·mol -1 84 g ·mol -1 100 g ·mol -1 物质的量： 1 mol 1 mol 1 mol (始终不变) 质量： 106 g 84 g 100 g (不断变化) { 物质 Na 2CO 3 NaHCO 3 混合物 [ 分析 （分析上述数量及其单位） 2 1 X X → X X X X --12 我常写成
十字交叉法快速解数学运算题讲课教案
2011国考冲刺：十字交叉法快速解数学运算题 一、十字交叉法简介 当数学运算题最终可以通过下式解出解出，我们就称这类问题为"加权平均问题"。 二、适用题型 十字交叉法最初在浓度问题上应用广泛，但在实际计算过程中，十字交叉法并没有将浓度问题有所简化，而是在以下几种题型中有更广泛的应用，解题速度也有明显提高。 1.数量分别为A与B的人口，分别增长a与b，总体增长率为r。 2.A个男生平均分为a，B个女生平均分为b，总体平均分为r。 3.农作物种植问题，A亩新品种的产量为a，B亩原来品种的产量为b，平均产量为r。 当然还有其他类似的问题，这类问题本质上都是两个不同浓度的东西混合后形成了一个平均浓度，这类问题都可以运用十字交叉法快速解题。 三、真题解析 【例1】某市现有70万人，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口（） A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万
【例2】某班男生比女生人数多80％，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20％，则此班女生的平均分是（）。A.84分 B.85分 C.86分 D.87分 所以女生平均分为70×1.2=84，答案为A。 加权平均这种方法要经过一定的练习才能熟练掌握，因此华图教育希望大家利用最后的时间加紧练习，迅速提高自己的解题速度，在考场中发挥出最好的水平，祝所有考生马到成功。 【例1】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？ A.30％ B.32％ C.40％ D.45％ 【解析】这道题是典型的浓度混合问题，大部分考生在30秒的时间都可以解决。方法就是利用浓度公式求解：设混合后的浓度为x%，根据题意（不管怎么混合，溶质总量不变）则有100*70%+400*20%=(100+400)*x%解得x=30。然而在这里引用这道题，笔者是想想引出关于比例混合问题的一种解题方法——十字交叉法。大家先仔细看看下面的解题板书过程：
高中化学解题方法之十字交叉法专题教案
高中化学解题方法之十字交叉法专题教案 在化学中凡可按a1x1+a2x2=ā(x1+x2或(a1-ā/(ā-a2=x2/x1计算的问题,都可以应用“十字交叉法”计算。“十字交叉法”是化学计算中广泛使用的解题方法之一,它具有形象,直观的特点。如何计算呢?首先应先写出混合两组分对应的量a1、a2和交叉点的平均值ā,然后按斜线作差取绝对值即得出相应物质的配比关系,其“十字交叉法”为: 组分1:a1ā-a2 x1 x1为组分分数 ā-―=- 组分2:a2 a1-āx2 x2为组分分数 “十字交叉法”适用的范围是:凡是具有均一性、加和性的混合物,都可运用这种方法进行计算,但须注意,计算所得比值是质量比还是物质的量比,下面介绍几种常见“十字交叉法”的计算: 一、相对原子质量“十字交叉法” 元素的相对原子质量是元素的各天然同位素相对原子质量和所占的含量算出来的平均值,当仅有两种天然同位素时有等式:A1W1+A2W2=?W,用十字交*法易于求解两种同位素的原子个数比,这种方法叫做相对原子质量“十字交叉法”. 例1:已知氯在自然界中有两种稳定的同位素35Cl和37Cl,其相对原子质量为35、37,求自然界中35Cl所占的原子百分数( A、31.5% B、77.5% C、22.5% D、69.5% 解析:若设自然界中35Cl所占的百分数为x1,37Cl占x2,则有35x1+37x2=35.45(x1+x2所以可以用“十字交叉法”: Cl35:35 1.55 x1 35.45-=- Cl37:37 0.45 x2 所以w(35Cl=1.55/(1.55+0.45×100%=77.5%
二、相对分子质量“十字交叉法” 两种气体混合时,质量守恒。即n1M1+n2M2=(n1+n2M,M为混合气体的平均相对分子质量,所以可用“十字交*法”求解混合气体的体积比或物质的量比,这种方法叫做相对分子质量“十字交叉法”. 例2:某混合气体由CO2、H2组成,知其密度为O2的0.5倍,则混合气体中CO2与H2的体积比( A、2:1 B、2:3 C、1:2 D、3:2 解析:体积比即为物质的量之比,设CO2的物质的量为n1,H2的物质的量为n2,则有44n1+2 n2=32×0.5(n1+n2,可用“十字交叉法” CO2:44 14 n1 16-=- H2:2 28 n2 可求得n1:n2=1:2,所以答案C正确。 三、质量分数“十字交叉法” 混合物中某元素原子或原子团质量守恒,且具有加和性,所以可用“十字交叉法”求混合物中某元素或某物质的质量分数。 例3:含氯54.2%的氯化钠和氯化钾的混合物,其中含NaCl的质量分数是( A、50% B、35% C、75% D、60% 解析:设氯化钠质量是m1、氯化钾质量是m2,依据氯元素守恒,则有60.7%m1+47.7%m2=5 4.2%(m1+m2,所以可用“十字交叉法”求解 NaCl:60.7 6.5 1 m 1 54.2-–=- KCl:47.7 6.5 1 m2 所以w(NaCl=6.5/(6.5+6.5×100%=50%
浓度问题十字交叉法
浓度问题 一个好玩的故事——熊喝豆浆 黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了狐狸开的豆浆店。 只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的豆浆每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚，一起来喝豆浆。黑熊从狐狸手中接过一杯豆浆，给最小的弟弟喝掉 6 1，加 满水后给老三喝掉了 3 1，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。 狐狸开始收钱了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3× 6 1＝0.05(元)；老三0.3 × 3 1＝0.1(元)； 老二与黑熊付的一样多，0.3× 2 1＝0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。 兄弟们很惊讶，不是说，一杯豆浆0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是黑熊再敲诈我们。 不服气的黑熊嚷起来：“多收我们坚决不干。” “不给，休想离开。” 现在，说说为什么会这样呢？ 专题简析： 溶质：在溶剂中的物质。 溶剂：溶解溶质的液体或气体。 溶液：包含溶质溶剂的混合物。 在小升初应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即， 浓度＝溶质质量 溶液质量 ×100％＝ 溶质质量 溶质质量+溶剂质量 ×100％ 相关演化公式 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。 浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。 例题1有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？ 【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 解:原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量：620－600＝20（克） 答：需要加入20克糖。 练习1 1、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？ 2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？ 3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。
十字交叉法在平均数问题中的应用
十字交叉法在平均数问题中的应用 上一节内容我们学习了“十字交叉法”如何解决溶液混合的问题，本节内容我们学习下“十字交叉法”在平均数的相关题型中的运用。由于平均数的相关题型数量关系复杂，列方程做比较繁杂，十字交叉法能轻松解决这一问题。 下面我们通过例题来看一下十字交叉法在平均数相关题型中的应用。 【例1】某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少?( ) A.12 B.24 C.30 D.42 【解析】本题相当于是优秀职工的平均分与其他职工的平均分混合，我们利用“十字交叉法”，易知 所以优秀员工共有30人，选择C. 【例2】某工厂共有160名员工，该厂在7月的平均出勤率是85%，其中女员工的出勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人?( ) A.40 B.50 C.70 D.120 【解析】运用“十字交叉法”，易知 所以男员工共有40人，选择A。
【例3】某单位共有ABC三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁?( ) A34 B36 C35 D37 解析：运用“十字交叉法”，易知 所以ABC三个部门的人数比为3:4:5，假设ABC三个部门的人数分别为3、4、5人，总平均=(3×38+4×24+5×42)÷(3+4+5)=35岁，选C。 以上就是我们的十字交叉法在平均数相关题型中的应用，做题中遇到类似这样的题目，解答起来就比直接列方程要省时省力一些。
十字交叉法的用途及局限
十字交叉法的用途及局限 十字交叉法是许多老师和学生熟悉和喜爱使用的一种方法。为什么这么好一种方法，在高考的阅卷中却不予给分？因此，本文不着重讨论十字交叉法的具体应用，而主要谈谈十字交叉法的来历，应用的范围和局限，让我们认识十字交叉法到底是什么？ 我在研究三角正弦法时，使我对十字交叉法有了很深该的认识。如果你看了我的《三角正弦法解化学题》这篇文章后，你也许也会明白这个道理。因为三角正弦法和十字交叉法是十分相似的，但又存在不同。因此，本文将从比较的角度来讨论相关的问题。 一、十字交叉法的来历 十字交叉法与三角正弦法有着共同的祖先。它们都是由下面的二元一次方程组(求和公式)推导的变式公式得出来的。 求和公式：A ＝A 1×ω1＋A 2×ω2 (ω1＋ω2＝1)。 在高低求中类计算中，将A 2理解为两个纯量中的高量，ω2为高量所占的丰度(即物质的量百分含量或气体的体积百分含量)；把A 1理解为低量， ω1为低量所占的丰度；且A 2＞A 1； A 为高量及低量组成的混合物的中量。 求和公式有以下五个变式： ① A ＝A 1＋(A 2－A 1)×ω2 ② A ＝A 2－(A 2－A 1)×ω1 ③ ω1＝122A -A A -A ④ ω2＝121A -A A -A ⑤ 21ωω＝1 2A -A A -A 以上变式是化学技巧计算的公式，尤以③、④、⑤用途最大。但由于记忆较难，故改用下列三角正弦图示法，使之变得更为明白、易记和易算。其推导过程如下： 若两个纯量(高量和低量)为一直角三角形的锐角顶点，由它们组成的中量为该直角三角形的直角顶点，三角形的边长为边上两顶点数据之差，那么，可得如下关系： Sin A 1＝a a 1＝1 22A -A A -A ＝ω1 Sin A 2＝a a 2＝121A -A A -A ＝ω2 21SinA SinA ＝2 1a a ＝12A -A A -A ＝21ωω 由此可得出三角正弦法则： 高量的丰度就是高量的正弦，低量的丰度就是低量的正弦；高量与低量的比值就是它们所对应的边之比。 若把中量放在十字的中心，高量和低量放在左边的线头 上，而把它们的丰度放在右边的线头上，则得到十字交叉法 的图示方法。这种图示与求和公式变式⑤吻合，可理解为求 和公式变式⑤的图示法。 由上推导可知，三角正弦法是求和公式变式④和⑤的图示法。因而它将有两个用途：求比值和丰度。而十字交叉法的用途是求比值，若要求丰度则需另外进行计算。 由此分析还可看出，凡是采用上述求和公式计算的数学和化学计算问题，皆可用十字交叉法和三角正弦法加以快速计算。十字交叉图示法和三角正弦图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)。 二、十字交叉法的应用范围和局限 既然十字交叉图示法和三角正弦图示法的实质一样，只不过一个是伸出去，另一个是缩回来。那末，它们的应用范围和局限都应该一样。它们都可以用来解决以下的有关高低求中的问题。
公务员考试数学运算秒杀技：十字交叉法
公务员考试数学运算秒杀技：十字交叉法 十字交叉法是数学运算及资料分析中经常用到的一种解题方法，熟练运用可以大大提高各位考生在考场上的解题速度。在平时的复习过程中应作为一个专题加以强化练习，以期达到行测考场上的“秒杀”。 十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r，则由溶质质量不变可列出下式Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下形式： 注意在交叉相减时始终是大的值减去小的值，以避免发生错误。 十字交叉法不仅仅可用于溶液混合问题，也可以应用于两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等问题。只要能符合Aa+Bb=(A+B)r 这个式子的问题均可应用十字交叉法，交叉相减后的比值为对应原式中的A和B的比值。 例1 甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。问乙容器中盐水的浓度是多少? A.9.6% B.9.8% C.9.9% D.10% 【解析】A。 【例2】某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口( )。 A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万 【解析】A。
【例3】(2011国考-76)某单位共有A.B.C.三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁，24岁，42岁，A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁，该单位全体人员的平均年龄为多少岁? A.34 B.36 C.35 D.37 【解析】C。 除了在数学运算中可以用到十字交叉法，在一些资料分析的题目中也可以运用十字交叉法，例如： 【例4】(2011年917联考)2010年1~6月，全国电信业务收入总量累计完成14860.7亿元，比上年同期增长21.4%;电信主营业务收入累计完成4345.5亿元，比上年同期增长5.9%。其中，移动通信收入累计完成2979亿元，比上年同期增长11.2%，比重提升到68.55%，增加了3.24%，固定通信收入累计完成1366.5亿元，比重下降到31.45%. 119. 2010年1~6月，我国固定通信收入比上年同期减少约： A.3% B.11% C.4% D.31% 【解析】C。电信主营业务由移动通信和固定通信两部分组成，2009年1~6月移动通信的收入乘以其增长率加上2009年1~6月固定通信的收入乘以其增长率等于总的电信主营业务收入的增长量，符合Aa+Bb=(A+B)r，故可以运用十字交叉法。2009年1~6月移动通信收入的比重为68.55%-3.24%=65.31%，固定通信收入的比重为31.45%+3.24%=34.69%。