单位得到的；如将函数a a
x b
y ++=
的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：C )
③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1
得到的。如（1）
将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3
（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平
移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则
函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：12
x =-
)． ④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的．
19．函数的对称性。
①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2
a b
x +=
对称。如已知二次函数)0()(2
≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：21
2x x -+)； ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=； ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线
y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =；点(,)x
y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。如己知函
数33
(),()232
x f x x x -=
≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___________（答：2
21
x y x +=-+）；
若f (a －x )＝f (b +x ),则f (x )图像关于直线x =2
b
a +对称；两函数y =f (a +x )与y =f (
b －x )图像关于直线x =
2
a
b -对称。 提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数)(1)(R a x
a a
x x f ∈--+=
。求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。
⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。如若函数x
x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（－2，3）对称，则)(x g ＝______（答：2
76x x ---）
⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c
-。如已知函数图象C '与
2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______
（答：2）
⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）
20．求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ …………()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2
()f x x = …………()()()f xy f x f y =，()
()()
x
f x f y
f y =
； ③指数函数型：()x
f x a = …………()()()f x y f x f y +=，()()()
f x f x y f y -=；
④对数函数型：()log a f x x = …………()()()f xy f x f y =+，()()()x
f f x f y y
=-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ………… ()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-。
如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-
)2
(T
f __（答：0） 21．反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数．定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f (x )定义域为A ,值域为B ,
则f [f －1(x )]=x (x ∈B ),f －1
[f (x )]=x (x ∈A )．⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。 如：已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 22．题型方法总结
Ⅰ．判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ．求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；
顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f (0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2
1()212
f x x x =
++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如（1）已知
,sin )co s 1(2x x f =-求()
2x f 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈）
；（2）若221
)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的
奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：
(1x ）
． 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。 （3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如（1）
已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2
()33
f x x =--）；（2）已知()f x 是奇函数，)
(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11
-x ,则()f x = （答：21x x -）。
Ⅲ．求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?；偶次根式被开方数?；对数真数?，底数?；零指数幂的底
数?)；实际问题有意义；若f (x )定义域为[a ,b ],复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ,b ],则f (x )定义域相当于x ∈[a ,b ]时g (x )的值域；
如：若函数)(x f y =的定义域为???
???2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为__________（答：
{}
42|≤≤x x ）
；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
Ⅳ．求值域：
①配方法：如：求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：313
x x
y =+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x
的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）2
2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8
-）；（2）21y x =+
的值域为_____（答：[)3,+∞）t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
④三角有界法：转化为只含正弦．余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：2sin 11cos y θθ-=
+的值域（答：3
(,]2
-∞）；
⑤不等式法――
利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。如设12,,,x a a y 成等差数
列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值范围是____________．（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求1
(19)y x x x
=-<<，
229sin 1sin y x x =++
，()3
log 5y x =--的值域为______（答：80(0,)9．11[,9]2
．[)0,+∞）； ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点(,)P x y 在圆
221x y +=上，求
2y x +及2y x -的取值范围（答
：[33
-
．[）；（2）求函
数y =的值域（答：[10,)+∞）；
⑧判别式法：如（1）求21x y x =
+的值域（答：11,22??
-????
）；（2）
求函数y =的值域（答：1[0,]2）如求21
1x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）
⑨导数法；分离参数法；―如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48） 用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x y x x +=∈--②（)0,(,3
2-∞∈+-=x x
x x y ；③)0,(,1
3
2-∞∈-+-=
x x x x y V ．解应用题:审题(理顺数量关系)．建模．求模．验证．
VI ．恒成立问题:分离参数法；最值法；化为一次或二次方程根的分布问题．a ≥f (x )恒成立?a ≥[f (x )]max ,；a ≤f (x )恒成立?a ≤[f (x )]min ； ⑦任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝()()g x h x ＋ 其中g （x ）＝f x f x 2（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2
（）－（－）是奇函数
VII ．利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f ．令y x =或y x =-等）．递推法．反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=
()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所
示，那么不等式()cos 0f x x <
的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22
ππ-- ）；（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x
f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1()12f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式
2()(5)f x f x ≥-+-．（答：(][)0,14,5 ）．
23．导数几何物理意义：k =f /(x 0)表示曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处切线的斜率。
V ＝s /(t )表示t 时刻即时速度,a =v′(t )表示t 时刻加速度。如一物体的运动方程是2
1s t t =-+，其中s
的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 24．基本公式:m m-10(C );(x )mx (m Q)C ''==∈为常数
25．导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条； 如：已知函数3()3f x x x =-
过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。 ⑵研究单调性步骤:分析y =f (x )定义域；求导数；解不等式f /(x )≥0得增区间；解不等式f /(x )≤0得减区间；注意f /(x )=0的点； 如：设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）； ⑶求极值．最值步骤:求导数；求0)(='x f 的根；检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f (x )在该根处取极大值；若左负右正,则f (x )在该根处取极小值；把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值． 如：（1）函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值．最小值分别是______（答：5；15-）；（2）已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：
大，152-
）（3）方程010962
3=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1） 特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0
x 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数
()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a +b 的值为____（答：－7）
三．数列． 26．a n ={
)
,2()
1(*
11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。
27．)*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+-
?,,,);0()(2=+=?+=?B A b a Bn An s b an a n n 的二次常数项为一次
2n n-1n 1n 1n a a a (n 2,n N)a }q();a 0n n a a +-?=?≥∈??=?≠?
｛等比定
?m ;a a 11n =?-=??=?-n n n q m m s q
如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
28．首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
)00
(001
1??
?≥≤???≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理；(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
29．等差数列中a n =a 1+(n －1)d ；S n =d n n na 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--=
2)
(1n a a n + 等比数列中a n = a 1 q
n －1
；当q =1,S n =na 1 当q ≠1,S n =q
q a n --1)1(1=q q
a a n --11
30．常用性质：等差数列中, a n =a m + (n －m )d , n
m a a d n
m --=
；当m +n =p +q ,a m +a n =a p +a q ； 等比数列中，a n =a m q n －
m ； 当m +n =p +q ，a m a n =a p a q ；
如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132
310
l o g l o g l o g
a a a +
++= （答：10）。
31．常见数列：{a n }．{b n }等差则{ka n +tb n }等差；{a n }．{b n }等比则{ka n }(k ≠0)．?????
?n b 1．{a n b n }．?
??
???n n b a 等比；{a n }等差,则{}
n
a c (c >0)成等比．{
b n }(b n >0)等比,则{log
c b n }(c >0且c ≠1)等差。 32．等差三数为a －
d ,a ,a +d ；四数a －3d ,a －d ,,a +d ,a +3d ；
等比三数可设a /q ,a ,aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3,a /q ,aq ,aq 3 (为什么？)
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第
二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
33．等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m ．S 2m －S m ．S 3m －S 2m ．S 4m － S 3m ．……仍为等差数列。
等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m ．S 2m －S m ．S 3m －S 2m ．S 4m － S 3m ．……仍为等比数列。
如：公比为－1时，4S ．8S －4S ．12S －8S ．…不成等比数列
34．等差数列{a n },项数2n 时,S 偶－S 奇＝nd ；项数2n －1时,S 奇－S 偶＝a n ； 项数为n 2时，则q S S =奇
偶；
项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶．
35．求和常法:公式．分组．裂项相消．错位相减．倒序相加．关键找通项结构．
分组法求数列的和：如a n =2n +3n ．错位相减法求和：如a n =(2n －1)2n ．裂项法求和：如求和：
111
112123123n
+
+++=+++++++ （答：
21n n +）．倒序相加法求和：如①求证：01
235(21)(1)2n n
n
n
n
n
C C C n C n +++++=+ ；②已知2
2
()1x f x x =
+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：7
2
）
36．求数列{a n }的最大．最小项的方法（函数思想）：
①a n +1－a n =……?????<=>000 如a n = －2n 2
+29n －3 ②??
???<=>=+1
11
1 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③ a n =f (n ) 研究函数f (n )的增减性 如a n =
156
2+n n
求通项常法: （1）已知数列的前n 项和n s ,求通项n a ，可利用公式:11 (1)
(2)n n
n S n a S S n -=?=?-≥?
如：数列{}n a 满足12211125222
n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{
114,1
2,2n n n a n +==≥）
（2）先猜后证
（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f (n ) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f (n ) (采用累积法)； 如已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥，则n a =________（答
：
1n a =）
（4）构造法形如1n n a ka b -=+．1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列如①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）
； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用 a n ＝（a n －a n －1）+(a n －1－a n －2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝12
1121
n n n n a a a a a a a ? －－－ （6）倒数法形如11n n n a a ka b --=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知1
111,31n n n a a a a --==+，求
n a （答：132n a n =
-）；②已知数列满足1a =1
=n a （答：21
n a n
=） 37．常见和：1123(1)2n n n ++++=+
，222112(1)(21)6
n n n n +++=++ ，
33332
(1)123[
]n n n +++++= 四．三角
38．终边相同(β=2k π+α)； 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2
11||2
2
S lR R α==，1弧度
(1rad )57.3≈
． 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22
cm ）
39．函数y =++?)sin(?ωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图；②振幅?相位?初相?周期T =ω
π
2,频率?φ=k π时奇函数；φ=k π+
2
π
时偶函数．③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0；余弦正切可类比． 如（1）函数522y sin x π??
=- ???
的奇偶性是______（答：偶函数）
；（2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称
中心和对称轴分别是__________．____________（答：128k (,)(k Z )ππ-∈．28
k x (k Z )ππ=+∈）；
（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。（答：6
k (k Z )π
θπ=+∈）
④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移；
)sin()sin(sin 1
|
|Φ+=???????→
?Φ+=????→?=Φx y x y x y ωω倍
横坐标伸缩到原来的
左或右平移
)sin(sin sin |
|1Φ+=????→?=???????→
?=Φ
x y x y x
y ωωωω左或右平移倍
横坐标伸缩到原来的
b x A y x A y b A +Φ+=????→?Φ+=???????→?)sin()sin(|
|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的
40．正弦定理:2R =A a sin =B b sin =C c
sin ； 内切圆半径r =c b a S ABC ++?2余弦定理：a 2=b 2+c 2－
2bc A cos ,bc
a c
b A 2cos 222-+=；111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===
术语:坡度．仰角．俯角．方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等 41．同角基本关系：如：已知11tan tan -=-αα，则α
αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝
_________（答：35-
；5
13
）； 42．诱导公式简记:奇变偶不．．．．变．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．a ．为锐角．．．)．
43．重要公式： 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=．；α
α
αααααs i n c o s 1c o s 1s i n c o s 1c o s 12t a n -=
+=+-±=；2
sin
2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±
如：函数25sin cos f (x )x x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22αβαβ++=?
，()(
)
222αββ
ααβ+=---等），如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，
那么tan()4π
α+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，
则y 与x 的函数关系为______（答：43
(1)55
y x x =<<）
44．辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b a
θ=)如：（1）当
函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：3
2
-)；（2）如果
()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－2)；
五．平面向量
45．向量定义．向量模．零向量．单位向量．相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。)．共线向量．相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
46．加．减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+；CB AC AB =-
47+±,
41．（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：
①0a b a b ⊥??=
；
②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，22,a a a a a =?== ；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为
钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ?≤
。如（1）
已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：4
3
λ<-或
0λ>且1
3
λ≠）；
48．向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ
49． →
1e 和→
2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→
→
→
+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)
特别：． ＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点P ．A ．B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=
?→
?OC ?→
??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且
121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）
50．在ABC ?中，①1()3PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?
为ABC ?的重心；②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??
为ABC ?的垂心；
③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠
所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?
是ABC ?的内心；
⑤S ⊿AOB ＝
A B B A y x y x -2
1
； 如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则ABC 的形
状为____（答：直角三角形）；（2）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足
0PA BP CP ++= ，设||
||
AP PD λ=
，则λ的值为___（答：2）；（3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120 ）；
51． P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分；λ＜0且λ≠－1外分．
＝λ
λ++121OP ；若λ＝1 则＝
2
1
(1+2OP )；设P (x ,y ), P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)， 则???????++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ；中点???????+=+=.2,22121y y y x x x 重心123
123
,3
.3
x x x x y y y y ++?=???
++?=??
52．点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP ' ＝a 或???+='+='k
y y h x x 函数)(x f y =按),(k h a =
平移得函数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a
把点(7,2)-平移到点______
（答：（－８，3））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→
a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝________（答：)1,4
(π
-
）
六．不等式
53．注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab >0，则
b
a 1
1>。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； 54．比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式．配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差．作商）
是最基本的方法。如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较
2
1
log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22
a a t t +≥（1t =时取等号））；（2）设2a >，1
2
p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）
55．常用不等式：若0,>b a ，（1
2211
a b a b
+≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ；（2）a ．b ．c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m
+<+（糖水的浓度问题）。 如：如果正数a ．b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）
基本变形：①≥+b a ；≥+2
)2
(
b a ； 注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆．凑．平方；如：①函数
)2
1
(4294>--
=x x x y 的最小值 。（答：8）
②若若21x y +=，则24x y
+的最小值是______
（答：；
③正数,x y 满足21x y +=，则
y
x 1
1+的最小值为______
（答：3+； 56．b a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；|a |≥a ；|a |≥－a
57．证法:①比较法:差比:作差－－变形(分解或通分配方)－－定号．另:商比②综合法－－由因导果；③分析法－－执果索因；④反证法－－正难则反。⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12
；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+
)
1()1(++<+n n n n ⑷利用常用结论： Ⅰ．k
k k k k 21
11
1<
++=
-+；
Ⅱ．k k k k k 111)1(112--=-< ； 11
1)1(112+-=+>k k k k k （程度大）
Ⅲ．)11
11(21)1)(1(11
112
2+--=+-=-已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
已知122
22=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；
已知122
22=-b
y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==；
⑦最值法,如：a >f max (x ),则a >f (x )恒成立．
58．解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法)；③两边平方
④公式法：|f (x )|>g (x )? ；|f (x )|2
()1
ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，
1{|x x a >或0}x <；0a <时，1{|0}x x a <<或0}x <）
七．立几
60． 位置和符号①空间两直线:平行．相交．异面；判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α．a ∩α=A (a ?α) ．a ?α③平面与平面:α∥β．α∩β=a
61． 常用定理:①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ??
???；ααββα//a a a ???
?
??
?⊥⊥
②线线平行:b a b a a ////???
???
=??βαβα；b a b a //????⊥⊥αα；b a b a ////??????=?=?γβγαβα；b c c a b a //////??
??
③面面平行:βαββαα////,//,???
?
??
=???b a O b a b a ；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////??
??
④线线垂直:b a b a ⊥??
???⊥αα；所成角900
；PA
a AO a a PO ⊥???
???
⊥?⊥α
α(三垂线)；逆定理?
⑤线面垂直:ααα⊥???
???⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,；βαβαβα⊥??????⊥?=?⊥a l a a l ,；βαβα⊥????⊥a a //；αα⊥????⊥b a b a //
⑥面面垂直：二面角900；
βααβ⊥????⊥?a a ；βααβ⊥??
??
⊥a a // 62． 求空间角①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,
]2
π
θ∈；（2）求法：平移以及补形法．向量
法。如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：
3
3
）；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，BD =1，
则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______（答：arcsin
4
6
）；（2）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ．F 分别是AB ．C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：1
3
）；③二面角：
二面角的求法：定义法．三垂线法．垂面法．面积射影法： cos S S θ?射原＝．转化为法向量的夹角。
如（1）正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角B －A 1C －A 的大小为________（答：60
）；（2）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的
大小为______
（答：）；（3）从点P 出发引三条射线P A ．PB ．PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B －P A －C 的余弦值是______（答：1
3
）；
63． 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底；正三角形四心?内切外接圆半径?； 64． 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线； ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接
法．等体积．转移法．垂面法．向量法PA n
h n
?=
．③
点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求； 65． 求球面两点A ．B 距离①求|AB |②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ球心角×R ；纬线半径r ＝Rcos
纬度。S 球=4πR 2；V 球＝
3
4
πR 3； 66． 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度．长度不变； 67． 从点O 引射线OA ．OB ．OC ,若∠AOB =∠AOC ,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上； 68． 常用转化思想:①构造四边形．三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线．重心”转化．
69．三面角公式:AB 和平面所成角是θ,AB 在平面内射影为AO ,AC 在平面内,设∠CAO =α,∠BAC =β,则cos β=cos θcos α；长方体:
对角线长l 分别为α,β,γ,则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2；正方体和长方体外接球直径=体对角线长；
特别指出：立体几何中平行．垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
线∥线线∥面面∥面←→?←→?
八．解几
70．倾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在；斜率k =tan α=
1
21
2x x y y -- 71．直线方程:点斜式 y －y 1=k (x －x 1)；斜截式y =kx +b ； 一般式:Ax +By +C =0 两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=
--；截距式:1=+b y a x (a ≠0；b ≠0)；求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax +By +C =0的方向向量为=(A ,－B ) 72．两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2则l 1∥l 2?k 1∥k 2,b 1≠b 2；l 1⊥l 2?k 1k 2=－1 ②若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0； ③若A 1．A 2．B 1．B 2都不为零l 1∥l 2?21
2121C C B B A A ≠
=； ④l 1∥l 2则化为同x ．y 系数后距离d =
2
2
21|
|B
A C C +-；
73．l 1到l 2的角tan θ=12121k k k k +-；夹角tan θ=|12121k k k
k +-|；点线距d =2
200||B A C By Ax +++；
74．圆:标准方程(x －a )2+(y －b )2=r 2；一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2－4F >0) 参数方程:?
?
?+=+=θθ
sin r b y cos r a x ；直径式方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0
75．若(x 0－a )2+(y 0－b )2r 2),则 P (x 0,y 0)在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2内(上．外)
76．直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题，又:ｄ>r ?相离；d =r ?相切；d 77．圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系．设圆心距为d ,两圆半径分别为r ,R ,则d >r +R ?两圆相离；d ＝r +R ?两圆相外切；|R －r |78．把两圆x 2+y 2+D 1x +E 1y +C 1=0与x 2+y 2+D 2x +E 2y +C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D 1－
D 2)x +(
E 1－E 2)y +(C 1－C 2)=0；推广:椭圆．双曲线．抛物线?过曲线f 1(x ,y )=0与曲线f 2(x ,y )=0交点的曲线系方程为: f 1(x ,y )+λf 2(x ,y )=0
79．圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大．最小值的求法(过圆心)
80．椭圆①方程22221x y a b +=(a >b >0)；参数方程cos sin x a y b θ
θ=??=?；②定义:||PF d
相=e <1； |PF 1|+|PF 2|=2a >2c ；
③e =22
a
b 1a
c -=,a 2=b 2+c 2；④长轴长为2a ，短轴长为2b ；⑤焦半径左PF 1=a +ex ,右PF 2=a －ex ；左焦点弦
2()A B AB
a e x x =++,右焦点弦2()A B AB a e x x =-+；⑥准线x =c a 2
±．通径(最短焦点弦)
2
2b a
,焦准距p =2b c
⑦2
1F PF S ?=2tan 2b θ
,当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大，近地a －c 远地a +c ；
81．双曲线①方程12222=-b
y a x (a ,b >0)；②定义:相应d |
P F |=e >1；||PF 1|－|PF 2||=2a <2c ；③e =2
2
a b 1a c +
=
,c 2=a 2+b 2
；
④四点坐标？x , y 范围?实虚轴．渐进线交点为中心；⑤焦半径．焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右
焦点不同)；到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x =c a 2±
．通径(最短焦点弦)a
b 22
,焦准距p =c b 2⑦21F PF S ?=2cot b 2
θ⑧渐进线0b
y a x 2222=-或x a b y ±=；焦点到渐进线距离为b ； 13．抛物线①方程
y 2=2px ②定义:|PF |=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点；x ,y 范围?轴？焦点F (2p ,0),准线x =－2
p
,④焦半径
2p x AF A +=；焦点弦AB ＝x 1+x 2+p ；y 1y 2=－p 2,x 1x 2=4
2
p 其中A (x 1,y 1)．B (x 2,y 2)；⑤通径2p ,焦准距p ； 105． B >0,Ax +By +C >0表示直线斜上侧区域；Ax +By +C <0表示直线斜下侧区域； A >0,Ax +By +C >0表示直线斜右侧区域；Ax +By +C <0表示直线斜左侧区域； 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系．
82．过圆x 2+y 2=r 2
上点P (x 0,y 0)的切线为:x 0x +y 0y =r 2；过圆x 2+y 2=r 2外点P (x 0,y 0)作切线后切点弦方程:x 0x +y 0y =r 2；过圆外点作圆切线有两条．若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴． 83．对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴．ｙ轴．原点．直线y =x ．y =－x ．y =x +m ．y =－x +m 的对称点分别是(ａ,－ｂ),(－ａ,ｂ),(－ａ,－ｂ),(ｂ,ａ),(－ｂ,－ａ),(b －m ．a +m )．(－b +m ．－a +m )②点(ａ,ｂ)关于直线Ax +By +C =0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f (x ,y )=0关于点(a ,b )对称曲线为f (2a －x ,2b －y )=0；关于y =x 对称曲线为f (y ,x )=0；关于轴x =a 对称曲线方程为f (2a －x ,y )=0；关于轴y =a 对称曲线方程为:f (x ,2a －y )=0；可用于折叠(反射)问题． 84．相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式．韦达定理．弦长公式；注意二次项系数为0的讨论；注意对参数分类讨论和数形结合．设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式|
a |)
k 1(x x k 1AB x x 2122?+=-?+=
1
22
y y k 11-?+
=|a |)k 1
1(y y 2?+=②涉及弦中点与斜率
问题常用“点差法”．如: 曲线1b
y a
x 22
22
=±(a ,b >0)上A (x 1,y 1)．B (x 2,y 2)中点为M (x 0,y 0),则K AB K OM =22
a
b ；对抛
物线y 2=2px (p ≠0)有K AB ＝2
1y y p 2+
85．轨迹方程:直接法(建系．设点．列式．化简．定范围)．定义法．几何法．代入法(动点P (x ,y )依赖于
动点Q (x 1,y 1)而变化,Q (x 1,y 1)在已知曲线上,用x ．y 表示x 1．y 1,再将x 1．y 1代入已知曲线即得所求方程)．参数法．交轨法等． 86．解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法．定义法．轨迹法③焦点．准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设
技巧以简化计算．如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2
＝1；共渐进线
x a b y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(b
y a x 22
22=-为参数,λ
≠0)；抛物线y 2
=2px 上点可设为(p
2y 2
,y 0)；直线的
另一种假设为x =my +a ；⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义． 87．解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
；
（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点；
（3）给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点；
（4）给出()
+=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线；
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,A B A C λλ=
使；③若存在实数
,,1,OC OA OB
αβαβαβ+==+
且使,等于已知C B A ,,三点共线． （6） 给出λ
λ++=
1，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ=
（7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）
给出MP =?
? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形；
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-
，等于已知ABCD 是矩形；
（11）在ABC ?中，给出2
22==，等于已知O 是ABC ?的外心（三
角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ?中，给出+=()||||
AB AC AB AC λ+
)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心； （15）在ABC ?中，给出0=?+?+?c b a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ?中，给出()
12
AD AB AC =+
,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线； 九．排列．组合．二项式定理
88．计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：5
3）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；
89．排列数公式:m n A =n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)=
)!
m n (!
n -(m ≤n ,m ．n ∈N *),
0!=1； n n A =n !； n ．n !=(n +1)!－n !；11--=m n m n nA A ；1
1-++=m n
m n m n mA A A 90．组合数公式：1
23)2()1()1()1(!
?????-?-?--???-?=
=m m m m n n n m A C m n m n =
)!(!!m n m n -（m ≤n ）,
10=n C ；r n r n r n m n n m n C C C C C 11;+--=+=；;C C C C 1
r 1
n r n r 1r r r +++=+???++11--=m n m n C m
n C ； 91．主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室．走廊．大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；．②捆绑法如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；③插空法如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。
④间接扣除法如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。
⑤隔板法如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。
92．二项式定理n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(
特别地：(1+x )n =1+C n 1x +C n 2x 2+…+C n r x r +…+C n n x n
93．二项展开式通项: T r +1= C n r a n －
r b r ；作用：处理与指定项．特定项．常数项．有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数；
94．二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等．C n m =C n n －
m
②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项；若n 为奇数,中间两项(哪项?)
③二项式系数和;2;213
120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C
95．f (x )=(ax +b )n 展开各项系数和为f (1)；奇次项系数和为)]1()1([2
1--f f ；偶次项系数和为)]1()1([2
1-+f f ；
n by ax )(+展开各项系数和,令1==y x 可得．
96．二项式定理应用：近似计算．整除问题．结合放缩法证明与指数有关的不等式．用赋值法求展开式的某些项的系数的和。 十．概率与统计
97．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P (A )=0；
98．等可能事件的概率（古典概率）：:P (A )=m /n ；如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①
215；②1021；③44125；④10
21
） 互斥事件(不可能同时发生的):P (A +B )=P (A )+P (B )； 如：有A ．B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A ．B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。（答：
8
21
）；对立事件(A ．B 不可能同时发生,但A ．B 中必然有一发生):P (A )+P (A )＝1；独立事件(事件A ．B 的发生互不影响):P (A ?B )＝P (A )·P (B )； 如（1）设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为9
1
,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率P (A )是______（答：
23
）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一．二．三个问题分别得100分．100分．200分，答错得0分，假设这位同学答对第一．二．三个问题的概率分别为0．8．0．7．0．6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________；这名同学至少得300分的概率
为_____________（答：0．228；0．564）；独立事件重复试验：:P n (K )=C n k p k (1－p )n －
k 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率。如（1）袋中有红．黄．绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：
19
）；（2）冰箱中放有甲．乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：
15128
） 99．总体．个体．样本．样本容量；抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时)． 共同点：每个个体被抽到的概率都相等
n
N
。如：某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0．2，则n = _______（答：200）；
100．总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）
直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
样本平均数：∑==+?+++=n
i i n x n x x x x n x 13211)(1
样本方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 2
1
1()n i i x x n ==-∑；
＝n
1
(x 12+x 22+ x 32+…+x n 2－n 2x ) 方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。
提醒：若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2
s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均数为ax b +，方差为22
a s 。如已知数据n x x x ,,,21 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据73,,73,7321+++n x x x 的平均数和标准差分别为 A ．15，36 B ．22，6 C ．15，6 D ．22，36 （答：B ）
高考数学概率与统计知识点汇编
高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?
高考数学基础知识梳理
高考数学基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有 理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___；
高中数学基础知识汇总(2021新高考)
高中数学基础知识汇总 第一章 集合与常用逻辑用语 一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 性、 性、 性． (2)元素与集合的关系是 或 两种，用符号 或 表示． 集合与集合的关系是 或 两种，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 1．若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为 ，真子集的个数为 . 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B . 3．A ∩(?U A )＝?；A ∪(?U A )＝U ；?U (?U A )＝A . 四、充分条件与必要条件 若q p ?，p 是q 的________条件,q 是p 的________条件；若q p ?，p 是q 的________条件。
口诀： 方法： 五、全称命题与存在性命题（求否定的口诀： ） :);(,:p x p A x p ?∈?_________________________ :);(,:p x p A x p ?∈?_________________________ 第二章 函数 一、函数定义域的常见求法 （1）分式的分母 ； （2）偶次方根的被开方数 ； （3）对数函数的真数 ； （）若函数()f x 由几个部分的数学式子构成的，定义域为使各个式子有意义的实数的集 合的 集； 二、求函数解析式的常见求法 ①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1 )1 (2 2 x x x x f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） ○ 4消元法： 三、函数的单调性 1、定义：增函数：)()(],,[,x 2121 21x f x f x x b a x
高中概率知识要点
概率知识要点 一、随机事件的概率 1 事件的有关概念 （1）必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 简称必然事件 （2）不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。简称不可能事件 （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。简称随机事件 （5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A 、B 、C,…,表示 2 随机试验 对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； （3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 我们称这样的试验为随机试验 3 频数、频率和概率 （1）频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数。 （2）频率：在相同条件S 下重复n 次试验，时间A 出现的比例n n A f A n = )(称为事件A 出现的频率 （3）概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 定义 符号表示 包含关系 对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ） ()B A A B ?? 相等关系 若B A A B ??且，则称事件A 与事件B 相等 A=B 并事件（和事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。 )(B A B A +或Y 交事件（积事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。 )(AB B A 或I 5 互斥事件与对立事件 （1）互斥 事件A 与事件B 互斥：B A I 为不可能事件，即?=B A I ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。 （2）对立 事件A 与事件B 互为对立事件：B A I 为不可能事件，B A Y 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 概率的几个基本性质 （1）1)(0≤≤A P A P ）的取值范围：（概率.
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.
A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A. 2．古典概型概率问题 典例2：（ 全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方 法，故概率为 ，选C. 典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ，故选A. 3．几何概型问题 典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4
高中数学基础知识与基本技能
高中数学基础知识与基本技能 数学（3） 第二章 统计（续） 五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷 （本卷用时100分钟） （一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱 2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ） （A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数 3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000 4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ） （A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640 5、如果一组数据的方差是2 s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2 5.0s （B ）2 4s （C ）2 2s （D ）2 s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号 ∑ =n k 1 的运算 ① ∑==n k na a 1 ，②∑∑===n k n k k f b k bf 1 1 )()(，③[]∑∑∑===+=+n k n k n k k g k f k g k f 1 1 1 )()()()( 其中错误的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
新课标高中数学必修三《概率》知识点
高中数学必修3（新课标） 第三章 概 率（知识点） 3.1 随机事件的概率及性质 1、 基本概念： （1）必然事件：一般地，在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件； （5）确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母表示A 、B 、C ……表示. （6）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的频率： 对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （7）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值n n A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，接近某个常数。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量
上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 （8）任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，它度量该事件发生的的可能性. 2 概率的基本性质 1）一般地、对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B?A(或A?B).不可能事件记作?，任何事件都包含不可能事件. 2）如果事件C1发生，那么事件D1一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C1=D1. 一般地，若B?A，且A?B，那么称事件A与事件B相等，记作A=B. 3）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A或事件B的并事件（或和事件），记作A∪B(或A+B). 4）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B(或AB). 5）若A∩B为不可能事件（A∩B=?），那么称事件A与事件B互斥.不可能同时发生. 6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.有且仅有一个发生. 任何事件的概率在0～1之间，即 0≤P(A)≤1. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
高中概率知识点、高考考点、易错点归纳
概率知识要点 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例 ()= A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作(B A ??或A B)。 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B ??且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。 （3）事件A 与事件B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。 （4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。 （5）事件A 与事件B 互斥：A B 为不可能事件，即=A B ? ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A 与事件B 互为对立事件：A B 为不可能事件，A B 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1P A ≤≤.（2）必然事件的概率为1.()1P E =.（3）不可能事件的概率为0. ()0P F =. （4）事件A 与事件B 互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 （5）若事件B 与事件A 互为对立事件，，则A B 为必然事件，()1P A B = . 古典概型 1、基本事件： 基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。 2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 具有这两个特点的概率模型称为古典概型。 3、公式：()= A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数
30分钟熟记高中数学基础知识
根据高分考生笔记整理，助你30分钟熟记高考数学必考知识点 快速提高高考成绩 高分考生的经验： 对于以下知识点不必死记硬背，打印出来夹在笔记本中就可以。在练习中遇上不懂，先不要看答案，看看以下知识点，尝试解题，这样留下的印象最深刻，思考过程最重要。往往是每道题到牵涉其中几个考点，一道题就巩固几个考点，一直坚持练习做题，可以快速提高成绩。一般在几天左右就可以见效果，明显感觉到思路通畅，速度明显提高。另外，题海战术不可取，泛泛做100道题，不如认认真真理解好1道典型例题。 一、集合 （1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 二、函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数
七大高考数学必考内容复习汇总
2019年七大高考数学必考内容复习汇总 高考在即，考生们都在紧张备考，关于数学，小编为大家精心准备了2019年七大高考数学必考内容复习汇总，供大家参考学习，希望对大家有所帮助! 考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、
公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽 象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根
人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_随机事件的概率_提高
人教版高中数学必修三 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 随机事件的概率 【学习目标】 1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念； 2.正确理解事件A 出现的频率的意义； 3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】 要点一、随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件； 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件. (3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件. 要点诠释： 1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究； 2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性. 要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数 在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A n n f A n 为事件A 出现的频率。 2．概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A). 由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用 A n n 来表示()P A 越精确。 （2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的.
高考概率知识点及例题(供参考)
概率知识要点 3.1．随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例()=A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 2、游戏的公平性：抽签的公平性。 3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件 4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨
的机会是70%”。 5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。 3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作( 或A B)。 ?? B A 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B 且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。 ?? （3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 （4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 （5）事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即= A B?，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A与事件B互为对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1 ≤≤. P A （2）必然事件的概率为1.()1 P E=. （3）不可能事件的概率为0. ()0 P F=. （4）事件A与事件B互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。（5）若事件B与事件A互为对立事件，，则A B为必然事件，()1 P A B=. 3.2 古典概型
历年高考数学基础知识及常见考点详解汇总
历年高考数学基础知识及常见考点详解汇总 一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ； 整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： }12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点
与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___； ②?=A B A ；?=A B A ； ?=U B A C U ；?=φB A C U ； ③=B C A C U U ； )(B A C U =； （4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ； ②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则 =n ；若n 被3除余2，则=n ； 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为 _________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 （2）B A 中元素的个数的计算公式为：
高中数学概率知识点及例题自己整理
1．事件的关系： ⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ⑹对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式： ⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数 包含的基本事件的个数A A P =)(； ⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( ； 3. 随机变量的分布列 ⑴随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质：p i ≥0,i=1,2,...； p 1+p 2+ (1) 1 1 2 2 n n 方差：DX ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2 )(;)(=++=+； ③两点分布： X 0 1 期望：EX ＝p ；方差：DX ＝p(1-p). P 1－p p ① 超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 },,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N k n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列 X 0 1 … m P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N m n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。 ⑤二项分布（独立重复试验）： 若X ～B （n,p ）,则EX ＝np, DX ＝np （1- p ）;注：k n k k n p p C k X P --==)1()( 。
高考数学常考的100个基础知识点
高考数学常考的100个基础知识点 广州市育才中学 邓军民 整理 1．德摩根公式C U （A ∩B ）= C u A ∪C u B ；B C A C )B A (C U U U =。 2．A ∩B =A ?A ∪B =B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B =φ?C U A ∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k （a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。 5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么 ?>--? >--0) ()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是增函数； ?<--? <--0) ()(0)]()()[(2 1212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是减函数。 设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ） <0 ，则f （x ） 为减函数。 6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称? f （a +x ）= f （a －x ）?f （2a －x ）= f （x ）。 7．两个函数图象的对称性： （1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。 （2）函数y = f （x ） 和y = f －1 （x ） 的图象关于直线y =x 对称。 8．分数指数幂n m n m a a 1 = -（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 分数指数幂n m n m a 1 a = - （a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 9．log a N=b ?a b =N （a >0，a ≠1，N>0）
高中数学概率统计知识点总结
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 ２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 １、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++
高考概率知识点例题
概率知识要点 3.1．随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例 ()=A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 2、游戏的公平性：抽签的公平性。 3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件
4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。 5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。 3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作( 或A B)。 ?? B A 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B 且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。 ?? （3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 （4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 （5）事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即= A B?，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A与事件B互为对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1 ≤≤. P A （2）必然事件的概率为1.()1 P E=. （3）不可能事件的概率为0. ()0 P F=.
高中数学选修计数原理概率知识点总结
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。
人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型知识与常见题型梳理
几何概型知识与常见题型梳理 基本知识 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 P(A)=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等. 4.几何概型与古典概型的比较 一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性. 通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示. 常见题型 1.长度之比类型 例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率. 分析 因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型. 解 设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6 1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方 形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率. 分析 正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率. 解 记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于 6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612-=14. 小结 本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用. 2.面积、体积之比类型 例3 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成
