高中数学竞赛培优专题辅导-复数

高中数学竞赛培优专题辅导-复数

一、基础知识

1．复数的定义：设i 为方程x 2

=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ

表示cos θ+isin θ，则z=re i θ

，称为复数的指数形

式。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2

1

21z z z z =????

??；（5）||||||2121z z z z ?=?；

（6）|

||

|||2121z z z z =

；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2

+|z 1-z 2|2

=2|z 1|2

+2|z 2|2

；（9）若|z|=1，则z

z 1=

。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1?

?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2

1

212,

0r r z z z =

≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e

i(θ1+θ2)

,

.)

(2

12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n

=r n

(cosn θ+isinn θ).

6.开方：若=n

w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n

2(c o s

n

k i n

k r w n

π

θπ

θ+++=

，

k=0,1,2,…,n-1。

7．单位根：若w n

=1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n

i n π

π2sin 2cos

+，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k ，若k=nq+r,q ∈Z,0≤r ≤n-1，有Z nq+r =Z r ；（2）对任意整数m ，当n ≥2时，有m n m m

Z

Z Z

121

1-++++ =

?

?

?,|,,

|,0m n n m n 当当特别1+Z 1+Z 2+…+Z n-1=0；（3）x n-1

+x n-2

+…+x+1=(x-Z 1)(x-Z 2)…(x-Z n-1)=(x-Z 1)(x-21Z )…(x-11-n Z ).

8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。

9．复数z 是实数的充要条件是z=z ;z 是纯虚数的充要条件是：z+z =0（且z ≠0）. 10.代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。

11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。

12．若a,b,c ∈R,a ≠0，则关于x 的方程ax 2

+bx+c=0，当Δ=b 2

-4ac<0时方程的根为

.22,1a

i

b x ?-±-=

二、方法与例题 1．模的应用。

例1 求证：当n ∈N +时，方程(z+1)2n

+(z-1)2n

=0只有纯虚根。

[证明] 若z 是方程的根，则(z+1)2n

=-(z-1)2n

，所以|(z+1)2n

|=|-(z-1)2n

|,即|z+1|2

=|z-1|2

,即(z+1)(z +1)=(z-1)(z -1)，化简得z+z =0，又z=0不是方程的根，所以z 是纯虚数。 例2 设f(z)=z 2

+az+b,a,b 为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b 的值。 [解] 因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。 所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。 所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0. 2.复数相等。

例3 设λ∈R ，若二次方程(1-i)x 2

+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。

[解] 若方程有实根，则方程组?????=--=++0

122λλx x x x 有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ

=-1，则方程x 2

-x+1=0中Δ<0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。 3．三角形式的应用。

例4 设n ≤2000,n ∈N ，且存在θ满足(sin θ+icos θ)n

=sinn θ+icosn θ，那么这样的n 有多少个？ [解] 由题设得

)

2

sin(

)2

cos(

)2

sin(

)2

(

cos )]2

sin(

)2

[cos(

θπ

θπ

θπ

θπ

θπ

θπ

n i n i n i n -+-=-+-=-+-，所以n=4k+1.又因为0≤n ≤2000，所以1≤k ≤500，所以这样的n 有500个。 4．二项式定理的应用。

例5 计算：（1）100100410021000100C C C C +-+- ；（2）99

100

510031001100C C C C --+- [解] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250

,

由二项式定理(1+i)100

=

10010010099991002210011000100i C i C i C i C C +++++ =

100

100

410021000100(C C C C +-+- )+(

99100510031001100C C C C --+- )i ，比较实部和虚部，得100

100

410021000100C C C C +-+- =-250，99

100

510031001100C C C C --+- =0。 5．复数乘法的几何意义。

例6 以定长线段BC 为一边任作ΔABC ，分别以AB ，AC 为腰，B ，C 为直角顶点向外作等腰直角ΔABM 、等腰直角ΔACN 。求证：MN 的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a ，以BC 中点O 为原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B ，C 对应的复数为-a,a,点A ，M ，N 对应的复数为z 1,z 2,z 3,a z BA a z CA +=-=11,，由复数乘法的几何意义得：)(13a z i a z --=-=，①)(12a z i a z --=+=，②由①+②得z 2+z 3=i(z 1+a)-i(z 1-a)=2ai.设MN 的中点为P ，对应的复数z=ai z z =+2

3

2,为定值，所以MN 的中点P 为定点。

例7 设A ，B ，C ，D 为平面上任意四点，求证：AB ?AD+BC ?AD ≥AC ?BD 。

[证明] 用A ，B ，C ，D 表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).

所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当

)()(

D C C B Arg A D A B Arg --=--，即)()(C

D C

B Arg A B A D Arg --+--=π，即A ，B ，

C ，

D 共圆时成立。不等式得证。 6．复数与轨迹。

例8 ΔABC 的顶点A 表示的复数为3i ，底边BC 在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC 的外心轨迹。

[解]设外心M 对应的复数为z=x+yi(x,y ∈R)，B ，C 点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M 是三边垂直平分线的交点，而AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M 对应的复数z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b 解得

).3

4(62-=y x

所以ΔABC 的外心轨迹是轨物线。 7．复数与三角。

例9 已知cos α+cos β+cos γ=sin α+sin β+sin γ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。 [证明] 令z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ，则 z 1+z 2+z 3=0。所以.0321321=++=++z z z z z z 又因为|z i |=1,i=1,2,3. 所以z i ?i z =1，即.1i

i z z =

由z 1+z 2+z 3=0得.022********

32221=+++++z z z z z z x x x ①

又.0)(111321321321321132321=++=???

?

??++=++z z z z z z z z z z z z z z z z z z 所以.0232221=++z z z

所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0. 所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。

例10 求和：S=cos200

+2cos400

+…+18cos18×200

.

[解] 令w=cos200

+isin200

,则w 18

=1，令P=sin200

+2sin400

+…+18sin18×200

,则S+iP=w+2w 2

+…+18w 18

. ①由①×w 得w(S+iP)=w 2

+2w 3

+…+17w 18

+18w 19

，②由①-②得

(1-w)(S+iP)=w+w 2

+…+w 18

-18w 19

=

19

18181)1(w w w w ---，所以S+iP=???

? ??--=--i w w 23219118，所以.2

9

-=S 8．复数与多项式。

例11 已知f(z)=c 0z n

+c 1z n-1

+…+c n-1z+c n 是n 次复系数多项式(c 0≠0).

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线

高中数学竞赛讲义_复数

1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，

高中数学值得推荐的辅导书 看完都上清华北大

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高中数学竞赛基础知识讲解

高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -=

三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x

如何学习数学竞赛

你知道数学竞赛怎么学 点击：248次，时间：2016-11-12 14:08:55 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 1、学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 2、入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 3、提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。 2）《奥赛经典》 内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。 3）《命题人讲座》 适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。 其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。数论方面当然不能不提两位先生，一位是潘承彪教授，一位是余红兵教授，潘老师的《初等数论》是我们读书时的必读教材，也是大学里的教材，不仅仅局限于竞赛范畴；余老师关于数论的小册子《数学竞赛中的数论问题》，非常经典！ 另外华罗庚的《数论导引》则非常优秀，适合看完《初等数论》后再深化学习。此外非常值得推荐的是《哈代数论》，值得永世珍藏。 4）《数学竞赛研究教程(套装上下册)》 本书是参加数学竞赛的教练员和选手的必备用书。国内数学竞赛研究方面的权威参考书。 5）关于几何 《初等数学复习及研究平面几何》、《初等数学复习及研究立体几何》。有助于深化系统自己的几何基础。 6)关于组合 推荐单樽老师的《组合几何》《趣味图论》，以上均为上面提到过的数学奥赛辅导丛书的书，那一个系列基本上都非常出色，适合永世珍藏。

高中数学竞赛讲义(十五)复数

高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ =Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）||z 1|-|z 2 || ≤|z 1±z 2 |≤|z 1 |+|z 2 |；（8）|z 1 +z 2 |2+|z 1 -z 2 |2=2|z 1 |2+2|z 2 |2；（9）若|z|=1，则 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形

高中数学竞赛培优——不等式

不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,

王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”!快人一步,高二高三成优势!

王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”！快人 一步，高二高三成优势！ 每一年我们都会收到很多高一学生的求助，他们刚入高中就被数学吓到了，抱怨数学难，不知道数学怎么学？ 为什么会这样呢？ 因为，高中数学和初中数学存在本质的差别，很多同学初中时，只要在数学考试前刷题补习就能取得很好的成绩，但是到了高中，这一招就根本没用了！ 初中时名列前茅，到了高中成绩大幅下滑，这种落差打击了很多同学的自信。刚入高一，千万不能输在起点，否则高二高三会非常吃力辛苦。 王总结数学《高一逆袭培优课程》就是你不被落下，超越同伴的秘密武器。 《高一逆袭培优课程》针对高一学生精选课程内容：高一同步课程+应试秒杀技巧，高考之前无限次观看。 在王总结数学《高一逆袭培优》课程中，包括了高一必修课程的所有重难点，还有总结好了的考试常考知识点和题型。这些都能帮助学生打牢基础知识，让学生树立数学信心，在高一时拿下高分，在高二高三时学习游刃有余。 里面还包括了应试模型秒杀技巧，让学生能在考试中达到用时最短，准确率高，得分高的效果。 王总结数学《高一逆袭培优班》由高考数学应试专家王总结

老师亲自授课，985高校毕业的答疑老师全程跟踪督促保证授课质量！ 课下还有多重保障障，为孩子的成绩保驾护航！ 王总结数学就是采取的这样的革命课程体系，很多同学的成绩都在这样的保障之下得到提升，如此也在万千学生和家长之中收获了良好的口碑！ 我们为什么一定要在高一时学好数学拿下高分？ 因为无论是整个高中最重要的学习版块——基本初等函数，还是最让人头疼的高考必考分——数列，它们都集中在高一的课程中，如果等到高三再补，无疑增加了负担。正所谓“磨刀不误砍柴工”。 王总结数学《高一逆袭培优》课程，一直以来备受家长学生的欢迎肯定，提分效果非常明显，每一年的报名也是非常火爆的。

高中数学竞赛_复数【讲义】

第十五章 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，

高一数学竞赛辅导练习题3

高一数学竞赛辅导练习题3 环县一中高一数学竞赛辅导练习题(3) 一、选择题 ,(设则( ) SxyxyTxyxy,,,,,{(,)|0},{(,)|0,0}, A B C D STS,STT,STS,STS, 1fx(),,(若的定义域为A，的定义域为B，那么( ) gxfxfx()(1)(),，,x A B ,, , , ABR,AB,AB,,3. 区间所得的象集区间为，若区间的长度比区间[,0]:2mfxxm在映射,，[,]ab[,]ab 的长度大,，则,( ) [0,]mm , , , 10 , 2.5 , , 2-1-x4.给出下列几个函数:?y= 3x-5 , ? y=-x ,? y=-(x) ,? y= log(-x), ? y=(0.5) 2其中在区间上递减的函数个数是( ) (,0),, A. 0 B. 1 C.2 D.3 5.已知集合M={2010，3，25}，则M的所有子集的个数是( ) A(5 B(6 C(7 D(8 6(函数( ) yxx,，,(2)(6) A(有最小值，没有最大值， B(有最大值，没有最小值， C(有最小值，也有最大值， D(没有最小值，夜没有最大值， 7.以a,b,c顺次表示方程 x+logx=2 , x+logx =2 , x+logx=1的根，则它们的大小关系232 是 abc,,bac,,cab,,cba,, A( B( C( D(

32x，x1,xy,log(a,0且a,1);8. 下列4个函数中:?y=3x,1，? ?y,， a1，xx，1 11y,x(，)(a,0且a,1).? 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ) ,x2a,1 A(? B(?? C(?? D(?? 1a,f(log),9(函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x?[0，2]时，f(x)是减函数，设b= 82f(7.5)，c= f(,5)，则a、b、c的大小关系是( ) abc,,acb,,bac,,cab,, A( B( C( D( 1133,,,12222A,B,xx，xx，10. 已知，，，则的值分别为( ) AB,xx，,3 ,5,25,25,5 A(， B(， 255525 C(， D(， 二、填空题: 11. 边长为2的正三角形的面积是_________. 12.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为对角线AD上一点，N为对角线BD 上1111111的一点，则线段MN的长度的最小值是 xy，2yx,113.若2(2),并且，则 x+y= _______________. 93, yxx,，,3的最大值是_____________ ; 14.函数 x15.函数的定义域是___________ y,2log()xx,2 1f(x),f()16. 设二次函数f(x)，对x?R有=25，其图象与x轴交于两点，且这两点的横2 坐标的立方和为19，则f(x)的解析式为 2f(x),ax，2ax，117(已知二次函数在区间[,3，2]上的最大值为4，则a的值为 218(a > 0，当时，函数的最小值是,1，最大值是1. 求f(x),,x,ax， bx,[,1,1]

数学培优讲义(均值不等式)

数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____

例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=<> 练习2、设a >b >c ，证明 4≥--+--c b c a b a c a 练习3、设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1221322221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n 练习4、的最小值，求设xz y z x y z x z y x ++-- ->>)(272

新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题三 数列 第1讲

专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式：□ 01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□ 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 2．等比数列 (1)等比数列的通项公式：□ 01a n ＝a 1q －＝a m q －. (2)等比中项公式：□ 02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □ 03S n ＝??? na 1(q ＝1)， a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1) . 3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k □ 01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ＋a n ＝2a p . (2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□ 03等差数列． (3)等差数列的“依次每m 项的和”即S m □04S 2m －S m ，□ 05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列．

高中数学竞赛讲义_复数

复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，

学高中数学竞赛辅导计划

学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表

高中数学竞赛培优专题辅导-复数

高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).

高一数学 培优教材三角函数

高一年段数学培优教材第四讲 三角函数 一、基础知识： 1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2 x k k Z π π=+ ∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈； cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2 k k Z π π+ ∈ tan (,)2 y x x k k Z π π=≠+ ∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形. 2． 求三角函数最值的常用方法： ① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值. ② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b y c x d +=+）可利用正弦函数的有界性来求. ④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用： 1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3 α= 时，)f α=_________________ 2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________ 3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________ 4． 函数5cos 23sin ,[,]63 y x x x ππ =+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________ 6． 函数sin (0)2cos x y x x π= <<+的最大值是_________________ 7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4 y a bx π =+ 的最小正周期. 8． 已知函数2 ()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0, ]2 π ，值域是[5,1]-，求,a b 的值. 9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8 x π =- 对称，求a 的值. 10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1 3 x = 时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123 [,]44 上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由. 11．已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π 上是单调函数，求,?ω的值. 12．已知定义在区间2[, ]3 ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当2[, ]6 3 x π π∈- 时，函数 ()s i n ()(0, 0,) 22 f x A x A ππ ω?ω?=+>>-<< ， 其图象如图所示. （1）求函数()y f x =在2[, ]3 ππ-的表达式； x