第七章差分方程模型概论

第7章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

§7.1 市场经济中的蛛网模型

例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象

供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量

↑ 数量与价格在振荡 ↓

增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求

提出的问题

1.描述商品数量与价格的变化规律

2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定

3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定

[模型分析与假设] 蛛网模型

设

k

x ~第k 时段商品数量；

k

y ~第k 时段商品价格

消费者的需求关系 → 需求函数 )

(k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数

)

(1k k y h x =+ → 增函数

↓

)

(1+=k k x g y

f 与

g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

y

x0 y0

方程模型

在P0点附近用直线近似曲线

)

(k k x f y =→

)

0()(00>--=-ααx x y y k k )

(1k k y h x =+→

)

0()(001>-=-+ββy y x x k k

)(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ

1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K >

方程模型与蛛网模型的一致

f

K =α

g

K =β/1

[模型的求解]

考察α ,β 的含义

xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格

)

(00x x y y k k --=-α

α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度

)

(001y y x x k k -=-+β

β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量

α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定

→ 1<αβ 经济稳定

经济不稳定时政府的干预办法

1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变

2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变

x y 0 y0 g f

x y 0 x0 g

f

[模型的推广]

生产者管理水平提高

)

(1k k y h x =+

↓

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。

?

?? ??+=-+211k k k y y h x 设供应函数为

]2/)[(0101y y y x x k k k -+=--+β

需求函数不变 )

(00x x y y k k --=-α

→

,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ

二阶线性常系数差分方程

若x0为平衡点 研究平衡点稳定，即∞

→k , xk →x0的条件

12)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++

方程通解

k k

k c c x 2

211λλ+= (c1, c2由初始条件确定)

2

,1λ~特征根，即方程 2*λ*λ+αβλ+αβ =0的根

平衡点稳定，即∞→k , xk →x0的条件:

1

2,1<λ

48)(22,1αβ

αβαβλ-±-=

→

22,1αβλ= 平衡点稳定条件2<αβ 比原来的条件1<αβ放宽了

7.3 差分形式的阻滞增长模型

连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)

x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)

)1()(N x

rx t x

-=

∞→t , x →N, x=N 是稳定平衡点(与r 大小无关)

离散形式 yk ~某种群第k 代的数量(人口)

,2,1),1(1=-

=-+k N y ry y y k

k k k

若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N

y*=N 是平衡点

讨论平衡点的稳定性，即∞

→k , yk

→N ？

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

)

1()1(1N y ry y y k

k k k -=-+ →

??????+-+=+k k k y N r r y r y )1(1)1(1 ↓

变量代换

k

k y N r r

x )1(+=

)2()1(1k k k x bx x -=+

1+=r b 记 一阶(非线性)差分方程

(1)的平衡点y*=N <--> (2)的平衡点

b r r x 111*-=+=

讨论 x* 的稳定性 一阶非线性差分方程

)

1()(1k k x f x =+的平衡点及稳定性

(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程

)

2())(()(***1x x x f x f x k k -'+=+

稳定性判断 x*也是(2)的平衡点

1)(*<'x f x*是(2)和(1)的稳定平衡点 1

)(*>'x f x*是(2)和(1)的不稳定平衡点

)

1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性 1+=r b

平衡点 )1()(x bx x f x -== →

b x 1

1*-

= 另一平衡点为 x=0

稳定性

)21()(*

*x b x f -='b -=2 1

)(*<'x f <--> 31< x* 稳定 1)0(>='b f 不稳定

)

1)((3*>'>x f b <--> x* 不稳定

21)1(<

→ 2/1/11*

<-=b x

*x x k

→（单调增）

)

1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性

32)2(<-=b x 3)3(>b

*x x k

→（振荡地）

*x x k

→（不）

K

b=1.7 b=2.6 b=3.3 b=3.45

b=3.55 0 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 1

0.2720

0.4160

0.5280

0.5520

0.5680

数值计算结果

)

1(1k k k x bx x -=+ 初值 x0=0.2 b <3, x →

b x 11*-

=

b=3.3, x →两个极限点 b=3.45, x →4个极限点 b=3.55, x →8个极限点

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论

3.3=b *x x k →（不） *

212*12,x x x x k k →→+子序列

单周期不收敛 2倍周期收敛

)

(1k k x f x =+

(*)

)())(()()2(12k k k k x f x f f x f x ===++

))((x f f x =)]1(1)[1(x bx x bx b ---?= )1()(x bx x f -=

(*)的平衡点 b x 11*

-

= b b b b x 23212*

2,1--+=

)(),

(*1*2*

2*1x f x x f x == 10*

2**1<<<

x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性

倍周期收敛

b b b b x

23212*2

,1--+=

的稳定性

2

)

2()]([])([x f x f

'='

)

()())(())((*

2*1)2()2(*2

*1

x f x f x f x f x x x x ''='='==

)21()(x b x f -='

)

21)(21())((*

2*12,)2(*2

*1

x x b x f x x x --='=

1

))((*

2,1)2(<'x f → 449.361=

+< b *

2

12*12,x x x x k k →→+

倍周期收敛的进一步讨论

1

))'((45.3*

2,1)2(>?>x f b → x1*, x2* (及x*)不稳定

出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究

)

()4(4k k x f x =+

1

))'((45.3*

2,1)2(>?>x f b

544.3449.3<

2n 倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n 倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … ∞→n , bn →3.57 b>3.57, 不存在任何收敛子序列 → 混沌现象

)

1(1k k k x bx x -=+的收敛、分岔及混沌现象

7.4 按年龄分组的种群增长

不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象

x

*

x 2*

x *

b=3.

4

y=f(2)(x) y =x

x 0 b

建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律

[假设与建模]

种群按年龄大小等分为n 个年龄组，记i=1,2,… , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi

第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di xi(k)~时段k 第i 年龄组的种群数量

)

()1(11k x b k x i n

i i ∑==+(设至少1个bi>0)

??

???

???????????????=--000000121121n n n s s s b b b b L

~Leslie 矩阵(L 矩阵)

T

n k x k x k x k x )](),(),([)(21 =~按年龄组的分布向量

)()1(k Lx k x =+

)0()(x L k x k = 预测任意时段种群按年龄组的分布

[数学知识的分析] L 矩阵存在正单特征根

1，

n

k k ,3,2,1=≤λλ

特征向量

T

n n s s s s s s x ?

?????=--11121212111*,,,,1λλλ 若L 矩阵存在bi, bi+1>0, 则

n

k k ,,3,2,1 =<λλ

且

*

1

)

(lim

cx k x k

k =∞

→λ, c 是由bi, si, x(0)决定的常数

解释 )0()(x L k x k

= L 对角化 11)],([-=P diag P L n λλ 1

1)],([-=P

diag P L k n k k λλ P 的第1列是x*

→

)

0()0,0,1()

(lim

11

x P Pdiag k x k

k -∞

→= λ*cx =

[模型的求解]

稳态分析——k 充分大种群按年龄组的分布 *

1

)

(lim

cx k x k k =∞

→λ

*)()1x c k x k λ≈ ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。

)()1()2k x k x λ≈+→)()1(k x k x i i λ≈+~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减，λ称固有增

长率

3）λ=1时 *

)()1(cx k x k x ≈≈+

[]T

n s s s s s s x 121211*,,,1-= ~ 各年龄组种群数量不变

λ

=1时 **x Lx =

[]T

n s s s s s s x 121211*,,,1-= ↓

??

???

?????

??????????=--000000121121n n n s s s b b b b L → 1121121=+++-n n s s s b s b b ~ 1个个体在整个存活期

内的繁殖数量为1

,)()4*x c k x k λ≈T

n s s s s x ],,,,1[1211*-=

→

1

,,2,1),()(1-=≈+n i k x s k x i i i ~存活率 si 是同一时段的 xi+1与 xi 之比

（与si 的定义)

()1(1k x s k x i i i =++ 比较）

第七章差分方程模型概论

第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0

方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f

第七章 差分方程模型

第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是

差分方程模型习题+答案

1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240

思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为

第七章线性差分方程模型的辨识

第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式

差分方程模型应用

第七章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。 7.1个人住房抵押贷款 随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列: 表7.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。 表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660 表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元） 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款 一次还清 本息总和 10612.0 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71 一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？ 我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第k 个月时欠款余额为k A 元，月还款m 元,则由k A 变化到1k A +,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r ,从而得到 1k k k A A rA m +-=-

差分方程模型(讲义)

差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i =关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21 为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a λλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21 称为(1)式的特 征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21 ，则