三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常

涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问

题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另

一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面

就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定

的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1函数的最小值为（）.

A． 2 B . 0 C . D . 6

[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx

的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B.

例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值

[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

二引入辅助角法

例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。

[分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。

解：

三利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

例4求函数的值域

[分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

解法一：原函数变形为，可直接得到：或

解法一：原函数变形为或

例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。

解：

f(x)的最小正周期为，最大值为。

四引入参数法（换元法）

对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式

一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。

[分析]解：令sinx+cosx=t，则

，其中

当

五利用基本不等式法

利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。

例7 求函数的最值。

解：=

当且仅当即时，等号成立，故。

六利用函数在区间内的单调性

例8已知，求函数的最小值。

[分析] 此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。

七数形结合

由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。

例9 求函数的最小值。

[分析] 法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，

使得相应的直线斜率最小。

设过点A的切线与半圆相切与点B,则

可求得

所以y的最小值为（此时）.

法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。八判别式法

例10求函数的最值。

[分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。

解：

时此时一元二次方程总有实数解

由y=3，tanx=-1，

由

九分类讨论法

含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。

例 11设，用a表示f(x)的最大值M(a).

解：令sinx=t,则

当，即在[0，1]上递增，

当即时，在[0，1]上先增后减，

当即在[0，1]上递减，

以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。

求三角函数的值域(或最值)的方法

求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．

y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．

∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是

三角函数最值问题类型归纳

三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。 解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，

《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计

《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计 湖南师大第二附属中学刘海军 一.教学分析 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。 二.教学目标 1.知识与技能：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题. 2.过程与方法：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想 来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高45分钟的效率. 三.教学重点、难点 教学重点：求三角函数的最大、最小值. 教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函数最值. 四.课型及课时安排 高三复习课，2课时：第1课时. 五.教学方法设计 综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六.学情分析 高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱.学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解：

三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中

三角函数的最值问题

三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角函数的最值问题 三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！ 一 化为单名函数的形式 例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos -- ① 求f(x)得最小正周期; ② ?? ????∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。 解: (1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )2 22sin 222(cos 2?-=x x )4 2cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T （2）20π≤ ≤x ∴ ??????∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+ x 即0=x 时最大值是1 ππ=+ 42x 即83π=x 时最小值是－2 注意 ① 辅助角公式)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 的应用 ② 注意三角函数区间最值的正确取舍 二 单名函数的复合型 例2 3 1sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值

解：∵ x y sin 3 1sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 3 4sin 32≤≤-x ∴ 12 11)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为12 11- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！ 三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin 例3 求函数x x x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+= ∴ )1(2 1121 2-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t ∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y 注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！ 四 限量代换 例4 求函数21x x y -+=的值域 解：函数的定义域[]1,1-∈x 令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4 sin(2sin cos π θθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y 注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性” 五 建立关系等式整体带入或转化

利用三角函数求解最值问题

利用三角函数求解最值问题 一、教学目标 1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半 圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面 积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。 2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文 字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化 归能力。同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用 意识和创新意识。 个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感 4、教材分析： （1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数 的图象、三角函数的性质为必要基础。属于人教版高中《数学》第 四册（必修B）第一、三章内容。 （2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种 三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及 较少。而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能 多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联 系，感受数学的应用价值。本课为此联系生活实际提出问题，设 计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的 特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所 在。 （3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）—— 自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获 得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学 模式。本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子— 锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究， 给学生提供了观察、操作、表达等机会。同时帮助学生对所学内容 进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运 用不断加深对知识本质的认识。培养了学生勇于探索、深入研究的 优秀学习品质。 (4)教学过程与方法：在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程，培养学生探 究学习、合作学习的习惯。让学生充分体会由特殊到一般的认识规律， 培养学生学会观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的方法。 5、学情与学法指导 学情分析：一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已经具备一定的观察能力，分析能力 和解题能力；另一方面师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可 适当加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生观察，归纳能

2020年高中数学三角函数的最值问题必修4

三角形中的最值问题 山东莘县观城中学 郭银生 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明： 例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ） A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角 解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα 和ccosα， 故 L =c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。 L=a+b+2 2b a ＋≤） ＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性） 设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意 csinA+ccosA+c=1,即c=A A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4 1 (当且仅当A=∏/4时取等号)

三角函数最值问题

目录 摘要................................................................................................................................................... I I ABSTRACT ......................................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (4) 1.1 三角函数的起源与发展 (4) 1.2 三角函数的最值问题 (4) 第二章解决三角函数最值问题的方法技巧 (6) 2.1 利用三角函数的定义、性质与函数图像解决最值问题 (6) 2.2 利用转化（或化归）思想解决最值问题 (7) 2.3 利用换元法解决最值问题 (10) 2.4 利用数形结合解决最值问题 (14) 2.5 利用不等式解决最值问题 (15) 第三章三角函数最值的简单应用 (17) 3.1 在数列中的简单应用 (17) 3.2 在不等式中的简单应用 (18) 3.3 在几何中的简单应用 (19) 3.4 在复数中的简单应用 (20) 第四章结论 (22) 参考文献........................................................................................................... 错误!未定义书签。致....................................................................................................................... 错误!未定义书签。

2021届新高考数学二轮 培优点7 三角函数中的范围、最值问题(原卷版)

培优点7 三角函数中的范围、最值问题 【方法总结】 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 【典例】1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在? ?????0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________． (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________． 【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x 的图象向右平移2π3 个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在??????0，π2上的值域为???? ??－12，1，则ω的取值范围为( ) A.??????43，83 B.??????13，53 C.??????43，＋∞ D.???? ??83，＋∞ (2)若将函数f(x)＝sin ? ????2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 【方法总结】 (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等． (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象． 【拓展训练】

1．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，且f ? ?? ??π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．若函数f(x)＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) A.45 B.35 C.25 D.215 3．已知函数f(x)＝2sin ? ????ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________． 4．已知函数f(x)＝sin ? ????ωx ＋π3(ω>0)，若f(x)在??????0，2π3上恰有两个零点，且在???? ??－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________．

三角函数解三角形中的最值问题

1.已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ，已知//m n （1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2 a C c b += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- （1）求角C ； （2）求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ，角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ? 取得最大值时，求角A 的大小； （2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围. 6．已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x = 且//a b （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围.

三角函数的最值问题(章节练习)

三角函数的最值问题 三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！ 一 化为单名函数的形式 例1 函数f(x)=x x x x 44 sin cos sin 2cos -- ①求f(x)得最小正周期; ② ?? ????∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。 解: (1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22 --= x x 2sin 2cos -= )2 2 2sin 222(cos 2?-=x x )4 2cos(2π += x ∴ f(x)最小正周期是π=T （2）2 0π≤≤x ∴ ?? ? ???∈+45,42 2πππx ∴ 4 4 2π π = +x 即0=x 时最大值是1 ππ=+4 2x 即8 3π=x 时最小值是－ 2 注意 ① 辅助角公式)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 的应用 ② 注意三角函数区间最值的正确取舍 二 单名函数的复合型

例2 3 1sin sin =+y x ，求x y 2 cos sin -的最值 解：∵ x y sin 3 1sin -= ∴ 1sin 3 11≤-≤-x ∴ 3 4sin 3 2≤≤-x ∴ 12 11 )21(sin cos sin 22 --=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为12 11- ； 3 2sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！ 三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin 例3 求函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12 += ∴ )1(2 1121 2-=+-=t t t y ∴ 22≤≤- t 且 1≠t ∴ ) 12(2 1 )12( 2 1-≤≤+-y 且 1-≠y 注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！ 四 限量代换 例4 求函数2 1x x y -+ =的值域 解：函数的定义域[]1,1-∈x 令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4sin(2sin cos π θθθ+=+=y ∴ 21≤ ≤-y 注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性”

求三角函数的周期6种方法总结多个例子详细解答

如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、定义法 例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 3 2tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π． ∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 3 2tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切 函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )2 3 (32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即

3 2tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π2 3． 例2. 求函数 （m ≠0）的最小正周期。 解：因为 所以函数（m ≠0）的最小正周期 例3. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期. 解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜ ＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜ ＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜

三角函数的最值

三角函数的最值 一、知识归纳 1． 基础知识 （1） 配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数2 sin sin 1y x x =++的最值，可转化为求函数 []21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。 （2） 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值： sin )a x bcox x ?+=+ 如函数1 2sin y x cox = ++的最大值是（ ） A ． 12- B.12+ C.12- D.12 -- 应选B （3） 数形结合 常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin 2 x y cox = +的最大值和最小值。函数 sin 2 x y cox = +的几何意义为两点(2,0),(cos ,sin )P Q x x -连线的斜率k ，而Q 点的 轨迹为单位圆，由图可知max min y y == （4） 换元法求最值 ①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。 ②利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。 例如：设实数y x ,满足,12 2 =+y x 则y x 43+的最大值为______. 解：由,12 2 =+y x 可设θθsin ,cos ==y x 则)sin(5sin 4cos 343?θθθ+=+=+y x ，则其最大值为5。 2． 重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。 3． 思维方式 （1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。 （2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。 （3） 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。

高中三角函数最值问题的一些求法

高中三角函数最值问题的一些求法 关于()f x ω?+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如 sin(),11y x y y ω?=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ω?=+==-最大最小，； tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1：求函数y ＝ x x x x x x x x cot | cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x y x x x x = +++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- （3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=-- （4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题 例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13 x -1 y=的最大值和最小值，则M m +等于（ ） （A ） 32 （B ）32-（C ） 3 4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13 x -1 y=的最大值与最小值分别为 32-,34-,即M m +＝32-+（3 4 -）=-2,选D. 例2：求3sin 1 sin 2 x y x +=+的最值（值域） 分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3 y x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。 解：3sin 1 sin 2 x y x += +，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-

三角函数最值问题的十种常见解法

- - 总结 三角函数最值问题的十种常见解法 福州高级中学 陈锦平 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一．转化一次函数 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 例1．求函数2cos 1y x =-的值域 [分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈- 二. 转化sin()y A x b ω?=++(辅助角法) 观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一. 例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . [分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ω?=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +求最值. ()f x ≤ 三. 转化二次函数(配方法) 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.

求三角函数最值的四种方法

求三角函数最值的四种方法 解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性 如有界性等 ，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数 二次函数等 最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略 1．配方转化策略 对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2 x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决． [典例1] 求函数y ＝5sin x ＋cos 2x 的最值． [解] y ＝5sin x ＋()1－2sin 2x ＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2? ????sin x －542＋338. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝－2×116＋338＝4. [题后悟道] 这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x 或cos x 的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x 或cos x 的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]． 2．有界转化策略 对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一． [典例2] 设函数f (x )＝4cos ? ????ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. 求函数y ＝f (x )的最值． [解] f (x )＝4? ?? ??32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1， 因为－1≤sin 2ωx ≤1， 所以函数y ＝f (x )的最大值为3＋1，最小值为1－ 3.

高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案:三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所 以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值

高三数学求三角函数最小正周期的五种方法

求三角函数最小正周期的五种方法 spacetzs 关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1.求函数y m x =-cos( )56π（m ≠0）的最小正周期。 解：因为y m x =-cos()56 π =-+=+-cos( )cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56 π（m ≠0）的最小正周期 T m = 10π|| 例2.求函数y x a =cot 的最小正周期。 解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最小正周期为T a =||π。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。

1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω|| 。 2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω|| 。 3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω|| 。 4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T = πω|| 例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。 解：因为T ==πωω|| 而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T = π 3。 例4.求函数y n m x =-cot()3π的最小正周期。 解：因为T n m ==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。 例5.求函数y x x =+sin cos 66 的最小正周期。

高中三角函数最值问题难题

高中三角函数最值问题难题 一、典型高考难题 最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。 一、配方法 例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为() A.2 B.0 C.-■ D.6 略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1] 利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y ≤6。 答案:B 点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。 二、“合一变形”及有界性法 例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是() A.2-■ B.2+■ C.0 D.1

略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。 答案:A 点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。 变题:函数y=■的值域为 略解:由y=■得,sinθ=■ 而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为: [-2,0] 三、“和积不等式”与“勾子函数”法 例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为() A.2■ B.-2■ C.6 D.-6 略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1) 由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。 答案:C 变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为() A.2■ B.-2■ C.6 D.-6 略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1) 由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号答案:A 点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而