概率论与数理统计-第1讲
第1讲样本空间随机事件
样本空间随机事件
自然界与社会生活中的两类现象
确定性现象
随机现象
2
3
例如：在一个标准大气压下，水加热到100℃一定会沸腾.
确定性现象:
在一定条件下必然发生的现象.
4
例如掷骰子可能出现“1点”，也可能是其他情况；
检验产品可能是合格品，也可能是不合格品.
随机现象:
在一定条件下具有多种可能结果，且
试验时无法预知出现哪个结果的现象.
5
例：
向上抛出的物体会落下（
）
打靶，击中靶心（
）买了彩票会中奖（
）
确定不确定不确定
对随机现象的观察、记录、实验统称为
随机试验.它具有以下特性：?可以在相同条件下重复进行；?事先知道所有可能出现的结果；?
进行试验前并不知道哪个试验结果会发生.
6
7
例：
抛一枚硬币，观察试验结果；
对某路公交车某停靠站登记下车人数；
对听课人数进行一次登记.
(一)样本空间
定义：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记为S={e}，
S中的元素e称为样本点．
8
9
例1：
一枚硬币抛一次；
记录一城市一日中发生交通事故次数；??{0,1,2,...};
S ={,};
S =正面反面
10记录一批产品的寿命x；
记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y ??
{(,):}.
S x y a y x b =≤≤≤{:0};
S x x =≥
(二) 随机事件
样本空间S的子集A称为随机事件A，简称事件A.当且仅当A中的某个样本点发生称事件A发生.
事件A的表示可用集合，也可用语言来表示.
11
12
例2：观察某公交站的候车人数，样本空间S=？事件A表示“至少有5人候车”，A=？
事件B表示“候车人数不多于2人”，B＝？{0,1,2,...};S ={5,6,7,...};A ={0,1,2}.
B =
?如果把S看作事件，则每次试验S总是发生，所以S称为必然事件.
?如果事件只含有一个样本点，称其为基本事件.
?如果事件是空集，里面不包含任何样本点，记为Φ，则每次试验Φ都不发生, 称Φ为不可能事件.
13
接例2：观察某公交站的候车人数，
样本空间S={0,1,2,…}.
事件C表示“恰好有3人侯车”,
C={3}是基本事件；
事件D表示“候车人数既少于3个又多于3”,
D=Φ,是不可能事件.
14
事件之间有哪些关系与运算呢？
下一讲告诉你。
15
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ 李贤平《概率论与数理统计》标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 一 、名词解释 1、样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。 2、随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。 3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。 4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。 5、概率加法定理：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(B │A) 7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B 是相互独立的。 8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。 9、条件概率：设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B │A)=()()A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 10、全概率公式： P(A)= () ) /(1 B B i A P n i i P ∑= 11、贝叶斯公式： P(Bi │A)= ()( ) ∑=?? ? ????? ?? n i j A P j P i A P i P B B B B 1 12、随机变量：设E 是随机试验，它的样本空间是S=﹛e ﹜。如果对于每一个e ∈S,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S 上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。 13、分布函数：设X 是一个随机变量，χ是任意实数，函数F(χ)=P(X ≤χ)称为X 的分布函数。 14、随机变量的相互独立性：设(χ,у)是二维随机变量 ，如果对于任意实数χ,у，有F(χ,у)=F x (χ)·F y (у)或 f (χ,у)= f x (χ)·f y (у)成立。则称为X 与Y 相互独立。 15、方差：E ﹛〔X-E(χ)〕2〕 16、数学期望：E(χ)= ()dx x xf ?∞ -+∞ (或)= i p i i x ∑+∞ =1 17、简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若χ1 , χ2 … , χn 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称χ1 , χ2 … , χn 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本。 18、统计量：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体X 的一个样本，g(χ1 , χ2 … , χn )是χ1 , χ2 … , χn 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数，则称g(χ1 , χ2 … , χn )是一统计量。 19、χ2(n)分布：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 χ2=n x x x 2......2212++ , 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2 (n). 20、无偏估计量：若估计量θ=θ(χ1 , χ2 … , χn )的数学期望E(θ)存在，且对任意θ ∈ (H)有E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量。 二、填空： 1、随机事件A 与B 恰有一个发生的事件A B ∪ A B 。 2、随机事件A 与B 都不发生的事件是A B 3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。 4、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=31,则 P(A ∪ B)=65P (AB)=0。 5、随机事件A 与B 相互独立，且P(A)= 3 1 ,P(B)=51，则P （A ∪ B ）= 15 7。 6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新 球的概率是95 。 4 8、若X 的分布函数是F(x)=P(X ≤ x) , x ∈ (-∝,+∝) 则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1 湖北汽车工业学院 概率论与数理统计考试试卷 一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ．则下列命题不正确的是 )(A )()|(A P B A P =． )(B )()|(B P A B P =． )(C )(1)(B P A P -=． )(D )()()(B P A P AB P =． 【B 】2．已知随机变量X 的分布律为 则)35(+X E 等于 )(A 8． )(B 2． )(C 5-． )(D 1-． 【A 】3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，而 }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 )(A 对任何实数μ，都有21p p =． )(B 对任何实数μ，都有21p p <． )(C 只对μ的个别值，才有21p p =． )(D 对任何实数μ，都有21p p >． 【C 】4．在总体X 中抽取样本,,,321X X X 则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是 )(A 3213211X X X ++= μ． )(B 2223212X X X ++=μ． )(C 3333213X X X ++=μ． )(D 4 443214X X X ++=μ． 【D 】5. 设)(~n t X ，则~2 X )(A )(2n χ． )(B )1(2χ． )(C )1,(n F ． )(D ),1(n F ． 【B 】6．随机变量)1,0(~N X ，对于给定的()10<<αα，数αu 满足αα=>)(u u P ， 若α=<)(c X P ，则c 等于 )(A 2αu ． )(B )1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ． 二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）： 1. 设样本空间{},2,3,4,5,6 1=Ω，{},21=A ,{},32=B ,{},54=C ,则=)(C B A {},3,4,5,61. 2. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是 5 1 . 3. 设离散型随机变量X 的分布列为{}k a k X P ?? ? ??==31， ,3,2,1=k ，则=a 2. 4. 已知2)(-=X E ，5)(2 =X E ，那么=-)32015(X D 9. 第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 福州大学概率论与数理统计试卷A (20130702) 附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t 一、 单项选择(共18分,每小题3分) 1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( ) （A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数 2.设,A B 独立，则下面错误的是( ) (A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且3 1 )0()0(= ≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）3 1 4. 设128,,,X X X K 和1210,,,Y Y Y L 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( ) （A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）2 22 145S S 5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.25 6.设总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21Λ为X 的一组样本， X 为样本均值，2 s 为样本 方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（ ）. (A) 1--n s X μ (B) 2 2)1(σs n - (C) n s X μ - (D) ∑=-n i i X 1 22)(1μσ 学院 专业 级 班 姓 名 学 号 《概率论与数理统计》复习大纲与复习题 09-10第二学期 一、复习方法与要求 学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成. 学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目. 如开学给出的学习建议中所讲： 作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.考试也有所侧重，期末考试各章内容要求与所占分值如下： 第一章随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系，约占30分. 第二章一维随机变量的分布，约占25分. 第三章二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定. 约占10分. 第四章随机变量的数字特征. 约占15分. 第五、六、七、八章约占20分.内容为： 第五章：契比雪夫不等式与中心极限定理. 分布）；正态总体样第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（t分布、2 本函数服从分布定理. 第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计. 第八章：一个正态总体期望与方差的假设检验. 二、期终考试方式与题型 本学期期末考试类型为集中开卷考试，即允许带教材与参考资料. 题目全部为客观题，题型有判断与选择.当然有些题目要通过计算才能得出结果.其中判断题占70分，每小题2分；选择题占30分，每小题3分. 三、应熟练掌握的主要内容 1. 理解概率这一指标的涵义. 2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断. 3. 理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.掌握事件的运算律. 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()(Y （n 可 以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞） 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =< 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反） }；{=B （正，正），（反， 反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正） } 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解 ： {})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （ 3 ） C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7 ） C B A C B A C B A C B A +++或 C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 作业 1．第25题 设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则（）（A）（B）-（C）1-（D）1+ A.； B.； C.； D.. 标准答案：C 您的答案： 题目分数：1.0 此题得分：0.0 2．第26题 设P（B）>0，则在事件B已发生的条件下，事件A的条件概率定义为P(A│B)=( ) (A)(B)(C)P(A)P(B) (D)P(AB)P(B) A.； B.； C.； D.. 标准答案：B 您的答案： 题目分数：1.0 此题得分：0.0 3．第27题 设来自总体N（0，1）的简单随机样本，记，则=() （A）n （B）n-1 （C） （D） A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 标准答案：C 您的答案： 题目分数：1.0 此题得分：0.0 4．第29题 设样本X1,X2,...X n，来自正态总体X~N（）,其中未知，样本均值为，则下列随机变量不是统计量的为（） （A）（B）X1 （C）Min(X1,,...X n) (D) A.； B.； C.； D.. 标准答案：D 您的答案： 题目分数：1.0 此题得分：0.0 5．第30题 假设样本X1,X2,...X n来自总体X,则样本均值与样本方差S2=2独立的一个充分条件是总体X服从（）。 A.二项分布 B.几何分布 C.正态分布 D.指数分布 标准答案：A 您的答案： 题目分数：1.0 此题得分：0.0 6．第31题 设A,B是两个随机事件，且,,,则必有（） （A）（B） （C）（D） ？ A.见题 B.见题 C.见题 D.见题 标准答案：C 您的答案： 题目分数：0.5 此题得分：0.0 7．第32题 设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（） A.1/2 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 《概率论与数理统计》期（末）练习卷答案 一、填空题 ( 每空2分,共30分) 设A 、B 、C 为三事件，则事件“A 发生B 与C 都不发生”可表示为_____________;事件“A 、B 、C 不都发生”可表示为_______________；事件“A 、B 、C 都不发生”可表示为______________。（C B A ；C B A ??;C B A ??）100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算 式）。（5100 2 90 310C C C ）3. 已知随机变量X 的分布函数为()???? ???≥<≤<≤<=3 ,132,5.021,4.01 ,0x x x x x F ，则P(X=1)=__，P(X=2.5)=__。 解： F(x)的跳跃点分别是1，2，3，对应的跳跃高度为0.4，0.1，0.5。故其分布律为 ∴P(X=1)=0.4, P(X=2.5)=0 4. 设()3,1~N X ，则X 的函数Y=~ N(0,1)。（3 1-X ） 5. 设二维随机变量 () Y X ,的联合分布律为{} 12 1 ,= ==j i y Y x X P ，;3,2,1=i 4,3,2,1=j ，则{}==1x X P __________。 解： ∴{}= =1x X P 3 6. 已知5.1=EX ，62=EX ，则()_______2=X E ， _______)(=X D ，()______2=X D 。 解： 35.1*2)(2)2(===X E X E 75.35.16)()()(222=-=-=EX X E X D 1575.3*4)(4)2(===X D X D 7. 在假设检验中若原假设0H 实际为真时却拒绝0H ，称这类错误为。弃真（第一类错误） 8. 设随机变量()p n b X ,~，且4.2=EX ，44.1=DX ，则_______ =n ；__________=p ；()________0==X P 。 解：64 .06.044.1)(4.2)(=???==????====n p q npq X D np X E {}()6 6.00==x p 二、解答题（共70分） （8分）将两信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为02.0，而B 被误收作A 的概率为01.0。信息A 与信息B 传送的频率程度为1:2。1）若接受站收到一信息，是A 的概率是多少？ 2）若接受站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解：设1A ，2A 分别表示发出A ，B ； 1B ，2B 分别表示收到A ，B ，则 1）()()()()() 2121111A B P A P A B P A P B P +=01.03 1 98.032?+?= 6567.0= 2）()()()()9949.0197 196 6567.098.032 111111==?== B P A B P A P B A P 2019复旦大学861概率论与数理统计考试重难点与课后习题讲解（含名校真题答案） 《概率论与数理统计教程》考试重难点与课后习题讲解（含名校真题答案）由鸿知复旦考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，组织鸿知教学研发团队与复旦大学优秀研究生共同合作编写而成。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019复旦大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。 本书旨在帮助报考复旦大学考研的同学通过教材章节框架分解、配套的课后习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。 通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。 适用院系： 管理学院：概率论与数理统计 大数据学院：概率论与数理统计 生命科学学院：生态学 适用科目： 861概率论与数理统计 本书包括了以下几个部分内容： Part 1 - 考试重难点： 通过总结和梳理《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）等教材的各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。 Part 2 - 教材配套课后/经典习题与解答： 针对《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）等教材的课后习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对复旦考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。 Part 3 - 名校考研真题详解汇编： 根据教材内容和考试重难点，精选本专业课考试科目相关的名校考研真题，通过研读参考配套详细答案检测自身水平，加深知识点的理解深度，并更好地掌握考试基本规律，全面了解考试题型及难度。 本资料由鸿知复旦考研网发布概率论与数理统计第4章作业题解
李贤平《概率论与数理统计》标准答案
概率论与数理统计习题
概率论与数理统计期末试卷及答案(最新11)
概率论与数理统计1_8课后习题答案
概率论与数理统计第四版课后习题答案
11概率论与数理统计试卷及答案
概率论与数理统计含答案.
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》袁荫棠 中国人民大学出版社 课后答案 概率论第一章
概率论与数理统计浙大四版习题答案第六章1
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)80669
《概率论与数理统计》课后习题答案
华师概率论与数理统计答案6
《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
概率论与数理统计复习题答案
2019复旦大学861概率论与数理统计考试重难点与课后习题讲解(含名校真题答案)
- 概率论与数理统计第五版第一章习题答案
- 概率论与数理统计学1至7章课后答案
- 概率论与数理统计第一章(1)
- 第一章 概率论与数理统计1
- 概率论与数理统计答案(1)
- 概率论与数理统计学1至7章课后答案
- 概率论与数理统计学1至7章课后答案
- 概率论与数理统计1_8课后习题答案
- 概率论与数理统计整理(一二章)
- 概率论与数理统计1卷
- 概率论与数理统计1分析
- 概率论与数理统计习题集及答案
- 概率论与数理统计01(1)
- 概率论与数理统计学1至7章课后答案
- 概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
- 概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1[1]
- 第一章 概率论与数理统计1
- 概率论与数理统计第一章习题
- 概率论与数理统计1答案
- 概率论与数理统计1-1.