林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理

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目录

1概述

2]ei]和π的超越性

3]pi]进数猜想

1概述

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果?α1,...,αn?是代数数，在有理数???内是线性独立的，那么在???内是代数独立的；也就是说，扩张域在???内具有超越次数?n。

一个等价的表述是：如果?α1,...,αn?是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

2]ei]和π的超越性

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{e}是一个代数独立的集合，也就是说，e是超越数。特别地，e = e是超越数。另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，e不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明π是超越数。如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，e[sup]i[/sup] = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。

3]pi]进数猜想

p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。那么p进指数在Q内是代数独立的。

五位数学家

一、康托尔： 1、生平简介：康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔、维尔斯 特拉斯和克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷-维滕贝格大学附属精神病院去世。 2、主要贡献：康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把 握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。 可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。” 二、陈景润 1、陈景润，1933年5月22日生于福建福州，当代数学家。1953年9月分配到北京四中任教。1955年2月由当 时厦门大学的校长王亚南先生举荐，回母校厦门大学数学系任助教。1957年10月，由于华罗庚教授的赏识，陈景润被调到中国科学院数学研究所。1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献。1981年3月当选为中国科学院学部委员（院士）。曾任国家科委数学学科组成员。1992年任《数学学报》主编。1996年3月19日下午1点10分，陈景润在北京医院去世，年仅63岁 2、主要成就：他在数学领域里的研究硕果累累。他写成的论文《典型域上的多元复变函数论》于1957年1月获 国家发明一等奖，并先后出版了中、俄、英文版专著；1957年出版《数论导引》；1959年莱比锡首先用德文出版了《指数和的估计及其在数论中的应用》，又先后出版了俄文版和中文版；1963年他和他的学生万哲先合写的《典型群》一书出版。他发起创建了计算机技术研究所，也是中国最早主张研制电子计算机的科学家之1957年，陈景润被调到中国科学院研究所工作，做为新的起点，他更加刻苦钻研经过10多年的推算，在1965年5月，发表了他的论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》。论文的发表，受到世界数学界和著名数学家的高度重视和称赞。英国数学家哈伯斯坦和德国数学家黎希特把陈景润的论文写进数学书中，称为“陈氏定理” 三、苏步青 1、生平简介：苏步青（1902.09.23 ~ 2003.03.17），中国科学院院士，中国杰出的数学家，被誉为数学之 王，与棋王谢侠逊、新闻王马星野并称“平阳三王”。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就。曾任中国科学院学部委员、多届全国政协委员、全国人大代表，第五、第六届全国人大常委会委员，第七、八届全国政协副主席和民盟中央副主席，浙江大学数学系主任、复旦大学校长等职。1978年获全国科学大会奖。 2、主要成就：苏步青的研究方向主要是微分几何。1872年，德国数学家F．克莱因提出了著名的“爱尔兰 根计划书”，在其中总结了当时几何学发展的情况，认为每一种几何学都联系一种变换群，每种几何学所研究的内容就是在这些变换群下的不变性质。除了欧氏空间运动群之外，最为人们所熟悉的有仿射变换群和射影变换群。因而，在19世纪末期和本世纪的最初三四十年中，仿射微分几何学和射影微分几何学都得到很迅速的发展。苏步青的大部分研究工作是属于这个方向的。此外，他还致力于一般空间微分几何学和计算几何学的研究。一共发表了156篇学术论文，并有专著和教材十多部。他的不少成果已被许多国家的数学家大量引用或作为重要的内容被写进他们的专著。 四、祖冲之

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

[612] 数学分析

2012年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试考试科目名称：数学分析考试科目代码：[612] 一、考试要求： 1）要求考生熟练撑握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。 2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。 3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景， 清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。 二、考试内容： 1)、极限和连续 a．熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。 b．掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。 c．熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解相互关系。 d．熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质；并理解两者的相互关系。e．熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理。 2)、一元函数微分学 a．理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。 b．熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高介导数的运算法则，会求分段函数的导数。 c．熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式。

d．能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。 e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。 3)、一元函数积分学 a．理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数的积分。 b．掌握定积分的概念，包括Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。c．掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。 d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心）。 e．理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理。 4)、无穷级数 a．理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。 b．熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert 判别法与积分判别法。 c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。 d．熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass 判别法。Abel判别法和Dirichlet判别法。熟练掌握一致收敛级数的性质。e．掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理。 f．熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。了解Weierstrass逼近定理。 g．了解Fourier级数的概念与性质以及敛散性的判别法。 5)、多元函数微分学与积分学 a．理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。 b．掌握隐函数存在定理。

俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅简介

俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅简介 柯瓦列夫斯卡娅(СофьяВасильевнаКовалевская，1850年1月15日-1891年2月10日)，俄国女数学家。德国格丁根大学哲学博士。曾任瑞典斯德哥尔摩大学教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要贡献。下面是为大家整理的俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅简介，希望大家喜欢! 柯瓦列夫斯卡娅生平充满坎坷，出生于1850年1月15日莫斯科的一个名门贵族。8岁时和父亲移居到立陶宛，少年时勤奋好学，突出了数学天赋。 然而，在沙皇时期，妇女是不允许上大学的，这使柯瓦列夫斯卡娅感觉到，为女性同胞争取上大学的平等权利的重要性。18岁那年，得到一名年轻的古生物和地质专业的大学生柯瓦列夫斯基的愿意，以假结婚的方法从父母的监护下逃脱出来然后出国。这个名义上的婚姻，一直持续到她24岁完成学业并在科学研究中取得成就后才与柯瓦列夫斯基结为真正的夫妻。1869年，柯瓦列夫斯卡娅来到了德国海德尔堡求学。没想到，这里的大学也不许女生上，只勉强让旁听。最后，她抱一线希望去拜访柏林大学教授维尔斯特拉斯。维尔斯特拉斯同意了柯瓦列夫斯卡娅的请求。 在维尔斯特拉斯的教导下，1874年，获得哥廷根大学博士学位，成为世界上有名的女数学家。虽然她的学术成就得到公认，但是回国

求职仍有问题，因为沙皇时期根本不让妇女取得科学家的称号，只允许她做小学教师。 1889年，破格修改院章中有关“不让女性取得院士荣誉”的条例，推选柯瓦列夫斯卡娅为通讯院士。 1891年初，柯瓦列夫斯卡娅不幸患病，因诊断错误而导致病情恶化，同年2月10日逝世。柏林大学数学系主任克罗内克称赞她是“罕见的探索者”。柯瓦列夫斯卡娅为女性攀登科学巅峰树立了好的榜样。1896年，妇女界集资在她的墓前塑造了一座纪念碑，她的形象和成绩，永远存在人们心中。 柯瓦列夫斯卡娅数学成就柯瓦列夫斯卡娅是一位著名的俄国女数学家;德国格丁根大学的哲学博士;曾担任过瑞典斯德哥尔摩大学的教授。在偏微分方程和刚体旋转理论等方面有重要的成就。1888年因解决刚体绕定点旋转问题而荣获法兰西科学院鲍廷奖，并因此成为圣彼得堡科学院院士，是俄国历史上获此荣誉的第一个女性。 柯瓦列夫斯卡娅数学成就在这41年的生命历程中，拼劲全力，为数学界的发展做出了重要贡献。柯瓦列夫斯卡娅一生中仅发表过10篇数学论文。这10篇论文分别是在两段时间段完成的：一是从1871-1874年，那时她在导师魏尔斯特拉斯教授的指导学习数学。所以论文的重点基本上是放在摸索理论问题上;二是从1881年到离开人世，这段时间主要是在欧洲到处漂泊，探究重点基本上是在力学和数学物理方法上。 就数学成就方面而言，柯瓦列夫斯卡娅最重要的成就有两个：一

数学家魏尔斯特拉斯

卡尔·魏尔斯特拉斯 卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstra?，姓氏可写作Weierstrass，1815年10月31日－1897 年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威 斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。 卡尔·魏尔斯特拉斯的父亲是威廉·魏尔斯特拉斯（Wilhelm Weierstrass），任政府官员；母亲是特奥多拉·冯德福斯特 （Theodora Vonderforst）。他在文理中学（Gymnasium）学习 时对数学开始感到兴趣，但他中学毕业后进入波恩大学准备 在政府谋职。他要学习的是法律、经济和金融，违背了他读 数学的心愿。他解决矛盾的方法是不留心于指定课业，私下 继续自学数学，结果他没有学位就离开了大学。他父亲在明 斯特一家师训学校为他找到一个位子，他之后也得以注册为 该市教师。他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼 （Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。 1835年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了 德国数学家雷尔主办的《数学杂志》并受到了赏识。 1850年后魏尔斯特拉斯长年患病，但仍然发表论文，这些论文使他获得声誉。1857年柏林大学给予他一个数学教席。 给函数的极限建立了严格的定义，是他对数学的一个贡献。 论文摘记 ?关于阿贝尔函数的理论Zur Theorie der Abelschen Functionen (1854) ?阿贝尔函数的理论Theorie der Abelschen Functionen (1856) 参见 ?魏尔斯特拉斯逼近定理 ?魏尔斯特拉斯函数（处处连续，但处处不可微之函数。可说是最早的碎形之一。）?魏尔斯特拉斯判别法 ?魏尔斯特拉斯分解定理

Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用

本科毕业论文 题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院： 班级： 姓名： 指导教师：职称： 完成日期：年月日

Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用 摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]b C,中的函 a 数()x f可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用. 关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式； 测度收敛

目录 1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3) 1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3) 1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3) 1.1.2 闭区间[]b a,上的weierstrass逼近定理 (5) 1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6) 2 Weierstrass逼近定理的推广 (8) 2.1 Weierstrass第二定理 (8) 2.2 Weierstrass-Stone定理 (9) 2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9) 2.4 非连续函数的情形 (10) 3 Weierstrass逼近定理的应用 (11) 3.1 复合函数的测度收敛定理 (11) 3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)

林德曼-魏尔斯特拉斯定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理 编辑 目录 1概述 2]ei]和π的超越性 3]pi]进数猜想 1概述 林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果?α1,...,αn?是代数数，在有理数???内是线性独立的，那么在???内是代数独立的；也就是说，扩张域在???内具有超越次数?n。 一个等价的表述是：如果?α1,...,αn?是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。 这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。 这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。 2]ei]和π的超越性 e和π的超越性是这个定理的直接推论。 假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{e}是一个代数独立的集合，也就是说，e是超越数。特别地，e = e是超越数。另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，e不能是代数数，因此一定是超越数。 现在，我们来证明π是超越数。如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，e[sup]i[/sup] = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。 把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。 3]pi]进数猜想 p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。那么p进指数在Q内是代数独立的。

量子物理学精神之父—马克斯﹒普朗克

量子物理学精神之父—马克斯﹒普朗克 摘要：本文以普朗克完善的人格和谨慎的内在气质这主线，通过描述他对量子概念创立的艰难思想历程，展现了普朗克科学研究方法；并通过他对量子概念引入后的反常规态度，来提示其科学研究中的理性风格，以及他的伟大人格对科学界的感召． 关键词：马克斯﹒普朗克；紫外灾难；能量子；人格 1.伟人的学术历程 马克斯﹒普朗克（Planck,Marl Ernst Ludwig ）1858年4月18日诞生于德国的一座小城基尔，他出生于牧师、 学者和法学博士的家庭；这个家庭是德国人所具有的最好品质的典范：诚恳、忠于职守、宽容、富于理性，并在他们这一代人身上产生一种坚定、自由的启蒙思想. 普朗克早在z 幼年时就表现出一定的音乐才能,钢琴和手风琴都演奏很好.他在基尔接受了初等教育,1867年全家迁到巴伐利亚的慕尼黑后,他进入了马克西米中学就读；普朗克的个性中蕴藏着文静的力量，性格中内含着腼腆的坚强，使他“理所当然地赢得了教师和同学的喜爱”。[1] 在普朗克生活的时代，自然科学并不像人文科学受到重视，人们会把自然科学家(Naturforscher)戏称为森林 管理员(Naturforstern)但普朗克毅然选择了物理学作为终生的目标，他并不追逐名利的成功，而是“以一种内在的动力驱使他踏实地工作”。 中学毕业后，普朗克先后在慕尼黑大学和柏林大学就读，当时的物理学大师赫姆霍兹(Helmholtz,Hermann Ludwig,Ferdinand von) 、基尔霍夫(Kirchhoff,Gustar Robert)和数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl Theoder Wilhelm)都是他的导师。这些大师的深邃思想，使普朗克大开眼界。同时他还精读著名热力学家克劳修斯(Clausius,Rudolf Julins Emmanuel)的著作，从而开始热衷于对“熵”的研究。年仅21岁的普朗克就以题为《论热力学第二定律》的论文于1879年获得博士学位。在这篇论文中，他创造性地定义了“熵”这个在所有的实际物理过程中都增加的量，并建立了时间的方向。1880年，他为取得大学授课资格而写的关于“各向同性物体的平衡态”的论文，是他取得的第一项首创性的科学工作。1885年，普朗克被聘为德国基尔大学“特命”副教授；1889年，他又接替了柏林大学他的导师基尔霍夫的位置。在柏林，他取得了有关电解质方面的最新成果，使他对基础性问题做出了一项决定性的贡献。1892年，他晋升为正教授，1894年，由于受到导师赫姆霍兹的竭力推荐。他成为柏林科学院的正式成员。赫姆霍兹评价说：他用热力学的方法得到了物理化学家们从关于原子和离子的特殊假设中得到的确切无疑的结果。就这样，普朗克不走弯路地登上了科学的最高峰，他成了世界上经典热力学的权威，并一直保持了这种权威地位。就在这一年，普朗克转回了当时物理学的研究热点：黑体辐射问题。 2.紫外灾难 德国物理学家基尔霍夫是黑体辐射现象研究的先驱者，他首先研究了封闭空腔内的热辐射问题，并于1859 年发现：由等温物体所包围的任一空腔内辐射仅仅取决于温度，而与构成空腔壁的材料无关。1879年斯忒藩(Stefan,Josef)从实验入手，1884年玻尔兹曼(Boltzmann,Ludwig Edward)从热力学理论入手，得到了黑体的总辐射能（W ）与绝对温度(T )的四次方程成正比的结论，即：4 T W σ=；这一结论被称为斯忒藩－玻尔兹曼定律。 1896年，维恩（W.Wian ）根据热力学、结合经验数据得到了一个辐射公式： T a e a c T /133..8),(νπννρ-=。 其中),(T νρ为能量分布曲线的函数，即维恩辐射定律；维恩辐射定律的推导过程并不是无懈可击的，因为他假设了辐射能量按频率的分布与分子速度按麦克斯韦分布律的分布之间有着某种契合，这些假定是缺乏根据的。1897年卢默尔(O.Lommer)和普林斯海姆(E.prungsheim)开始对空腔辐射的能量分布进行测量。1899年，当他们把测量范围扩充到18μm 红外线范围时，结果发现维恩辐射定律地波长短、温度较低时才与实验结果相符而在长波区域则系统地低于实验值。不过总的说来，直到1900年的前半年，维恩辐射定律一直被看作是一个大体上反映实验结果的表达式。

10.连续函数的多项式一致逼近

附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，

极限的发展史

极限的发展史 从极限思想到极限理论 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。 中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思想来近似计算圆周率π的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。 到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。到17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明确提出，但含糊不清。牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：t?越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学史上所谓第二次数学危机。 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。至此极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。因而真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。 2.1最早的极限思想

魏尔斯特拉斯

魏尔斯特拉斯 魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于 德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学． 魏尔斯特拉斯的父亲威廉(Wilhelm)是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对子女相当专横．魏尔斯特拉斯11岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯． 由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829年，他考入帕德博恩的天主教文科中学．该校创建于公元820年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人之一． 威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834年8月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职位创造条件． 魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当时J．普吕克(Plücker)在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以魏尔斯特拉斯从他那里获益不多． 在校期间，魏尔斯特拉斯研读过P．S．拉普拉斯(Laplace)的《天体力学》(Mecanique céleste)和C．G．J．雅可比(Jacobi)的《椭圆函数新理论基础》(Fundamenta nova the orie functionumellipticarum)．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳(Steiner)的一些论文．事实上，后来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔(Abel)是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830年的《克雷尔杂志》(Journal für die Reine und Angewandte Mathema-tik)上读到阿贝尔致A．M．勒让德(Legender)的信，“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7学期作出这个决定的．”[20]这就是说，约在1837年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位． 4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839年5月22 日在该院注册．他在该院遇见了使他终身铭记的Ch．古德曼(Gudermann)．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840学年上学期，听古德曼第一堂课的有13人，

世界数学家名单

Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人） Cantor 康托尔（Weiestrass的学生，集合论的鼻祖） 三（这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家） Fatou 法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点）Green 格林(有很多姓绿的人，反正都很牛） S.Lie 李(创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念) Euler 欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比）Gauss 高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个） Sturm 斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他) Riemann 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家）Neumann 诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才） Caratheodory 卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族）Newton 牛顿（名字带牛，实在是牛） Jordan 约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖）Laplace 拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有） Wiener 维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授）Thales 泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事）Maxwell 麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组） Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一）Fourier 傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois)

Noether 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母） Kepler 开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人) Kolmogorov 柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯）Borel 波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人） Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法）Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰）Lebesgue 勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词） Leibniz 莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握） Abel 阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个）Lagrange 拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre) Ramanujan 拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病） Ljapunov 李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子）Holder 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个） Poisson 泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家） Nikodym 发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理） H.Hopf 霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友）Pythagoras 毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者） Baire 贝尔(著名的Baire纲) Haar 哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人） Fermat 费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的）

魏尔斯特拉斯生平简介

魏尔斯特拉斯生平简介 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）是德国数学家，1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。 魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，在青年时代已显示出对语言和数学的才华。但是1834其父却把他送到波恩大学学习法律与财政学。由于事与愿违，他精神萎靡，把时间消磨在击剑和饮酒之中，4年后未获得学位返家。1839年为取得中学教师资格而进入明斯特学院，并在数学家古德蔓指导下自修数学。1841年通过考试获得中学教师的职务，先后在蒙斯特、达赤克郎、布伦斯堡等中小城镇的中学任教达15年之久。 魏尔斯特拉斯酷爱数学，但白天有繁重的教学任务，只好利用晚上刻苦钻研数学。虽然他废寝忘食地研究数学，写出过不少数学论文，但由于只是一位中学教师而未受到科学界的重视，直到1854年他发表了《关于阿贝尔函数理论》的论文，成功地解决了椭圆积分的逆问题，才轰动了数学界。柯尼斯堡大学也因此立即授予他名誉博士学位。1856年10月他被聘为柏林大学助理教授，1864年成为该校教授，这一职位一直保持到1897年去世。此外，他还被选为法国科学院和柏林科学院院士。 魏尔斯特拉斯是将分析学置于严密的逻辑基础之上的一位大师，被后人誉为“现代分析之父”。他在分析严密化方面改进了阿贝尔、波尔查诺、柯西等人 ?”的极限定义和函数在一点连续的工作。他给出了现今微积分教材中的“εδ 的定义，从而把莱布尼兹的固定无穷小，柯西的“无限趋近”、“想要多小就多小”、“无穷小量的最后比”等等不确切的提法给以精确形式的描述。他在幂级数的基础上建立了解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。特别值得一提的是他给出了一个所谓“病态函数”，即一个处处不可微的连续函数。在19世纪初期，一般人都认为任意连续函数都是可微的，只可能在一些孤立点处出现例外。但魏尔斯特拉斯在1861年的讲课中就明确提出，要想从连续性推出可微性的任何企图都必定失败。并于1872年7月在柏林科学院的一次演讲中，他正式给出了下述处处不可微的连续函数的例子：

§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法

§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法 一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。 二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论 及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。 三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。 四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程dy = dx 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x

2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足 01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 一．存在性与唯一性定理： 1、 显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式 1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=， 在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ?= （3.3）

偏微分方程理论起源

偏微分方程理论起源 偏微分方程理论的历史相对较短,但作为数学和物理结合的产物,这门学科的理论意义与应用价值都是难以估量的。本文在前人工作的基础上,利用历史分析、比较研究的手法,兼顾思想内容和具体方法,对偏微分方程理论的起源进行研究,主要研究成果如下。 一、考察了偏微分方程初值问题解的存在性思想和证明方法的起源,指出:柯西问题解的存在性思想起源于柯西1820年代的常微分方程研究,而优函数方法最早出现在1831年,是他在《分析教程》中就有的幂级数收敛的比较判别法和复变函数研究中最新结果——柯西不等式应用于偏微分方程的结果,这也解释了为什么柯西第一个提出并解决了解析解的存在性问题。但是柯西的这些工作传播滞后当时影响不大,达布和科瓦列夫斯卡娅30年后又做了部分重复研究。 二、深入探究了科瓦列夫斯卡娅关于柯西-科瓦列夫斯卡娅定理的创新内容及其影响,指出:科瓦列夫斯卡娅独立地证明了柯西问题解的存在唯一性定理,无论与柯西的结果比较,还是作为独立于魏尔斯特拉斯的标志,她给出的著名反例都是至关重要的,她通过此例搞清楚了解析解存在性和唯一性的根本条件,并将雅可比与魏尔斯特拉斯的有关结论和方法创造性地应用于她的定理。柯西-科瓦列夫斯卡娅定理引发了大量的研究,因而成为偏微分方程理论发展的一个里程碑。 为了阐明科瓦列夫斯卡娅的思想来源,同时对魏尔斯特拉斯的相关工作做了大量的比较分析。三、论述了阿达玛的适定性理论诞生过程,指出:适定性概念的创立是分四步完成的:连续依赖性思想的萌芽;“适定”术语的提出;连续依赖性概念的形成;适定性概念的确立。

解对条件连续依赖性的思想符合阿达玛注重物理背景的原则,是对柯西-科瓦列夫斯卡娅定理的一种修正。四、对杜布瓦雷蒙的分型理论进行了详细的阐述。 对于两个变量的二阶线性偏微分方程,杜布瓦雷蒙根据特征方程将其分为三大类型,对于常系数情形又进一步划分成七种标准形式,从而穷尽了所有的可能。并对彼得罗夫斯基对方程组的分类做了简要分析。 杜布瓦雷蒙分类工作的目的在于对黎曼方法进行一般研究,与此同时,他寻求将波动方程的达朗贝尔解的特性推广到一般双曲型,以及与特征有关的初值问题解的存在性,并在一定程度上得到了结果。五、从边值问题解的存在性角度对狄利克雷原理的历史做了研究,认为黎曼属于旧风格的数学家,魏尔斯特拉斯强调存在性代表着一种新思想,后者对前者的批评是新旧分析学思想的作用,促进了偏微分方程理论的发展。

用多项式逼近连续函数

教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，