等腰三角形知识点汇总及典型例题

1.主要知识点：

1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）

2.主要性质：

（1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

3.判定：

（1）两边相等的三角形为等腰三角形

（2）两底角相等的三角形为等腰三角形

（3）中线和高合一的三角形为等腰三角形

（4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形

（5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形

4.特殊的等腰三角形------等边三角形

4.1定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。

4.2性质：

⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。

⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

4.3判定：

⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

4.4反证法：

4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。

4.4.2一般步骤：

应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

5.直角三角形中，30度锐角的性质：

直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半

典例分析

例１.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，求此三角形的周长

例２．如图，已知D是等边三角形ABC内一点，且DB=DA，BP=ＡＢ，，求的度数。

例３，如果一个三角形的一个外角是１３０度，且它恰好等于一个不相邻的内角的２倍，判断三角形的形状

例４，直角三角形一直角边为８，若它所对的角为６０度，求斜边上的高

例５，已知为等边三角形，ＢＤ为中线，延长ＢＣ至点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＤ＝１，连接ＤＥ，求ＤＥ的长

例６，等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个三角形的顶角

例７.直角三角形一直角边为８，若它所对的角为６０度，求斜边上的高

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ） 2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ） 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且 ∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ． 6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥ AC ， 垂足分别为 E ，F ，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ． 9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ． A ． 5cm B ． 3cm C ． 2cm D ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等腰三角形（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝 角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形.

等腰三角形知识要点及培优试题教案资料

等腰三角形知识要点及培优试题

等腰三角形性质与判定知识点及精选练习题 知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） （4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言：∵AB=AC，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底 边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定， 作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC （4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化 关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化 为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如 作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定 义 2、利用定理。 知识点4：等腰三角形的推论 1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半。 知识点5：等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等 腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过 它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底 边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可 以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况 来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质： 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 2 -

等腰三角形经典练习题(有难度)

等腰三角形练习题 一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45° 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36° 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160° C F D A B

4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 设∠A 为x ∠A= 7 180 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15 B A B 2x x －15°

6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90° 在Rt △DBF 中, BD=2 1,DF=1 所以∠F =∠1=30° 7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值 在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AED 由AC=AB+BD,得DE=EC, 所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 F A B C D E

最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程

三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下： 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： △③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △定理：三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c △故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。 从而得到推论： 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路： 方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为：等边对等角 在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC， 则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形，简述为：等校对等边 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤

人教版数学中考知识点梳理-等腰、等边即直角三角形

第16讲等腰、等边及直角三角形 一、知识清单梳理 知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例 1.等腰三角形（1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底 边上的高 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是 对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. （1）三角形中“垂线、 角平分线、中线、等腰” 四个条件中，只要满足其 中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥ BC,D为BC的中点，则三 角形的形状是等腰三角 形. 失分点警示：当等腰三角 形的腰和底不明确时，需 分类讨论. 如若等腰三 角形ABC的一个内角为 30°，则另外两个角的度 数为30°、120°或 75°、75°. 2.等边三角形（1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于 60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或 中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC， 且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. （1）等边三角形是特殊 的等腰三角形，所以等 边三角形也满足“三线 合一”的性质. （2）等边三角形有一个 特殊的角60°，所以 当等边三角形出现高 时，会结合直角三角 形30°角的性质，即 BD=1/2AB. 例：△ABC中，∠B=60°，

等腰三角形知识点

等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 E 例2. 如图，已知：AB C ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一 边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2A ?-∠. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

知识点26 等腰三角形与等边三角形2019

一、选择题 12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥， 垂足为点D ，E ，连接AC ，BC ．若AD = 3CE =，则?AC 的长为（ ）． A B C D 【答案】D 【解题过程】连接OC ， 因为AD DE ⊥，BE DE ⊥， 所以90ADC CEB ∠=∠=? 所以90DAC ACD ∠+∠=? 因为AB 是O e 的直径， 所以90ACB ∠=?， 所以90BCE ACD ∠+∠=?， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED , 因为90ADC CEB ∠=∠=?，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以 BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BC BAC AC ∠= = 所以60BAC ∠=?， 又因为OA OC =， 所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=?， 因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥， 因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ， 所以60DAC ACO ∠=∠=?， 所以9030ACD DAC ∠=?-∠=?， 所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形， 所以OA AC ==，60AOC ∠=?， O D E B A

所以? AC 的长为602323 ππ??=． 8．（2019·娄底）如图（2），边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为（ ） A. 1 B ． 3 C ． 2 D ． 23 【答案】A 【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD 中，从而解得． 如图（2－1），设D 为⊙O 与AC 的切点，连接OA 和OD ， ∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ∴OD ⊥AC ，∠OAD ＝30°，OD 即为圆的半径． 又∵23AC =， ∴11 23322 AD AC = =?= ∴在直角三角形OAD 中， 3 tan tan 303 OD OAD AD ∠=?= ==， 代入解得：OD ＝1． 故答案为 1． 1.（2019·潍坊）如图已知∠AOB ，按照以下步骤作图： ①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ． ②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ． ③连接OE 交CD 于点M ． 下列结论中错误的是（） A ．∠CEO =∠DEO B ．CM =MD C ．∠OC D =∠ECD D ．S 四边形OCED = 1 2 CD ·OE

三角形知识点总结

三角形知识点总结 一、基础知识 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（三角形有三条边，三个角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点） 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 4、三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 如图：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC= BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点（重心） ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线.（2）∠1=∠2= ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的部且交于三角形部一点（心） ③角平分线上的点到角的两边距离相等 （3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形的三条高的交点在三角形部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心） ③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC 注意：①三角形的中垂线是直线； ②三角形的三条中垂线交于一点（外心） 小总结：心：三条角平分线的交点,也是三角形切圆的圆心. 性质：到三边距离相等. 外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质：到三个顶点距离相等. 重心：三条中线的交点. 性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心：三条高所在直线的交点.

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．

等腰三角形知识点汇总及典型例题

1.主要知识点： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 2.主要性质： 　（1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 　（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 　（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 3.判定： （1）两边相等的三角形为等腰三角形 （2）两底角相等的三角形为等腰三角形 （3）中线和高合一的三角形为等腰三角形

（4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形 （5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形 4.特殊的等腰三角形------等边三角形 4.1定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三 角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则 说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 4.2性质： ⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互 相重合。 ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条 边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.3判定：　 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 4.4反证法： 4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 4.4.2一般步骤： 应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 5.直角三角形中，30度锐角的性质： 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 典例分析 例１.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，求此三角形的周长

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结 1、复习上次课的内容同底数幂相乘底数不变，指数相加。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方，各因数分别乘方。 2、等腰三角形的性质 1、有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 例 1、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 课堂练习 1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，B D、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A、6个 B、7个 C、8个 D、9个例 2、如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。 课堂练习 2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。 教务处检查签字： 日期： 年月日课后评价

2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新知：等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 7.等腰三角形的判定： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，等角对等边 8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 9.等边三角形的性质： ⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 ⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 10.等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义） ⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)两个内角为60度的三角形是等边三角形 (5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 (6)等边三角形的性质与判定理解： 11、三角形中的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 等腰三角形的性质应用及判定 例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

等腰三角形的性质练习题及答案

等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．

等腰三角形知识点总结

等腰三角形 一、目标认知 学习目标： 通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法 重点： 等腰三角形的性质与判定。 难点： 比较复杂图形、题目的推理证明。 二、知识要点梳理 知识点一：等腰三角形、腰、底边 有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角 如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 知识点二：等腰三角形的性质 1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2、这两个性质证明如下： 在△ABC中，AB=AC，如图所示．

作底边BC的高AD，则有 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD． ∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD． 于是性质1、性质2均得证． 3、说明： （1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C； ②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据． （2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD； 或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC． ②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情 况只有一条对称轴． 知识点三：等腰三角形的判定定理 1、定理内容及证明 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示． 证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则 所以△ABD≌△ACD（AAS）． 所以，AB=AC． 2、注意： ①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC． ②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据． 另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．

苏教版八年级数学下册《等腰三角形》知识点整理

苏教版八年级数学下册《等腰三角形》 知识点整理 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 (二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

轴对称等腰三角形经典练习题

【知识点回顾】 轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。 轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】 例1. 如图，ABC ?中，ο100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。 求证：B C B D AD =+。 分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ?和EB D ?中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，， ο ο 80 DEF 100 A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴， 又οΘ100A AC AB =∠=， οοο40)100180(2 1 C ABC =-=∠=∠∴ οο20402 1 21=?=∠=∠∴ 而B F B D = οοοο80)20180(2 1 )2180(21BDF BFD =-=∠-= ∠=∠∴