离心率的五种求法
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
解析汇报几何离心率专题突破离心率地五种求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 122 1221=-b y a x ① 12 22 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得 13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e .
方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10 . D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠ 则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得22 21212a b x x y y k -=--=
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
椭圆离心率求法
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2 3 ==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆 12 2 22=+b y a x （0>>b a ）的左 准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 31 C 2 2 D 2 1 解：由题意知，入射光线为()32 5 1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则 ?? ???=+-=05532 c c a 解得3=a ，1=c ， 则3 3==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1F 、2 F 是双曲线12 2 22 =-b y a x （0,0>> b a ）的两焦点， 以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 21 3+ D. 13+
求离心率的取值范围方法总结
求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． 2 (0,) 2 Ｄ． 2 [,1) 2 例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A． 23 2 3 ?? ? ?? B． 3 2 3 ?? ? ?? ?? C． 3 3 ?? +∞ ? ? ?? D． 23 3 ?? +∞? ?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________
离心率的取值范围的求法
离心率的取值范围的求法 舒云水 求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立 一、 根据已知条件建立不等式 例1 已知1F 、2F 分别是双曲线22 221(0x y a a b -=>，0)b >的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ?为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围 ﹒ 解析：由已知条件易求21b AF a =，2 212112tan 22b AF b a AF F F F c ac ∠===，由于2ABF ?为锐角三角形，故只需2AF B ∠为锐角即可，则有 2 21tan 2b AF F ac ∠=tan 451?<=，整理得：22b ac <，所以2220c a ac --<，两边同时除以2a 得：2120e e --< ，求得：11e -<<(1,)e ∈+∞， 故(1,1e ∈+﹒ 点评：根据2AF B ∠为锐角知21AF F ∠45?<，通过tan 21AF F ∠45?<＝１建立a 、b 、c 的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒ 二、 根据相关线段的取值范围建立不等式 例2 已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的左、右焦点分别为1F
（－ｃ,0)，2(,0)F c ﹒若双曲线上存在点P 使 c a F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ﹒ 解析：依题意及正弦定理得112 <=c a PF PF ，因此点P 位于双曲线的右支上，且点P 不与21F F 共线，所以有 c a a PF PF =+222，即c a PF a =+122﹒ 又a c a c a PF a -<-=2122，得2)1(2<-e ，即1221+<<-e ﹒ 又),1(+∞∈e ，故)21,1(+∈e ﹒ 点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件P 建立不等式是解决本题的关键 三、 根据变量x ，y 的取值范围建立不等式 例3. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ，M 是椭圆上一点，满足021=?F F ，则离心率e 的取值范围是 . 解析：设点M 的坐标为),(y x ，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=﹒由021=?F F ，得0222=-+c y x ，即222x c y -=﹒ （※） 又由点M 在椭圆上得??? ? ??-=22221a x b y ，代入（※）得222221x c a x b -=???? ??-，所以??? ? ??-=22 222c a a x ﹒ ∵220a x ≤≤，∴222220a c a a ≤??? ? ??-≤，即12022≤-≤c a ，11202≤-≤e ，解得122≤≤e ，又∵10< 离心率的五种求法 Revised at 2 pm on December 25, 2020. 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 127离心率的五种求法 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2 3 ==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆 12 2 22=+b y a x （0>>b a ）的左 准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 31 C 2 2 D 2 1 解：由题意知，入射光线为()32 5 1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则 ?? ???=+-=05532 c c a 解得3=a ，1=c ， 则3 3==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1 F 、2 F 是双曲线12 2 22 =-b y a x （0,0>> b a ）的两焦点， 以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 21 3+ D. 13+ 圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解. 2. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为． 题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 6 2 题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋相切，则该双曲线的 离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12 AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是 11211,2,3,31MF F F MF e ====- 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师 版) https://www.wendangku.net/doc/3512111729.html,work Information Technology Company.2020YEAR 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式 0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 椭圆离心率的三种求法: (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2, b2,求a, c的值，利用公式e= ￡或 a 利用e ⑵ 求椭圆的离心率时，若不能直接求得§的值，通常由已知寻求a, b, c的关系式，再与a2= b2+c2组成方程组，消去b得只含a, c的方程，再化成关于e的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a, b, c的不等式，消去 b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. 1.若椭圆a^+ / 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F l, F2，线段F1F2被点；,0分成 5:3的两段，则此椭圆的离心率为() c+ ? .厂 解析依题意,得------ =3，.，? c= 2b, a=V b2+ c2 = gb, .. e=~j^ = ^^. 答 V5b c-2 a=\b2+ c2 = c= 2b, 点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率 2 2 2.设P是椭圆§+合=1(a>b> 0)上的一点，F i, F2是其左，右焦点.已知Z F i PF =60°,求椭圆离心率的取值范围. 分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解方法一根据椭圆的定义，有| PF i| +| PF| = 2a.① 在^ F i PF中，由余弦定理，得 。_ |PF i|2+|PF|2—|吓|21 C0S 60—2|PR||PR| — 2， 即|PE|2+ |P8|2—4C2= | PF|| PF|.② ①式平方，得|PF|2+|PFf+ 2|PF|| PF| = 4a2.③ 由②③，得| PR|| PF = 4b■.④ 3 由①和④运用基本不等式，得 | PF|| PR| < | PFl | 2 |PF2 | ，即4b< a2. C 1 2 2 2 4, 2 2、 2 由b = a —C,得3（a —C） < a,解得e= a> 2. 1 双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于 二、利用平面几何性质 例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 四、利用均值不等式 例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，| PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。 五、利用已知参数的范围 例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线 段所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4 332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线)0a (1y a x 222 >=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b y a x 22 22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。 九、利用双曲线性质 例9.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 求离心率的方法通常有以下两种： （1）定义法：设法求出a,c 的值，由定义确定离心率的大小 （2）方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，（注意e 的大小范围） 双曲线离心率 一、选择题 1.设a>1,则双曲线 x 2 a 2 - y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围（ ） A 、（√2，2） B 、（√2,√5） C 、(2，5) D 、(2，√5） 2、双曲线x 2 4 +y 2k =1的离心率e ∈(1,2)则k 的的取值范围 A 、（-∞，0） B 、（-3,0） C 、(-12,0) D 、(-60,-12) 3、设?ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A,B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A 、1+√22 B 、1+√32 C 、1+√2 D 、1+√3 4、设F 1 ，F 2分别是双曲线 x 2 a 2 - y 2b 2=1（a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A ， 使∠F 1 A F 2=90°且|A F 1|=3|A F 2|，则双曲线的离心率（ ） 5、设F 1 ，F 2分别是双曲线 x 2 a 2 - y 2b 2=1（a>0,b>0）的左、右焦点，若P 为其上一点，且 |P F 1|=2|P F 2|，则该双曲线的离心率的取值范围（ ） A 、（1，3） B 、（1,3] C 、(3，+∞) D 、[3，+∞） 6、双曲线 x 2 a - y 29=1（a>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ） A 、45 B 、8√5555 C 、54 D 、4√77 7、设F 1 ，F 2分别是双曲线 x 2 a - y 2b =1（a>0,b>0）的左、右焦点，过F 1做垂直于x 轴的直线与双曲 线交于A 、B 两点，若?AB F 2 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围（ ） A 、（1，+∞） B 、（1,√3)） C 、(1，2) D 、(1，1+√2） 8. 设F 1 ，F 2分别是双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2=1（a>0,b>0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲 线的右支于M 点，若M ，F 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率（ ） A 、√6 B 、√3 C 、√2 D 、√33 9.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率（ ）（用第二种方法） 椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 求离心率取值范围—常见6法 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。 一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式 例1若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。解：设为椭圆上一点，则 . ①因为，所以以OA 为直径的圆经过点P，所以 .②联立①、②消去并整理得当时，P 与A 重合，不合题意，舍去。 所以又，所以， 即得，即又，故的取值范围 是 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式 例2已知双曲线左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为,l P 是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得 ，所以.①由又曲线第一定义得 ②由①-②得 在中，所以 ，即.又，从而解得的取值范围是。 三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式 例3设椭圆的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内 取值时，椭圆上存在点P，使=120°. 解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知 .在中，由余弦定理得 ==（所以所以. 又，故的取值范围是四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c 的不等式 例4如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e 的取值范围。 解：设椭圆的中心为，并延长交y 轴于N，则= 因为，所以。所以 所以椭圆离心率的取值范围为 五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式 例5已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，斜率为K 的直线过右焦点 求解离心率范围六法 山西阳城一中 茹阳龙 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。 一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式 例1 若椭圆()0122 22 b a b y a x =+上存在一点P ，使?=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。 解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则 122 0220=+b y a x . ① 因为?=∠900PA ，所以以OA 为直径的圆经过点P ，所以 02 0020=+-y ax x . ② 联立①、②消去0y 并整理得 0)()(20222020=-+--x a a b a x x 当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。 所以2 22 0b a ab x -= 又a x 00，所以a b a a b 222 0-， 即 ()22222c a b a -= 得2122 a c ，即223e 又10 e ，故e 的取值范围是??? ????1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c 不等式 例2 已知双曲线()0,01x 22 22 b a b y a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且22 1PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ， 所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得 a PF 2PF 12=- ② 由①-②得 .1 2,12PF 21-=-=e ea PF e a 在21PF F ?中， ,2PF 21211c F F PF =≥+ 所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+1 1. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(] 21,1+。 三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式 例3 设椭圆()0122 22 b a b y a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ?=120°. 解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知 a PF PF 221=+. 在21PF F ?中，由余弦定理得离心率的五种求法
127离心率的五种求法
离心率的求法情况总结[精]
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
双曲线离心率求解的基本方法
高中数学专题：求离心率的常用的两种方法
椭圆离心率求法总结
高考数学常考问题专题讲解 求离心率取值范围—常见6法
求离心率范围的六种方法