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2020年高考数学一轮复习专题4.7真题再现练习(含解析)

第七讲高考真题再现

1．（2019?新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），

则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有

，∴，

∴，

2．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n

【答案】A

【解析】设等差数列{a n}的公差为d，

由S4＝0，a5＝5，得

，∴，

∴a n＝2n﹣5，，

3．（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12

【答案】B

【解析】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，

∴＝a1+a1+d+4a1+d，

把a1＝2，代入得d＝﹣3

∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．

故选：B．

4．（2017?新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯

数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

【答案】B

【解析】设塔顶的a1盏灯，

由题意{a n}是公比为2的等比数列，

∴S7＝＝381，

解得a1＝3．

故选：B．

5．（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）

A．440 B．330 C．220 D．110

【答案】A

【解析】设该数列为{a n}，设b n＝+…+＝2n+1﹣1，（n∈N+），则＝a i，

由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n ﹣2，

可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，

A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．

B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．

C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意．

故选A．

方法二：由题意可知：，，，…，

根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，

所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，

②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，

③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，

∴该款软件的激活码440．

故选：A．

6．（2017?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，

∴，

解得a1＝﹣2，d＝4，

∴{a n}的公差为4．

7．（2017?新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）

A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8

【解析】∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，

∴，

∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，

解得d＝﹣2，

∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．

故选：A．

8．（2016?新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个

【答案】C

【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．

故选：C．

9．（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100 B．99 C．98 D．97

【答案】C

【解析】∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．

∴9a5＝27，a5＝3，

又∵a10＝8，

∴d＝1，

∴a100＝a5+95d＝98，

10．（2015?新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．12

【答案】B

【解析】∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，

∴8a1+×1＝4×（4a1+），

解得a1＝．

则a10＝+9×1＝．

故选：B．

11．（2015?新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】A

【解析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．

则S5＝＝5a3＝5．

故选：A．

12．（2015?新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21 B．42 C．63 D．84

【答案】B

【解析】∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，

∴，

∴q4+q2+1＝7，

∴q4+q2﹣6＝0，

∴q2＝2，

∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．

故选：B．

13．（2015?新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）

A．2 B．1 C．D．

【答案】C

【解析】设等比数列{a n}的公比为q，

∵，a3a5＝4（a4﹣1），

∴＝4，

化为q3＝8，解得q＝2

则a2＝＝．

故选：C．

14．（2014?新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．

【答案】A

【解析】由题意可得a42＝a2?a8，

即a42＝（a4﹣4）（a4+8），

解得a4＝8，

∴a1＝a4﹣3×2＝2，

∴S n＝na1+d，

＝2n+×2＝n（n+1），

故选：A．

15．（2019?新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．【答案】100

【解析】在等差数列{a n}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，

∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．

则．故答案为：100．

16．（2019?新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．【答案】4

【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则

由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，

∴

＝

＝，故答案为：4．

17．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．【答案】

【解析】∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝，

∴q≠1，＝，

整理可得，，

解可得，q＝﹣，

则S4＝＝＝．

故答案为：

18．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．【答案】

【解析】在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，

即q＞0，q＝3，

则S5＝＝，

故答案为：

19．（2018?新课标Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝．【答案】-63

【解析】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①

当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，

当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，

由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，

∴a n＝2a n﹣1，

∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，

∴S6＝＝﹣63，

故答案为：﹣63

20．（2017?新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则＝．【答案】

【解析】等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，S4＝2（a2+a3）＝10，

可得a2＝2，数列的首项为1，公差为1，

S n＝，＝，

则＝2[1﹣++…+]＝2（1﹣）＝．

故答案为：．

21．（2017?新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a4＝．【答案】-8

【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，

∴a1（1+q）＝﹣1，a1（1﹣q2）＝﹣3，

解得a1＝1，q＝﹣2．

则a4＝（﹣2）3＝﹣8．

故答案为：﹣8．

22．（2016?新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…a n的最大值为．【答案】64

【解析】等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，

可得q（a1+a3）＝5，解得q＝．

a1+q2a1＝10，解得a1＝8．

则a1a2…a n＝a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）＝8n?＝＝，

当n＝3或4时，表达式取得最大值：＝26＝64．

故答案为：64．

23．（2015?新课标Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝﹣1，a n+1＝S n+1S n，则S n＝．【答案】﹣

【解析】∵a n+1＝S n+1S n，

∴S n+1﹣S n＝S n+1S n，

∴﹣＝1，

又∵a1＝﹣1，即＝﹣1，

∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，

∴＝﹣n，

∴S n＝﹣，

故答案为：﹣．

24．（2015?新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．【答案】6

【解析】∵a n+1＝2a n，

∴，

∵a1＝2，

∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，

∴S n＝＝＝2n+1﹣2＝126，

∴2n+1＝128，

∴n+1＝7，

∴n＝6．

故答案为：6

25．（2014?新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．

【答案】

【解析】由题意得，a n+1＝，a8＝2，

令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；

令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；

令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；

…

根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，

∵8÷3＝2…2，故a1＝

故答案为：．

26．（2019?新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最

终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P （X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

【答案】见解析

【解析】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．

P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），

∴X的分布列为：

（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，

∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．

因此p i＝0.4p i﹣1+0.5p i+0.1p i+1（i＝1，2，…，7），

故0.1（p i+1﹣p i）＝0.4（p i﹣p i﹣1），即（p i+1﹣p i）＝4（p i﹣p i﹣1），

又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；

（ii）解：由（i）可得，

p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝，

∵p8＝1，∴p1＝，

∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝p1＝．

P4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

27．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．

（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；

（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．

【答案】（1）﹣2n+10 （2）{n|1≤n≤10，n∈N}．

【解析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，

若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，

若a3＝4，则d＝＝﹣2，

则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，

（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，

当n＝1时，不等式成立，

当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，

又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，

则有2≤n≤10，

综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

28．（2018?新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；

（2）求S n，并求S n的最小值．

【答案】（1）2n﹣9 （2）-16

【解析】（1）∵等差数列{a n}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，

∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，

∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；

（2）∵a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，

∴S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，

∴当n＝4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．

29．（2018?新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．

（1）求b1，b2，b3；

（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{a n}的通项公式．

【答案】见解析

【解析】（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，

则：（常数），

由于，

故：，

数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．

整理得：，

所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．

（2）数列{b n}是为等比数列，

由于（常数）；

（3）由（1）得：，

根据，

所以：．

30．（2018?新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；

（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．

【答案】（1）a n＝（﹣2）n﹣1 （2）6

【解析】（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．

∴1×q4＝4×（1×q2），

解得q＝±2，

当q＝2时，a n＝2n﹣1，

当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，

∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．

（2）记S n为{a n}的前n项和．

当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，

由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；

当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，

由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，

解得m＝6．

31．（2017?全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．

（1）证明数列为等差数列；

（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．

【答案】见解析

【解析】（1）证明：数列{b n}的各项都为正数，且，

两边取倒数得，

故数列为等差数列，其公差为1，首项为；

（2）由（1）得，，，

故，所以，

因此．

32．（2017?新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．

（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；

（2）若T3＝21，求S3．

【答案】见解析

【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，

a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，

可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q2＝5，

解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），

则{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*；

（2）b1＝1，T3＝21，

可得1+q+q2＝21，

解得q＝4或﹣5，

当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，

d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；

当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，

d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．

33．（2017?新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；

（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．

【答案】见解析

【解析】（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，

则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，

由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，

则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，

∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；

（2）由（1）可知：S n＝＝＝﹣[2+（﹣2）n+1]，则S n+1＝﹣[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+3]，

由S n+1+S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，

＝﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，

＝﹣[4+2（﹣2）n+1]＝2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，

＝2S n，

即S n+1+S n+2＝2S n，

∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．

34．（2017?新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和．

【答案】（1）a n＝．（2）

【解析】（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．

n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．

∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．

当n＝1时，a1＝2，上式也成立．

∴a n＝．

（2）＝＝﹣．

∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．35．（2016?新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．

（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ．

【答案】见解析

【解析】（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．

∴a n≠0．

当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，

即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，

∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即＝，（n≥2），

∴{a n}是等比数列，公比q＝，

当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，

即a1＝，

∴a n＝?（）n﹣1．

（2）若S5＝，

则若S5＝1+λ[?（）4]＝，

即（）5＝﹣1＝﹣，

则＝﹣，得λ＝﹣1．

36．（2016?新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求{b n}的前n项和．

【答案】（1）a n＝3n﹣1，（2）﹣．

【解析】（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．

当n＝1时，a1b2+b2＝b1．

∵b1＝1，b2＝，

∴a1＝2，

又∵{a n}是公差为3的等差数列，

∴a n＝3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．

即3b n+1＝b n．

即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．

37．（2016?新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；

（2）求{a n}的通项公式．

【答案】见解析

【解析】1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，

当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，

而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，

当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，

又由a2＝，解可得a3＝，

故a2＝，a3＝；

（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，

变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，

即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，

又由数列{a n}各项都为正数，

则有a n＝2a n+1，

故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，

则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，

故a n＝（）n﹣1．

38．（2016?新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【答案】（1）a n＝；（2）24

【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，

∵a3+a4＝4，a5+a7＝6．

∴，

解得：，

∴a n＝；

（Ⅱ）∵b n＝[a n]，

∴b1＝b2＝b3＝1，

b4＝b5＝2，

b6＝b7＝b8＝3，

b9＝b10＝4．

故数列{b n}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．

39．（2016?新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．

可得a4＝4，则公差d＝1．

a n＝n，

b n＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，

b11＝[lg11]＝1，

b101＝[lg101]＝2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．

b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．

数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．

40．（2014?新课标Ⅱ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1．

（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

【答案】见解析

【解析】证明（Ⅰ）＝＝3，

∵≠0，

∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；

∴a n+＝＝，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜＝，

∴当n＝1时，成立，

当n≥2时，++…+＜1+…+＝＝＜．∴对n∈N+时，++…+＜．

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

高考数学前三道大题练习

1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题）（一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小；（二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。求证：EF ∥平面SAD ；（三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值（四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E

2020年高考数学真题汇编答案及解析

2020年高考数学真题汇编答案及解析 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( ) A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{3} 【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}；若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3} 若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D. 【答案】 D 2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A. 【答案】 A 3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图

所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A．3个B．2个 C．1个D．无穷多个【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个．【答案】 B 4．给出以下集合： ①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}； ②N＝{x|－x2＋x－2＞0}； ③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}； ④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}，其中一定是空集的有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B. 【答案】 B 5．如右图所示