无限循环小数如何化为分数

无限循环小数如何化为分数

由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

方法一：（代数法）

类型1：纯循环小数如何化为分数

例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数

例1：0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

例2：0.4747……×100＝47.4747……

0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习：

（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3

（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。

（3）0.312 312……=

类型2：混循环小数如何化为分数

例题：把0.4777……和0.325656……化成分数

例3：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以：0.4777……=43/90

例4：0.325656……×100=32.5656……①

0.325656……×10000=3256.56……②

用②－①即得:

0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

0.325656……×9900=3256－32

所以：0.325656……=3224/9900

练习：

（1）0.366……=

（2）1.25858……=

（3）6.23898989……=

可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。

方法二：（方程法）用一元一次方程求解

1.把0.232323... 化成分数。

设X=0.232323...

因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...

所以 X = 0.23 + 0.01X

解得：X = 23/99

2.把0.1234123412341234...化成分数。

解：设X=0.1234123412341234...

因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...

所以X = 0.1234 + 0.0001X

解得：X = 1234/9999

3.把0.56787878...化成分数，

因为0.56787878...= 0.56 + 0.01 * 0.787878...

所以设X=0.787878...则X=0.78 + 0.01X

所以X = 78/99

所以原小数0.56787878...=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.078/99 = 2811/4950

其它无限循环小数，请仿照上述例题去作

方法三：任意一个无限循环小数都可以看成一个有限小数加上一个等比数列的极限和

比如说0.233333333...就可以看成0.2加上一个首项为0.03，公比为0.1的等比数列。那么问题就很简单了0.233333333...=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。

也就是说任意一个有限循环小数化成分数有如下方法：

首先找出选环节，如上面的例子就是3，然后计算选环节的单位长度，如上题就是1，如0.232323...就是2，0.123123123...就是3，这里记为q，然后写出不是循环节的部分，如上题就是0.2，这里记为a，再写出第一个循环节，如上题就是0.03，如0.01789789789...就是0.00789，这里记为b，分数的形式就是a+b/(1-1/(10^q))，这里的a,b,q都是有限小数，可方便化为分数。

在高中学完了数列、极限以后，就会知道下面的方法：

一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环节的位数个9组成的整数。例如：

0.3333……=3/9=1/3；

0.285714285714……=285714/999999＝2/7.

二，混循环小数：（例如：0.24333333……）不循环部分和循环节构成的的数减去不循环部分的差，再除以循环节位数个9添上不循环部分的位数个0。例如：

0.24333333…………=(243-24)/900=73/300

0.9545454…………=(954-9)/990=945/990=21/22

1位循环0.X X X X …… = X/9

2位循环0.XY XY XY…… = XY/99

3位循环0.XYZ XYZ …… = XYZ/999

……

N 位循环0.a1a2a3…an a1a2a3…an……=a1a2a3…an/9999…9(n个9)

推理依据：

0.X X X X ……

= 0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X + ……

= X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ……）

= X * 0.1/（1-0.1） [无限等比数列和Sn=a1/(1-q) 首项/（1-公比）]

= X * 1/9

0.XY XY XY ……

= 0.XY + 0.00XY + 0.0000XY + ……

= XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ……）

= XY * 0.01/（1-0.01）

= XY * 1/99

0.XYZ XYZ XYZ……

= 0.XYZ + 0.000XYZ + 0.000000XYZ + ……

= XYZ *（0.001 + 0.000001 + 0.000000001 + ……）

= XYZ * 0.001/（1-0.001）

= XYZ * 1/999

0.a1a2a3…an a1a2a3…an……

= 0.a1a2a3…an+0.000…0a1a2a3…an(n个0) + ……

= a1a2a3…an * 0.00…01(n-1个0)/(1-0.00…01)

= a1a2a3…an * 1/9999…9(n个9)

用幂的形式也可。0.00…01(n-1个0) 表示为 1/10^n

x = 0.333333....

10x = 3.33333....

10x - x = 3

x = 1/3

纯循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,分子是循环节的数字

混循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,循环节前到小数点间有几位数字,分母9后面就有几个0,分子是混循环数字减去循环节前数字的差

或者用极限解,还有就是楼上的楼上的方法

我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子：

例1 把0.4747……和0.33……化成分数。

解法1：0.4747……×100=47.4747……

0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747…… =47

那么0.4747……=47/99

解法2：0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。

想1：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以, 0.4777……=43/90

想2：0.325656……×100=32.5656……①

0.325656……×10000=3256.56……②

用②－①即得:

0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

0.325656……×9900=3256－32

所以, 0.325656……=3224/9900

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

从上面例题可知，一个纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的个数相同.最后能约分再约分。

把无限循环小数化为分数

给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也很简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。例如，给定小数0.272727...，如何把它化为分数呢？我们可以先把它写成

1 x 0.272727... = 0.272727 (1)

由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：

100 x 0.272727... = 27.2727 (2)

接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，

得

99 x 0.272727... = 27 (3)

接着把(3)化简，得

0.272727... = 3/11

当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需要多一点工夫。例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：

100 x 0.11345345... = 11.345345...

100000 x 0.11345345... = 11345.345...

99900 x 0.11345345... = 11334

0.11345345... = 11334/99900 = 1889/16650

利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。试把0.99...化为分数：

1 x 0.99... = 0.99...

10 x 0.99... = 9.99

9 x 0.99... = 9

0.99... = 1

于是，我们得到1的无限循环小数表达式除了是1.00...外，还可以是0.99...。事实上，我们可以证明，凡是「除得尽」的分数，除可

表达为以无限个0结尾的循环小数外，还可表达为以无限个9结尾的循环小数

将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.

将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……

前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

方法二：设零点三，三循环为x，可知10x-x=三点三，三循环

-零点三，三循环

9x=3

x=1/3

第二种：如，将3.305030503050 (3050)

循环节）化为分数。

解：

设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a

10000a-a=3053

9999a=3053

a=3053/9999

算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。再把整数部分乘分母加进去就是

（3×9999+3053）/9999

=33050/9999

还有混循环小数转分数

如0.1555.....

循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0 分子为非循环节+循环节（连接）-非循环节+15-1=14

14/90

约分后为7/45

(完整版)无限循环小数如何化为分数汇总

无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分 之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的 “无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴” 就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数 例1： 0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么 0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以： 0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=

循环小数如何化分数

循环小数如何化分数 众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。那么无限小数能否化成分数? 首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： ⑴把0.4747……和0.33……化成分数。 想1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 想2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

各种循环小数化成分数的方法归纳

各种循环小数化成分数的方法归纳 、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢? 看下面例题。 例1把纯循环小数化分数： （1） 0.6 （2）3 102 解’ C1） 0.6 X 10 = 6.666 ... ① 0.6=0 666"?…② 由①一②得06X9 = 6 *62 所 KIO .6=|=| （2） 話先看小数部分oD ? ? 0 102 x 1000 = 102 102102 .... ① ■ ? 0.102^0.102102 ..... ② 由①一②得0 102 X 999 = 102 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数的分 子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是 9。9的个数与循环节的位数相 同。能约分的要约分。 所以0102 = 102 _ 34 999 = 333 3 102 999 333 0 216 = 216 999 8 37

999 333 二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为 分数呢？看下面的例题。 例2把混循环小数化分数。 (1) 0.215； (2)6 353 解.(1) 0.215 X 1000^215.1515 ......... ① 0.215X 10=2 1515 ..... ② 由①一②得0215X990 = 215-2 215-2 0 215-—— = 990 213 _ 71 990 330 (2)先看小数部分 0.353 0.353 X 1000 = 353 333 .... ① 0.353 X 100 = 35.333 ... ② 由①一②得0.353 X 900 = 353 - 35 * 353-35 318 53 0.353 = —————— 务——-* 900 900 150 ^318 Q 6 = 6 — 900 150 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数 的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成 的数的差。分所以 6.353=6 353-35 900

如何将循环小数化为分数

浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以, 0.4777……=43/90 想2：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以, 0.325656……=3224/9900 一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

无限循环小数化分数

无限循环小数的分数表示 一、学情分析： 学生已经学过了纯循环小数与混循环小数的概念、小数与分数的互化、分数比较大小、小数与分数的混合运算等知识。这堂课实际上是把之前学过的相关知识进行复习与整合，运用之前所学知识经验生成新知识、形成新思想的过程。 这个课题乍一看似乎有一定的难度，尤其是问题刚一抛出时预计学生会无法动笔。但只要学生掌握了之前分数与小数的相关知识，那么随着教师环环相扣、 层层深入的引导，我相信对于绝大多数学生来说掌握这个知识点应该没有任何困难，关键是要使养成自主探究、自我反思的习惯，提高学生的合情推理能力，发 展学生的思辨意识。因此教师在整堂课中数学思想的渗透和对于学生正面的、中肯的评价很重要。 二、内容和内容解析： 1.内容： 无限循环小数化分数。 2.内容解析： 在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却 有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基 本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。故而在教学中我安排了部分时间， 采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法 三、目标和目标解析： 1.引导学生通过大胆猜想、合理排除、实践验证、归纳总结的过程探究纯循环小数化分数的方法，解决相应问题。 2.渗透类比、极限思想。

循环小数化分数

纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:

无限循环小数化分数教学设计

《无限循环小数化分数》教学设计 孝昌县王店中学汪忠伟 教学内容：无限循环小数化分数 教学目标： 知识与技能：了解无限循环小数都可以化为分数形式，会列一元一次方程将一个无限循环小数化为分数。 过程与方法：在探究无限循环小数化分数过程中渗透无限逼近和转化思想，体会方程的作用，领悟探究式学习的方法及策略。情感、态度与价值观：在数学活动中欣赏数学的结构美，体会数学的理性美，培养学生主动探究意识。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法。 教学过程： 一、百家论坛——一个有趣的辩论 每一天太阳从东方升起从西方落下；每一年春夏秋冬周而复始。日出日落，春去秋来，这是大自然神奇的循环。艺术家们也用循环创作了动听的音乐和令人遐想的美术作品。而在数学王国里，也有着同样美妙笔循环结构的数。它们就是——无限循环小数。说到无限循环小数，不得不说一个有趣的辩论： 9.0 ≈1还是9.0 =1 关于上面式子的讨论，吸引了包括数学家在内的，众多人的参与，

… a 0 7 b b a 0 7 b 0. 77… 你认为是哪一个式子正确？要解决这一问题还得从无限循环小数化分数说起。我们知道分数可以化为有限小数或无限循环小数，而有限小数也可以化为分数，这些我们早已掌握了。那么无限循环小数能化成分数吗？ 二、 各显身手——几个巧妙的解法 1、 下列循环小数： 43 .0 3 .0 451 .0 6 .2 5 0.3 7 .0 73 .2 7.1 你能将哪些化为分数，你的做法是什么？要探究这些循环小数化为分数，你会采取怎样的顺序？（让学生体会从简单情况入手的思想） 2、 探究。 7.0化分数的方法 方法1：从来路找回路 3 1=？ 一般做法：1÷3=。 3.0 如果从分数化小数的竖式除法来探究则可得到下面的方法： 设b a =。 7.0， 由右图竖式可得， 10a-7b=a 9a=7b b a =9 7 即。 7.0=9 7 方法二、从怎样将无限循环部分消去入手 思考：请找出7 .7 与7.0 的关系？（7.7 是7.0 的10倍，它们的差是7） 有了上面两个问题的铺垫，得到下面的算术解法： 将7 .0 看作整体1 则7.7 为整体1的10倍，它们的差为整体1的9倍

人教版数学七年级下册第六章无限循环小数可以化成分数

无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90

所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5· 化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．

第七讲 分数与循环小数的互化

第七讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【学大名师】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） 5 40.115? ??= 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） 2 9502716。 ???= 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.199 681

（3） = ? ? 54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==?? 例3 计算：0.?1?1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【学大名师】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式9991 99819971996199519941993199219911+ +++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【学大名师】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成： Λ182818181.72187182.2=? ? Λ11828128128.72182718.2=? ? Λ2811828182818.72128871.2=? ? 很显然? ? 128871.2是最大的 解：（1）??128871.2 （2）? ?6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18

分数转化成循环小数的判断方法

分数转化成循环小数的判断方法 分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数 字组成的数与不循环部分的数字所组成 的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢因为所

有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环

节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3

证明分数一定是小数或无限循环小数

证明分数一定是小数或无限循环小数 优质解答 任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小 数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循 环小数呢?我们先看下面的分数. （1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化 因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位. （2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5. （3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质 因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位. 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于 分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循 环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数. 例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部 分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位? 上述分数都是最简分数,并且 32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13, 117=33×13,850=2×52×17,

根据上面的结论,得到： 不循环部分有两位. 将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法. 1.将纯循环小数化成分数. 将上两式相减,得将上两式相减,得 从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法. 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同. 2.将混循环小数化成分数. 将上两式相减,得 将上两式相减,得 从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法. 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同. 数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数 所以只需证明分数不可能是无限不循环小数 因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候 而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）

刘玉文循环小数化分数习题

无限循环小数化分数 我们的目标： 了解小数、分数在历史上的故事，无限循环小数化分数的方法 例1、 把纯循环小数0.7? ，2.503??化成分数形式： 例2、 将小数0.8?，0.36??，0.2136??，0.720?? 化成分数

例3、把混循环小数0.06?，6.2507??化成分数形式 例4、 将小数0.51?，0.2954??，0.14027??，0.7612?? ，化成分数

例5、 计算：(0.910.820.730.64)(0.10.20.30.40.50.6)???????? ?? +++-+++++ 例6、 计算下面各题。 （1）1 0.181 0.180.18??????++ （2）10.610.61 0.60.6???? +++

例7、某人将2.46?乘以一个数，误把2.46?写成2.46，结果与正确结果相差2.46， 正确答案应是多少？ 例8、纯循环小数0.abc ?? 写成最简分数时，分子与分母之和是58，请写出这个循 环小数

例9、假定n是一个自然数，n是1~9中的一个数码，已知 0.05 296 n d ?? = ，求n 循环小数化成分数： 纯循环小数小数部分化成分数：分子是一个循环节的数字组成的数，分母的每一位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的要约分。 混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位是0。9的个数与一个循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

分数转化成循环小数的判断方法

分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢？因为所有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢？ 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．

无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3 注意：m^n的意义为m的n次方。 方法二：设零点三，三循环为x，可知10x-x=三点三，三循环-零点三，三循环 9x=3 x=1/3 第二种：如，将.................（3050为循环节）化为分数。 解： 设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a 10000a-a=3053 9999a=3053 a=3053/9999 算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。再把整数部分乘分母加进去就是

无限循环小数化分数

有限循环小数如何化为分数 北京市第十九中学初一二班王旭目前的学习误区：在小学奥数中，只学过0.aaa……＝a/9，并没有更具体的概念。 主要内容：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。循环小数化分数的方法有： 1.纯循环小数化分数。分子是一个循环节所表示的数；分母的各位数字都是9，9的个数和一个循环节的数字的个数相同。 2.混循环小数化分数。分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数和一个循环节的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字的个数相同。 一、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。 把纯循环小数化分数： 纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。 （2）先看小数部分0.353 一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 三、循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

第7讲 分数与循环小数的互化

第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??

例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244

无限循环小数如何化为分数

无限循环小数如何化为分数 无限循环小数如何化为分数: 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉 了。 把 0.33……和 0.4747……化成分数 例1：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以：0.325656……=3224/9900

循环小数化为分数的方法与运算

循环小数化为分数的方法与运算 江苏省泗阳县李口中学沈正中 大家都知道分数可以化成混循环小数，同样，循环小数也能化成分数。下面就来探讨一下“循环小数化为分数”的方法。 一、探究“纯循环小数化为分数”的方法 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 【探究】：把下面的纯循环小数化分数： 【解】： 故 【结论】：“纯循环小数化为分数”的方法是“用这个纯循环小数的一个循环节表示的数做分子；分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。” 二、探究“混循环小数化分数”的方法 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。比起纯循环小数化成分数的方法，就显得稍微为复杂一点点。 【探究】：把下面的混循环小数化分数。

【解】： 【结论】：“混循环小数化为分数”的方法是：“用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的小数位数相同。” 三、探究“混循环小数化分数”与“纯循环小数化为分数”的关系 【探究】：把下面的混循环小数化分数。 【解】：（箭头说明：循环节有一位写一 个9，不循环部分有一位写一个0。） （箭头说明：循环节有两位

写两个9，不循环部分有一位写一个0。） （箭头说明：循环节有 两位写两个9，不循环部分有两位写两个0。） 混循环小数化分数，比纯循环小数化成分数明显要复杂一点点，但究其算理，仍依据纯小数化成分数的方法。即：先把混循环小数化成纯循环小数的形式，然后再化成分数。上面的三例推导证明如下： 推导结果与例（3）的中间脱式一致。 由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。 四、循环小数的运算 根据上面所述，循环小数的四则运算可转化为分数运算。

《无限循环小数化分数》教学案例

《无限循环小数化分数》教学案例 彭鹏飞 湖北省襄阳市襄阳五中实验中学 441021 1.案例背景 在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。故而在教学中我安排了部分时间，采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。 2.教学片断 在新内容开始前我先带着学生回顾了之前学习的关于有理数的部分知识，并作为新课的引入。 [师]：我们之前在学习有理数时曾经提到过所有的有理数都可以写成什么形式啊？ [生]：都可以写成分数的形式。 [师]：很好。那我问大家，我们之前学习过的，无限循环小数是不是有理数啊？可不可以化为分数形式啊？ [生]：无限循环小数是有理数，可以化为分数形式。 [师]：那我举个例子，比如说0.3· ，它的分数形式应该怎么表示呢？ [生]：1/3。 [师]：很好，这是大家很早就认识的一个分数了，对它也比较了解。那任意一个无限循环小数又如何去表示成分数呢？（学生们开始沉思）这就需要大家自己参照我们的课本好好探究了。 在教学中，我安排学生自主阅读教材探究这样一个问题，学生们带着问题去读书，注意力集中，兴趣也提高了。 在看到学生基本上通读过教材内容之后，我对于教材提出了相应的问题，布

第3讲--循环小数化分数

第三讲 循环小数化分数 一．纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化作分数呢？看下面的例题。 例1．把纯循环小数化成分数： （1）0.6g ； （2）3.102g g 。 解：（1）0.6g ×10=6.666…… ① 0.6g =0.666…… ② 由①–②得到 0.6g ×9=6， 所以0.6g = 62=93。 （2）3.102g g 先看小数部分0.102g g ， 0.102g g ×1000=102.102102…… ① 0.102g g =0.102102…… ② 由①–②得到 999×0.102g g =102， 所以102340.102==999333 g g 。 102343.102=3=3999333 g g 。 从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。 例如0.216g g =216899937 ，123414.123=4=4999333g g 。 二．混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。 例2．把混循环小数化为分数： （1）0.215g g ； （2）6.353g 。

解：（1）0.215g g ×1000=215.151515…… ① 0.215g g ×10=2.151515…… ② 由①–②得 990×0.215g g =251–2=213， 所以2152213710.215=990990330 -==g g 。 （2）对于6.353g ，先看小数部分0.353g ， 0.353g ×1000=353.3333…… ① 0.353g ×100=35.3333…… ② 由①–②得0.353g ×900=353–35， 所以35335318530.353=900300150 -==g 。 所以536.353=6150g 。 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数字是9，末几位数字是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 如①把0.276g 化成分数。 解：27627830.276= 900300 -=g 。 ②把7.42g 化成分数； 解：42438197.42=777909045 -==g 。 三．循环小数的四则运算 循环小数化为分数后，循环小数的四则运算可以按分数的四则运算法则进行。从这种意义上讲，循环小数的四则运算和有限小数的四则运算一样，也是分数的四则运算。 例3．计算下列各题： （1） 2.45 3.13+g g g ；（2）2.609 1.32-g g g ； （3）4.3 2.4?g g ； （4）1.240.3÷g g g 。