2009年四川省绵阳市中考数学试卷

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绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．如果向东走80 m 记为80 m ，那么向西走60 m 记为

A ．－60 m

B ．︱－60︱m

C ．－（－60）m

D ．60

1m 2．点P （－2，1）关于原点对称的点的坐标为

A ．（2，1）

B ．（1，－2）

C ．（2，－1）

D ．（－2，1） 3．右图中的正五棱柱的左视图应为

A ．

B ．

C ．

D ．

4．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m ，用科学记数法表示这个数是 A ．0.156×10－

5 B ．0.156×105 C ．1.56×10－

6 D ．1.56×106

5．一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60?，则OP =

A ．50 cm

B ．253cm

C ．3

3

50cm D ．503cm

6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：

成绩／m 1.50 1.61 1.66 1.70 1.75 1.78 人数

2

3

2

1

5

1

则这些运动员成绩的中位数是

A ．1.66

B ．1.67

C ．

1.68

D ．1.75

7．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60? 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为

A ．15?或30?

B ．30?或45?

C ．45?或60?

D ．30?或60?

O M

N

P

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8．小明在解关于x 、y 的二元一次方程组?

??=?-=?+133,

y x y x 时得到了正确结果

?

??=⊕=.1,

y x 后来发现“?”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出?、⊕ 处的值分别是 A ．? = 1，⊕ = 1 B ．? = 2，⊕ = 1 C ．? = 1，⊕ = 2 D ．? = 2，⊕ = 2 9．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为

A ．12

B ．11

C ．8

D ．3

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的中心在原点，顶点A 、C 在

反比例函数x

k

y =的图象上，AB ∥y 轴，AD ∥x 轴，若ABCD 的面积为

8，则k =

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

11．如图，四边形ABCD 是矩形，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则DE :AC

=

A ．1:3

B ．3:8

C ．8:27

D ．7:25

12．如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆

O 1相切，则图中阴影部分的面积是 A ．2367a π- B ．2365a π- C ．2367a D ．236

5

a

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上． 13．计算：（2a 2）2 = ．

14．如图，直线a ∥b ，l 与a 、b 交于E 、F 点，PF 平分∠EFD 交a 于P 点，若∠1 = 70?，则∠2 =

． 15．如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90?

再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．

y

A B C

D O

x

A

B

C

D

E

O 2 O 1

A

P B

C

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16．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平

线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A ，使A 与树顶E 、楼房顶点D 也恰好在一条直线上．小明测得A 处的仰角为∠A = 30?．已知楼房CD

21米，且与树BE 之间的距离BC = 30米，则此树的高度约为 米．（结果保留两个有效数字，3≈

1.732）

17．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中

一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 ． 18．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数

2009应排的位置是第 行第 列．

三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

（1）计算：（－1）2009 + 3（tan 60?）－

1－︱1－3︱+（3.14－π）0．

（2）先化简，再选择一个合适的x 值代入求值：1

1)131()11(2

2-?--÷++x x x x x ． 第1列 第2列 第3列 第4列

第1行 1 2 3 第2行 6 5 4 第3行 7 8 9 第4行 12 11 10 ……

2

1

F

E D

b

l

P a A B E C

D

D

C

A

E B

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20．新民场镇地处城郊，镇政府为进一步改善场镇人居环境，准备在街道两边植种行道树，行道树的树种选择取

决于居民的喜爱情况．为此，新民初中社会调查小组在场镇随机调查了部分居民，并将结果绘制成如下扇形统计图，其中∠AOB = 126 ．

请根据扇形统计图，完成下列问题：

（1）本次调查了多少名居民？其中喜爱柳树的居民有多少人？ （2）请将扇形统计图改成条形统计图（在图中完成）；

（3）请根据此项调查，对新民场镇植种行道树的树种提出一条建议．

360 320 280 240 200 160 120 80 40

人数 香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种

其它

10%

柳

树 梧桐 10% A B

香樟 40%

O

小叶榕 280人

北京中考网—北达教育旗下https://www.wendangku.net/doc/3f7475111.html,电话010-******** 21．已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

22．李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．

（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？

（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．

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23．已知抛物线y = ax 2－x + c 经过点Q （－2，2

3

），且它的顶点P 的横坐标为－1．设抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，如图．

（1）求抛物线的解析式； （2）求A 、B 两点的坐标；

（3）设PB 于y 轴交于C 点，求△ABC 的面积．

24．如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60?， AB 与PC 交于Q 点．

（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；

（2）求证：QB

AQ

PB AP =； （3）若∠ABP = 15?，△ABC 的面积为43，求PC 的长．

x

A

Q

O

B

C P y

Q P

C

B

A O

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25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．

（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；

（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．

x

O E B

A

y

C

F

x O E B

A

y C

F

x

O E B

A

y

C

F

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绵阳市2009年高级中等教育学校招生统一考试数学试题答案

一、选择题 ACBC ACDB BADD 二、填空题

13．4a 4 14．35? 15．如图所示 16．3.7 17．6

1

18．670，3 三、解答题

19．（1）原式=－1 + 3（3）－

1－（3－1）+ 1 =－1 + 3÷3－3+ 1 + 1 = 1．

（2） 原式

=1113111222-?---÷+++x x x x x x x =11

)1)(1()21)(21(112-?-+-+÷++x x x x x x x =11211-?--x x x =1

21-x ．

取x = 0，则原式=－1．

（注：x 可取除±1，±2

1

外的任意实数，计算正确均可得分）

20．（1） ∵

360

126

×100％ = 35％， ∴ 280÷35％ = 800，800×（1－40％－35％－10％－10％）= 40，即本次调查了800名居民，其中喜爱柳树的居民有40人．

（2）如图．

（3）建议多植种香樟树．（注：答案不惟一）

21．（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）

= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，

∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．

A B E C

D

360 320 280 240 200 160 120 80 40

人数

香樟 小叶榕 梧桐 柳树 其它 喜爱的树种

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（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）． 即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．

此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．

22．（1）设李大爷一年前买A 、B 两种种兔各x 只，则由题意可列方程为

x + 20 = 2x －10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔． （2）设李大爷卖A 种兔x 只，则卖B 种兔30－x 只，则由题意得 x ＜30－x ， ① 15x +（30－x ）×6≥280， ② 解 ①，得 x ＜15； 解 ②，得x ≥9100， 即 9

100

≤x ＜15． ∵ x 是整数，

9

100

≈11.11， ∴ x = 12，13，14． 即李大爷有三种卖兔方案：

方案一 卖A 种种兔12只，B 种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）； 方案二 卖A 种种兔13只，B 种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）； 方案三 卖A 种种兔14只，B 种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）． 显然，方案三获利最大，最大利润为306元．

23．（1）由题意得 ???????-=--+---=,

121,)2()2(2

3

2a

c a 解得 21-=a ，23=c ．

∴ 抛物线的解析式为23

212+--

=x x y ． （2）令 y = 0，即 02

3

212=+--x x ，整理得 x 2 + 2x －3 = 0．

变形为 （x + 3）（x －1）= 0， 解得 x 1 =－3，x 2 = 1． ∴ A （－3，0），B （1，0）． （3）将 x =－l 代入2

3

212+--

=x x y 中，得 y = 2，即P （－1，2）． 设直线PB 的解析式为 y = kx + b ，于是 2 =－k + b ，且 0 = k + b ．解得 k =－1，b = 1．

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即直线PB 的解析式为 y =－x + 1． 令 x = 0，则 y = 1， 即 OC = 1． 又 ∵ AB = 1－（－3）= 4， ∴ S △ABC =

21×AB ×OC =2

1

×4×1 = 2，即△ABC 的面积为2． 24． （1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60?，∠BAC =∠BPC = 60?，

∴ ∠ACB = 180?－∠ABC －∠BAC = 60?， ∴ △ABC 是等边三角形．

（2）如图，过B 作BD ∥PA 交PC 于D ，则 ∠BDP =∠APC = 60?． 又 ∵ ∠AQP =∠BQD ，∴ △AQP ∽△BQD ，

BD

AP

QB AQ =． ∵ ∠BPD =∠BDP = 60?， ∴ PB = BD ． ∴

PB

AP

QB AQ =． （3）设正△ABC 的高为h ，则 h = BC · sin 60?． ∵

21BC · h = 43， 即2

1

BC · BC · sin 60? = 43，解得BC = 4． 连接OB ，OC ，OP ，作OE ⊥BC 于E ．

由△ABC 是正三角形知∠BOC = 120?，从而得∠OCE = 30?， ∴ 3

4

30cos =?=

CE OC ．

由∠ABP = 15? 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75?，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150?． ∴ ∠PCO =（180?－150?）÷2 = 15?．

如图，作等腰直角△RMN ，在直角边RM 上取点G ，使∠GNM = 15?，则∠RNG = 30?，作GH ⊥RN ，垂足为H ．设GH = 1，则 cos ∠GNM = cos15? = MN ．

∵ 在Rt △GHN 中，NH = GN · cos30?，GH = GN · sin30?． 于是 RH = GH ，MN = RN · sin45?，∴ cos15? =

4

6

2+． 在图中，作OF ⊥PC 于E ，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15? =3

6

222+． 25．（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正方形．

F

E

Q P

C

B

A O

H

R G M

N

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如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45?，从而 ∠AGE = 135?．

由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135?，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90?，∴ ∠FEB +∠AEO = 90?． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90?， ∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．

（2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．

∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．

由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45?，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ， ∴ EH = m －a + a = m ．

又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．

（3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ． 由 ∠AEF = 90?，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， ∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE ，即h =（t + 1）a ， 且

FH OE EH AO =，即h

a

a m h n =-+， 整理得 nh = ah + am －a 2

，∴ a

n a m a a n a am h --=--=)

(2．

把h =（t + 1）a 代入得

a t a

n a m a )1()

(+=--，

即 m －a =（t + 1）（n －a ）．

而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得 ta = n ，解得t

n a =． ∵ t ＞1， ∴

t

n

＜n ＜m ，故E 在OB 边上． x

O

E B

A y

C

F G H x

O E

B A

y

C

F

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∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满足条件，此时E （t

n

，0）．