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反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数

班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念

2、掌握一次分式函数的图像画法及性质

3、掌握反比例函数的性质【教学过程】

一、知识梳理： 2、一次分函数的定义

我们把形如(0,)cx d

y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、一次分函数(0,)cx d

y a ad bc ax b

+=≠≠+的图象和性质

图象：其图象如图所示.

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定义域：_________________；值域：____________________；

对称中心：___________________；渐近线方程：______________________；单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b

-+∞分别单调递减；当ad

-+∞分别单调递增；

二、回归教材

1．函数1

1--

=x y 的图象是． 2．已知反比例函数x y 6

=的图象经过点),2(a P ，则a=__________.

3．()10x

y x x

≠的值域是． 4．函数21

()3x f x x +=+的单调增区间是．

5．函数21

()3

x f x x -=+的对称中心是．

6．函数()x

f x x

是函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”）三、典型题型：【例1】填空题：

（1）函数21

()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________．（2）函数21

()3

x f x x -=+（())5,2(4,5?--∈x ），则()x f 的值域是________．

（3）已知函数()a

x x x f -+=12，若*

∈?N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围

是．（4）若函数21

()x f x x a

+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .

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【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x

x f ∈+-

=，区间M=[a ，b](a

【例3】已知函数2()1

ax a

f x x +-=

+，其中a R ∈。

(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式

()1f x x >-的解集；

(2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围.

四、课堂反馈：

1、函数1

x x e y e -=+的反函数的定义域是；

2、不等式21

x x -≥+的解集是； 3、函数221

x x

y x x -=-+的值域是；

4、设函数()(0)x a

f x a b x b

>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．

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五、课后作业：学生姓名：___________

1、若1

a x

y x a -=

--的的图象关于点(4,1)-成中心对称，则实数a 的值为___________

、函数()f x =的单调递减区间是_______；

3、已知函数x

x x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，则实数a 的值

为________________

4、函数)0(,)(>+

=a x

x x f 在区间[])0(,>m n m 上取得最大值6，最小值2，则此函数在区间[]m n --,上_____________(填单调性) 5、已知函数x

x x f +=)(在区间()+∞,1上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为_______________ 6、设(),[0,+)1

f x x x x =+

∈∞+。

（1）当a ＝2时，求()f x 的最小值；（2）当0＜a ＜1时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

分式函数

第 1 页共 4 页一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

初三数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数知识点及经典例题一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表： 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少

初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：（1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。图1 （2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。图2 （3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。图3 （4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站

方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时， 8800 x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +?-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。 ②当100x 40≤<时， )x 100(60)40x (70x 20y -+-+= 3200x 30+=，此时y 的值大于4400。因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。（2）设取奶站建在距A 楼xm 处。 ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x 20-=-+，解得03 320x <- =（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。（3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人， ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得30 a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得a 1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。

附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时，对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常其图像例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-

反比例函数(提高)知识讲解

反比例函数（提高) 【学习目标】 1．理解反比例函数的概念和意义,能根据问题的反比例关系确定函数解析式. ２．能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质．3．会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质. 【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如 k y x =(k为常数,0 k≠)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释:(1)在 k y x =中,自变量x是分式 k x 的分母,当0 x=时,分式 k x 无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0 y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点； (2） k y x =()可以写成()的形式,自变量x的指数是－1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. (3） k y x = ()也可以写成的形式,用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 k y x =中,只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: （１)设所求的反比例函数为: k y x = (0 k≠）； (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程；(３）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式 k y x =中. 要点三、反比例函数的图象和性质

? 1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释:（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x =的图象上,则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称; (2)在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴． 2、反比例函数的性质 (１)如图1，当0k >时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内,y 值随x 值的增大而减小; (2）如图2，当0k <时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大; 要点诠释:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的;反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四、反比例函数(）中的比例系数k 的几何意义过双曲线x k y = (0k ≠）上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠）上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点，所得三角形的面积为2k ．

八年级下册数学特训数学分式和反比例函数测验

八年级下册数学特训数学分式和反比例函数测验一、填空题（本题共8个小题，满分24分） 1、37÷34= 。 2、方程x x 527=-的解是。 3、银原子的直径为0.0003微米,用科学记数表示为____________微米。 4、分式,21x xy y 51,212-的最简公分母为。 5、对于分式3 92+-x x ，当x__________时，分式无意义。 6、计算=-----n m z m n y n m x _________。 7、已知22)1(--=a x a y 是反比例函数，则a =____ ． 8、计算 22142 a a a -=-- ．二、选择题（本题共8个小题，满分24分） 9、下列各式：2 b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 10、下列函数中，反比例函数是（）（A ） 1)1(=-y x （B ） 11+= x y （C ） 21x y = （D ） x y 31-= 11、化简 212293m m +-+的结果是（）. （A ）269m m +- (B)23m - (C)23m + （D ）2299 m m +- 12、化简2293m m m --的结果是（）（A ）3+m m （B ）3+-m m （C ）3-m m （D ）m m -3 13、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（）（A ）(－a ,－b ) （B ）(a ,－b ) （C ）(－a ，b ) （D ）（0，0） 14、计算 x x -++1111的正确结果是（）（A ）0 （B ）212x x - （C ）212x - （D ）122-x

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且；【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

八年级下数学第一次月考试卷(分式,反比例函数)

八年级下数学第一次月考试卷(分式,反比例函数) （时间：120分钟总分：100分）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．在式子a 1 ，π　xy 2，23 34a b c ，x ＋　65， 7x ＋8y ，9 x +y 10　中，分式的个数是（） A.5 B.4 C.３ D.２ 2. 下列关于分式的判断，正确的是（） A .当x =2时， 2 1-+x x 的值为零 B .无论x 为何值， 1 3 2 +x 的值总为正数 C .无论x 为何值，1 3 +x 不可能得整数值 D .当x ≠3时， x x 3 -有意义 3．已知函数x k y = 的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（） A ．y 随x 的增大而增大 B.函数的图象只在第一象限 C ．当x ＜0时，必有y ＜0 D.点（-2，-3）不在此函数的图象上 4.如图，函数y ＝k （x ＋1）与x k y = （k ＜0）在同一坐标系中，图象只能是下图中的（） 5．分式 ||22 x x --的值为零，则x 的值为（） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．2或-2 6．如果（a-1）0=1成立，则（） A ．a ≠1 B ．a=0 C ．a=2 D ．a=0或a=2 7．人体中成熟红细胞的平均直径为0.000 007 7m ，用科学记数法表示为（） A ．7.7×10-5m B ．77×10- 6m ； C ．77×10-5m D ．7.7×10- 6m 8．若分式方程 2 31 x x -= 1 m x -有增根，则m 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 9、下列约分正确的是（） A 、 3 13 m m m + =+ B 、 2 12 y x y x - =-+ C 、 1 233 69+= +a b a b D 、 ()() y x a b y b a x = -- 10、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（） A 、 94 484 48=-+ +x x B 、 9448448=-+ +x x C 9448=+x D 94 964 96=-+ +x x （1）

反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、掌握反比例函数的性质【教学过程】一、知识梳理： 2、一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质图象：其图象如图所示.

第 2 页共 4 页定义域：_________________；值域：____________________；对称中心：___________________；渐近线方程：______________________；单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式和反比例函数易错题

第十六章分式和第十七章反比例函数试题选解 1.分式 1 4+m 表示一个整数时，字母m 可以取的整数值共有个. 2.当x 时，分式2142x x +-的值是负数. 3.下列分式变形正确的是（） A.y x =22y x B.n m n m +-=))(()(2 n m n m n m -+-=222)(n m n m -- C.1212+--x x x =11-x D.a b =2a ab 4.在分式 ab b a 2-中，字母a,b 值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（） A.扩大为原来的2倍 B.不变 C.缩小为原来的21 D. 缩小为原来的41 5.若a=32，则12 73222+---a a a a 的值等于 . 6.当a=21时，代数式12 -a a -111---a a 的值为 . 7.某人的上山的速度为m 千米/时，下山的速度为n 千米/时，则他上下山的平均速度为 . 8.解分式方程 x x 1--13-x x +1=0，如果设x x 1-= y,将原方程化为关于y 的整式方程为 . 9.若分式方程a x a x =-+1 有增根，则a 的值为；若该方程无解，则a 的值为 . 10.当x = 时，2x-3与3 45+x 互为倒数. 11.分式m x x +-212，若不论x 取何值分式总有意义，则m 的取值范围是 12.a b b a a 222 ?÷ = ； n m n m mn 2923=-? ；b a b a ab ab a +=--+)(2222 13.若分式方程3 13+=-+x x x a 的解是负数，则a 的取值范围是 . 14.已知211=-y x ，则y xy x y xy x ---+2252的值为 . 15已知 21)2)(1(32++-=+--x B x A x x x ，则A= ,B= . 16.当a = 时，分式1 22++a a a 的值为0；若分式21+x ，12-x x 的和等于2，则x = . 17.若（m-n ）x=m 2-n 2的解是x=m+n 则m 与n 的关系是 .

求分式函数值域的几种方法-精品

求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数值域方法. 1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?，因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.

例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+，因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34，所以34- ≤21 01 x x -<-+，故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数，所以?≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0，解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0，

分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，413 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-， sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？例1、画出函数211 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数211 x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质（1）定义域：{|}d x x c ≠- ；（2）值域：{|}a y y c ≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c -；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。分析：此类函数中，当0a 时，对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y