一次分式函数最值问题
拆分函数解析式结构，巧解问题
--------------函数()ax b f x cx d
+=+值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d
+=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。
此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d
+=
≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。
下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。
【例题1】：求函数21()3x f x x +=-的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为{|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。
【解析】：原函数可化为212677()2333x x f x x x x +-+=
==+---，7303x x ≠≠- 且，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且；【例题2】：求函数21(),(2,4]1
x f x x x -=∈-的值域；【思路切入】：由例1的结构拆分法，我们不难得到函数的反比例结构。但由于函数有附加定义域(2,4]，所以在例1方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：
（一）数形结合法：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，画出函数图像示意；
3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。
（二）代数法：
1、利用变换，将x 用y 表示；
2、利用给定的函数定义域（x 的取值范围）建立关于y 的不等式；
3、解关于y 的不等式，得到函数值域。
【解析】：解法一：函数拆分变化为212211()2,(2,4]111x x f x x x x x --+=
==+∈---，画出函数示意图：
观察(2,4]内的曲线形状得
当2x =时，(2)3f =，当4x =时，
min 7()(4)3f x f ==；所以，函数()f x 的值域是7[,3)3。解法二：函数21(),(2,4]1
x f x x x -=∈-变形为1,(2)2
y x y y -=≠-，由函数定义域(2,4]可得1242y y -<
≤-，解之得733y ≤<，所以，函数()f x 的值域是7[,3)3
。进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数()(0)ax b f x c cx d
+=
≠+类值域（最值）问题的变化在于：1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；
2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；
3、反比例函数结构的变化，有两种：,0a y a x
=
>图像在一、三象限，,0a y a x =<图像在二、四象限。如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。
【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。
【落实提高】：
1、求函数21(),(0,4)1x f x x x -=
∈-的值域；答案：7(,1)(,)3-∞+∞ 2、求函数21(),[4,2)1x f x x x -=∈--+的值域；答案：[3,5)
3、求函数3(),(0)21
x f x x x -=
≥+的值域；答案：1(,3]2-4、函数21()(),(0,4)()11()
f x
g x x f x x f x -=∈=-+且，求函数()g x 的值域；答案：7(,)8
-+∞
分式函数
第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；
2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 初中数学一次函数的最值问题 一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论： （1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。 图1 （2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。 图2 （3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。 图3 （4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。 凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。 下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考： 某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站 方案： 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小； 方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。 （1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？ （3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。 解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时， 8800 x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +?-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。 ②当100x 40≤<时， )x 100(60)40x (70x 20y -+-+= 3200x 30+=， 此时y 的值大于4400。 因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。 （2）设取奶站建在距A 楼xm 处。 ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x 20-=-+， 解得03 320x <- =（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80， 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。 （3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人， ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得30 a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得a 1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。 分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。 解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。 例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常 其图像 例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。 例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥- 一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿9.2 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{y 调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4中心：渐近线为直线, d a x y c c =-=，（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（6）图象：如图所示。 2．函数(0,0) b y ax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）{|y y y ≥≤-或（3 单调性：在区间+),(,∞-∞间上是减函数（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x =+><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数(0)b y ax a x =+<的图象（如图所示）和性质（略）： 类型一：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+（ “一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数1 1 +- =x y 的图象是 （ ） A B C D 例2、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+= ==+---， 即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0 归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象． 反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示. 第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 苏州市学案 一、课前准备： 【自主梳理】 1．一次分函数的定义 我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b 2.1 图象：其图象如图所示 . y x b a b c o x (, ) a a ax+b 一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。 y o c x y a y c b c ( , ) a ad bc a a x b ad bc a 2.2 定义域：2.3 值域：x x b ； a y y c ； a 2.4 对称中心：b , c； a a 2.5 渐近线方程： x b和 y c ； a a 2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间 ( , b ) 和 ( b , ) 分别单调递减； 当 ad 【自我检测】 1．函数 y 1 1 ．的图象是 x 1 y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 -1 O x -1 O x x (A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x) 3x 1 的定义域是 ． 1 x x x 1 3． y 0 的值域是 ． x 4．函数 f ( x) 2x 1 的单调增区间是 ． x 3 5．函数 f ( x) 2x 1 的对称中心是 ． x 3 6．函数 f ( x) x 是 函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非 偶 ”） x 二、课堂活动： 【例 1】填空题： （ 1）函数 f ( x) 2x 1 （ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 2）函数 f ( x) 2x 1 （ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 3）已知函数 f x 2x 1 ，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f (x) 2x 1 的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝ . x a 2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x 【 例 (x R) ， 区 间 M=[a ， b](a 求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞. 例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0， 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)(' 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，413 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-， sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 由此可以画出函数211 x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c ≠- ； （2）值域：{|}a y y c ≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c -； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数； 二次分式函数值域的求法 甘肃 王新宏 一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程 2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域 1：求y =2 2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立 由y =2 2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0 ①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R ②当y-2≠0时，即y ≠2时, ∵x ∈R ∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2 -(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y 2-18y+15≤0 ∴1≤y ≤5 ∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ?? ????-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。 形如y =x+ x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像 单调性：在x ∈[] k ,0时，单调递减。在x ∈[] +∞,k 时，单调递减。 值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围 ②把原函数化为关于t 的函数 ③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域 例2 求y =12122-+-x x x （32 1≤ 分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4 ）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象（如图所示）和性质（略）： 类型一：( ,, ,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + （“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数 1 1 + - = x y的图象是（） A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ，即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上 由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,) -∞+∞； 值域：(,2)(2,) -∞+∞ U； 对称中心：(1,2)。 x O y x O y 1 2 x O y 1 一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明， 求函数最值的常用以下方法： 1．函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现． 例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1 2，则a ＝________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝1 2 ，a ＝4.故填4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ] 上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________． 【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)， ∴x＝1－t2， ∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2312)(++=x x x f （)32 -≠x 的值域。 解：231 34) 3 2(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x Θ32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ?? ≠ 32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ? ? ≠c a y y / 例2：求2 31 2)(++= x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32 得出，通过图初中数学一次函数的最值问题
附录2(分式函数求值域方法总结)
一次分式函数最值问题
分式函数求最值班 班
一次分式型函数学案
反比例、分式函数
一次分式函数
求分式函数值域的几种方法-精品
分式函数求值域
分式函数的图像与性质
次分式函数值域的求法
分式函数求最值 班 班
一次分式函数最值问题
题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)
求函数最值的方法归纳
分式型函数求值域的方法探讨