珠算乘方和开方

珠算乘方和开方

珠算乘方可以直接乘，也可以根据公式，高次方若幂是质素，就只有直接乘，若可以分解因式，则可分解因式再来算。

珠算开平方，一般有半九九开平方法，积差开平方法，公式开平方法，增乘开平方法。开三次方，有三倍根开立方法，过大商开立方法。

开五次方，有多种，常见的有增乘开五次方。

开平方的计算

在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314. 如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚： 比如求√37625.(如图） ①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25 ②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。 ③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图） ④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9 ⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方 ⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。 （附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）

手算开平方和开立方的方法 2011-01-14 17:58 手算开平方和开立方的方法 1)开平方Extracting Square Root 写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。 从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。

平方根和开平方(基础)知识讲解

平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

1.1.2数的乘方和开方的运算

教 案 用 纸 学 科 数 学 第 一 章 方程与不等式 1.1.2 数的乘方和开方的运算 审 批 签 字 授 课 时 数 2 授 课 方 法 讲授 教 具 三角板 授 课 时 间 2011年9月28日 授 课 班 级 化工工艺1141、 数车1141、数车1142 教 学 目 的 1.掌握数的乘方和开方运算2.理解根式的概念和性质 教 学 重 点 和 难 点 重点：数的乘方和开方运算与相关公式 难点：根式的概念和性质 复 习 提 问 1.什么叫做a 的n 次幂？2.什么是乘方和开方运算？ 教 学 内 容 、 方 法 和 过 程 附 记 （一）导入新知 问题1：什么叫做a 的n 次幂？ a 的n 次幂，记作n a ，其中a 叫做幂底数，n 叫做幂指数。 问题2：乘方运算：求n 个a 连乘的积的运算，即n a a a a a =???? 问题3：开方运算： ()=9 , ()=38 , ()=-3 125 以上三个式子分别读作什么？各表示什么意思？ 解释：9 表示9 的算术平方根；38 表示8的立方根或三次方根； 3 125- 表示125-的立方根。 问题1-3复习乘方和开方运算的概念，为本节内容做铺垫。 个n

（二）讲授新知 1.乘方运算：求n 个相同的数乘积的运算。 ① 正整数指数幂：当n 为正整数时，a 的n 次幂即正整数指数幂。 举例说明：4个2连乘：4 22222=??? 5个m 连乘：5 m m m m m m =???? :问题4：由n m n m a a a +=?，()n m n m a a a a n m n m >≠=-均为正整数，且，，0 猜想，当时呢？n m < 举例说明：25 353--==a a a a （1） 2531 a a a a a a a a a a a =??????= （2） 由（1）和（2）可得：22 1 a a = - ② 负整数指数幂 ()为正整数，n a a a n n 01 ≠= - 问题5：当?==n m a a n m 时， ③ 零指数幂 10 =a ()0≠a 综上所述：由上述定义可把正整数指数幂推广为整数指数幂。 例1：求值： =0 2（ 1 ）， () =0 3（ 1 ）， =3 2（ 8 ）， =-32（ 8 1 ）， =-4 10（ 0.0001 ） 问题4的设计意图探究正整数指数幂与负整数指数幂的关系。 问题5的设计意图探究零指数幂。

12章平方根与立方根(教案)

§12.1 平方根与立方根 第一课时平方根（9月1日星期二） 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念； 关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2 (0.8)2；(－0.8)

2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4 。4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。 知识点二： 概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2； 2 )32 1( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？

初一下数学讲义 -平方根(基础)知识讲解

平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a的算术平方根”，a叫做被 开方数. 要点诠释： a 0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算.a (a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ 是a的算术 平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =.

平方根与立方根(教案)

平方根1 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2； (0.8)2；(－0.8)2 （2）如果已知一个数的平方等于16 2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x，则2x＝16，问题归结为求x。这个问题可以通过乘方运算来解决。

因为42＝16所以x ＝4 ， 可以表示为(±4)2 ＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数 没有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 2 1( （3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09。

平方根和开平方(基础)知识讲解学习资料

平方根和开平方(基础) 知识讲解

平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平如果2x a 方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：a0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫 它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质

20||0 00 a a a a a a a >??===??-

数的乘方与开方进阶练习

一．选择题 1、118表示（ ） A 、11个8连乘 B 、11乘以8 C 、8个11连乘 D 、8个别1相加 2、－32的值是（ ） A 、－9 B 、9 C 、－6 D 、6 3、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32 与 －23 B 、－23 与 (－2)3 C 、－32 与 (－3)2 D 、(－3×2)2与－3×22 4、下列说法中正确的是（ ） A 、23表示2×3的积 B 、任何一个有理数的偶次幂是正数 C 、－32 与 (－3)2互为相反数 D 、一个数的平方是94，这个数一定是3 2 5、下列各式运算结果为正数的是（ ） A 、－24×5 B 、(1－2)×-5 C 、(1－24)×5 D 、1－(3×5)6 二、填空题 1、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；5 23?? ? ??-的底数是 ，指数是 ，结果是 ； 2、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ； 3、平方等于641的数是 ，立方等于64 1的数是 ； 4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ； 5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ； 三、计算题 1、()42-- 2、3 211?? ? ?? 3、()20031- 4、()33131-?-- 5、()2332-+- 6、()2233-÷- 答案：一．CABCB 二．1. 6 -2 4 1 -3/2 5 -243/32 2. 4个-3相乘 3个4相乘的积的相反数 3. ±1／8 1／4 4. 负数 5. 1或0 ±1或0 三、计算题 -16 27/8 -1 2 1 -1

平方根与立方根之间的区别与联系

平方根与立方根之间的区别与联系 平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误，为此，笔者将其区别与联系小结如下。 一、两者的区别 1、定义不同 平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根 立方根：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根 2、表示方法不同 正数a 的平方根记为a ±，数a 的立方根记为3a 。表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了。 3、读法不同 正数a 的平方根记为a ± ，读作“正、负根号 a ”。 3a 读作“ 三次根号a 或a 的立方根”。 4、被开方数的取值范围不同 在平方根a ±中，被开方数a 是非负数，即 0≥a 。但在3a 中，a 可以是任意的数。 5、根的个数不同 一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。 二、二者的联系 求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算。 三、应用举例

例1、 求下列各式的值 （1）1211- （2） 16.0± （3） 32764- （4）3216 125 解：（1）11 11211,1211)111(2-=-∴= （2）4.016.0,16.0)4.0(2=±∴=± （3）3 42764,2764)34(33-=-∴-=- （4）6 5216125,216125)65(33=∴= 例2、 求下列各式中的x （1）48)43)(43(=-+x x （2）343)35(3=-x 解：（1）481692=-x 即9 642=x 3 8964±=±=∴x （2）734335,343)35(33==-∴=-x x 即2,105=∴=x x

《有理数的乘方》知识点解读

n 7 （ 为 ( )2 ，而不能写成 ，－1 的平方为 (-1)2 ，而不能写成 -12 . （ 《有理数的乘方》知识点解读 知识点 1 乘方的意义（重点） （1）乘方的定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方. 6 4 个a 4 8 （2）乘方的形式： a ? a ? ... ? a = a n . （3） a n 的读法与理解： a n 读作 a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方），a 、n 与 a n 的理解 如图. 底数 a n 指数 幂 难点：对乘方意义的理解： 1 ）乘方与加减乘除意义，也是一种运算，但它是一 种特殊的运算（相同因数的乘法运算）.注意：幂是乘方运算的结果； （2）加减运算是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方（今后将学到）是三 级运算； （3）一个数可以看作它本身的一次方； （4）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再写指数，如 2 3 的平方 2 2 2 3 3 【例 1】把下列各式写成乘方的形式： 3 3 3 3 1 (1) ? ? ? ;(2) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3; 5 5 5 5 4 (3)(-3) ? (-3) ? (-3);(4) - 2 ? 2 ? 2 ? 2. 解析：本题旨在强化对乘方的意义的理解，要分清底数和指数. 答案： 3 3 3 3 3 (1) ? ? ? = ( ) 4 ; 5 5 5 5 5 1 1 33 (2) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 = ? 33 = ; 4 4 4 (3)(-3) ? (-3) ? (-3) = (-3)3 ; (4) - 2 ? 2 ? 2 ? 2 = -24. 规律总结： 1）底数是分数和负数时，一定要用括号把底数括起来，指数写在括 号的外面.

平方根和开平方知识讲解

向左移动1位.例如：762500 250， 4625 25，7625 2.5，70.0625 0.25. 1、下列说法错误的是（ 平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1?了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根. 2?了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根. 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 2 如果x a ，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方 .a 叫 做被开方数.平方与开平方互为逆运算 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ j a ”表示，其中 j a 表示a 的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a ”； T a 表示a 的负平方根，读作“负根号 a ” 要点诠释：当式子j a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即 j a > 0, a > 0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 平方根包含算术平方根； 被开方数都是非负数； 0的平方根和算术平方根均为 0. （1） 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根. （2） 正数的两个平方根互为相反数， 另一个平方根.因此， 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 1区别：（1） 定义不同；（2）结果不同： j a 和j a 2?联系：（1） （2） （3） 要点诠释: 根据它的算术平方根可以立即写出它的 我们 可以利用算术平方根来研究平方根 . 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

平方根和开平方(提高)知识讲解

平方根和开平方（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ 表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2016?饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y 的算术平方根． 【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解． 【答案与解析】 解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5 由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16， ∵x=5 ∴3×5+y-1=16， 解得y ＝2， ∴3x+5y=25 25的算是平方根为5. 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ ． 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥ (3)由题意可知：1010x x +≥??-≥? 解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠有意义． 【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

平方根和开平方(基础)知识讲解

平方根和开平方(基础)知识 讲解 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平如果2x a 方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：a0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫 它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质

20||000 a a a a a a a >??===??-

估算和用计算器开方

估算和用计算器开方 【课前测试】 估算324的值的大小。（误差小于0.1） （二）、课堂研讨探究： （1）估算324的值的大小（误差小于1）。 （2）比较2 25 与21的大小 【知识要点】 1、能用有理数估计某些二次方根或三次方根的大致范围； 2、同过方根的估算，增强数感，发展合情推理能力。。 二、学习重点、难点 学习重点：能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识. 学习难点：让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力. (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分。

1、 旧知回顾： （1）把下列各数分别填在相应的集合内：数3.14，2，π，0.323232…，7 1，9，21+2 .0 ， 51525354.0 有理数集合：{ …}; 无理数集合: { …}; （2）40的值位于整数 和 之间。 （1）估算3380的值的大小（误差小于1）。 （2）估算5.17的值的大小（误差小于0.1）。 （3）比较2 25-与21的大小 （4）比较325与3的大小 【课堂经典】 1、10在两个连续整数a 和 b 之间, 即a<10

数学人教版七年级下册算数平方根的概念

一、教学目标： 知识与技能目标： 1 、让学生了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，并掌握算术平方根的非负性 2、让学生理解开方和乘方互为逆运算，并理解开方与乘方两者之间的联系与区别。 过程与方法目标：让学生在观察、探索等活动中，获得对非负数的算术平方根特点的认识。 情感与态度目标： 1、让学生积极参与数学活动,培养其对数学的好奇心与求知欲。 2、通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学源于生活，再用数学来解决实际生活中的问题，让学生获得成功的体验，并形成实事求是的态度。 二、教学重、难点： 重点：让学生理解算术平方根的概念 难点：让学生能根据算术平方根的概念求非负数的算术平方根 三、学情分析： 知识背景：学生已经学会了乘方的运算。能求一个数的平方。 能力背景：学生能借助乘方运算来找一个正数，使它的平方等于已知数 预测目标：1、让学生能熟练地求一个正数的算术平方根。 2、让学生知道乘方与开方的联系与区别 四、教具准备: 多媒体 五、教学过程 (一)创设情景，引入新课 师；小明到装饰城购买瓷砖，老板给了他一块面积为4平方厘米的正方形瓷砖，聪明的你能告诉小明这块瓷砖的边长吗？（幻灯片显示） 生：2厘米（学生异口同声） 师：若面积为6平方厘米，则边长又为多少呢？ 生1：边长为3厘米 生2：边长不能为3厘米 师:为什么? 生2：因为如果边长为3 厘米,那么它的面积就为9平方厘米,所以不正确。 生3：要是能知道几的平方等于9就好了。 （二）实践探索，揭示新知： 问题1：你能求出下列各数的平方吗？ 0，3，-3, 2, -2, 5，-5, 6， 生：02=0；32=9，(-3）2=9,22=4，(-2) 2=4,52=25,(-5) 2=25,62=36, 师：若知道一个数的平方为下列各数，你能求出这个数吗？ 0, 25, 81, 0.0064 ，-9 生：由于02=0，所以平方为0的数仍是0,由于52=25，（-5）2=25，所以平方为25的数是5或-5， 92=81，（-9）2=81所以平方为81的数是9或-9 ， 0.082=0.0064,(-0.08) 2=0.0064,所以平方为0.0064的数是0.08或-0.08 对于-9这个数，因为没有哪个数的平方等于它，所以平方为-9的数找不到。 问题2：学校要举行美术比赛，小欧很高兴，他要裁一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 生：因为52=25，所以这个正方形画框的边长应取5dm. 师：请同学们认真思考，然后填下表：

方根和算数平方根

燕子山中学数学学科教学设计 教学课题 平方根和算数平方根（1） 课型： 备 课 人 第___章第__节第_课时 连续号____ 教学目标 1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。 2、了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。 3、发展学生的符号语言。 教学重点 了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根 教学难点 观察、比较、合作、交流、探索. 教学方法 教学用具 教 学 过 程 教学札记 一）创设情景，感悟新知 情景一：在等式a x =2中 ， （1） 已知3-=x ，你能求a 吗？ （2） 已知5=a ，你能x 求吗？ （二）探索规律，揭示新知 问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论： 请你举例与上面的式子类同的式子； 你得到什么结论？ （分小组讨论，老师适当参与给予帮助。） 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。 设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请 . 25.0)5.0(,25.05.0,9 1)31(,91)31(,4)2(,42222222=-==-==-=

填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。 这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”. 设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解 问题三：从问题二中，你得到了什么结论？ 设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，我们教师要给与适当的帮助，要给与鼓励 （三）尝试反馈，领悟新知 例1 求下列各数的平方根： 25；（2）8116（3）15；（4）()22-。 分析：1、判断这些数是否都有平方根； 2、根据规律各个数的平方根有几个？ 设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方根有两个，对解题方式有提醒按要求 练习题一：完成书本4页练习。 练习题二：1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 。 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 )(()()()()()()(). 4,0,10,5;2 1,41,25,922222222-========

开方与幂运算

数的开方幂运算 【语录天下】能不能学学人家电视剧里女猪脚，心情不好就啥子胃口都没有，死活就是吃不下饭，没几天嗷一下瘦的跟竹竿似的。再瞧瞧你，心情不好就吃吃吃，吃完饭吃下午茶吃完下午茶吃零食，吃完零食吃夜宵，吃完了心情就好的差不多了，而且还经常心情上下变换，你说说你不胖谁胖？ 【学习目标】①回顾上一章数的开方，并且完全掌握其计算注意事项与实数定义 ②记住各种幂的运算的运算公式与注意事项 ③掌握幂运算的技巧与抽象计算事项 边听边记边想，熟悉考点考法，获得方法技巧。 【数的开方与实数复习】 【1】解方程 ①0972 2=-x ②32212=y ③16)47(2=+a ④02572)3(22=-+-a 【2】a 的两个平方根是方程223=+y x 的一组解（1）求a 的值；（2）求2a 的平方根； 【3】已知n m n m a -++=3是3++n m 的算数平方根，322+-+=n m n m b 是n m 2+的立方根，求a b -的立方根 【4】观察下列各式：33722722=，3326332633=，3363446344=，33124 5512455=······ 将你发现的规律用含n 的式子表示

【幂的运算】同底数幂的乘法；公式： 【例1】计算=?32x x 计算=??8247 变式训练1）计算=?-98)(x x 计算=-?-32)45()54(x y y x 变式训练2）计算=?-23)2(a 计算=--+--?)3)(2()(42232x x x x x 【例2】已知n 是大于1的自然数，则=-?-+-11)()(n n c c 变式训练1）计算=-?-22)()(a a 【例2】已知m n m m m 2732793=??+，求n m 的值 变式训练2）计算=---53)())((b a a b a b 变式训练3）已知4,2==n m a a ，求下列各式的值； （1）1+m a ；（2）n a +3；（3）2++n m a ；（用含a 的代数式表示） 【深度思考】阅读材料：求201320124322222221+++++++ 的值。 解：设201320124322222221+++++++= S ，将等式两边同时乘以2得 20142013543222222222+++++++= S 将下式减上式得1222014-=-S S ，即122014-=S ， 即122222221201420132012432-=+++++++ 请仿照此计算方法计算： （1）10432222221++++++ ；（2）n 333331432++++++ ；（其中n 为正整数）

开方运算电路讲解

开方运算电路 一、设计任务与要求。 1． 用模拟乘法器设计一个开方运算电路； 2． 用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V ）； 二、方案设计与论证 根据设计要求，即要设计出一个可以把输入的电压Ui 进行开方运算后，成输出电压Uo 输出的电路，可以通过利用模拟乘法器集成块和集成块UA741来实现这一功能。并且各个芯片的电源可用直流电源提供。 方案一、 1、 直流电源部分 电路可把220V 的交流电变成+12V 和-12V 的直流电： T1 TS_PQ4_10 D1 1N4007D2 1N4007 D3 1N4007 D4 1N4007 C13.3mF C23.3mF C5470nF C6470nF C7220uF C8220uF U1 LED_GREEN_RATED U2 LED_GREEN_RATED R11kΩR21kΩ C9220nF C10220nF D51N4007 D61N4007 U3LM7812CT LINE VREG COMMON VOLTAGE U4LM7912CT LINE VREG COMMON VOLTAGE 6 7 9 10 1 2 5 V1220 Vrms 50 Hz 0° 38 4

2、开方运算电路部分 电路可以把输入的电压V1（必须要小于零的值）进行开方运算成输出电 o u： 上图是防止闭锁的开方运算电路 A1 1 V/V 0 V Y X R1 1kΩ R2 10kΩR3 1kΩ V1 -4 V 2 0XMM1 U1 OP07H 3 2 4 7 6 8 1 3 VCC 12V VDD -12V VDD VCC D1 1N4007 R4 1MΩ 7 1 6 4

笔算开方

笔算开方： 1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，用撇号分开； 2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a； 3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 4、用第一个余数除以n(10a)^(n-1)，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）； 5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n 小于或等于余数为止。 6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。 3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243 ________________________________________________ 744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5 _____________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ____________________________________________ 1 4826 2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________________________________________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5 _________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商 11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5 _________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商 248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5 _______________________________________ 123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商 111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5