弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统
1 研究背景及意义
弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立
数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，
不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，
图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图
其中1
m ，2
m 表示小车的质量，i
c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i
k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i
U （t ）=i
F （t ）,i
X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i
Y （t ）=i
X (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2
m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3
c =3N ?s/cm ，2
c =6N ?s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1
m 有：
（2-1）
对2
m 有：
（2-2）
3 建立状态空间表达式
令3
1421122
,,,x
x x x u F u F ====,则原式可化为：
13123241212212423423232
21
2
()()()()()()
m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：
12212112324
31
()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=
（2-3）
22112232423
42
()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=
（2-4）
整理得：
12112
21221
1111
32432322
222
2
2
212340010
00000100()()1
0()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ????
???????
?????????-++????=+??
??????????????
???
?
-++???
???
??
??????
????=????
??????
（2-5）
121321321,2,100,3003,6
m m k k k l l l ========
代入数据得：
01
0000140030096150200
3 4.5A ??????=
??
-?
?
--?? 00001000.5B ??
???
?=??????
10000100C ??
=??
??
则系统的状态空间表达式为
x y u
x x ?
?
????=??
???
?
??????+???????
?????---=001000015.000100005.4320015
6930040010
000100
.
4 化为对角标准型
当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i
，
所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m
m m M 4
3
2
1
...
=
根据矩阵论
线性变换得：Mz
x Tx z M
T =?=?=-1
可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
（1）求特征值与特征向量
A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5]
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]
C=[1 0 0 0;0 1 0 0]
[P,J]=eig(A)
求得结果：
P =
0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i
-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i
0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i
-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050
J =
0.3667 +21.5183i 0
0 0
0 0.3667 -21.5183i
0 0
0 0
1.8833 + 8.4864i 0
0 0
0 1.8833 - 8.4864i
（2）P矩阵求逆
PN=inv(P)
求得结果：
PN =
3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i
3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i
-3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i
0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i
-3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i
（3）带入公式B PNB
=
=C CP
解得对角标准型为：
u x x ?
?????
??????+???????????
?+++=0.1205i + 0.26690.0353i + 0.2886 0.1205i - 0.26690.0353i - 0.28860.0527i + 0.2352-0.2323i + 0.34660.0527i - 0.2352-0.2323i - 0.34668.4864i - 1.883300008.4864i 1.8833 000021.5183i 0.36670000 21.5183i 0.3667
u y ??
????=0.0792i + 0.01760.0792i - 0.01760.0157i - 0.0171-0.0157i + 0.0171-0.0698i + 0.04010.0698i - 0.0401
0.0402i + 0.00070.0402i - 0.0007
5求状态空间表达式的解 （1）求状态转移矩阵
1
1-Λ-==ΛT
T AT
T e e
t
At
其中，T 为特征向量
T
e At
1
8.4864it
- 1.88338.4864it
1.883321.5183it
- 0.366721.5183it
0.3667*0
0000
0000* 0.7050 0.70500.3621i 0.3442-0.3621i - 0.3442-0.2084i - 0.66820.2084i 0.66820.86500.86500.0792i 0.01760.0792i - 0.0176 0.0157i - 0.0171-0.0157i 0.0171-0.0698i 0.04010.0698i - 0.0401
0.0402i 0.00070.0402i - 0.0007e
e
e
e -++?
????
???????++++++=
?????
?
???
???=-0.2409i + 0.5337 0.0353i + 0.2886 3.2032i - 3.7199 3.4224i - 3.3554-0.2409i - 0.5337 0.0353i - 0.28863.2032i + 3.71993.4224i + 3.3554-0.1054i + 0.4703- 0.2323i + 0.34669.2399i + 2.1017- 9.7803i - 3.4167 0.1054i - 0.4703- 0.2323i - 0.3466 9.2399i - 2.1017- 9.7803i + 3.4167 1T 状态转移矩阵为：
??
?
??
???????=0.0000i - 1.7127- 0.0000i - 0.7350- 0.0000i - 42.7799- 0.0000i + 7.2316- 0.0000i - 1.4700- 2.4502- 0.0000i - 29.8835- 0.0000i + 12.5772- 0.0000i + 0.5509 0.0000i + 0.2247 0.0000i + 0.5817- 0.0000i - 4.4097- 0.4493 0.1999 0.0000i + 0.6477-
5.5977- e At
5 可控性与可观性
不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，
只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入u （t ）引起状态x （t ）的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y （t ）的变化。能控能观便是定性的描述输入u （t ）对状态x(t)的控制能力，输出y （t ）对状态x （t ）的反应能力，他们分别回答了“输入能否控制状态的变化”------可控性
“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性
另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态x （t ）的值通常是难测的，往往需要从测量到的y （t ）中估计出状态，如果输出y （t ）不能完全反映出系统的状态x （t ），那么就无法实现对状态的估计。
能控性定义：
当系统用状态方程描述时，给定系统的
任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态方程x ’(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为：
τ
ττd e e t t
t t )()0()(0)(Bu x x A A ?---+=
如果有限的时间内0 < t < t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x(t1)[设x(t1)=0] ，则应有：
即在给定x(0-)和A 、B 的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。换言之：上述方程有解则系统能控。
根据凯莱－哈米尔顿定理， e-At 、 eAt 可写成有限级数：
)()0()(1
110)(1=+=?-
--τττd e e t t t t Bu x x A A τ
τττττd e d e
e t t t t
)()0( )()0(1
1
00)
(Bu x 0Bu x A A A ??-
-
-----=?=+[]???
??
?
??????--=?-=-=-=---=--=-=--∑??∑?
∑?-
-
-
-
)()()( )0( )
()0( )()()( )()()()()()0(1-n 101
10
10101
010
01
1
11
t t t t d c t d c d c d e
n n i i i t i i t i n i i t n i i
i t ωωωωτττωτ
ττττττττ
B A AB B x B A x u u B A Bu A Bu x A ＝写成矩阵形式＝令
如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n ，此时系统是可控的。
求可控性
：
[]?
?
???
?
?
??
???----==875.805.16325.235
.005.163301390125.235.000
03
9
1
0*AB A AB B
Q c
n=4 满秩所以系统是可控的
可观性定义
：当系统用状态方程描述时，给定控制后，
如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分初始状态，则称系统部分可观。有状态方程x ’(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t) 其解为
由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。
y(t)=CeAtx(0-)。根据凯莱－哈米尔顿定理， e-At 、eAt 可写成有限级数：
τ
ττd e e t t
t t )()0()(0)(Bu x x A A ?-
--+=]
)([)0()(0)(τττd e e t y t
t t Bu C x C A A ?-
--+=)
0()()0(])()()()([)(1
1
12210--=---∑=++++=x CA x A
A A I C y n i i i n n t c t c t c t c t c t [])0( )()()
()( 1110---????
?
?
???
???x CA CA C y n n t c t c t c t ＝写成矩阵形式∑-=---=++++=1
1
12210)()()()()(n i i
i n n t
t c t c t c t c t c e
A A
A A I A
如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。 其中，秩=n(系统的阶数)
求可观性：
???
???
???
????????
???--=???
???????=63200
15069300
4001000
0100001
00001
*A CA CA C Q o
n=4满秩所以系统是可观的
6 求系统的输入输出传递函数
对于两输入两输出的系统求得的传递函数是一个二阶的传递函数阵,其中包含四个传递函数
???
?
??)(/)()
(/)()(/)()
(/)(22
1221
11s s s s s s s s U Y
U Y U Y U Y Transfer function from input 1 to output... s^2 + 4.5 s + 200 #1: -------------------------------------------- s^4 - 4.5 s^3 + 541.5 s^2 - 1800 s + 3.5e004
3 s + 150 #2: -------------------------------------------- s^
4 - 4.
5 s^3 + 541.5 s^2 - 1800 s +
3.5e004
Transfer function from input 2 to output... 3 s + 150 #1: -------------------------------------------- s^4 - 4.5 s^3 + 541.5 s^2 - 1800 s + 3.5e004
0.5 s^2 - 4.5 s + 200 #2: -------------------------------------------- s^4 - 4.5 s^3 + 541.5 s^2 - 1800 s + 3.5e004
矩阵函数阵：
?????
?????
?
???????????+++++++++++++ 3.5e004 s 1800 - s^2 541.5 s^3 4.5 - s^4 -------------------------------------20 s 4.5 - s^2 0.5 3.5e004 s 1800 - s^2 541.5 s^3 4.5 - s^4 -------------------------------------------- 150 s 3 3.5e004 s 1800 - s^2 541.5 s^3 4.5 - s^4 -------------------------------------------- 150 s 3 3.5e004 s 1800 - s^2 541.5 s^3 4.5 - s^4 -------------------------------------------- 200 s 4.5 s^2
7 分析开环稳定性
稳定性定义是系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性。系统正常工作要求是系统在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作，且线性系统稳定性与输入作用无关。研究系统的稳定性对于研究系统能否正常工作具有很重要的意义，稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是系统的重要特征。我们不仅要分析一个系统是否稳定 还要解决的问题便是怎样使一个系统稳定。经典控制理论稳定性判别方法有很多，例如代数判据，niquist 判据，根轨迹判据等。而现代控制理论经常用李雅普诺夫第二法求稳定性。
（1）利用特征根的方法 根据上述结果求得的特征根为
0.3667 +21.5183i
0.3667 +21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i ，四个特征值全部都在坐标轴的右半平面，所以系统是不稳定的。
（2）利用利亚普诺夫第二法求解
x x x x x x x x x x x x x v x v 4
.
4.
332.
21.
1.
2
2
2
2
)()4321(5.0)(+++=+++=
其中：
x x x x x x x x x x x x x v x x x x x
x x x x x x x x
x 4
5.41509393003991995.43200150693004002
41432
323142.
4
321.4
4321.3
4
.23
.
1)(-++++--?-+-=+++-====
将其换成矩阵形式
?????
????
?
??---=5.40
09001993000015039900
A 可以看出A 不
是正定的，所以系统不稳定。
8 利用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值
状态反馈是将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的控制输入。
),,(0C B A =∑
原受控对象为 经过状态反馈后得到的闭
环系统为
闭环系统期望极点选取原则为以下几点： 1）n 维控制系统有n 个期望极点；
2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；
3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。
4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。
闭环极点 0.3667 +21.5183i 0.3667 -21.5183i 1.8833 + 8.4864i 1.8833 - 8.4864i
配置状态反馈后，系统应稳定，所以期望极点应在虚轴左侧，所以期望闭环极点 -1.1001+64.5549i -1.1001-64.5549i -5.6499+25.4952 -5.6499-25.4952 得到极点配置矩阵
K =
)
,,(C B BK A k
-=∑
1.0e+003 *
1.2556 -0.0375 0.0157
-0.0332
0.9718 2.8969 0.0839 0.004
验证极点配置结果是正确的：ans =
-1.1001 -64.5549i -1.1001
+64.5549i -5.6499 -25.4952i -5.6499 +25.4952i
求得开环传递函数阶跃响应曲线（没有经过状态反馈的）：
没有上升时间
经过状态反馈的传递函数：B BK A sI C s G k
1
)]([)(---=
状态空间表达式为∑-k
C B BK A ],),[(
Matlab 解得闭环传递函数：
s^2 + 6.758 s + 1648
#1:
--------------------------------------------------
s^4 + 13.5 s^3 + 4875 s^2 +
4.86e004 s + 2.843e006
-38.95 s - 335.9
#2:
--------------------------------------------------
s^4 + 13.5 s^3 + 4875 s^2 +
4.86e004 s + 2.843e006
Transfer function from input 2 to output...
19.59 s + 168.7
#1:
--------------------------------------------------
s^4 + 13.5 s^3 + 4875 s^2 +
4.86e004 s + 2.843e006
0.5 s^2 + 3.371 s + 827.8
#2:
弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：第一学年第一学期 课程名称：线性系统理论 学生姓名： 学号： 提交时 目录 目录 (1) 1 研究背景及意义 (3) 2 弹簧-质量-阻尼模型 (3) 2.1 系统的建立 (3) 2.1.1 系统传递函数的计算 (4) 2.2 系统的能控能观性分析 (6) 2.2.1 系统能控性分析 (6) 2.2.2 系统能观性分析 (7) 2.3 系统的稳定性分析 (7) 2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (7) 2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (8) 2.3.3 Simulink仿真结果 (9) 2.4 系统的极点配置 (10) 2.4.1 状态反馈法 (10) 2.4.2 输出反馈法 (11) 2.4.2 系统极点配置 (11)
2.5系统的状态观测器 (13) 2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (15) 2.6.1 离散化定义和方法 (15) 2.6.2 零阶保持器 (16) 2.6.3 一阶保持器 (17) 2.6.4 双线性变换法 (18) 3.总结 (18) 4.参考文献 (19)
弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计 1 研究背景及意义 弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图 其中、表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系数，表示小车所受的外力，是系统的输入即,表示小车的位移，是系统的输出，即，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中，，，，，。 2.1 系统的建立
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统 1 研究背景及意义 弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型的建立 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型， 不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，
图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图 其中1 m ，2 m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2 m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3 c =3N ?s/cm ，2 c =6N ?s/cm 。 由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1 m 有： （2-1） 对2 m 有： （2-2） 3 建立状态空间表达式 令3 1421122 ,,,x x x x u F u F ====,则原式可化为：
弹簧-质量-阻尼实验指导书
质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书 北京理工大学机械与车辆学院 2016.3
实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的 （1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。 2 实验原理 单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由一个质量为m 的滑块、一个 刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f (t )。系统输出：滑块的位移x (t )。 建立力学平衡方程： m x c x kx f ??? ++= 变化为二阶系统标准形式： 22f x x x m ζωω?? ? ++= 其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。 ω= 2c m ζω= = 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应： ()()sin()))] t t x t t d e ζωττζωττ +∞ --=? -= -+-?
2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应： 022 3 00 22222 00 222222 2 ()cos(arctan()) 2f [(0)]cos() [()(2)] sin( t t x t t x e k e ζω ζω ζωω ω ωω ζωω ωωζωω - ? - =- - ++ -+ +) 输出振幅和输入振幅的比值：A= 3 动力学仿真 根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。 仿真代码见附件 4 实验 4.1 固有频率和阻尼实验 （1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。 （2）关闭电控箱开关。点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。 （3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。 （4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。 （5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。 （6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。 （7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。
弹簧质量阻尼系统模型
自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计 目录 1设计任务及要求分析 (2) 初始条件 (2) 要求完成的任务 (2) 任务分析 (3) 2系统分析及传递函数求解 (3) 系统受力分析 (3) 传递函数求解 (8) 系统开环传递函数的求解 (8) 3.用MATLAB对系统作开环频域分析 (9) 开环系统波特图 (9) 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 (10) 4.系统开环频率特性各项指标的计算 (11) 总结 (13) 参考文献 (13)
弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性 分析 1设计任务及要求分析 初始条件 已知机械系统如图。 1k y p 2k x 图 机械系统图 要求完成的任务 （1） 推导传递函数)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X ， （2） 给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==?==，以p 为输入)(t u （3） 用Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系 统的稳定性。 （4） 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。 （5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清
楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。 任务分析 由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出 )(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传 递函数即为开环传函。后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。 2系统分析及传递函数求解 系统受力分析 单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－&&& （2-1） 式中 ： x c &-为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 图2-1 将上式写成标准形式，为 0=++kx x c x m &&& (2-2） 令p 2= m k , m c n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x &&& (2-3)
弹簧质量阻尼系统模型
弹簧质量阻尼系统模型 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
自动控制原理综合训练项目 题目：关于MSD系统控制的设计 目录 弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析
1设计任务及要求分析 初始条件 已知机械系统如图。 1 k y p 2 k 图机械系统图 要求完成的任务 （1）推导传递函数) ( /) (s X s Y，) ( /) (s P s X， （2）给定m N k m N k m s N b g m/ 5 , / 8 , / 6.0 , 2.0 2 1 2 = = ? = =，以p为输入)(t u （3）用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。 （4）求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。 （5）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源 程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
任务分析 由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。 2系统分析及传递函数求解 系统受力分析 单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－ （2-1） 式中 ： x c -为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 图2-1 将上式写成标准形式，为 0=++kx x c x m (2-2） 令p 2= m k , m c n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x (2-3) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st e x =，其中
二阶弹簧—阻尼系统,PID控制器设计,参数整定
*** 二阶弹簧—阻尼系统的PID控制器设计及参数整定
一、PID 控制的应用研究现状综述 PID 控制器（按闭环系统误差的比例、积分和微分进行控制的调节器）自20 世纪30 年代末期出现以来，在工业控制领域得到了很大的发展和广泛的应用。它的结构简单，参数易于调整， 在长期应用中已积累了丰富的经验。特别是在工业过程控制中， 由于被控制对象的精确的数学模型难以建立，系统的参数经常发生变化，运用控制理论分析综合不仅要耗费很大代价，而且难以得到预期的控制效果。在应用计算机实现控制的系统中，PID 很容易通过编制计算机语言实现。由于软件系统的灵活性，PID 算法可以得到修正和完善，从而使数字PID 具有很大的灵活性和适用性。 二、研究原理 比例控制器的传递函数为：G (s) K P P G (s) K PI P 1 1 T s I 积分控制器的传递函数为： 1 1 G (s) K T s PID P D T s I 微分控制器的传递函数为： 三、设计题目 设计控制器并给出每种控制器控制的仿真结果（被控对象为二阶环节，传递函数G S ，参数为M=1 kg, b=2 N.s/m, k=25 N/m, F(S)=1 ）；系统示意图如图 1 所示。
图1 弹簧-阻尼系统示意图弹簧－阻尼系统的微分方程和传递函数为：M x bx kx F G( s) X F ( ( s) s) Ms 1 1 2 bs k s2 s 2 25 四、设计要求 通过使用MATLAB 对二阶弹簧——阻尼系统的控制器（分别使用P、PI、PID 控制器）设计及其参数整定，定量 分析比例系数、积分时间与微分时间对系统性能的影响。同 时、掌握MATLAB 语言的基本知识进行控制系统仿真和辅 助设计，学会运用SIMULINK 对系统进行仿真，掌握PID 控制器参数的设计。 （1）控制器为P 控制器时，改变比例带或比例系数大小，分析对系统性能的影响并绘制响应曲线。 （2）控制器为PI 控制器时，改变积分时间常数大小， 分析对系统性能的影响并绘制相应曲线。（当kp=50 时，改变积分时间常数）
弹簧质量系统瞬态响应分析
弹簧质量系统瞬态响应分析 一、弹簧系统研究的背景、研究的目的和意义及国内外研究趋势分析 1.1 弹簧质量系统提出的背景、研究的目的和意义 弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧系统可以说几乎在任何机电仪器和设备中都有它的存在。作为一常用零部件，其各项性能指标，尤其是其强度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。因此对螺旋弹簧质量系统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家，学者和工程技术人员的普遍重视。载荷下弹簧质量系统的瞬态响应，这个问题具有广泛的意义和实际应用价值。 1.2 弹簧质量系统在国内外同一研究领域的现状与趋势分析 关于载荷作用下弹簧质量系统的工作和文献很多,大多数问题都是围绕着,螺旋弹簧质量系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。其结论主要适用于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。实验结果和经验表明,造成弹簧失效的一个主要原因是:当它承受突加载荷时,产生的冲激响应。在冲激载荷下,弹簧失效数目很多,往往经静强度分析或固定载荷分析的结论是可靠的,而实际情况是不可靠的。所以激载荷下的可靠性设计就不得不被提出来了。但这方面文献非常少,实验数据也不多。 就弹簧质量系统在57火炮输弹系统的应用而言，螺旋弹簧失效主要是冲激失效,对这个问题的研究,美国、俄罗斯的水平较高,它们的主要工作是从提高材料性能上大量的实验进行的。其寿命指标可达
2000次,我国的现有水平较差,平均寿命在500一1000次之间,所以,对输弹系统进行寿命估计,找出问题,具有很大的应用价值和经济价值。 二、一维单自由度弹簧质量系统固有频率理论推导 2.1无阻尼弹簧质量系统的自由振动 如图1 所示，就是本文要讨论的单自由度无阻尼系统。 该系统有质量为m 的重物（惯性元件）和刚度为k的弹簧（弹性元件）组成。假设不考虑重物的尺寸效应，可以用一个简单质点来表示这一类重物。为了描述图示系统位置，采用如图 1 所示的单轴坐标系。坐标原点选取在质点静平衡位置，用x 表示质点在任意时刻处于坐标系中的坐标，以向下的方向为正。在此系统运动过程中，x 是时间t 的函数，可以称为质点的位移函数。由于只需要一个空间坐标x，就可以完全确定图中质点任意时刻的位置，因此可以认为该系统就是单自由度系统。不考虑阻尼的情形下，系统将在初始条件激励下，围绕静平衡点做无阻尼自由振动。 2.2 振动方程的建立方法 2.2.1 用牛顿第二定律法建立微分方程 牛顿第二定律又称运动定律，即物体动量的改变与施加的力量成正比。对于图示系统，定义质点的静平衡位置为坐标原点，则质点与
弹簧_质量_阻尼系统的建模及控制系统设计说明书
word文档整理分享 分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：第一学年第一学期 课程名称：线性系统理论 学生姓名： 学号： 提交时间：2014.11.27
目录 目录 (2) 1 研究背景及意义 (4) 2 弹簧-质量-阻尼模型 (4) 2.1 系统的建立 (5) 2.1.1 系统传递函数的计算 (7) 2.2 系统的能控能观性分析 (9) 2.2.1 系统能控性分析 (10) 2.2.2 系统能观性分析 (11) 2.3 系统的稳定性分析 (12) 2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (12) 2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (13) 2.3.3 Simulink仿真结果 (15) 2.4 系统的极点配置 (18) 2.4.1 状态反馈法 (18) 2.4.2 输出反馈法 (19) 2.4.2 系统极点配置 (20) 2.5系统的状态观测器 (22) 2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (24) 2.6.1 离散化定义和方法 (24)
2.6.2 零阶保持器 (26) 2.6.3 一阶保持器 (29) 2.6.4 双线性变换法 (31) 3.总结 (33) 4.参考文献 (33)
弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计 1 研究背景及意义 弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，
弹簧-高质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统 1 研究背景及意义 弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型的建立 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图 其中1m ，2m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ?s/cm ，2c =6N ?s/cm 。 由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有： （2-1） 对2m 有：
弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计
弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：第一学年第一学期 课程名称：线性系统理论 学生姓名： 学号： 提交时 目录 目录 (2) 1 研究背景及意义 (3) 2 弹簧-质量-阻尼模型 (3) 2.1 系统的建立 (4) 2.1.1 系统传递函数的计算 (5) 2.2 系统的能控能观性分析 (7) 2.2.1 系统能控性分析 (8) 2.2.2 系统能观性分析 (9) 2.3 系统的稳定性分析 (10) 2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (10) 2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (10) 2.3.3 Simulink仿真结果 (12) 2.4 系统的极点配置 (15) 2.4.1 状态反馈法 (15) 2.4.2 输出反馈法 (16)
2.4.2 系统极点配置 (16) 2.5系统的状态观测器 (18) 2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (20) 2.6.1 离散化定义和方法 (20) 2.6.2 零阶保持器 (22) 2.6.3 一阶保持器 (24) 2.6.4 双线性变换法 (26) 3.总结 (28) 4.参考文献 (28)
弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计 1 研究背景及意义 弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2-1弹簧-质量-阻尼系统机械结构简图 其中、表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系数，表示小车所受的外力，是系统的输入即 ,表示小车的位移，是系统的输出，即，