圆的对称性—知识讲解(提高)
圆的对称性—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；
2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.
【要点梳理】
要点一、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
要点二、与圆有关的概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
要点三、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
要点四、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
要点五、弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角与弧的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2. 圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
要点诠释：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
人教版九年级数学九年级上圆的对称性(1)导学案
圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备： 1、什么是中心对称图形? 2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容： 1、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3 '，则 ， 5么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ ’ ’ C ︵ ︵
人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案
人教版六年级上册数学《圆 的对称性》教案 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
人教版六年级上册数学《圆的对称性》教案 杨晓莉 教学内容：教科书59页例题3 做一做 教学目标： 1、知识与技能：（1）初步认识轴对称图形，知道轴对称的含义；（2）会判断哪些图形是轴对称图形并能找出轴对称图形的对称轴。 2、过程与方法：（1）培养学生动手操作能力、分析推理能力；（2）培养学生对信息进行采集、整理和利用的基本能力，以及合理利用现代信息技术手段提高学习效率的能力。 3、情感、态度与价值观：（1）通过观察、讨论、创作，使学生充分感知数学美，激发学生喜爱数学的情感；（2）通过小组合作的研究性学习，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。 教学重点：（1）认识轴对称图形的特点，建立轴对称图形的概念； （2）准确判断生活中哪些事物是轴对称图形。 教学难点：找轴对称图形的对称轴。 教具：多媒体课件，所学过的平面图形。 教学过程： 一、教学引入 1.复习 1）、连接（）和（）任意一点的线段叫做圆的半径。 2）、在同一个圆中，所有的半径都（）。 3）、在同一个圆中，直径有（）条。 4）、在同一个圆里，半径的长度是直径的（），直径的长度是半径的 （）。 2、观察以前认识对称图形。
1）、举例说出轴对称的物体。如：蝴蝶、枫叶、门窗、剪刀、五角星等。想一想这些图形有什么特点？ 2）、观察、概括。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 二、教学我们所学过的平面图形的对称轴 1.师：我们以前已经认识了许多平面图形（长方形、正方形、梯形、三角形、平行四边形），长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等都是由线段围成的平面图形，叫做直线图形。圆是由曲线围成的平面图形，叫做曲线图形。大家一起来找找这些图形中哪些是轴对称图形（ 电脑出示） 2．提出要求：四人小组为单位先猜一猜，再拿出图形动手折一折，验证一下哪些图形是轴对称图形，有几条对称轴，并画出对称轴。 3．学生操作交流。（师巡视辅导） 4．汇报交流 （1）判断哪些图形是轴对称图形？ （2）找轴对称图形的对称轴。（指名上台折，展示） （3）画出对称轴。 5．小结：从上面的图形中可以看出，正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条的对称轴。 三、教学认识圆的对称轴 1、出示例3：你能分别画出下面两个圆的对称轴吗？你能画出几条呢
圆的对称性_知识点与典型例题
圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（） 第5题
第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°， 则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。 第11题
苏科版 九年级上册 第2章 对称图形——圆有关的知识点
圆 圆的定义： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 注意：圆的的位置由圆心决定，圆的大小由圆的半径决定。 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 图文： 点和圆的位置关系: 设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d
圆的有关概念： 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆; 等 圆：能够互相重合的圆叫等圆;（或者半径相等的圆）； 弦： 连接圆上任意两点的线段 ； 直 径：过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。（或者过圆心的弦）； 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示； 优 弧：大于半圆的弧； 劣 弧：小于半圆的弧； 圆心角：顶点在圆心的角； 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角； 弓 形：由弦及其所对的弧组成的图形； 弦心距：从圆心到弦的距离； 注意：1、同圆或等圆的半径都相等，或者半径相等的圆叫等圆或同圆； 2、直径是最长的弦，直径是弦，但是弦不一定直径； 3、弧可以分为优弧、劣弧和半圆；优弧大于劣弧； 4、半圆是弧，但是弧不一定是半圆； 5、能够互相重合的弧叫等弧，若只是说度数或长度相等都不叫等弧； 6、圆周角必须要强调角的两边与圆有交点，而圆心角不需要； 图文： 同心圆 等圆 弦：弦CD ，弦AB 圆周角：∠BAC 直径：AB 圆O 的直径 圆心角：∠BOC 优弧：错误! 劣弧：⌒BDC 弦心距：OE O R r O 1 O 2 O A B C D E O C B A
2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.1、圆的概念及性质、圆的对称性的应用素材
1 圆的“对称性”的应用 圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结合圆的特点，我们体会它们的用处： 【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD － OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ;②r 2=(2 a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记. 解:作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×2 1=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米. 【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2 a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧. 解:①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧, 过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO ,
六年级数学圆的易错题
圆的练习题及阴影专项题 一、填空题 1.长方形、正方形、等腰三角形、圆、平行四边形、等腰梯形只有一条对称轴的图形是（）， 有两条对称轴的图形是（），（）没有对称轴。 2.一个圆的周长是时，它的半径是（）cm。 3.如果甲乙两个圆的半径分别是4厘米和8厘米，那么甲乙两个圆的周长比是（），面积比是（）。 4.已知圆的周长是r 2，半圆的周长是（）。 5、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍,面积扩大( )倍。 6、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是( )cm2 7.两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们的直径的比是（），周长的比是（），面积的比是（）。 二、判断题 1、直径总比半径长。（） 2、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（） 3、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等.（） 4、半圆的周长是这个圆的周长的一半。（） 5、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。（）
6.圆的直径为d,则它的面积是 2 2 ? ? ? ? ?d π（） 三、求解题 1. 一个人要从A地到B地（如图），有两条路可走，是按哪一号箭头所走的路线近一些为什么请给出合理的说明！ 2.一辆自行车的车轮半径是40 cm，车轮每分钟转100圈，要通过2512 m的桥，大约需要几分钟 3.一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟 6.一个周长为的圆形花坛，要在其周围铺设2m宽的水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米 8.压路机前轮直径12分米，后轮直径5分米，前轮转动10周，后轮转动多少周
圆的对称性—知识讲解(提高)
圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法； 2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
圆的对称性与性质
圆的对称性与性质 【重点知识】 1.弦心距：圆心到弦的距离. 2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角. 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径. 【归纳总结】 1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立. 【典型例题】 例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______. ②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____. ③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______. (图1) （图2） （图3） （图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ． ⑥如图6，在⊙O 中，0 60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ?的周长为________． ⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 ． 图6 图7
⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O 于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0 22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧? AE 是劣弧?DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ． 图8 图9 ⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= . 例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为AOB ∠=______. ②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC 的长为一元二次方程20x x -+=的两 个根，则BAC ∠=_____. ③如图，在⊙O 中，AB 是直径， CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______. ④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ） A. COE DOE ∠=∠ B. CE DE = C.OE BE = D. BD BC = ⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ③图 ④图 ⑤图 ⑥图 B ?E D C B A O 20 题图 图10
圆的对称性
圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒
【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？
【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝
《圆的对称性》教案
《圆的对称性》教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 （1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ （如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．
2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？ 学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条． 知识点二：圆的中心对称性． 问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 做一做： 在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．
九年级数学上册第2章对称图形-圆2.2圆的对称性第2课时圆的轴对称性同步练习新版苏科版
第2章 对称图形——圆 2.2 第2课时 圆的轴对称性 知识点 1 圆的轴对称性 1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴． 知识点 2 垂径定理 2．如图2－2－12，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OC E ≌△ODE 3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( ) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm 图2－2－12 图2－2－13 4．教材习题2.2第5题变式如图2－2－13，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图2－2－14，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点 E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 图2－2－14
图2－2－15 6．如图2－2－15，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________． 7．[xx·长沙] 如图2－2－16，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________． 图2－2－16 图2－2－17 8．如图2－2－17是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，外圆半径OC⊥AB于点D交外圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm. 9．[xx秋·盐都区月考] 已知：如图2－2－18，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3. (1)求⊙O的半径； (2)若P是AB上的一动点，试求OP的最大值和最小值． 图2－2－18
六年级上册小学数学第五单元《圆》检测(答案解析)
六年级上册小学数学第五单元《圆》检测（答案解析） 一、选择题 1．圆是轴对称图形，它有（）条对称轴。 A. 一 B. 两 C. 无数 D. 四2．一个圆的半径扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来的（） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 3．半径是3cm的圆，下列关于这个圆的数据正确的是（） A. 直径9cm B. 周长18.84cm C. 周长9.42cm D. 面积113.04cm2 4．下图中，正方形的面积是16平方厘米，圆的面积是（）cm2。 A. 50.24 B. 47.1 C. 43.98 D. 37.68 5．如图，两只蚂蚁分别选择甲、乙两条线路从A地爬向B地．下面说法正确的是（） A. 甲线路路程多 B. 乙线路路程多 C. 两条线路的路程一样多 D. 不能确定 6．一个圆的半径为r，直径为d，这个半圆的周长是（）。 A. 2πr＋d B. πd＋d C. （πd＋d）÷2 D. r（π＋2）7．两个圆的周长不相等，是因为它们的（）。 A. 圆心位置不同 B. 半径不相等 C. 圆周率不相等 8．东方公园有一个圆形的喷水池，经测量得出这个喷水池的周长是37 .68m。这个喷水池占地（）m2。 A. 37.68 B. 113.04 C. 452.16 9．如果一个圆的半径由1分米增加到2分米，它的周长增加了（）分米。 A. 2 B. 6.28 C. 12.56 D. 18.84 10．半圆的周长是直径的（）。 A. π倍 B. π倍 C. （π+1）倍 11．一个圆的半径是6厘米，它的周长是（）厘米。 A. 18.84 B. 37.68 C. 113.04 12．一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（）
初三培优专题18 圆的对称性
专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 第三章圆 《圆的对称性》教学设计说明 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗? 通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心． 数学活动二：了解圆心角的定义 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆的对称性（第二课时） 基础题： 一、判断题： （1）相等的圆心角所对弦相等（） （2）相等的弦所对的弧相等（） 二、选择题： 1．下列命题中，正确的有（） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（） A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（） A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对 三、填空题： 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度． 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________. ★发展题： 四、选择填空题 如图，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD， 求证：OP平分∠BPD． 证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N． A、OM⊥PB B、OM⊥AB C、ON⊥CD D、ON⊥PD ▲提高题： 五、解答题： 1.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 2. 如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M， ⌒⌒ EF CD ，O1M和O2M相等吗？为什么？ 圆的知识点梳理 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只 脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O 表示；半径通常用字母r 表示；直径通常用字母d 表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 2 d 。 8. 圆的周长的意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率的意义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字 母π表示，计算时通常取. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C 表示圆的周长，那么C=πd 或C=2πr 。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1） 已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr 。 （2） 已知圆的直径，求圆的周长：C=πd 。 （3） 已知圆的周长，求圆的半径：r=C ÷π÷2. （4） 已知圆的周长，求圆的直径：d=C ÷π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S 表示圆的面积，r 表示圆的半径，那么圆的面积计算公 式是：S=2r π。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1） 已知圆的半径，求圆的面积：S=2r π。 （2） 已知圆的直径，求圆的面积：r=2d ，S=2r π或22d S π??= ??? 。 （3） 已知圆的周长，求圆的面积：r=C ÷2÷π，S=2r π或()2C 2S ππ=÷÷。 15. 圆环的意义：两个半径不相等的圆，当圆心重合时两圆之间的部分；也可以概括说是 两个半径不等的同心圆之间的部分。 16. 圆环面积的计算方法：用S 表示圆环的面积，圆环的面积计算公式为：22 S R r ππ=-或()22S R r π=-。 17. 圆环面积的计算公式的应用： （1） 已知外圆半径和内圆半径，求圆环的面积：22S R r ππ=-或()22S R r π=-。 （2） 已知圆环内、外圆的直径，求圆环的面积：()()2222S D d ππ=÷-÷。 3.2 圆的对称性 同步练习 一、填空题: 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________. 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O 中,OC ⊥弦AB 于C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长等于________. 5.如图1,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____. B P A O D C B A E D C B A O （1） （2） （3） 6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m. 7.如图3,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD= CE, 则AC 与CB 弧长的大小关系是_________. 8.如图4,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE ⊥AC,垂足分别为D 、E,若AC=2cm,则⊙O 的半径为_____cm. E D C B A O B A O B P A O （4） （5） （6） （7） 二、选择题: 9.如图5,在半径为2cm 的⊙O 中有长为的弦AB,则弦AB 所 对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 10.如图6,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如图7,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 三、解答题: 12.如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由. 九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 第三十二讲 圆的定义与圆的对称性 【知识要点】 （1）在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆.定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径.以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”,读作“圆O ”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上 点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为 d ，那么 点在圆外d r ?>；点在圆上d r ?=；点在圆内d r ?< 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条 （1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计 中学数学（圆的对称性） 一、教案背景 1，面向学生：□中学2，学科：数学 2，课时：1 3，学生课前准备： 学生准备两张透明的纸片，收集生活中与圆的对称有关关系的实例。 二、教学课题 使学生认识到圆是构成球体的最基本图形，也是被人们认为最完美的集合图形之一。 1、经历探索圆的对称性的研究，培养学生的探究能力。 2.使学生理解圆的旋转不变性；学会圆心角、弧、弦之间的关系，能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决一些问题。 3、通过学生动手实践、合作交流、互助学习，培养学生自主探索寻找规律得出结论的学习意识 4、通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 三、教材分析 本节内容是本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识以及学习本册教材第五章第一节圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本节课教学是研究圆的旋转不变性出发，探究圆心角、弧、弦之间的关系，在探究过程中通过师生动手操作、折叠、旋转圆的图片，引导学生的观察、探索、发现图形的特征，总结规律，建立新知。同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。所以这节内容是本章的重点也是全章的基础，更是学好本章的关键。 教学之前用百度在网上搜索圆的对称性相关教学材料，找了很多教案作参考，了解到教学的重点和难点。 教学重点：理解圆的中心对称性及有关性质 教学难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。 教学准备： 1.在百度中搜索《圆的对称性》课件，并对其进行选择、整理，制成PPT 课件用于课堂教学。 2.教学之前用百度在网上搜索《圆的对称性》的相关教学材料，找到好多教案作参考，了解教学的重点，和难点确定课堂教学模式，然后 根据本节的教学内容及学生现有的实际水平和认知能力，用百度网搜索并下载“日本能骑自行车的机器人”视频，及“让轮子滚起来！”（动画）课件给学生视觉上的直观感受体现圆中心对称性。 “ 专题 18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同 时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这 是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、 弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面 有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道： 圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始 制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了 深深的烙印． 例题与求解 【例 1】在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB ，AC 的长分别为 3 和 2 ，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注 AB 与 AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问 题的解决． 【例 2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧 A B ，CD ， E F ．如果 AB + CD = EF ，那么 AB +CD 与 EF 的大小关系是（ ） B D F A A ．A B +CD =EF C ．AB +C D 《圆的对称性》
苏科版-数学-九年级上册-《圆的对称性》练习
小学六年级-圆的知识点梳理
九年级数学圆的对称性练习题
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)
圆的定义及对称性
苏教版九年级《圆的对称性》
专题18 圆的对称性