九年级数学圆的对称性2
人教版九年级数学九年级上圆的对称性(1)导学案
圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备： 1、什么是中心对称图形? 2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容： 1、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3 '，则 ， 5么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ ’ ’ C ︵ ︵
苏科版 九年级上册 第2章 对称图形——圆有关的知识点
圆 圆的定义： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 注意：圆的的位置由圆心决定，圆的大小由圆的半径决定。 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 图文： 点和圆的位置关系: 设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d
圆的有关概念： 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆; 等 圆：能够互相重合的圆叫等圆;（或者半径相等的圆）； 弦： 连接圆上任意两点的线段 ； 直 径：过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。（或者过圆心的弦）； 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示； 优 弧：大于半圆的弧； 劣 弧：小于半圆的弧； 圆心角：顶点在圆心的角； 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角； 弓 形：由弦及其所对的弧组成的图形； 弦心距：从圆心到弦的距离； 注意：1、同圆或等圆的半径都相等，或者半径相等的圆叫等圆或同圆； 2、直径是最长的弦，直径是弦，但是弦不一定直径； 3、弧可以分为优弧、劣弧和半圆；优弧大于劣弧； 4、半圆是弧，但是弧不一定是半圆； 5、能够互相重合的弧叫等弧，若只是说度数或长度相等都不叫等弧； 6、圆周角必须要强调角的两边与圆有交点，而圆心角不需要； 图文： 同心圆 等圆 弦：弦CD ，弦AB 圆周角：∠BAC 直径：AB 圆O 的直径 圆心角：∠BOC 优弧：错误! 劣弧：⌒BDC 弦心距：OE O R r O 1 O 2 O A B C D E O C B A
2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.1、圆的概念及性质、圆的对称性的应用素材
1 圆的“对称性”的应用 圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结合圆的特点，我们体会它们的用处： 【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD － OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ;②r 2=(2 a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记. 解:作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×2 1=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米. 【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2 a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧. 解:①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧, 过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO ,
圆的对称性与性质
圆的对称性与性质 【重点知识】 1.弦心距：圆心到弦的距离. 2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角. 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径. 【归纳总结】 1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立. 【典型例题】 例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______. ②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____. ③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______. (图1) （图2） （图3） （图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ． ⑥如图6，在⊙O 中，0 60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ?的周长为________． ⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 ． 图6 图7
⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O 于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0 22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧? AE 是劣弧?DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ． 图8 图9 ⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= . 例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为AOB ∠=______. ②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC 的长为一元二次方程20x x -+=的两 个根，则BAC ∠=_____. ③如图，在⊙O 中，AB 是直径， CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______. ④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ） A. COE DOE ∠=∠ B. CE DE = C.OE BE = D. BD BC = ⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ③图 ④图 ⑤图 ⑥图 B ?E D C B A O 20 题图 图10
浙教版第三章圆的基本性质教案3.2圆的轴对称性(2)
3.2 圆的轴对称性(2) 教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和 作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育. 教学重点和难点 垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点. 教学方法：类比启发 教学辅助：投影片 教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式： 题设结论 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤. 提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点. 求证：CD⊥AB，. 分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD. 证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB， 又因为CD是直径，所以 2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得： (2)若选①④为题设，可得： 3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2. 在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37) 学生答 接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，
数学f1初中数学3.2 圆的对称性教案二
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点(二) 1．圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (二)能力训练要求 1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力． 2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (三)情感与价值观要求 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点 圆心角、弧、弦之间关系定理． 教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：做一做(记作§3．2．2A) 第二张：举反例图(记作§3．2．2B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？
[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？ [生]大小一样． [师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？ [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A) 按下面的步骤做一做： 1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下． 2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合． 3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．
最新北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计
北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计
课题：第三章第2节圆的对称性（1） 课型：新授课 教学目标： 1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点) 教法与学法指导： 这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案. 教学过程： 一、情景导入明确目标 组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？ 学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心. [师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示： [师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? [生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. [师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？
[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. [师]：同学们，这位同学回答的对吗？ [生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线. 教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1） 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设 计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究： 探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件） 学案(问题3)： （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的 情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如： 弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. C
九年级数学上册第2章对称图形-圆2.2圆的对称性第2课时圆的轴对称性同步练习新版苏科版
第2章 对称图形——圆 2.2 第2课时 圆的轴对称性 知识点 1 圆的轴对称性 1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴． 知识点 2 垂径定理 2．如图2－2－12，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OC E ≌△ODE 3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( ) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm 图2－2－12 图2－2－13 4．教材习题2.2第5题变式如图2－2－13，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图2－2－14，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点 E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 图2－2－14
图2－2－15 6．如图2－2－15，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________． 7．[xx·长沙] 如图2－2－16，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________． 图2－2－16 图2－2－17 8．如图2－2－17是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，外圆半径OC⊥AB于点D交外圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm. 9．[xx秋·盐都区月考] 已知：如图2－2－18，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3. (1)求⊙O的半径； (2)若P是AB上的一动点，试求OP的最大值和最小值． 图2－2－18
圆的对称性
圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒
【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？
【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝
苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题(附答案)
圆的对称性 主要内容： 1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如图，用几何语言表示如下：⊙O中， （1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几何语言 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形， 利用勾股定理求解。 解：
第8题 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的 长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成 立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 第5题 第11题
初三培优专题18 圆的对称性
专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 5.2 圆的对称性（二） 班级姓名学号 学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 （1）圆是轴对称图形吗？ （2）你是如何验证的？ 设计意图1、体验折叠是验证轴对称图形的非常好的方法。 2、确信圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，这样的对称轴有无数条。 圆是轴对称图形，我们这节课就来研究与圆的轴对称有关的性质。 二、探索与发现 如图，AB是⊙O的直径，画弦CD⊥AB，垂足为P，探索图形中的相等关系。 你是如何发现的？ 教学设计： 经历从感性到理性的认知过程 通过观察操作说理等方法获取结论。 垂径定理 文字语言：_________________________________________________________。 符号语言： 。 三、例题讲解 2cm，你能求出圆心O到CD的距离吗？例1. 已知：如图，直径AB⊥CD，⊙O的半径为2cm，若弦CD=3 例2. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？ 四、及时巩固： 1．如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ 2.填空 （1）如图，已知⊙O 的半径为13cm ，AB 为⊙O 的一条弦,点O 到AB 的距离为5cm ，则AB=____. （2）如图，已知⊙O 的直径为10cm 中，弦AB=8cm ，P 是AB 上的一个动点。ＯＰ长度的范围是 。 （3）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为_________． 第（1）题 第（2）题 第（3）题 五、应用与拓展： 1．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图所示，已知污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备半径多大的管道？ 思考: 如果水面宽度由60cm 变为80cm ，那么污水面下降了多少厘米? 2. (思维拓展)已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 内一点,OP=4cm ，则过点P 的所有弦中，最短弦的长为多少cm? 过点P 的所有弦中，长度为整数的弦有几条? O B A P O B A 圆的对称性（第二课时） 基础题： 一、判断题： （1）相等的圆心角所对弦相等（） （2）相等的弦所对的弧相等（） 二、选择题： 1．下列命题中，正确的有（） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（） A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（） A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对 三、填空题： 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度． 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________. ★发展题： 四、选择填空题 如图，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD， 求证：OP平分∠BPD． 证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N． A、OM⊥PB B、OM⊥AB C、ON⊥CD D、ON⊥PD ▲提高题： 五、解答题： 1.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 2. 如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M， ⌒⌒ EF CD ，O1M和O2M相等吗？为什么？ 3.2 圆的轴对称性（一） 教学目标 知识目标 1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、?弦心距及半径之间关系的证明和计算． 能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力． 情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识． 教学重点难点 重点：探索圆的轴对称性和圆的性质． 难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用． 课堂教与学互动设计 【创设情境，引入新课】 复习提问：（1）什么是轴对称图形？ （2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？ （3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？──引入新课 【合作交流，探究新知】 一、自主探索 1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，?然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？ 2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴． 二、合作学习 1．在圆形纸片（如图3-3-1所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？ 图3-3-1 2．请你用命题的形式表达你的结论． 3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明． 4．圆的性质（垂径定理）： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 三、概括性质 1．直径垂直于弦. .????直径平分弦直径平分弦所对的弧 例如：CD 是直径，AB ⊥CD EA=EB ，CA CB =，DA DB =． 2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，图3-3-1中，?点C?是AB 的中点，D 是ADB 的中点． 【例题解析，当堂练习】 例1 （课本例1）已知AB （如图3-3-2），用直尺和圆规求作这条弧的中点． 图3-3-2 练一练 如图3-3-3，同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆交于C ，D 两点，判断线段AC 与BD 的大小关系，并说明理由． 3·2圆的对称性 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。以A、B为端点的弧记作AB， 渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是 ⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： ①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的 弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半 圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． ②直径是弦，但弦不一定是直径． 4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 5.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 证明此定理： 如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合. 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分 弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图3—7，在⊙O中， 3.2 圆的对称性 同步练习 一、填空题: 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2.已知⊙O 的半径为R,弦AB 的长也是R,则∠AOB 的度数是_________. 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O 中,OC ⊥弦AB 于C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长等于________. 5.如图1,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____. B P A O D C B A E D C B A O （1） （2） （3） 6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m. 7.如图3,D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD= CE, 则AC 与CB 弧长的大小关系是_________. 8.如图4,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE ⊥AC,垂足分别为D 、E,若AC=2cm,则⊙O 的半径为_____cm. E D C B A O B A O B P A O （4） （5） （6） （7） 二、选择题: 9.如图5,在半径为2cm 的⊙O 中有长为的弦AB,则弦AB 所 对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 10.如图6,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如图7,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 三、解答题: 12.如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由. 九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 《圆的对称性》教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 （1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ （如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？ 学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条． 知识点二：圆的中心对称性． 问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 做一做： 在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由． 第二节圆的对称性 要点精讲 一、圆的对称性： 1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例. 经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴. 2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的） 1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线） 2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. 3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量. 相关链接 像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 典型分析 1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（） 圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.圆的对称性(教案)
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