18. 2 特殊的平行四边形

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

1

18. 2 特殊的平行四边形

第1课时

教学内容 矩形． 教学目标

1. 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2. 会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3. 渗透运动联系、从量变到质变的观点． 教学重点 矩形的性质． 教学难点

矩形的性质的灵活应用． 教学过程 一、导入新课

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形， 堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．

二、新课教学

1. 矩形

教师向学生展示下列图形，引导学生知道矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象．

活动：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．

思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

2. 矩形的性质

既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．

继续演示教具，当它变成矩形时，学生容易看到它的四个角都是直角；它的对角线也相等（写出这两个结论），指出观察出来的结论不能做为定理，需要证明．引导学生利用平行四边形角的性质证明得出．

矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角． 矩形性质定理2：矩形的对角线相等． 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 思考 ：如下图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．我们观察Rt △ABC ，在Rt △ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，BO 与AC 有什么关系？

根据矩形的性质，我们知道，BO ＝

21BD ＝2

1

AC . 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（这实际上是Rt △的一个重要性质，即Rt △斜边中点到三顶点的距离相等，它在

求线段长或线段部分关系时经常用到）

例 如下图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4．求矩形对角线的长．

解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AC 与BD 相等且互相平分． ∴ OA ＝OB ．

又 ∠AOB ＝60°，

∴ △OAB 是等边三角形． ∴ OA ＝AB ＝4．

∴ AC ＝BD ＝2OA ＝8．

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

注意：教师要强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算．

三、课堂练习

教材第53页练习1、2、3．

四、布置作业

习题18.2第1题．

第2课时

教学内容

矩形．

教学目标

1. 掌握矩形的判定定理．

2. 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

教学重点

矩形的判定．

教学难点

矩形的判定及性质的综合应用．

教学过程

一、导入新课

什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？矩形有哪些性质？矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．

二、新课教学

1. 矩形判定定理

思考1：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

思考2：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？

教师引导学生分析、猜测，得出矩形的判定定理．

矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．

矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．

3

教师可指导学生证明这两个判定定理．完成后，归纳矩形的判定方法： （1）一个角是直角的平行四边形． （2）对角线相等的平行四边形． （3）有三个角是直角的四边形． 2. 矩形判定方法的实际应用

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这就应用了矩形的判定定理．

除教材中所举外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值． 3. 矩形知识的综合应用

例 如下图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ，∠OAD ＝50°．求∠OAB 的度数．

解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，

∴ OA ＝OC ＝

21AC ， OB ＝OD ＝2

1

BD ． 又 OA ＝OD ，

∴ AC ＝BD ．

∴ 四边形ABCD 是矩形． ∴ ∠DAB ＝90°． 又 ∠OAD ＝50°， ∴ ∠OAB ＝40°． 三、课堂小结

1. 矩形的判定方法l 、2都是有两个条件：①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．

判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角．

2. 要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．

四、布置作业 习题18.2第2、3题．

第3课时

教学内容 菱形． 教学目标

1. 掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2. 理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

5

计算菱形的面积．

3. 通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

4. 根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想． 教学重点

菱形的性质1、2． 教学难点

菱形的性质及菱形知识的综合应用． 教学过程

一、导入新课

我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

二、新课教学

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

强调：菱形是平行四边形；一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子：一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等都有菱形的形象．

思考：因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你自己完成证明），菱形还有以下性质： 菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

如下图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形．

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴． 三、实例探究

例1 如下图，菱形花坛ABCD 的边长为20 m ，∠ABC ＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点

后一位）．

解：∵ 花坛ABCD 的形状是菱形， ∴ AC ⊥BD ，∠ABO ＝21∠ABC ＝2

1

×60°＝30°. 在Rt △OAB 中， AO ＝

21AB ＝2

1

×20＝10， .31010202222=-=-=AO AB BO

∴ 花坛的两条小路长

AC ＝2AO ＝20（m ），

BD ＝2BO ＝203≈34.64（m ）． 花坛的面积

S 菱形ABCD ＝4×S △OAB ＝

2

1

AC ·BD ＝2003≈346.4（ m 2）． 例2 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD ＝∠CBE ．

证明：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ CB ＝CD ， CA 平分∠BCD ． ∴ ∠BCE ＝∠DCE ．又 CE ＝CE ， ∴ △BCE ≌△COB （SAS ）． ∴ ∠CBE ＝∠CDE ．

∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴ ∠AFD ＝∠FDC ，

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

∴∠AFD＝∠CBE．

四、课堂练习

教材第57页练习1、2．

五、布置作业

习题18.2第5题．

第4课时

教学内容

菱形．

教学目标

1. 理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2. 在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

3. 经历菱形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力．

教学重点

菱形的两个判定方法．

教学难点

判定方法的证明方法及运用．

教学过程

一、导入新课

复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质1：菱形的四条边都相等；性质2：菱形的对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角．

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）

过渡：要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？

二、新课教学

与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．

思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

例1 如下图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：□ABCD是菱形．

7

证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，

∴AB2＝AO2＋BO2．

∴△OAB是直角三角形，

AC⊥BD．

∴□ABCD是菱形．

例2 已知：如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥FC．

∴∠1＝∠2．

又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，

∴△AOE≌△COF．

∴EO＝FO．

∴四边形AFCE是平行四边形．

又EF⊥AC，

∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．

思考：我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的另一个判定定理：四条边相等的四边形是菱形．

三、课堂练习

1. 教材第58页练习1、2、3．

2. 做一做：设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．

四、布置作业

习题18.2第6、10题．

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

9

第5课时

教学内容 正方形． 教学目标

1. 掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．

3. 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

教学重点

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 教学难点

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 教学过程

一、导入新课

教师指导学生用一张长方形的纸片折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 过渡：什么样的四边形是正方形？ 二、新课教学

1. 正方形定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

教师指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）．

2．正方形的性质

正方形有什么性质？教师引导学生思考、讨论．

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

思考：正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论．

三、实例探究

例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：如下图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.

求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO．

∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且

△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG ⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE＝OF．

分析：要证明OE＝OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO＝∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，

∴∠EAO+∠AEO＝∠EDG+∠AEO＝90°．

∴∠EAO＝∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE＝OF．

四、课堂练习

教材第59页练习1、2．

五、布置作业

习题18.2第12、13题．

人教版义务教育教材◎数学八年级下册 11

第6课时

教学内容

平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关知识． 教学目标

1. 进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及相互联系．

2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定．

3. 会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理． 教学重点

知识体系的结构化整理和选择性应用． 教学难点

知识体系的结构化整理和选择性应用． 教学过程 一、问题导入

本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么次序来学习的？你能说出四边形之间的关系吗？

二、复习整理

1. 教师有条理地引导学生回顾概念，并建立概念之间的联系，绘制图表进行总结、归纳．

2. 各种四边形的性质与判定 （1） 平行四边形

性质：对边分别平行且相等，对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形．

判定：具有两组对边分别平行，两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；其中一种的四边形为平行四边形．

（2）矩形

性质：对边分别平行且相等；四个角全为直角；对角线互相平分且相等；是中心对称也是轴对称图形．

判定：有三个直角的四边形；有一个直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形为矩形．

（3）菱形

性质：对边平行，四边相等；对角相等；对角线互相垂直平分，且对角线平分对角，既是中心对称图形也是轴对称图形．

判定：四边相等的四边形；一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．

（4）正方形

性质：对边平行，四边相等；四个角是直角；对角线互相垂直平分且相等，且对角线平分对角；既是中心对称图形也是轴对称图形．

判定：有一个直角一组邻边相等的平行四边形，一组邻边相等的矩形；一个角为直角的菱形为正方形．

三、综合应用

例1 如下图，已知：在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°.

求：∠DOC和∠COF的度数.

分析：四边形ABCD是矩形，那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四个等腰三角形.

由已知DF平分∠ADC可得∠ADF＝∠CDF＝45°，∴∠ODC＝45°＋15°＝60°．又∵有OC＝OD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∠DCO＝60°，∴∠ACB＝30°．在△DCF中，∠FDC＝45°，∠DCF＝90°，故CF＝DC＝OC，∴△OCF是以∠OCB为顶角的等腰三角形，因此可求得∠COF的度数．

解答：∵DF平分直角∠ADC，

∴∠BDF＝15°，

∴∠ODC＝45°＋15°＝60°．

又∵OC＝OD（矩形的对角线相等且互相平分），

∴△ODC是等边三角形.

∴∠DOC＝60°，OC＝OD＝DC，∠DCO＝60°，

人教版义务教育教材◎数学八年级下册 13

又∵在Rt △DFC 中，∠DFC ＋∠FDC ＝90°， ∴∠DFC ＝45°， ∴ CF ＝DC ＝OC ，

∴ ?=?

-?=∠-?=

∠752

301802180OCF COF ．

∴∠DOC ＝60°，∠COF ＝75°．

说明：矩形的对角线总可以将矩形化为直角三角形和等腰三角形，解题时要注意利用这些特殊三角形的性质.

例2 如图，正方形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点M 是AC 上任意一点，ME ⊥AB ，MF ⊥BC ，垂足为E 、F ．

求证：△OEF 是等腰直角三角形．

分析：要证明△OEF 是等腰直角三角形，只要证OE ＝OF ，∠EOF ＝90°．观察图可知，OE 、OF 在△OAE 和△OBF 中，所以只要证明△OAE ≌△OBF 即可．

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∠CAB ＝∠CBD ＝45°． ∵ME ⊥AB ，MF ⊥BC ，

∴∠MEB ＝∠EBF ＝∠BFM ＝90°． ∴四边形MEBF 是矩形， ∴ME ＝BF ． ∵ME ⊥AB ， ∴∠AEM ＝90°． ∵∠BAC ＝45°， ∴∠AME ＝∠BAC ＝45°． ∴AE ＝ME ，AE ＝BF ．

在△AEO 和△BFO 中，AE ＝BF ，∠BAC ＝∠DBC ， OA ＝OB ． ∴△AEO ≌△BFO ． ∴OE ＝OF ，∠AOE ＝∠BOF ． ∵∠EOF ＝∠BOE ＋∠BOF ＝∠BOE ＋∠AOE ＝∠AOB ＝90°， ∴△OEF 是等腰直角三角形．

四、布置作业

习题18.2第15、16题．

特殊平行四边形教案

18.2.1 矩形(一) 一、教学目标： 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点． 二、重点、难点 1．重点：矩形的性质． 2．难点：矩形的性质的灵活应用． 课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等． 如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO= 2 1AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例习题分析 例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长． 解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AC 与BD 相等且互相平分． ∴ OA=OB ． 又 ∠AOB=60°， ∴ △OAB 是等边三角形． ∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）． 例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．

《192平行四边形》同步练习3.docx

《19.2平行四边形》同步练习 一、选择题: 1.下面儿组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的（） A. 一组对边相等 B.两条对角线互相平分 C. 一组对边平行 D.两条对角线互相垂直 2.已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A?1个B. 2个C. 3个D. 4个3?如图，在MBC中，AB = AC = 5, D 是BC上的点，DE // AB 交人C于点E, DF // AC交AB于点F ,那么四边形AFDE的周长是 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 二、填空题： 4. DABCD 的周长是36 cm, AB =8 cm,则BC = 条件是_______________ （填一个你认为正确的条件）. 5?在四边形ABCD中，已知要使四边形ABCD为平行四边形，筒要增加的 三、解答题: 6.已知：如图，E、F是口ABCD的对角线AC.L的两点，且B E = DF??求证：四边形AECF 是平行四边形. 7.如图，平行四边形ABCD屮，试用三种方法将平行四边形分成面积相等的四部分.（要求用文字简述你所设计的三种方法，并在所给的三个平行四边形中正确画图） 8.如图，李村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵桃树，现在村委会准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持桃树不动，并耍求扩建后的池塘呈平行四边形形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形，简单描述你的画法；若不能，请说明理由.

9.口ABCD屮，AC、BD相交于0点，两条对角线的和为36cm, CD长为5cm, >RAOCD 的周长。 10?如图，在ZiABC中，BD平分ZABC, DE〃BC交AB于点E, EF〃AC交BC于点F, 试说明BE=CF C

特殊平行四边形知识点总结及题型

新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式） 1.菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形． 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（菱形 ②有一个角是直角的平行四边形（矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．．叫做正方形．正方形是中心对称．．．．．．并且有一个角是直角 图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

八年级数学《特殊的平行四边形(2)》教案

课题：特殊的平行四边形（2） 主备人课型验收结果： 合格/需完善时间 分管领导第周第总第 教学目标：理解并掌握矩形的判定方法． 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力重点、难点 理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用。 定理的证明方法及运用。 教学过程 教师活动学生活动一、创设情境 复习提问： 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？ 二、自主学习 1、矩形的判定方法有哪些？ 2、如何检测小华做的是矩形相框？ 三、探究新知 矩形判定方法： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角钱相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 四、尝试应用 1、的平行四边形是矩形。 的四边形是矩形。 2、下列说法正确的是（）． （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形 （B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 A E D P B C 4、如图，已知BD、BE分别为∠ABC与它的邻补角∠ABP的角平分线，且AE⊥BE、AD⊥BD，垂足分别为E、D，试说明四边形AEBD为矩形。巩固已学知识，并提出一个实际问题，让学生动脑思考，动手操作。 结合事例引入，学生自学课本95——96页的内容，得到矩形的判定方法。 学生动脑动手，由事例引入得到矩形的三个判定，同时让学生把判定（2）和（3）进行口答 证明并写出应用格式。 学生口答展示第1、2道题，到黑板展示第3、4、5道题，有多种证明方法的题目学生口答展 示，教师予以总结。

九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结

第一章特殊平行四边形 一、矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质： (1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5、矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． ②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． 二、菱形 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 2．菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等． (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． (4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 3．菱形的判定： (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形． (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形． O D C B A

三．正方形 1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 它们的包含关系如图： 2．正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴． (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形． (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等． (7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22 2 b a S ==． 3．正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)． 四、三角形中位线定理： （1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。、 （2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。

初二数学下册春季班培优讲义.教师版. 18.2 特殊的平行四边形-测试题(含答案)【精品】

第十八章 平行四边形【精品】 18.2 特殊的平行四边形 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；学-科网 ④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于__________． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 4．矩形的判定： （1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路 有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形 平行四边形有一个角是直角→矩形?? ???? ??

（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 5．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 6．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都__________．学-科网 （3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半． 7．菱形的判定： （1）一组邻边__________的平行四边形是菱形． （2）对角线__________的平行四边形是菱形． （3）四条边__________的四边形是菱形． （4）对角线__________的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 8．正方形的定义： （1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

特殊的平行四边形与一元二次方程

1.在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．． 的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x +-= 9.下列方程中,常数项为零的是 ( ) D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D

特殊平行四边形(二)拓展性题目

特殊平行四边形（二）拓展性题目拓展题目 应用拓展1: 已知:如图，分别以BM、CM为边，向?BMC形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、 DG、H分别为AB、BC、CD、DA中点。 H(1)猜测四边形EFGH的形状; AGM(2)证明你的猜想; E(3)三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响, BCF D MA分析:可以把图形分解成我们所熟悉的图形。 四边形EFGH的形状是由线段AC、BD决定的。 BC连结AC、BD，?AMC与?BMD全等。 所以AC=BD,因此四边形EFGH是菱形。 如下图所示，?BMC形状的改变对上述结论没有影响。 HHDDA A M GEGE BCFBCF A D HH AGEMM EDGBC FBCF 变式练习1: 已知:如图，分别以BM、CM为边，向?BMC形外作等腰直角三角形ABM、CDM，E、 F、G、H

分别为AB、BC、CD、DA中点。 DH(1)猜测四边形EFGH的形状; A G(2)证明你的猜想; EM(3三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响, C BF F: 变式练习2M E已知:如图，分别以AB、AC为边向?ABC A Q形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、 GPP、Q分别是EF、BC、EB、FC 的中点。 D NBC(1)猜测四边形MPNQ的形状; (2)试证明你猜想的结论。 (3)?ABC形状的改变是否对上述结论有影响, 应用拓展2: 如图，四边形ABCD中， (1)若E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH为平行四边形 (2)若E、 F、G、H分别为各边的四等份点，则四边形EFGH为平行四边形 (3)若E、F分别AB、BC边的四等份点，G，H分别为边CD、DA的中点，则四边形EFGH为梯形。 DHHDDHA AAEEGG EG BBCCC BFFF 应用拓展3: 如图，梯形ABCD中，AB?CD，M是AD中点，N是BC中点，E是CD中点，F是DCAB中点。求证:若EF=MN，则BD?ME。 MN变式练习1:求证:若AC=BD，则EF?MN; A变式练习2:求证:若AC?BD，则EF=MN。 BF 应用拓展4:

第一章-特殊平行四边形-教案

第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定（1） 【教学目标】 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学重难点】 重点：掌握菱形的性质。 难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学过程】 一、回顾复习 1.平行四边形的定义。 2.平行四边形的性质。 3.平行四边形的判定。 二、新课讲授 1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论： （1）菱形是轴对称图形； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直。

3.证明这些结论。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=BC=AD；（2）AC⊥BD。 由此可以得到菱形的两条性质定理： 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相平分。 4.总结菱形所有的性质： 边：菱形的四条边相等； 角：菱形的对角相等，领角互补； 对角线：菱形的对角线互相垂直且平分。 对称性：菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点） 5.范例学习（P3） 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

6、随堂练习，巩固新知 1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______. 3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 5）“P4随堂练习” 1 菱形的性质与判定（2） 【教学目标】 1.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 2.掌握菱形的判定定理及其证明，并能利用定理解决有关问题。 【教学重难点】 重点：菱形的判断定理的掌握。 难点：菱形的判定定理的综合运用。 【教学过程】 一、回顾与复习 1.菱形的定义： 2.菱形的性质： 二、新课讲授 1.思考（1）： 如果有一个平行四边形，它的的一组邻边相等，那么根据菱形的定义，我们可以判定这个就是菱形。除此之外，还能找出什么条件可

第1套人教版初中数学八年级下册18.2特殊平行四边形教案

18.2.1 矩形 教案总序号： 一、教学目的： 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点． 二、重点、难点 1．重点：矩形的性质． 2．难点：矩形的性质的灵活应用． 三、例题的意图分析 例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法． 四、课堂引入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义． 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象． 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？ 操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

特殊的平行四边形 (2)

一、选择题 1、既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（） A．正方形B．矩形C．菱形D．矩形或菱形 2、四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是() A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形 3、正方形ABCD的面积为36，则对角线AC的长为() A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 4、已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 5、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是 （） A．8B．7C．4D．3 5题图6题图 6、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为() A．4 B．6 C．8 D．10 7、如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3， 0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（） A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2） 7题图8题图 8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（） A．16 B．17 C．18 D．19 9、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 10、矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取 AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）

最新版特殊平行四边形测试题

一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个 2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 3．如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC 于点E，交AD于点F. 若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（） A．14 B．15 C．16 D．无法确定 4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（） A．4 B．6 C．8 D．10

5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（） A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60° 6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD交于点O，菱形ABCD周长为32，点P是边CD的中点，则线段OP的长为（） A．3 B．5 C．8 D．4 7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC， HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S 1和S 2 ，则S 1 与 S 2 的大小关系为（） A．S 1=S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 ＜S 2 D．不能确定 8．矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）

A．6 B．C．2（1+）D．1+ 9．如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是（） A．60°B．70°C．75°D．80° 10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（） A．14 B.12 C.24 D.48 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11．在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，如果∠BAC＝70°， 那么∠ADC等于 12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题） 1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（） A．36°B．42°C．45°D．48° 2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（） A．B．C．D． 3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（） A．0.5B．1C．1.5D．3 4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个． A．10B．12C．14D．25

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共10小题） 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为． 7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为． 9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．

特殊的平行四边形(知识点、例题、练习)

知识点 知识点1、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、性质： （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角相等。 （4）平行四边形的两条对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3、判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 知识点2、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质： （1）矩形的四个角都是直角。 （2）矩形的两条对角线相等。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。 （2）有三个内角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点3、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质： （1）菱形的四条边都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）四条边都相等的四边形是菱形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 知识点4、正方形 1、定义：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 2、性质： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。 （3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 3、判定： （1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个内角是直角的菱形是正方形。 例题 一、选择题 1、下列说法不正确的是（ ） （A ）一组邻边相等的矩形是正方形 （B ）对角线相等的菱形是正方形 （C ）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D ）有一个角是直角的平行四边形是正方形 2、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD ：AC 等于（ ）． （A ）3：2 （B ）1：3 （C ）1：2 （D ）3：1 3、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm 4、如图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是（ ） （A ）DB=AE （B ）BD=CE （C ） 90=∠EAC （D ） E ABC ∠=∠2 5、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 6、矩形长是8cm ，宽是6cm ，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）

ZBP平行四边形存在性问题之两定两动.docx

问题 1：存在性问题的处理框架是什么 问题 2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么 1. 如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，OA=8， OC=12，直线与x 轴交于点D，与 y 轴交于点E，把矩形沿直线DE 翻折，点 O 恰好落在AB 边上的点 F 处，M 是直线 DE 上的一个动点，直线DF 上是否存在点N，使以点C， D，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形则符合题意的点N 的坐标是 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x 轴分别交于 点 B 和点 C， D 是直线 AC上一动点， E 是直线AB 上一动点．若以O， D，A，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为 反思与总结： 问题 1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容 问题 2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么

练习 1.如图，直线与 x 轴、 y 轴分别交于A， B 两点，直线BC 与x 轴交于点C，且 ∠ABC=60 ，°若点 D 在直线AB 上运动，点 E 在直线 BC 上运动，且以O， B， D，E 为顶点的 四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 () 2..如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ ACO=30°，把矩形沿直线DE 翻折，使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，若点 M 是直线 DE上一动点，点N 是直线 AC 上一动点，且以O， F， M， N 为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标为 () 3.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于 点C，交 AB 于点 D．若在平面内存在点 E，使得以点 A，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边 形，则点 E 的坐标为

(完整版)平行四边形及特殊平行四边形知识点(经典完整版)

平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积

一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）

小学平行四边形典型试题

小学平行四边形典型试题 一．选择题（共22小题） 1．一个长4厘米、宽3厘米的长方形按1：3放大，得到的图形的面积是（）平方厘米．A．12 B．36 C．108 2．一个长方形框架拉成平行四边形后，面积（） A．不变B．减小C．增大D．既可能减小又可能增大 3．一个正方形的边长由a厘米变成2a厘米，面积是原来的（） A．2倍B．4倍C．8倍 4．一张正方形彩纸周长是24厘米，现用1cm2的小正方形白纸铺满这张彩纸，需要（）A．24张B．36张C．48张D．576张 5．正方形的边长扩大5倍，面积扩大（）倍． A．10 B．25 C．5 D．20] 6．用一根长20米的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的面积是（） A．25米B．20平方米C．25平方米 7．边长1000分米的正方形的面积是1（） A．平方米B．公顷C．平方千米 8．把一根长20分米的铁线围成一个正方形框架，它的面积是（） A．400平方分米B．25平方分米 C．20平方分米D．80平方分米 9．一个长方形的长是12分米，比宽多4分米，这个长方形的面积是（）平方分米．A．48 B．192 C．96 10．正方形的边长扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的（）倍． A．9 B．6 C．3 11．在一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸板上剪下一个最大的正方形，剩下的部分的面积是（）平方厘米．A．80 B．64 C．16 12．把一个平行四边形活动框架拼成一个长方形，那么原来平行四边形与现在长方形相比（）A．周长不变，面积不变B．周长变了，面积不变C．周长不变，面积变了13．有一块长方形的红薯地长18米，宽10米，如果每平方米可收红薯8千克，这块地可以收红薯（）千克．A．144 B．1440 C．180 D．448 14．一个篮球场是一个长30米、宽17米的长方形，（）个这样的篮球场的总面积大约是1公顷．A．2 B．200 C．20 15．一个正方形的边长扩大到原来的3倍，那么面积扩大到原来的（）倍，周长扩大到原来的（）倍．A．3 B．6 C．9 D．12 16．用三个长都是4分米，宽都是3分米的长方形拼成一个长方形，它的面积是（）平方分米．A．12 B．24 C．42 D．36

特殊平行四边形综合练习题 2

特殊平行四边形综合练习题 一、选择题 1：在下列命题中，正确的是（） A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（）。 A．4 B．3 C．2 D．1 3：如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（） A ． B ． C ． D ． 4.对角线互相垂直平分的四边形是（） A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形 5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=900时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形 7.如图，四边形 为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（） A．B．C．D． 8.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（） A．6个B．5个C．4个D．3个 9. 如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于E、F，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为（） A．60 B．48 C．40 D．36 10. 如图所示：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH 平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（） A．90°＜α＜180°B．α＝90° C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化 二、填空题 1.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 2.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则的长为． 3.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是. 4.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）． A B C D O D C B O A D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ ＢＦＣ Ｅ Ｄ Ａ A A D C B O B C D A P B C D A B C D

特殊的平行四边形中考试题汇编

特殊的平行四边形 （选择题） 一、选择题 1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 【关键词】正方形 【答案】 2.．（山西省）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ． 2m n - B ．m n - C ．2 m D ． 2 n 【关键词】整式的运算；特殊平行四边形相关的面积问题 【答案】A 3.（ 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=， 正确的 （ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④ D ．②③④ 【关键词】平行四边形有关的计算 m n n （2） （1） N E

【答案】D 4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15 C ． 10 D ．5 【关键词】菱形和等边三角形的性质 【答案】D 5.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 【关键词】正方形、折叠 【答案】D 6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.4 B A C D A ． B ． C ． D ．