二次函数与一元二次方程及不等式
二次函数与一元二次方程及不等式
一，二次方程基础概念
当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=
其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ?=-
?＞0时，方程有两个不相等的实数根； ?＝0时，方程有两个相等的实数根；
?＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．
2． 根与系数的关系（韦达定理）
12b
x x a
+=-
12c x x a
=
二次方程根的分布
根的位置<=>图象位置<=>等价条件
20ax bx c ++=（0a >）
三、一元二次不等式
一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．
0?
>
0?=
0?<
a
1，例题：
选择题
①2
=++对任意实数t都有(2)(2)
()
f x x bx c
+=-，那么（ A ）
f t f t
A．(2)(1)(4)
<<
f f f
f f f
< C．(2)(4)(1) << < f f f f f f ② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a > ③ 已知函数y ＝log 2 1（x 2－6x ＋7），则y （ D ） A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．没有最大值也没有最小值 填空题 ①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a = 则2 122(0) 2(0) x x x y x x x ?-?=?+ ②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________． 解：方程有实数根， 故24490a ?=-?≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵ 3a -≤或3a ≥ ∴ 8y ≥（a ＝3时取等号） ∴ min 8y = 应用题： 1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3 x a +|1|1a =-+的根的范围． 解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ?=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ） ＝－a 2－a ＋6∈（4 25,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈ （4，18） 综上所述：x ∈（4 9 ，18） 2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）． （1）求a 、b 的值； （2） 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值． 解：⑴a ＝1，b ＝1 y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1） ⑵|AB |的最大值为2． 3. 设实数a 、b 、c 满足 a 2－bc －8a ＋7＝0 …………① b 2＋ c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………② 求a 的取值范围． 解：1≤a ≤9 4. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a <<<． （1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ； （2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：1 02 x x < ． 解（2）．依题意知x 0＝－ 2b a ． 因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2 ＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a - x 0＝－ 1212()11222a x x ax ax b a a a +-+-== 因为21ax <，所以0x < 11 22 ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围． 解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2 根据题意得：(0)0(1)0(2)0f f f >?? ? 即 22 22028030p p p p p p ?-->?--? 解得：p ∈（－2，－1）∪（3，4）． 6. 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB?满足3（?OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB?的正切值4． （1）求m 的取值范围； （2）求这个二次函数的解析式； （3）确定直线y=kx+k 的解析式． 解 （1）m 2－4<0， －2 （2）二次函数的解析式为y=x 2－2x －3． （3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）． 强化训练 一、填空题 1．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x2+2x+4_．2．已知二次函数y=（a－1）x2+2ax+3a－2的图像最低点在x轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x2+4x+4 __． 3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－1 4 x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O?的距离为___9__m． 图1 图2 4．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行 的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－1 12s2+2 3 s+3 2 ．如图2， 已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9 4 m，?设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是__ ． 5．若抛物线y=1 2x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为__－1 2 __． 6．设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+5 4 的图像与x?轴只有一个交点，?则a18+?323a－6?的值为__5796__． 7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB?的面积等于___6___． 8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax 2+bx+c 的图像，在下列说法中： ①ab<0；②方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=－1，x 2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y 随着x?的增大而增大． 正确的说法有___①②④____．（请写出所有正确说法的序号） 图3 图4 图5 二、选择题 9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－1 5 x 2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ B ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．当m B ） A ．0 B ．5 C ． D ．9 11．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，?③b 2－4ac>0，其中正确的个数是（ C ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12．抛物线y=x 2+（2m －1）x+m 2与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ C ） A ．m>14 B ．m>－14 C ．m<14 D ．m<－14 13．根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数y 的对应值，?判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ C ） A ．6 B ．6.17 C ．6.18 D ．6.19 （?－1，0），则S=a+b+c 的值的变化范围是（A ） A ．0 15．二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的最大值是零，那么代数式│a │+2 44ac b a 的化简结 果是（ B ） A ．a B ．－a C ． D ．0 16．（2006，甘肃兰州）已知y=2x 2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y?轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） A ．y=2（x －2）2+2 B ．y=2（x+2）2－2 C ．y=2（x －2）2－2 D ．y=2（x+2）2+2 三、解答题 17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，?两小孔形状，大小 都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m ，顶点M 距水面6m （即MO=6m ），?小孔顶点N 距水面4.5m （即NC=4.5m ）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ． 设抛物线解析式为y=ax 2+6，依题意得，B （10，0）． ∴a×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x 2+6， 当y=4.5时，－0.06x 2+6=4.5，解得x=±5， ∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m ． 18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35 x 2+3x+1的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高BC=3.4m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4m ，问这次表演是否成功？请说明理由． （1）y=－ 35x 2+3x+1=－35（x －52）2+19 4． ∵－35<0，∴函数的最大值是19 4 ． 答：演员弹跳离地面的最大高度是19 4 m ． （2）当x=4时，y=－35 ×42 +3×4+1=3.4=BC ，所以这次表演成功． 19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）?之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元； 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）?之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，?可获得3.2万元． （1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A ，B 两种产品共投资10万元．?请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少． 解 （1）当x=5时，y A =2，2=5k ，k=0.4．∴y A =0.4x ，当x=2时，y B =2.4； 当x=4时，y B =3.2．∴ 2.442,3.2164.a b a b =+??=+? 解得0.2,1.6.a b =-??=? ∴y B =－0.2x 2+1.6x ． （2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品（10－x ）万元，获得利润W 万元， 根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2（x－3）2+5.8． 当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元． 所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元． 20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L 1 ：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y?轴 于M点．抛物线L 1向右平移2个单位后得到抛物线L 2 ，L 2 交x轴于C，D两点． （1）求抛物线L 2 对应的函数表达式； （2）抛物线L 1或L 2 在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N?为顶点的 四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是抛物线L 1 上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P?关于原点 的对称点Q是否在抛物线L 2 上，请说明理由． （1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0）， B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1， 0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3． （2）存在．如图所示． 令x=0，得y=3，∴M（0，3）．∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．又∵AC=2，∴MN=AC．∴四边形ACNM为平行四边形．同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC，∴四边形ACMN′是平行四边形． ∴N（2，3），N′（－2，3）即为所求． （3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），且y1=－x12－2x1+3，将点Q的横坐标代入L2，得y Q=－x12－2x1+3=y1≠－y1． ∴点Q不在抛物线L2上． 21．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，4），顶点在x 轴上，?且对称轴在y 轴的右侧．设直线y=x 与二次函数图像自左向右分别交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，?且OP ：PQ=1：3． （1）求二次函数的解析式； （2）求△PAQ 的面积； （3）在线段PQ 上是否存在一点D ，使△APD ≌△QPA ，若存在，求出点D 坐标，? 若不存在，说明理由． （1）抛物线过（0，4）点．∴c=4，∴y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3， ∴x 1：x 2=1：4 由2 4y x y ax bx =??=++? 得ax 2+（b －1）x+4=0， ∵x 1，x 2是该方程的两个根， ∴x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a ． 消去x 1得25a=（b －1）2．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧 ∴－2b a >0，∴b a <0，又抛物线的顶点在x 轴上， ∴b 2=16a 得a=1，b=－4（b=4 9 舍去）． ∴y=x 2－4x+4． （2）如图所示 S △PAQ =S △AQO －S △APO = 12×4×x 2－12 ×4×x 1=2（x 2－x 1）． （3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4）， 由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或-23 ． ∵1 83，8 3 ）． 22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax 2－ax+m 的图像交x 轴于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，x 1 （2）在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使S △PAC =6？若存在，请你求出点P 的坐标；? 若不存在，请你说明理由． 解 （1）∵AB=3，x 1 a =－2．∵tan ∠BAC －tan ∠ABC=1， ∴OC ：OA －OC ：OB =1， ∴OC=2 ∴m=－2，a=1． ∴此二次函数的解析式为y=x 2－x －2． （2）在第一象限，抛物线上存在一点P 使S △APC =6． 解法一：过点P 作直线MN ∥AC 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，连接PA ，PC ，MC ，NA ，如图所示． ∵MN ∥AC ， ∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6． 由（1）有OA=1，OC=2 ∴12×AM×2=12 ×CN×1=6， ∴AM=6，CN=12．∴M （5，0），N （0，10）． ∴直线MN 的解析式为y=－2x+10． 由2 210,2.y x y x x =-+??=--? 得12123,4, 4.18.x x y y ==-????==??（舍去）． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6． 解法二：设AP 与y 轴交于D （0，n ）（n>0）．∴直线AP 的解析式为y=nx+n ． 22, . y x x y nx n ?=--? =+? ∴x 2－（n+1）x －n －2=0， ∴x A +x P =n+1，∴x P =n+2． 又S △PAC =S △ADC +S △PDC = 12CD·AO+12CD·x p =12CD （AO+x p ）．∴12 （n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ∴n=－6（舍去）或n=1． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6． 二次函数与方程、不等式综合问题 1、在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y +- =65经过点()n A ,2-，??? ??21,1B ，抛物线1222-+-=t tx x y 与x 轴相交于点C 、D . （1）求点A 的坐标。 （2）设点E 的坐标为??? ??0,25，若点C 、D 都在线段OE 上，求t 的取值范围。 （3）若该抛物线与线段AB 有公共点，求t 的取值范围。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，且经过点?? ? ?? 23,0A 。 （1）若此抛物线经过点?? ? ?? -21,2B ，且与x 轴相交于点E 、F 。 ①填空：b ＝ （用含a 的代数式表示）。 ②当2 EF 的值最小时，求抛物线的解析式。 （2）若2 1= a ，当10≤≤x ，抛物线上的点到x 轴的距离的最大值为3时，求 b 的值。 3、已知二次函数23)2(2)1(2++++=x t x t y ，当0=x 和2=x 时的函数值相等。 （1）求二次函数的解析式。 （2）若一次函数6+=kx y 的图像与二次函数的图像都经过点),3(m A -，求m 和k 的值。 （3）设二次函数的图像与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图像在B 、C 点间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0>n ）个单位后得到的图像记为G ，同时将（2）中得到的直线6+=kx y 向上平移n 个单位，当平移后的直线与图像G 有公共点时，求n 的取值范围。 4、已知二次函数)12(221-+-=t tx x y （1>t ）的图像为抛物线1C 。 （1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点。 （2）已知抛物线1C 与x 轴交点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线222)(:t x y C -=，平移后A 、B 的对应点分别为点),(n m D ，),2(n m E +，求n 的值。 （3）在（2）的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G 。若直线b x y +- =2 1（3 中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式 ◆知识讲解 （1）最大值或最小值的求法 第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，?顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）． （3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）． （4）抛物线与x 轴的交点． 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交． ②有一个交点（顶点在x 轴上）?△=0?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离． （5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点． 同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，?两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根． （6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点；③方程组无解时?L 与G 没有交点． （7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，?再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分． 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 【讲义】二次函数与一 次函数、一元二次方程、不等式(组) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个 数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值 为 . 例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图 象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与 x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不 等式ax2＋bx＋c＜0的解集 是 . 例5. 已知P（3,m -)和Q（1，m）是抛物线2 21 y x bx =++上的两点． （1）求b的值； 22 y mx x m =+-m x （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有 一个交点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 一、二次函数与一元二次方程的联系 1. 直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ， . （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点() 2h ah bh c ++，. （3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ①有两个交点?0?>?抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0?=?抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0?时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 知识点睛 二次函数与方程、不等式综合二次函数与方程、不等式综合问题
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