第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换
线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间．
§1.1 线性空间
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ．
一、线性空间的定义及性质
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：
对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+；
2)()()αβγαβγ++=++；
3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=；
6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．
则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间．
V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘
法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间．
需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
线性空间{0}V =称为零空间．
例 1 任何数域F (作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域F 上的线性空间．
例2 实数域R 作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域C 上的线性空间．
因为,,a R k i C k ai R α∈=∈=?则.
例3 以数域F 上的数为系数的多项式称为数域F 上的多项式．数域F 上的、以x 为变量的全体多项式的集合记为[]F x ；次数小于n 的全体多项式的集合记为[]n F x ．
可以证明，[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域F 上的线性空间．
对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈，设
121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++， 121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++++，
这里,,0,1,2,
,1i i a b F i n ∈=-，于是
1211221100()()()()()()[]n n n n n n n
f x
g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++++++∈对于任何k F ∈，有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka ka F x ----=++
++∈．易证明
线性空间定义中的八条性质都成立，因此[]n F x 是F 上的线性空间．
类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域F 上的线性空间．
例 4 数域F 上的n 维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为n F ，它对于数组向量加法、数乘运算构成F 上的线性空间．
例 5 数域F 上的m n ?矩阵的全体构成的集合记为m n F ?，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域F 上的线性空间．
例6定义在[,]a b 上的实函数全体的集合V ，对于函数加法、数乘运算构成实数域R 上的线性空间．
例7 常系数二阶齐次线性微分方程
320y y y '''-+=
的解的集合D ，对于函数加法及数与函数乘法有：若12,y y D ∈，则12y y D +∈，当k R ∈时，则1ky D ∈，即D 关于这两种运算是封闭的，且满足定义１中的八
条性质，故D 构成了R 上的线性空间．
定理1 设V 是数域F 上的线性空间，则 1) V 中零元素惟一；
2) V 中任一元素的负元素惟一；V α?∈，用α-表示α的负元素； 3) 00k =；特别有00α=，(1)αα-=-； 4) 如果0k α=，那么00k α==或．
证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成．
假设α有两个负元素β与γ，则0αβ+=，0αγ+=，从而
0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=．
二、向量的线性相关性
在线性代数中，已讨论了n 维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域F 上的线性空间V 也有类似结果：
定义2 设V 是数域F 上的线性空间，12,,
,(1)r r ααα≥是V 中一组向量，
12,,,r k k k 是数域F 中的数，如果V 中向量α可以表示为
1122r r k k k αααα=++
+，
则称α可由12,,,r ααα线性表示(线性表出)，或称α是12,,
,r ααα的线性组
合．
定义3 设12,,
,r ααα与12,,
,s βββ是线性空间V 中两个向量组，如果
12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示，则称向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示．如果向量组12,,,r ααα与向
量组12,,
,s βββ可以互相线性表示，则称向量组12,,,r ααα与向量组
12,,,s βββ是等价的．
容易证明向量组之间的等价具有如下性质： (1) 自反性：每一个向量组都与它自身等价； (2) 对称性：如果向量组12,,
,r ααα与12,,,s βββ等价，那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价；
(3) 传递性：若向量组12,,
,r ααα与12,,
,s βββ等价，且向量组
12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，则向量组12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价．
定义4 设V 为数域F 上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是V 中一组向量，
如果存在r 个不全为零的数12,,,,r k k k F ∈使得
11220r r k k k ααα++
=，
则称12,,,r ααα线性相关；如果向量组12,,
,r ααα不线性相关，就称为线性
无关．
由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法．
定理 2 设V 为数域F 上的线性空间，V 中一个向量α线性相关的充分必要条件是0α=；V 中一组向量12,,
,(2)r r ααα≥线性相关的充分必要条件
是其中有一个向量是其余向量的线性组合．
证 如果一个向量α线性相关，由定义1.4可知，有0k ≠，使 0k α=， 由定理1 的4)知0α=．
反之，若0α=，由对任意数0k ≠都有0k α=．由定义4知，向量α线性相关．
如果向量组12,,,r ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,
,r k k k ，使得
1122
0r r k k k ααα++=，
因为12,,
,r k k k 不全为零，不妨设0r k ≠，于是上式可改写为
121
121
r r r r r
r
k k
k k k k αααα--=-
-- 即向量r α是其余向量121,,,r ααα-的线性组合．
反过来，如果向量组12,,,r ααα中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说
1122
1r r r l l l αααα--=+++，
上式可写为
112211(1)0r r r
l l l αααα--++++-=， 因为11,
,,1r l l --不全为零，由定义4知，向量组12,,
,r ααα线性相关．
例8 实数域R 上线性空间22R ?的一组向量(矩阵)
1112212210010000,,,00001001E E E E ????????
==== ? ? ? ?????????
是线性无关的．
事实上，如果
111212321420k E k E k E k E +++=， 即
1
2340k k k k ??
= ???
， 则12340k k k k ====．因此，满足1112123214220k E k E k E k E +++=的1234,,,k k k k 只能全为零，于是11122122,,,E E E E 线性无关．
定理3 设V 为数域F 上的线性空间，如果V 中向量组12,,,r ααα线性无
关，并且可由向量组12,,
,s βββ线性表示，则r s ≤．
证 采用反证法．假设r s >，因为向量组12,,
,r ααα可由向量组1,β
2,β,s β线性表示，即
1,1,,s
i j i j
j a i r
αβ===∑， 作线性组合 1122
1
1
11
()r s s r
r r i ji j ji i j i j j i x x x x a a x αααββ====
+++==∑∑∑∑，
考虑齐次线性方程组
1111221211222211220,0,0.
r r r r s s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++
+=??+++=????++
+=
?
因为上述齐次线性方程组未知数12,,r x x x 的个数r 大于方程的个数s ，
从而有非零解12,,
,r x x x ，即我们可找到不全为零的数12,,r x x x ，使得
11220r r x x x ααα+++=．
因此，向量组12,,
,r ααα线性相关，这与12,,
,r ααα线性无关矛盾，于是
r s ≤．
由定理3直接可得如下结论．
推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量．
定理4 设线性空间V 中向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组
12,,,,r αααβ线性相关，则β可由12,,,r ααα线性表示，并且表示法是惟一
的．
证 向量组12,,
,,r αααβ线性相关，故存在不全为零的数12,,,k k
1,r r k k +，使
11221
0r
r r k k k k αααβ+++
+=， 并且10r k +≠；否则向量组12,,,r ααα线性相关，这与条件矛盾．从而 121211
1
r
r r r r k k
k k k k βααα+++=----
， 即β可由12,,
,r ααα线性表示．
假设β可由12,,,r ααα线性表示为
1122112
2r
r r
r k k k l l l βαααααα=++=++， 则
111222
()()()0
r r r
k l k l k l ααα-+-+
+-=． 因为向量组12,,,r ααα线性无关，从而0(1,2,,)i i k l i r -==．因此，β可惟
一的表示为12,,
,r ααα的线性组合．
定义5 设12,,,s ααα是线性空间V 中一组向量，如果12,,,s ααα中存在r 个线性无关的向量12,,,(1,1,2,
,)r i i i j i s j r ααα≤≤=，
并且12,,,s ααα中任一向量都可由向量组12,,,r i i i ααα线性表示，则称向量组12,,
,r i i i ααα为向
量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组，数r 称为向量组12,,,s ααα的秩，
记为{}12,,
,s rank r ααα=．
一般说来，向量组的极大线性无关组不惟一，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价．由等价的传递性可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．由推论1知，一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，即向量组的秩是惟一的，并且等价的向量组具有相同的秩．
三、基与维数
现在引入线性空间的基与维数的概念，它是线性空间的重要属性．
定义6 设V 是数域F 上的线性空间，如果V 中存在n 个向量12,,,n εεε，
满足：1)12,,
,n εεε线性无关；
2)V 中任何向量α均可由12,,...,n εεε线性表示．即存在12,,,n k k k F ∈，
使得1122n n k k k αεεε=+++．
则称12,,
,n εεε为V 的一组基(或基底)，基中向量的个数n 称为线性空间V 的
维数，记为维V 或dim V ．若dim V <+∞，称V 为有限维线性空间，否则，称
V 为无限维线性空间，本书主要讨论有限维线性空间．
关于线性空间的基与维数，有：
(1) n 维线性空间中任一向量α必可由V 的基12,,,n εεε线性表示，并且
表示法惟一．
(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一． (3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的．
定理5 n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量均可构成一组基． 证 设V 是n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，12,,,n ααα是V 中
一个线性无关的向量组．为证12,,,n ααα是基，只须证明V 中任一向量α可
由12,,
,n ααα线性表示．此时，向量组12,,
,n ααα中每个向量都可由基
12,,,n εεε线性表示．这是1n +个向量被n 个向量线性表示的情况，即知12,,,n ααα，α线性相关．再由定理4，便知α可由12,,,n ααα线性表示，
定理得证．
例9 求实数域R 上线性空间3R 的维数和一组基． 解 考虑3R 中向量组
1231000
,1,0,001E E E ?????
?
? ? ?=== ? ? ? ? ? ??
?????
显然满足：
1)123,,E E E 线性无关；
2)对于3R 中任一向量123(,,)T a a a α=，有112233a E a E a E α=++．由定义6知123,,E E E 为3R 的一组基，从而3R 的维数为3．
例1.10 求数域F 上线性空间23F ?的维数和一组基．
解 23F ?中向量组
1112131
0001
000
1,,,0
00
00
0E E E ??????===
? ? ???????
212223000000000,,100010001E E E ??????
=== ? ? ???????
，
显然满足：
1)111213212223,,,,,E E E E E E 线性无关． 2)对于23
F
?中任一元素11
121321
22
23a a a A a a a ??
=
???
，有 111112121313212122222323A a E a E a E a E a E a E =+++++，
于是知111213212223,,,,,E E E E E E 为23F ?的一组基，从而23dim()6F ?=．
类似可知，线性空间m n F ?的维数为mn ，其一组基为 ,
1,2,...,;1,2,...,
ij E i m j n ==， 其中ij E 是m n ?矩阵，它的(,i j )元素为1，其余全为0．
例11 设V 是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域R 上的线性空间，求出V 的维数和一组基．
解 V 中一般元素可表示为a b b c ??
???，,,a b c R ∈，,,a b c 所在位置各体现一
个自由度．
考虑V 中向量组
123100100
,,001001A A A ??????=== ? ? ???????
，
满足：1)123,,A A A 线性无关；
2)对V 中任一矩阵，a b A b c ??
= ???
，有123A aA
bA cA =++，可见123,,A A A 为V 的一组基，dim()3V =．
四、坐标与坐标变换
定义7 设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,...,n εεε是V 的一组基，对于V 中任一向量α，有数域F 中惟一的一组数12,,...,n ααα，使
1122...n n a a a αεεε=+++，
称有序数组12,,...,n ααα为向量α在基12,,...,n εεε下的坐标，记为?α
．如果借用矩阵乘法的形式，记
12112212(,,...,)n n n n a a a a a a εεεεεε??
? ?++
+= ? ???
， 则α的坐标可以方便地用一个n 维列(数组向量)表示出来：
12?n a a
a
a ?? ? ?= ? ???
． 例12 []n F x 中向量121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++
++在基21,,,...,x x
1n x -下的坐标为：011(,,...,)T n a a a -．
例13 设V 是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运
算构成实数域R 上的线性空间，求V 中向量1223A ??
= ???在基
123200
001
,,000110εεε??????=== ?
? ???????
下的坐标．
解 因为1231322A εεε=++，所以A 在基123,,εεε下的坐标为1
(,3,2)2
T ．
引理1 在n 维线性空间中，对于任一组基，向量α为零向量的充分必要条件是α的坐标为(0,0,...,0)T ．
引理2 设V 是数域F 上的n 维线性空间，在基12,,...,n εεε下，如果α的坐
标记为?α
，β的坐标记为?β，则 1)αβ+的坐标为??α
β+； 2)k α的坐标为?()k k F α
∈． 证 设1212??(,,...,),(,,...,)T T n n a a a b b b αβ==，便有 1122
n n a a a αεεε=+++，
1122n n b b b βεεε=+++．
于是，111222()()()n n n a b a b a b αβεεε+=++++++，可见αβ+的坐标为
1122??n n a b a b a b αβ+??
?+ ?=+ ? ?+??
． 对任意k F ∈，有1122n n k k k k ααεαεαε=+++，故k α的坐标为?k α
． 定理6 设V 是数域F 上的n 维线性空间，在V 的一组基12,,...,n εεε之下，
向量组12,,...,n ααα线性相关的充分必要条件是它们的坐标12???,,...,s ααα(作为数域F 上的n 维数组向量)线性相关．
证 利用引理1，2，便知以下四种说法等价：
1 V 中向量组12,,...,s ααα线性相关．
2 有数域F 中不全为零的数12,,...,s k k k ，使
1122...
0s s k k k ααα+++= 3 有数域F 中不全为零的数12,,...,s k k k 使
1122???,,...,0s s k k k ααα=，这里0(0,0,...,0)T =． 4 数域F 上的n 维数组向量12???,,...,s α
αα线性相关． 设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,...,n εεε及12
,,...,n εεε''' 是V 的两组基，并设
111121
21
212122221122...,
...,
....
n n n n
n n n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε'=+++??'=+++??
??'=+++? (1)
若令
11
121212221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?
= ? ???
， 则A 中第i 列恰是向量i ε'在基12,,...,n εεε下的坐标，矩阵A 是惟一确定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表达为
1212
(,,...,)(
,,...
,)n n A εεεεεε'''=． (2) 把(2)式称为基变换公式，其中的n 阶矩阵A 称为由基12,,...,n εεε到基
12
,,...,n εεε'''的过渡矩阵(或称变换矩阵)． 在(2)式两端同时右乘1A -，便得
1
1212
(,,...,)(,,...,)
n n A εεεεεε-'''=． 这说明由基1
2,,...,n εεε'''到基12,,...,n εεε的过渡矩阵恰是由基12,,...,n εεε到12
,,...,n εεε'''的过渡矩阵的逆矩阵． 下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系． 设基12,,,εεεn 与12,,,εεε'''n
之间的关系如(2)式，向量α在这两组基下的坐标分别为
12n x x x ?? ? ? ? ???，12
n
x x x '??
?' ? ? ?
'??，
于是，有11
2212
12(,,...,)(,,...,)n n n n
x x x x
A x x αεεεεεε''???? ? ?'' ? ?'''== ? ? ? ?''????． 根据向量在取定基下坐标的惟一性，得11
2
2n n
x x x x A x x '???? ? ?' ? ?= ? ? ? ?
'????， (3)
或写成
11221n n x x x x A x x -'????
? ?' ? ?= ? ? ? ?'????
． (3)＇(3)式或(3)＇式叫做坐标变换公式．
定理1.7 在n 维线性空间V 中，设向量α在两组基12,,...,n εεε及1
2,,...,n εεε'''之下的坐标分别为12(,,...,)T n x x x 及()1
2,,...,T
n x x x '''，如果两组基向量的变换公式
如(2)，则坐标变换公式为(3)或(3)＇．
例14 在线性空间3R 中，求出由基1232121,0,5311ααα---??????
? ? ?
===- ? ? ? ? ? ?-??????到基
1231000,1,0001εεε??????
? ? ?=== ? ? ?
? ? ???????
的变换公式，并求向量(4,12,6)T
ξ=在基123,,ααα下的坐标123(,,)T x x x ．
解 首先容易得到由基123,,εεε到基123,,ααα的变换公式为 123123(,,)
(,,)A αααεεε=，
其中 212105311A ---?? ?
=- ? ?-??，求得153522274
61112
22A -??
- ? ?=-- ? ?-
???
． 于是，由基123,,ααα到基123,,εεε的变换公式为
1
123123(,,)
(,,)
A εεεααα-= 又因为向量ξ在基123,,εεε下的坐标显然为(4,12,6)T ，依坐标变换公式便
有112347121661x x A x -??????
? ? ?==- ? ? ? ? ? ?
-??????
．
例15 对于数域F 上的线性空间22F ?，证明：
123410000101,,,00011010A A A A ????????
==== ? ? ? ?-????????
是一组基，并求11
1221
22a a A a a ??
=
???
在该基下的坐标． 解 取基123410010000,,,00001001εεεε????????
==== ? ? ? ?????????
，则有
第一章线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
1.什么是线性空间什么是线性变换线性变换
1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空 间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有 什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有 这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原 理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来 吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测 量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？ 第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
第六章 线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换 柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。 （2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。 （3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间： （1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知： （1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。 （2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知： （1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。 （2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是： （1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,
第六章线性空间与线性变换.
第六章线性空间与线性变换 1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ； ⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2； (3)2阶对称矩阵的全体S 「 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 0 0 1 是S 1的一个基. a b de A B ⑵设 c a , f d A,B S 2 (a d) c b ka kb A B S 2 kA S 2 c a a d kc ka 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 是 ?个 基. ⑶设A, B S 3 ，则 T A A,B T B (A B)T A T B T A B ，从而(A B) S 3 (kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空 间. 2.验证：与向量(0,0,1) 不平行的全体3维数组向量，对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1 (1,1,0) r 2 ( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间. 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 是S 3的一个基. 1 并写出各个空间的一个基.
3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基， 由 于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可 以表示为x ki 1 k 2 2 kr r .显然，x U ，故V U ，而由 已知知U V ，有U V . 4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试 证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印， a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个 基. 证明 设r n ,则在V n 中必存在一向量a r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将 a r 1 添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关 的向量 a 1，a 2， ，a n ，它们是V n 的一个基. 5 .在 R 3 中求向量 (3,7,1) 在基 1 (1,3,5) , 2 (6,3,2), 3 (3,1,0/ 下的坐标. 解 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0O1) 1 6 3 A 3 3 1 ( T T (1 , 2 , T )(:, T 2 , ；)A 5 2 0 X 1‘ X 1 2 6 3 x 1 X 2' A 1 X 2 5 15 8 x 2 坐标变换公式： X 3‘ X 3 9 28 15 X 3 X 1' 2 6 3 3 33 X 2‘ 5 15 8 7 82 故所求为X 3' 9 28 15 1 154 ? 所求坐标为33, 82,154
线性空间和线性变换
故 T U A U A A ))((11*--=, 令 T U A P )(1-=，则P 可逆，且P P A T =*， 所以*A 为正定矩阵. 例28(1999.Ⅲ) 设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ， 试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵. 证 因为 B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(， 所以B 为n 阶实对称矩阵， 且对任意的实n 维向量x ，有 ,)()(A Ax x A A E x B x T T T T T T T +=+=λλ 当0x ≠时，有 0,T x x > 0)(>A Ax T ， 于是当0λ>时，0=>x B x T T ， 所以B 为正定矩阵. 例29(1999.Ⅰ) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T B 为B 的转置矩阵， 试证：AB B T 为正定矩阵的充分必要条件是R (B )=n . 证 必要性 设AB B T 为正定矩阵，则对任意的实n 维列向量0x → → ≠，有 ()0T T x B AB x → → >，即0)()(>x B A x B T . 于是当0x ≠时，有0Bx ≠， 因此齐次线性方程组B x =0只有零解，故n B R =)(. 充分性 因为AB B B A B AB B T T T T T ==)(， 所以AB B T 为实对称矩阵， 若R (B )=n ，则B x =0只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠均有0Bx ≠, 又A 为正定矩阵，所以对任意的实n 维列向量0Bx ≠，有 0)()(>x B A x B T