高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件

第2讲命题及其关系、充要条件

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________．

解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．

答案若q，则p

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．

答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”

的________条件．

解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1.

答案充分不必要

4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．

答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数

5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”

是“x∈C”的________条件．

解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．

答案充分必要

6．(·盐城调研)“m<1

4”是“一元二次方程x

2＋x＋m＝0有实数解”的________

条件．

解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.

答案 充分不必要

7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、

否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．

解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确．

答案 2

8．(·扬州模拟)下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；

③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．

其中说法不正确的序号是________．

解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真

命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0

或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命

题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．

答案 ①②

二、解答题

9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．

解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．

逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.

判断如下：

∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0.

∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．

10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要

条件，求实数a 的取值范围．

解 p ：x 2－8x －20≤0?－2≤x ≤10，

q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0?1－a ≤x ≤1＋a .

∵p ?q ，q p ，

∴{x |－2≤x ≤10}

{x |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有??? 1－a ≤－2，

1＋a ≥10，

a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.

因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、填空题

1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．

解析 否命题既否定题设又否定结论．

答案 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

2．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b

且|a |＝|b |中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是________．

解析 对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于②，注意到a ∥b 时，可能

有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于④，当a

∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |＝b |b |成立的充

分条件是a ＝2b .

答案 ③

3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.

解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.

答案 3或4

二、解答题

4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的

必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ?綈p ，且綈p 綈q 等价于p ?q ，且q

p . 记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝??????

????x ??? 12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，

则A B .

从而????? a ＋1

≥1，

a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤

12. 故所求实数a 的取值范围是??????

0，12.

四种命题及其相互关系

四种命题及其相互关系 龙诗春湖南省衡南县第五中学 教学重点：四种命题及其相互关系 教学难点：命题间关系及否命题 教学目标：理解四种命题的意义及其相互关系，会写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，能够利用命题间关系解决有关问题。 教学过程 1．创设情境 下列四个命题中，命题⑴与命题⑵⑶⑷的条件和结论之间分别有什么关系？ ⑴若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； ⑵若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； ⑶若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； ⑷若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 任意两个命题之间的相互关系是什么？ 2．形成概念 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题。 其中一个称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。 互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题。其中一个称为原命题，另一个称为原命题的否命题。 互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题。一个称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 原命题（若p，则q）逆命题（若q，则p） 否命题（若?p，则?q）逆否命题（若?q，则?p） 以“若x2－3x＋2=0，则x=2”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假。 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3．应用举例 例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 ⑴末位数是0的整数能被5整除 ⑵x，y都小于0，则xy<0 例2 判断命题“若x＋y≤4或xy ≤4,则x≤2或y≤2”的真假。

高一数学教案充要条件

高一数学教案充要条件 教材：充要条件(1) 目的：通过实例要求学生明白得充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判定给定的两个命题之间的关系。 过程： 一、复习：写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假： 1) 假设x>0那么x2>0；2) 假设两个三角形全等，那么两三角形的面积相等； 3) 等腰三角形两底角相等；4) 假设x2=y2那么x=y。 〔解答略〕 二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义 1．由上例一：由x>0，通过推理可得出x2>0 记作：x>0 ?x2>0 表示x>0是x2>0的充分条件 即：只要x>0成立x2>0就一定成立x>0包蕴着x2>0； 同样表示：x2>0是x>0的必要条件。 一样：假设p那么q, 记作p?q其中p是q的充分条件, q是p的必要条件 明显：x2>0 ?x>0 我们讲x2>0不是x>0的充分条件 x>0也不是x2>0的必要条件 由上例二：两个三角形全等?两个三角形面积相等 明显, 逆命题两个三角形面积相等?两个三角形全等 ∴我们讲：两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件由上例三：三角形为等腰三角形?三角形两底角相等 我们讲三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。 由上例四：明显x2=y2?x=y x2=y2是x=y的必要不充分条件；x=y是x2=y2的充分不必要条件。 三、小结：要判定两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个 命题联结起来。 四、例一：〔课本P34例一〕 例二：〔课本P35-36 例二〕 练习P35 、P36 五、作业：P36-37 习题1.8

2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 一、知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件p?q且q?/p p是q的必要不充分条件p?/q且q?p p是q的充要条件p?q p是q的既不充分也不必要条件p?/q且q?/p 才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 常用结论 1．充要条件的两个结论 (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 1．(选修1-1P8A 组T2改编)命题“若x 2 >y 2 ，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x y ，则x 2>y 2 ” C ．“若x ≤y ，则x 2 ≤y 2 ” D ．“若x ≥y ，则x 2 ≥y 2 ” 解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2 >y 2 ，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2 ≤y 2 ”．故选C. 2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2 ＋2x －3<0”是命题．( ) (2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( ) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (5)q 不是p 的必要条件时，“p ?/ q ”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 常见误区 (1)不明确命题的条件与结论； (2)对充分必要条件判断错误； (3)含有大前提的命题的否命题易出错． 1．命题“若△ABC 有一内角为π 3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题 C ．与原命题的逆否命题同为假命题 D ．与原命题同为真命题

四种命题及其关系

年级：高二学科数学主备人陈利娟审核人闫忠耀第课时 总第节月日 1.1.2 ，1.1.3四种命题及其关系 一．学习目标 1.理解四种命题的概念及关系，掌握四种命题的表示形式 2.会由原命题写出其逆命题、否命题、逆否命题，并能判断真假 二．学习重点、难点： 重点：写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题并能判断真假 难点：分析四种命题之间的关系并判断命题的真假 三．自主学习 复习回顾: 指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； 条件: ;结论: . 1. 阅读课本P4-6页，写出下表中四种命题的形式 原命题逆命题否命题逆否命题 思考: 1.任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗? 2．得到一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤是什么? 四、典例剖析 例1.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假性：.（1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2. 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题, 因此通过分析上述命题，我们将会发现四种命题的真假关系 ⑴两个命题互为逆否命题,它们有________的真假性; ⑵两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性________. 例2. 判断命题”若x+y≤5,则x≤2或y≤3”的真假性 思考：当判断一个命题的真假比较困难时,试说明利用其逆否命题的解决方法? 五：课堂练习与习题检测 1. 写出命题“若a＞0,则a-3≥0”的逆命题，否命题和逆否命题 2.若命题p的否命题是r,逆命题是t,命题r的逆命题为s,则s是t的( ) A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题 3.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题也为真 B. 设a,b,c∈R,若a＞b,则ac2 ＞bc2 C.命题“若a2 +b2 =0则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0,则a2 +b2 ≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 4. 判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2 +(2a+1)x+a2 +2≤0的解集非空, 那么a≥1”的逆否命题的真假. 六．课后反思

高中数学充分条件与必要条件-例题解析

充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点

【高中数学,四种命题及其关系】高中数学 命题及关系知识点 四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.

即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2． 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.

四种命题及其关系

第2讲 四种命题及其关系 【学习目标】 1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论； 2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假； 3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”. 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等. 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构 命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式. 要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”； 逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ?，则q ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ?，则p ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题. 要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系

高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件

第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件．

解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要

(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系

四种命题 四种命题间的相互关系 1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。 2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。 3、会用命题的等价性解决问题。 【核心扫描】： 1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点) 2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点) 3、等价命题的应用。(难点) 1、四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。 (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。 (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。 任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。 2、四种命题的相互关系

(2)四种命题的真假性之间的关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？ 因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4. 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为： 原命题：若P，则q； 逆命题：若q，则p； 否命题：若非P，则非q； 逆否命题：若非q，则非p. (1)关于四种命题也可叙述为： ①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题； ②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题； ③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题． (2)已知原命题，写出它的其他三种命题： 首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。 如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提。

高考数学 充要条件 专题教案

第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件 高考数学 充要条件 专题教案 一．课题：充要条件 二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论； 2．判断p q ?是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法： ①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析： 例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22 :(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ?中，有正弦定理知道： sin sin a b A B = ∴sin sin A B a b >?> 又由a b A B >?> 所以，sin sin A B A B >?> 即p 是q 的的充要条件． （2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ?， 命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ， 所以p 是q 的充分不必要条件． （3）取120,30A B ==o o ，p 不能推导出q ；取30,120A B ==o o ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件． （4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠ ?， 所以，p 是q 的充分非必要条件． 例2．设,x y R ∈，则22 2x y +< 是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略） 例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)

2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)

2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与 常用逻辑用语 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】 1．考查四种命题的意义及相互关系． 2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判 定． 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式 原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若綈p，则綈q 逆否命题若綈q，则綈p (2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件． (2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(人教版)高中数学选修1-1(检测)：1.1 命题及其关系

课时提升作业(一) 命题 (25分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列语句中,是命题的是( ) A.π是无限不循环小数 B.3x≤5 C.什么是“绩效工资” D.今天的天气真好呀! 【解析】选A.疑问句和祈使句不是命题,C,D不是命题,对于B无法判断真假,故只有A是命题. 2.(2015·武昌高二检测)“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这四句诗中,可以为命题的是( ) A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 【解题指南】明确构成命题的两个条件:一必须是陈述句,二能够判断真假. 【解析】选A.“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A. 3.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( ) ①M中的元素都不是P的元素; ②M中有不属于P的元素;

③M中有属于P的元素; ④M中的元素不都是P的元素. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B. 【延伸探究】本题中“是假命题”若改为“是真命题”,其结论又如何呢? 【解析】选A.③正确,①②④错误. 4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是( ) A.这个数能被2整除 B.这个数能被3整除 C.这个数既能被2整除,也能被3整除 D.这个数是6的倍数 【解析】选C.“若p,则q”的形式:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.所以该命题的结论是这个数既能被2整除,也能被3整除. 【误区警示】解答本题易出现分不清条件和结论而错选A或B的错误. 5.(2015·潍坊高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是( ) A.{x|-24或x<-2} D.{x|x>4或x<2} 【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0得不等式的解集为{x|-2

高中数学《命题及其关系》同步练习4 新人教A版选修1-1

1.1 命题及其关系测试练习 第1题. 已知命题p ：2 10x -+=方程的两个根都为实数； 命题q ：210x -+=方程的两个根不相等. 写出命题“p 或q ”；命题“p 且q ”；命题“非p ”形式的复合命题，并指出其真假. 答案：p 或q ；方程210x -+=的两个根都为实数，或两根不相等，真； p 且q ：方程210x -+=的两个根为实数且不相等，真； 非p ：方程210x -+=的两个根不都为实数，假． 第2题. 已知命题p ：a A ∈，命题q ：a B ∈，写出命题“p 或q ”；命题“p 且q ”；命题“非p ”. 答案：a A ∈或a B ∈；a A ∈且a B ∈；a A ?. 第3题. 已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实根，q ：方程 ()244210x m x +-+=无实根， 若“p 或q ”为真、 “p 且q ”为假，求m 的取值范围． 答案：312m m <或，． 第4题. 命题“5不是{} 2310x x x --<的元素”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空). 答案：非p ．

第5题. 命题“2是8或12的约数”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空）. 答案：p q 或． 第6题. 有下列四个命题 ⑴ 若0x y x y +=则，，互为相反数；⑵ 全等三角形的面积相等；⑶ 若2120q x x q ++=则，有实数解；⑷ 2是合数；其中真命题为 ． 答案：（1），（2），（3）． 第7题. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ) (A) 简单命题 (B)“p q 或”形式的复合命题 (C) “p q 且”形式的复合命题 (D) “p 非”形式的复合命题 答案：Ｃ 第8题. 若命题“p q 或”与命题“q 非”都是真命题，那么( ) ( A) 命题p 不一定是假命题 (B)命题q 一定是真命题 ( C) 命题q 不一定是真命题 (D)命题p q 与的真假相同 答案：Ｂ 第9题. 以下判断中正确的是( ) ( A) 命题p 是真命题时，命题“p q 且”一定为真命题 ( B)命题p q 且是真命题时，命题p 一定为真命题 (C)命题p q 且是假命题时，命题p 一定为假命题

命题及其关系

命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”

特称命题：含有特称量词的命题 “存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”

命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查 形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题 的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命 题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系

实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关． 注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个 否定词语一个也没有某两个小于（ <）是 不小于（≥）不是至多有 n 个或 至少有 n+1 个且 所有的任意的某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件 即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的 条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型 （ 1）充分但不必要条件 定义：若 p q ，但 q p ，

高考数学一轮专题复习：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学一轮专题复习：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高二上·大庆期中) 命题“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（） A . 若，则或 B . 若，则 C . 若或，则 D . 若或，则 2. （2分）下列命题中，正确命题的个数是（） ①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”． ②双曲线（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为． ③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列． ④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=． A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 3. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（） A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件

C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件 4. （2分）已知则""是""成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2分）命题“若≠，则且”的逆否命题是（） A . 若≠，则≠且≠ B . 若≠，则≠或≠ C . 若且，则≠ D . 若≠或≠，≠ 6. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果 ，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 7. （2分） (2016高二下·昆明期末) 有下列命题中，正确的是（） A . “若，则”的逆命题

高中数学命题及其关系练习试题

1.1 命题及其关系测试练习 一、选择题 1. 下列语句是命题的是( ) ( A)x a + (B){}0∈N (C) 集合与简易逻辑 (D) 真子集 2. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( ) (A) 简单命题 (B)“p q 或”形式的复合命题 (C) “p q 且”形式的复合命题 (D) “p 非”形式的复合命题 3. 若命题“p q 或”与命题“q 非”都是真命题，那么( ) ( A) 命题p 不一定是假命题 (B)命题q 一定是真命题 ( C) 命题q 不一定是真命题 (D)命题p q 与的真假相同 4. 以下判断中正确的是( ) ( A) 命题p 是真命题时，命题“p q 且”一定为真命题 ( B)命题p q 且是真命题时，命题p 一定为真命题 (C)命题p q 且是假命题时，命题p 一定为假命题 (D)命题p 是假命题时，命题p q 且不一定为真命题 5. 命题“0xy ≠“是指( ). ( A)x y ，至少一个不是0 (B) x y ，至多两个不是0 (C) x y ，至少一个不是0 (D) x y ，没有一个是0 6. 如果命题“p q 或”与命题“非p ”都是真命题，那么( ) (A) 命题p 不一定是假命题 (B)命题q 一定是真命题 (C)命题q 不一定是真命题 (D)命题p 与命题q 的真值相同 二、填空题 7. 命题“5不是{} 2310x x x --<的元素”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空). 第5题. 命题“2是8或12的约数”是 形式（用p q 且、p q 或、非p 填空）. 8. 有下列四个命题 ⑴ 若0x y x y +=则，，互为相反数；⑵ 全等三角形的面积相等；⑶ 若2 1 20q x x q ++=则，…有实数解；⑷ 2是合数；其中真命题为 ． 9. 由命题:6p 是12的约数，:6q 是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是_________，“p 且q ”形式的命题是_________，“非p ”形式的命题是_________．

四种命题及其关系

四种命题及其关系 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 A ．真、假、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即 （2例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.即

1．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 2．设m ∈R ,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成()i ,z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2．【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤，故选D.

(推荐)高中数学充要条件教案

教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议 （一）教材分析 1．知识结构 首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识． 2．重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的判断． （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系． （2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该： ①首先分清条件是什么，结论是什么； ②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； ③最后再指出条件是结论的什么条件． （3）在讨论条件和条件的关系时，要注意： ①若，但，则是的充分但不必要条件； ②若，但，则是的必要但不充分条件； ③若，且，则是的充要条件；

④若，且，则是的充要条件； ⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．

（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． ①若，则是的充分条件； 显然，要使元素，只需就够了．类似地还有： ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充要条件； ④若，且，则是的既不必要也不充分条件． （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立． （二）教法建议 1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题． 2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性． 3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念． 4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．