复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算

一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数

z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i

是1的两个虚立方根，并且：

122222113322 ,,,,1,,,,,,,,,,12122121,,12 ,，,,,1 ,,,,,,1212 21? 复数集内的三角形不等式是：z,z,z,z,z，z，其中左边在复数121212z、z对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z、z对应的向量共1212线且同向（反向）时取等号。nn? 棣莫佛定理是：,,r(cos,，isin,),r(cosn,，isinn,)(n,Z)? 若非零复数z,r(cos,，isin,)，则z的n次方根有n个，即：2k，2k，,,,,nz,r(cos，isin)(k,0，1，2，？，n,1) knn它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？nrn 3 3/16页,,z,2，z,3(cos，isin),z? 若，复数z、z对应的点分别是A、B，

则?12121331,AOB（O为坐标原点）的面积是，2，6，sin,33。232? z=。z,z? 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：?轨迹为一条射线。argz,,,(为实常数), ?轨迹为一条射线。

arg(zz,),,(z是复常数，,是实常数）,00 ?轨迹是一个圆。z,z,r(r 是正的常数）,0 ?轨迹是一条直线。z,z,z,z(z、z是复常数),1212 ?轨迹有三种可能z,z，z,z,2a(z、z是复常数，a是正的常数）,1212情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；2a,z,z2a,z,z1212c)当时，轨迹不存在。

2a,z,z12 ?z,z,z,z,2a(a是正的常数),轨迹有三种可能情形：a)

当122a,z,z时，轨迹为双曲线；b) 当2a,z,z时，轨迹为两条射线；c) 当12122a,z,z时，轨迹不存在。12 五、高考命题规律分析复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉

及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求4 4/16页辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想

方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3) 重视以下知识盲点：?不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；?忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；?盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；?容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。六、典型例题分析?实数？?虚数？?纯虚数？?复数z是实数的充要条件是：?当m＝,2时复数z为实数．?复数z是虚数的充要条件： 5 5/16页

复 数 的 运 算 法 则

网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元：白公曾咏牡丹芳，一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3：OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理... 第9单元?-?作业3：OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理 查看帮助 温馨提示： 1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。 2.学生可以在作业截止时间之前不限次数提交答案，系统将取其中的最高分作为最终成绩。 在复数的运算中，练习异常处理 依照学术诚信条款，我保证此作业是本人独立完成的。 通过C++内建的异常类，处理复数除法中除数为0 的问题（5分）题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明：【OJ - 使用异常进行错误处理】】 时间限制：500ms内存限制：32000kb #include iostream #include exception #include stdexcept #include limits #include cmath

using namespace std; class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex，用来表示复数。 MyComplex(); MyComplex(double a, double b); friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部： MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i； MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i. private: double a_;

复数的基本运算C语言

typedefstructfushu//抽象数据类型定义 { floatreal;//数据对象 floatimage; }fushu; fushuComplexNumberInput(floata,floatb)//构造二元组{ fushuc; c.real=a;//实部 c.image=b;//虚部 return(c); } fushuComplexNumberAdd(fushuc1,fushuc2)//求和运算{ fushusum; sum.real=c1.real+c2.real;

sum.image=c1.image+c2.image; return(sum); } fushuComplexNumberSub(fushuc1,fushuc2)//求差运算{ fushusub; sub.real=c1.real-c2.real; sub.image=c1.image-c2.image; return(sub); } fushuComplexNumberMul(fushuc1,fushuc2)//求积运算{ fushuMul; Mul.real=c1.real*c2.real-c1.image*c2.image; Mul.image=c1.real*c2.image+c1.image*c2.real; return(Mul);

} fushuComplexNumberDiv(fushuc1,fushuc2)//求商运算{ fushudiv; floatd1,d2,d3,d4; d1=c1.real*c2.real+c1.image*c2.image; d2=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image; d3=c1.image*c2.real-c1.real*c2.image; d4=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image; if(d2!=0&&d4!=0) { div.real=d1/d2; div.image=d3/d4; return(div); } else

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?

人教版高中数学复数的运算法则

加减法编辑 加法法则 复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 减法法则 复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 2乘除法编辑 乘法法则 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi 分母有理化 ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i②利用共轭复数将分母实数化得（见右图）： 点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化

(完整版)复数知识点归纳

精心整理 页脚内容 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x = 2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

精心整理 页脚内容 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上 （2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模： 向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321(3=±-i ，1)2 321(3-=±i 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )

高二数学 3.2.2复数的基本运算

课后练习题 1.复数2＋i 1－2i 的共轭复数是( ) A ．－35i B.35 i C ．－i D ．i 解析：选C.2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ） ＝2－2＋5i 5 ＝i ， ∴2＋i 1－2i 的共轭复数是－i. 2.已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－23 D.23 解析：选A.∵(1－a i)(3＋2i)＝(3＋2a )＋(2－3a )i 为纯虚数， ∴? ????3＋2a ＝0，2－3a ≠0，解得a ＝－32. 3.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：∵z ＝i(2－z )， ∴z ＝2i －i z ， ∴(1＋i)z ＝2i ， ∴z ＝2i 1＋i ＝1＋i. 答案：1＋i 4.若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2 为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）25＝3a －8＋（4a ＋6）i 25 ＝3a －825＋4a ＋625 i. 因为z 1z 2 为纯虚数，所以3a －8＝0且4a ＋6≠0， 所以a ＝83 . 答案：83 [A 级 基础达标] 1.已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝( ) A.55＋255i B.55－255 i C.15＋25i D.15－25 i 解析：选D.1z ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i 5

＝15－25 i. 2.若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i 解析：选D.∵z 2＋2＝0，∴z ＝±2i ， ∴z 3＝±22i. 3.复数z ＝2－i 2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D.z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝3－4i 5＝35－45 i ， 所以z 在第四象限． 4.若复数(1＋a i)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a ＝__________． 解析：∵(1＋a i)(2－i)＝(2＋a )＋(2a －1)i 的实部与虚部相等，∴2＋a ＝2a －1.∴a ＝3. 答案：3 5.已知z 1＝（1＋2i ）4（3－i ）3，z 2＝z 12－i ，则|z 2|＝________． 解析：|z 2|＝??????（1＋2i ）4（3－i ）3（2－i ）＝|（1＋2i ）4||（3－i ）3|·|2－i| ＝（5）4（10）3×5＝122＝24 . 答案： 24 6.已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ， 所以az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. 因为a ，b 都是实数， 所以由az ＋2bz －＝(a ＋2z )2，得? ????a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）. 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0，解得a 1＝－2，a 2＝－4.对应求得b 1＝－1，b 2＝2. 所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2. [B 级 能力提升] 7.已知 ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i 解析：选B.由题意知 ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 8.已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2 ，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4i D ．4－3i 解析：选D.∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2 ， ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）2 3－2i z z z 2z 2z 1z i +

高考全国卷Ⅰ文科数学复数及其运算汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 复数及其运算 一、选择题 【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i + D ．(1)i i + 【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( ) A ．-2-i B ．-2+i C ．2-i D ．2+i 【2014，3】3．设1 1z i i =++，则|z |=( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．2 【2013，2】212i 1i +(-)＝( )． A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．1 1i 2- 【2012，2】复数32i z i -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【2011，2】复数5i 12i =-（ ）. A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 解 析 一、选择题 【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i + D ．(1)i i + 解：22(1)121210i i i i +=++=+-=，故选C 【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）

A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 解析：选A ． 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-． 【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( ) A ．-2-i B ．-2+i C ．2-i D ．2+i 解：选C ． z=11112i z i i i += +=-+=-． 【2014，3】3．设11z i i =++，则|z |=( ) A ．2 1 B ．2 2 C ．2 3 D ．2 解：选B ．111,1222i i z i i z i -=+=+=+∴==+B ． 【2013，2】2 12i 1i +(-)＝( ) A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2 - 解析：选B ．212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2 -. 【2012，2】复数32i z i -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 【解析】选D ．因为(3)(2)551(2)(2)5i i i z i i i -+--+= ==-++-，所以1z i =--． 【2011，2】复数5i 12i =-（ ）. A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【解析】选C ．()()()()5i 12i 5i 12i 5i 2i 12i 12i 12i 5++===-+--+.

1-1复数的基本概念

§1.1 复数的基本概念 授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系 1、 复数的定义： 设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则 加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++ 乘法：()(),,(,) a b c d ac bd ad bc =-+ 则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b 其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为 a =Re α， b =Im α 纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有 α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1） 其中(0，1)即为虚数单位，常记为i. 2、 复数的相等与大小 两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等. 复数不能比较大小！这一点可用反证法证明： 假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即 20i > 即 -1>0，这显然是错误的！ 3、 几个特殊的复数： (0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=??=? (1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b = (0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1 (0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1) 4、 共轭复数：(,)a b α=，* (,)a b α=-互为共轭复数 性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）

*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα?=+，为非负实数（α的模方） 5、 复数的减法、除法 减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d ++-+-==+++-++ ↑“分母实数化” 6、 复数的几何表示： （1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起 点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一 矢量（如右图所示） （2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则） γαβ=+ （3） 减法的几何表示：

学习知识资料讲解复数(基础学习知识)

高考总复习：复数 【考纲要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i : （1）它的平方等于1-，即2 1i =-； （2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）. 2. 概念

形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。 说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z a bi =+（,a b R ∈）， 当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数； 当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数； 当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）?(0)(0)00b b a b =?? ≠?=≠?实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+?==且. 特别地: 00a bi a b +=?==. 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 6.共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算

复数的基本知识

补充复数的基本知识： 1、虚数单位 由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定 （1） 它的平方等于-1，即12-=j ； （2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。 性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j 一般地，对于任意整数n ，有： 14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34 2、复数集 定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。 通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(； b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(； 举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？ ??? ???????≠=≠???=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数 定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==?+=+bj a 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为

共轭复数。 复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -= 例：3j 2j,1++的共轭复数 注：b a bj a bj a 22))((+=-+ 4、复数的几何表示（复平面） 任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。 用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。 复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即 复数bj a Z +=?点)b ,a (Z 矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：

复 数 的 运 算 法 则

复数基础——复数的基本运算_2 回顾复数 复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式： ?简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。 为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：?在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。 ?怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。可以写成： -21 = -21+0i ?0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。同样的：

7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。 复数的基本运算 很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i， 为什么，想想3i平方是多少？ 这是指数性质。所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况： 3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。复数可以在平面中表示：虚数也就是虚轴，在纵轴2i，上图表示为2个单位。 实数也就是实轴，在实轴5，上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为：5+2i。在以后讲复数应用时，我还会举更多例子，现在只需要知道定义即可。看看有什么运算，两复数相加怎么做：a是实部，bi是虚部，另一个复数是：

复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i

复数的基本运算C语言

复数的基本运算C语言标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

#i n c l u d e #include typedefstructfushu//抽象数据类型定义 { floatreal;//数据对象 floatimage; }fushu; fushuComplexNumberInput(floata,floatb)//构造二元组 { fushuc; c.real=a;//实部 c.image=b;//虚部 return(c); } fushuComplexNumberAdd(fushuc1,fushuc2)//求和运算 { fushusum; sum.real=c1.real+c2.real; sum.image=c1.image+c2.image; return(sum); } fushuComplexNumberSub(fushuc1,fushuc2)//求差运算 { fushusub; sub.real=c1.real-c2.real; sub.image=c1.image-c2.image; return(sub); } fushuComplexNumberMul(fushuc1,fushuc2)//求积运算 { fushuMul; Mul.real=c1.real*c2.real-c1.image*c2.image; Mul.image=c1.real*c2.image+c1.image*c2.real; return(Mul); } fushuComplexNumberDiv(fushuc1,fushuc2)//求商运算 { fushudiv; floatd1,d2,d3,d4; d1=c1.real*c2.real+c1.image*c2.image; d2=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image; d3=c1.image*c2.real-c1.real*c2.image;

(完整版)复数知识点归纳

精心整理 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i叫做虚数单位，并规定：①i可与实数进行四则运算；②i2 1 ;这样方程x21就有解了，解 为x i或x i 2、复数的概念 (1)定义：形如a bi (a, b€ R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示，即z a bi (a，b€ R) 对于复数的定义要注意以下几点： ①z a bi (a，b€ R)被称为复数的代数形式，其中bi表示b与虚数单位i相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 (2)分类： 例题：当实数m为何值时，复数(m 5m 6) (m2 3m)i是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知(x y 3) (x 4)i 0求x,y的值 三、共轭复数 a bi 与c di 共轭a c, b d(a,b,c,d R) z a bi的共轭复数记作z a bi，且z z a2b2 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点

都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 页脚内容

2、复数的几何意义 复数z a bi 与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ (a,b)(a,b R)是一一对应关系(复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数 例题：(1)当实数m 为何值时，复平面内表示复数z (m 2 8m 15) (m 2 5m 14)i 的点 ①位于第三象限；②位于直线y x 上 (2) 复平面内AB (2,6)，已知CD//AB ，求CD 对应的复数 3、复数的模： 向量0Z 的模叫做复数z a bi 的模，记作|Z 或|a bi|，表示点(a,b)到原点的距离，即 z a bi| Va 2 b 2， z 若召 a bi ， z 2 c di ，则忆 z 2 |表示(a,b)到(c,d)的距离，即 |z ) z 2 | J(a c)2 ―(b —dp 例题：已知z 2 i ，求|z 1 i|的 值 五、复数的运算 (1)运算法则：设 Z 1 = a + bi ，z 2= c + di ， a ， b ， c ，d € R ① z ,九 a bi c di (a c) ( b d)i ② 召 z 2 (a bi) (c di) (ac bd) (bc ad)i (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ---------------------------- = (c di) (c di) c 2 d 2 (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 ?如图给出 的平行四边形0Z 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即=+ ,二一 六、常用结论 (1) i ，i 2 1，i 3 i ，i 4 1 求i n ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：严 (2) (1 i)2 2i ，(1 i)2 2i ),1 3、3 4 1 '3 3 . (3) ( i ) 1 ，( i) 1 2 2 2 2 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” ) (1) 方程X 2 + x + 1 = 0没有解.( ) ③互 (a bi) Z 2 (c di)

复数知识点归纳

复 数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了， 解为i x =或i x -= 2、复数的概念 （1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R ) 对于复数的定义要注意以下几点： ①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(2 -++-是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==?+=+

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值 三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→ ),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面表示复数i m m m m z )145()158(2 2 --++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上 （2）复平面)6,2(=→ AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模：

高中数学 复数(带答案)

复数 一．基本知识 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把22z a b = +叫做复数z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi += +（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi += ?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

复数 教案(绝对经典)

复 数 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离． (2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ → . 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2 ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．