概率分布以及期望和方差
概率分布以及期望和方差
上课时间: 上课教师：
上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差
上课规划：解题技巧和方法
一 两点分布
⑴两点分布
如果随机变量X 的分布列为
X
1 0
P p q
其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．
X
1 0
P
0.8 0.2
两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差：
二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．
1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=?
?
，针尖向上；
，针尖向下.，如果针尖向上的
概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．
2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的
知识内容
典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时，
，当取到白球时，
01X ，求随机变量X
的概率分布．
3、若随机变量X 的概率分布如下：
X
1
P
29C C -
38C -
试求出C ，并写出X 的分布列．
3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量
??
?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点
面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点
ξ
试写出随机变量ξ的分布列．
4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．
⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；
⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．
二 超几何分布
将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)
i n =列表表示：
X
1x 2x … i x … n x P
1p
2p
…
i p
…
n p
一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
C C ()C m n m
M N M
n
N
P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，
则()nM E X N =，2
()()()(1)
n N n N M M
D X N N --=-． 例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是 ．
练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其
知识内容
典例分析
中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．
练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．
练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη
，的期望值及方差．
三二项分布
若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列
X
0 1
…
k
…
n
P
00C n n p q 111C n n p q - … C k k n k n p q - … 0C n n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式
001110()C C C C n n n k k n k n
n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则
()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．
二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．
二项分布的概率计算
例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1
~(4)3
B ξ，，
则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23
，则甲以3:1的比分获胜的
概率为（ ） A ．
827
B ．6481
C ．49
D ．89
练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12
，他投球10次，恰好投
进3个球的概率 ．（用数值表示）
练习 3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）
知识内容
典例分析
例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．
练习 1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（）
A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.9728
练习2.设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至
，求事件A在一次试验中发生的概率．
少发生一次的概率等于65
81
例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获概率都是1
2
得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
⑴该公司的资助总额为零的概率；
⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．
练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便
可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1
，若中奖，则家具城返还顾客
5
现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．
⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；
⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．
例题：设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t
=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，
p eλ-
试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．
练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P
-，且各发动机
互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设
．
他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1
3
⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；
⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
二项分布的期望与方差
例题:已知(100.8)X B ，~，求()E X 与()D X ．
练习1.已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8 练习 2.已知随机变量
X
服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望
()E X = ，方差()D X = ．
练习 3.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值分别为 ， ．
练习4.一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 ．
例题：甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121
352
，，．
⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．
练习 1.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．
⑴ 求一次试验中成功的概率；
⑵ 求在4次试验中成功次数X 的分布列及X 的数学期望与方差．
练习2.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
四 正态分布
概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素
所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
22
()21()2πx f x e
μσσ
--=
?，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，
μ-∞<<+∞．
式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差
为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．
①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．
②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
若2~()N ξμσ，
，()f x 为其概率密度函数，则称()()()x
F x P x f t dt ξ-∞
==?≤为概率分布函数，特别的，2
~(01)N ξμσ-，，
称2
21()2t x x e dt φ--∞=?π
为标准正态分布函数． ()()x P x μ
ξφσ
-<=．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）
典例分析
知识内容
x=μ
O y x
1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A ．2
()21()2x r f x e
σ
σ
-=π B ．2
2
2π()2π
x f x e -= C ．
2
(1)4
1()2
2x f x e
-=
π
D ．
2
2
1()2x f x e
=
π
2.若正态分布密度函数2
(1)2
1()()2x f x e
x --=
∈R π
，下列判断正确的是（ ）
A ．有最大值，也有最小值
B ．有最大值，但没最小值
C ．有最大值，但没最大值
D ．无最大值和最小值
3.对于标准正态分布()01N ，
的概率密度函数()2
2
12π
x f x e
-
=，下列说法不正确
的是（ ）
A ．()f x 为偶函数
B ．()f x 最大值为
12π
C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数
D ．()f x 关于1x =对称 4.设ξ的概率密度函数为2
(1)2
1()2x f x e
--=
π，则下列结论错误的是（ ）
A ．(1)(1)P P ξξ<=>
B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤
C ．()f x 的渐近线是0x =
D ．1~(01)N ηξ=-， （二)求μσ,的取值以及概率
例题：设2
~()X N μσ，
，且总体密度曲线的函数表达式为：221
4
1()e
2π
x x f x -+-
=，
x ∈R ．
⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x -<<+的值．
练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2
(80)200
1()102x f x e
π
--=
，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学标准差为10 （三）正态分布的性质及概率计算
例题:设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是
____．
⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->
练习1.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，
，则(3)P X <=（ ） A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
练习2.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，
若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，
内取值的概率为 ． 练习3.已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，
，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 练习4.已知2(1)X N σ-，~
，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ）
A ．0.4
B ．0.8
C ．0.6
D ．无法计算 加强训练：
1设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)
(2)
P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．
2设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．
3正态变量2~(1)X N σ，
，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4
P c X c P c X c <<=<<=，求
(0.5)
P X ≤的值．
4某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ． （四）正态分布的数学期望及方差
例题:如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，
，，求(11)P ξ-<<的值．
(五）正态分布的3σ原则
例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，
，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在
_____小时以上．
练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？
练习2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为
80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．
杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）
练习3.以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量
ξ
服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμ
σ-<等于（ ）
A ．()()F F μσμσ+--
B ．()()11F F --
C ．1F μσ-??
???
D ．()2F μσ+
练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． ⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
课后练习
1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）
2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）
A．20 B．25 C．30 D．40
3、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）
A．(1)
p p
-
- B．np C．n D．(1) np p
4、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）
A、20 B．25 C．30 D．40
5、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白出1个球，得到黑球的概率是2
5
．
球的概率是7
9
⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；
．并⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7
10
指出袋中哪种颜色的球个数最少．
5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续
取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移
栽的成活率分别为5
6和4
5
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株
大树中：
⑴至少有1株成活的概率；
⑵两种大树各成活1株的概率．
6.一个口袋中装有n个红球（5
n≥且*
n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
⑵若5
n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？
7.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率
是1
，从B中摸出一个红球的概率为p．
3
⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．
⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸
，求p的值．
出一个红球的概率是2
5
8、一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数i
为硬币在5次抛掷中有3
j
次正面向上的概率，求i j+．
9、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
⑴5次预报中恰有2次准确的概率；
⑵5次预报中至少有2次准确的概率；
⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；
10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920
，，层可以停靠．若该
电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
，求至少有两位乘客在20层下的概率．
3
11、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()
≤次红球的概率．
k k n
12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）
13、若甲、乙投篮的命中率都是0.5
p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1
∈N，≥）
n n
14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，
结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：
⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；
⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．
15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；
⑵正确解答不少于4道的概率；
⑶至少答对2道题的概率．
17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．
现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：
⑴双方各出3人；
⑵双方各出5人；
⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？
18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再
就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%
60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．
19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．
20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n
≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．
21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保
(完整word版)常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
61随机变量的概率分布、期望与方差1
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列
常见分布的期望和方差
常见分布得期望与方差 ?概率与数理统计重点摘要 1、正态分布得计算:。 2、随机变量函数得概率密度:就是服从某种分布得随机变量,求得概率密度:。(参见P66～72) 3、分布函数具有以下基本性质: ⑴、就是变量x,y得非降函数; ⑵、,对于任意固定得ｘ,y有:; ⑶、关于x右连续,关于y右连续; ⑷、对于任意得,有下述不等式成立: ４、一个重要得分布函数:得概率密度为: ５、二维随机变量得边缘分布: 边缘概率密度: 边缘分布函数:二维正态分布得边缘分布为一维正态分布、 6、随机变量得独立性:若则称随机变量Ｘ,Y相互独立、简称X与Y独立。 7、两个独立随机变量之与得概率密度:其中Z=X+Y
8、两个独立正态随机变量得线性组合仍服从正态分布,即。 9、期望得性质:……(３)、;(4)、若X,Y 相互独立,则。 10、方差: 。 若X,Y 不相关,则,否则, 11、协方差:,若Ｘ,Y 独立,则,此时称:X 与Y 不相关。 1２、相关系数:,,当且仅当X 与Ｙ存在线性关系时,且 13、k 阶原点矩:,k 阶中心矩:。 1４、切比雪夫不等式:{} {}2 2 () () (),()1D X D X P X E X P X E X εεε ε -≥≤ -<≤- 或、贝努利大数定律:。 15、独立同分布序列得切比雪夫大数定律:因,所以。 1６、独立同分布序列得中心极限定理: (1)、当n 充分大时,独立同分布得随机变量之与得分布近似于正态分布。 (2)、对于得平均值,有,,即独立同分布得随机变量得均值当n 充分大时,近似服从正态分布、 (３)、由上可知:{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞ <≤=Φ-Φ?<≤≈Φ-Φ。 1７、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设ｍ就是ｎ次独立重复试验中事件A 发生得次数,p 就是事件A 发生得概率,则对任意, , 其中。 (1)、当n 充分大时,m 近似服从正态分布,。 (2)、当ｎ充分大时,近似服从正态分布,。 １８、参数得矩估计与似然估计:(参见P ２00) 19 20、关于正态总值均值及方差得假设检验,参见Ｐ243与P ２48。
概率分布以及期望和方差
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布
概率分布以及期望及方差.docx
概率分布以及期望和方差 上课时间 : 上课教师： 上课重点 : 掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布 及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一两点分布 知识内容 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X10 P p q 其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布． X 10 P 0.80.2 两点分布又称 0 1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试 验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 典例分析 ，针尖向上； 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令X1，如果针尖向上的 ，针尖向下 . 概率为 p ，试写出随机变量 X 的概率分布． 2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的
，当取到白球时， 白球个数”，即 X ，当取到红球时， ，求随机变量 X 的概率分布． 3、若随机变量 X 的概率分布如下： X 1 P 2 3 8C 9C C 试求出 C ，并写出 X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 ) 试写出随机变量 的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得 1 分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命 中率的概率为 P ． ⑴ 记投篮 1次得分 X ，求方差 D ( X ) 的最大值； ⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投 3 次篮，求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期望与方差． 二 超几何分布
常见分布的期望和方差
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5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
第十章 统计与概率10-9离散型随机变量的期望、方差与正态分布(理
第10章 第9节 一、选择题 1．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B. 2．设随机变量ξ的分布列如下： 其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1 3，则D (ξ)＝( ) A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D [解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×????－1－132＋13????0－132＋12????1－132＝5 9 . 3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( ) A ．100人 B ．125人 C ．150人
[答案] C [解析] 由条件知，P (ξ>620)＝P (ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4．(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( ) A ．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的； B ．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本； C ．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布； D ．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”． [答案] D 5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6 7 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 [答案] A [解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2 C 72＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x ) 21， P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1) 42， ∴0× (7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝6 7 ， ∴x ＝3. 6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( ) A ．39元 B ．37元
概率、期望与方差的计算和性质
概率与统计 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型； 1、 古典概型的基本特点： （1） 基本事件数有限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数 ; 类型二：几何概型； 1、 几何概型的基本特点： （1） 基本事件数有无限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 构成事件的区域长度（或面积或体积或角度） 总的区域长度（或面积或体积或角度） ； 注意： （1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如 果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比； （2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪 一个是等可能的； 例如：等腰ABC ?中，角C= 23 π ，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求 使得AM AC ≤的概率； 解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度 之比，所求概率： 13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755 = =1208 P ?； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ?（积事件） ：表示A 、B 两个事件同时发生； A （对立事件） ：表示事件A 的对立事件；
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差 知识点 一、离散型随机变量的数学期望 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。 2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。 3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义 一般地，如果离散型随机变量的分布列为 则称∑=-= n i i i p X E x X D 1 2 )) (()(为随机变量的方差。 2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。 3.性质：)()(2 X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差 如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值 【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝() A.0.2 C．－0.2 D．0.4 【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为() A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________． 【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差 1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生 在面试时得分的期望值为分． 2．随机变量ξ服从二项分 布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于． 3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ． 4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随 机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下： ξ﹣1 0 1 P a b c 其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是． 6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y= ． ξ 1 2 3 P X y x 7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ． 8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是． 9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲 袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机 抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ． 10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得 分的期望是分． 11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是． X ﹣ 1 0 1 P a c
常见分布的期望和方差78835
常见分布的期望和方差 5
5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
概率论分布列期望方差习题及答案
圆梦教育离散型随机变量的分布列、期望、方差专题 姓名：__________班级：__________学号：__________ 1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望. 2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数； (2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率． 3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为，出现“×”的概率为.若第次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=.令S=a+a+…+a. (1)当时，求S2的概率；(2)当，时，求S=2且S≥0(i=1,2,3,4)的概率.
4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表： 当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为，且各个问题回答正确与否互不影响． （Ⅰ）按照答题规则，求该选手回答正确但所得奖金为零的概率； （Ⅱ）设该选手所获奖金总数为，求的分布列与数学期望． 5．某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块T1,T2,T3组成（如图所示已知T1,T2,T3正常工作的概率都是，且T1,T2,T3能否正常工作相互独立.(注：对每一套系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.) (I )分别求系统M,N正常工作的概率； (II)设该装I中两套系统正常工作的套数为，求的分布列和期望.
概率分布期望方差(大全)
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X=0）= 33 A 2= 3 1 ； P （X=1）= 33 13A C = 21；P （X=3）=33 A 1 =61； ∴随机变量X 的分布列为 （2）E （X ）=1×21+3×6 1 =1. D （X ）=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值. 解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X=0）=3 109?? ? ??=0001729； P （X=10）=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P(X=50)=109 ×210 1=00019; P(X=60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为
（2）E （X ）=0× 0001729+10×0001243+20×000 118+50×00019+60×00011 =3.3(元). 3（本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优 等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产 品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。 解：（1） 98 7,573514 =?=，即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的 优等品2,5 故乙厂生产有大约2 35145 ? =（件）优等品， （3）ξ的取值为0， 1，2。 211 23323222 555331 (0),(1),(2)10510 C C C C P P P C C C ξξξ?========= 所以ξ的分布列为
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2 N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ． 解：(1))4.22 1 3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤ -=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2))78.12 1 78.2(1)56.4(1)56.4(<-< --=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=-- 二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2 N ．规定直径在2.1100±（mm ） 之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ． 而)26 .0100 2()6.02.16.01006.02.1( )2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-?= 故0456.09544.01=-=p ． 三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度 3200 )20(22401)(-- = x e x f π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 }30{}30{}30{>?>?>=ξξξD 第三次第二次第一次 因为)40,20(~2 N ξ，所以由事件的相互独立性，有 31 ,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有 86975.013025.01)(1}30{=-=-= 729 243 18 9 (2 ) E ( X ) =0 X +10 X -243+20 X 18+50 X — +60 X 1 000 1 000 1 000 1 000 1 =3.3（兀）. 1 000 ' ' 3 （本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y满足x》175 ,且y》75时,该产品为优等 品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。 & 98 解：（1）7,5 7=35，即乙厂生产的产品数量为35件。 14 （2）易见只有编号为 2 , 5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中