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2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）

及答案

（时间：5月16日18：40～20：40）

满分：120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

1．已知

M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且

P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （）

A. M

B. N

C. P

D.P M 2.函数()1

42-+

x x x f 是（）

A 是偶函数但不是奇函数

B 是奇函数但不是偶函数

C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数

3.已知不等式m 2

＋(cos 2

θ－5)m ＋4sin 2

θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）

A . 0≤m ≤4

B . 1≤m ≤4

C . m ≥4或x ≤0

D . m ≥1或m ≤0

4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若

0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A ，则

a +的值是（） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a

b >>, 那么 2

()

a b a b +

- 的最小值是

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C

C A

cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是

（）

A. (0,)+∞

D. )+∞．

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|

cos sin |2sin )(x x e

x x f ++=的最大值与最小值之差等于。

个

9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =

2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

10.正方体的六个面所在平面把空间分成部分

11．已知数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大

角的大小是 .

12.已知1009921)(,*-+-+???+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于

13.设{}

2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =

14.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①

???

?α∥c a ∥c ?a ∥α；；②

???

?α∥c β∥c ?α∥β；③

???

?α∥γa ∥γ?a ∥α

④

???

?a ∥c b ∥c ?a ∥b ；⑤

???

?α∥γβ∥γ?α∥β；. ⑥

???

?a ∥γb ∥γ?a ∥b

其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)．

15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则

12111

...n

a a a ++= 16.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为．

三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）

17．（本题满分16分）已知向量)23sin ,23

(cos x x =，)21sin ,21(cos x x -=，

且]2

,0[π

∈x . （1）求?及||b a +；

（2）求函数=)(x f ?-||b a +的最小值。 18已知数列{}n a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

??????222n

?????? 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n 项之和S n .

19．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2014f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤?，(6)()632x f x f x +-≥?，求(2014)f 的值．答案 1．已知

M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且

P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ B ）

A. M

B. N

C. P

D. P M

2.函数()1

42-+

=x x x x f 是（ A ）

A.是偶函数但不是奇函数

B.是奇函数但不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

3已知不等式m 2

＋(cos 2

θ－5)m ＋4sin 2

θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 C

A . 0≤m ≤4

B . 1≤m ≤4

C . m ≥4或x ≤0

D . m ≥1或m ≤0

在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若

0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A ，则

a +的值是 A. 1 B. 2 C. 3 C. 2 解：由0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A 得，0)

sin(22)4

sin(2=+

+π

B A 即1)4

sin()4

sin(=+

B A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，

1)4sin(=+

A 且1)4

sin(=+

B ，从而4

=B A ，∴2

∴2sin sin =+=+B A c

a 5. 设 0a

b >>, 那么 21

()

a b a b +

- 的最小值是答: [ C ]

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解：由 0a b >>, 可知2221

0()()424

a a

b a b b a <-=--≤,

所以， 2

2214

4()a a b a b a

≥+≥-. 故选 C ．

6设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则

sin cot cos sin cot cos A C A

B C B

++的取值范围是

（ C ）

A. (0,)+∞

C. 11(,)22

D. 1(,)2

+∞

[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而

C B C B C A C A B C

C A

sin cos cos sin sin cos cos sin cos tan sin cos tan sin ++=

sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b

q B C A A a

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q 的取值范围．

因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组

,a aq aq aq aq a ?+>??+>??即2

210,

10.

q q q q ?--??

解得11

,2211.22

q q q ?-<

???><-??或

q <<

，因此所求的取值范围是11()22

． 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为: 6 8．函数|

cos sin |2sin )(x x e

x x f ++=的最大值与最小值之差等于2

+。

解：)|

sin(|2|

cos sin |2sin 2sin )(π

+++=+=x x x e x e

x x f ，从而当4

x 时取最大值2

当4

=x 时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于2

9、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =

2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

9、解：

,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x ?∈+=--+对有

(1)()()()2f xy f y f x f x y ∴+=--+有

∴()()()2f x f y f y x --+=()()()2f y f x f x y --+

即()(),0,()1f x y f y x y f x x +=+==+令得 10正方体的六个面所在平面把空间分成 27 部分

11．已知数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大

角的大小是 ▲

. 12．已知1009921)(,*

-+-+???+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于------2500-----）

13、设{}

2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x = 解析.作图比较容易得到 max ()2f x =。

14．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

①

????α∥c a ∥c ?a ∥α；；②

???

?α∥c β∥c ?α∥β；③

????α∥γa ∥γ

?a ∥α

④

???

?a ∥c b ∥c ?a ∥b ；⑤

???

?α∥γβ∥γ?α∥β；. ⑥

???

?a ∥γb ∥γ?a ∥b

其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．

解析 ②中a 、b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．

答案 ①③④⑤

15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式

18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则

12111

...n

a a a ++= _____ 、解：设1111

,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n n

b n a b b +=

=-+=则

即1111113610.2,2()333

n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++

=+ 故数列1

{}3

n b +是公比为2的等比数列，

1100111111

2()2()2(21)33333

n n n n n n b b b a +++

=+=+=?∴=-。 ()112001112(21)

1(21)(1)2333213

n n

i n i i o i i i b n n a +++===??-==-=-+=--??-??∑∑∑。

16在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，

(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为__________．【解答】

+．如图，设AC 与BD 交于F 点，则 ||||||||||PA PC AC FA FC +=+≥，

||||||||||PB PD BD FB FD +=+≥．

因此，当动点P 与F 点重合时，

||||||||PA PB PC PD +++

取到最小值||||AC BD +=

17．（本题满分16分）已知向量)23sin

,23

(cos x x =，)2

sin ,21(cos x x -=，且]2

,0[π

∈x .

（1）求?及||b a +；

（2）求函数=)(x f ?-||+的最小值。 17.解(1)=?b a )23sin

(cos x x )2

1sin ,21(cos x x -? x x x x 2

1sin 23sin 21cos 23cos -=

x x 2cos 212

cos =?

?? ??+= ………………… 5分 ()

x x x 22222cos 41cos 22212cos 21||2||||=-+=++=+?+=+

∴???

? ??≥∴???

???∈===+0cos ,2,0cos 2|cos |2||x x x

x b a π ……… 10分 (2)由(1) 得()cos22cos f x x x =-2

2cos 2cos 1,x x =--

个

设[]10cos ，

∈=x t ,则()2

221222

g t t t t ??=--=-- ??? ①当0<λ时,()(),10min -==g t g 不合题意;

②当10<≤λ时,()(),23122

min -

=--==λλg t g 解得21

=λ或21-=λ(舍); ③当1≥λ时,()()23411min -=-==λg t g 3,解得8

=λ(舍);

综上所述,当21=λ时()x f 的最小值为2

-. ……… 16分

18（本小题满分20分）已知数列{}n a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

??????222n

?????? 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n 项之和S n .

18.解：（Ⅰ）12(101)10(101)99n n n n a =

-?+?- 1

(101)(102)9

n n =-?+ 101101()(1)33n n --=?+

记：A =101

3n - , 则A=333n

??????为整数

∴ n a

= A (A+1) ，得证

(Ⅱ)

2112

1010999

n n n a =

+- 2422112

(101010)(101010)999

n n n S n =++??????++++??????-

2211

(101110198210)891

n n n ++=

+?-- 19．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2014f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤?，(6)()632x f x f x +-≥?，求(2014)f 的值．．

19[解法一] 由题设条件知

(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-

24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?，因此有(2)()32x f x f x +-=?，故

个

(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-+

+-+

2006200423(2221)(0)f =?++

+++

1003141

3(0)41

f +-=?+-

201422013=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则

2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=，

6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=，

即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，

故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，

所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．

职高(基础模块)高一数学期中试题(答案)

务川中等职业学校2014-2015学年第二学期对职高考班数学期中试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I 卷（选择题共48分）（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．已知集合{}20<<=x x A ，集合{}31≤<=x x B ，则=B A （）。 A ．{}30<<=x x A B. {}30≤<=x x B C. {}21<<=x x B D. {}31<<=x x B 2．已知集合}1,1{-=M ，}44 1|{2<<∈=x Z x N ，则N M ?＝（） A 、}1,1{- B 、}1{- C 、}0{ D 、}0,1{- 3．设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03 , 则A ∩B=（） A ．]2,3(-- B ．]25 ,0[]2,3(?-- C ．),2 5[]3,(+∞?--∞ D ．),2 5 [)3,(+∞?--∞ 4．设1 ( )1f x x = -,则(){} f f f x ????的解析式为: （） A. 1 1x - B.3 1(1)x - C.x - D.x 5．下列各组中的两个函数，表示同一个函数的是（） A ．2x y x =与y x = B. 2x y x = 与x x f 1 )(= C. y x =与y x = D. 2y =与y x = 6．要使函数42-=x y 有意义，则x 的取值范围是（）。班级考号姓名 . …………………………………….装…………订…………线……………………………………….

2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1

2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分）

1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试

(新课标)高一数学上学期第三次月考试题

2013-2014学年度上学期第三次月考高一数学试题【新课标】一、填空题 1.若7θ=-，则角θ的终边在第象限。 2.函数()()3sin 61f x x π=+的频率为。 3. = 。 4.已知tan()2πα-=-，则 2sin cos 3sin 2cos αα αα +-的值为。 5.若2sin 1cos αα=-，且(0,)απ∈，则α= 。 6.函数()sin 3f x x π? ?=- ?? ?在[,2]ππ上的单调增区间是。 7.若1sin 43x π??+= ???，且3x ππ<<，则sin 4x π?? - ??? 的值为。 8.若函数()2sin 2f x x a b =+-是定义在[,21]b b --的奇函数，则 b a 的值为。 9.把函数()3sin 26f x x π? ?=- ?? ?的图象向左平移6π个单位得到曲线1C ，再把曲线1C 上所有点的横坐标变为原来的 1 2 倍（纵坐标不变）得到曲线2C ，则曲线2C 的函数解析式为。 10函数sin 21(0)y a x b a =+-≠的最大值与最小值的和为10，则b = 。 11. 若函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的初相为 4π，且()f x 的图象过点,3P A π?? ??? ，则函数()f x 的最小正周期的最大值为。 12. 已知()f x 为定义在,22ππ??-????上的偶函数，当0,2x π?? ∈???? 时，()2cos 3sin f x x x =-，设(cos1),(cos2),(cos3)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为。 13. 已知函数21()2()2f x x x x R =-+∈，2()cos ,(,33g x x x ππ?? =∈???? ），若,a b R ∈，且有()()f a g b =，则a 的取值范围是。 14.若函数2()(sin 2sin 3)m f x log m x m x =-+()x R ∈的值总不是负数，则实数m 的取值范围是。二、解答题 15.（本题满分14分）（1）；化简：sin()cos() 35cos tan 22παπαππαα-+????-+ ? ????? （2）已知1sin cos 5αα+=，点(tan ,cos )P αα-在第四象限，求sin cos 0.2sin cos αα αα -+的值 16.（本题满分14分）已知函数()2sin 1f x x =+，集合56 6A x x ππ?? =≤≤????，{}()B f x x A =∈

(完整版)中职高一第二学期数学期中考试卷

第1页共2页 2018学年第二学期数学期中试卷 4.已知向量a 、b 满足a 2， b 3，ago 3，那么 a,b 5.已知直线l 过点（2,1）与点（7, 2），贝U 直线I 的方程为（） 6. 已知直线l : 7x 3y 5 0，直线l 的横截距为（） 5 5 5 5 A. B. C. D. 3 7 3 7 7. 已知a n 是公差不为0的等差数列，a 1 1，且&、a 3、a ?成等比数列，那么公差 d （） 10.已知在三角形 ABC 中，CD 3DB , CD r AB sAC ，那么r s ( ) 3 3 A. 一 B. 1 C.0 D. 一 4 2 二、填空题（本大题共 6小题，每小题4分，共24分）（考试时间：90分钟考试要求：不得携带、使用电子设备）、单项选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30 分） 1.数列a n 是以1为首项, 3为公差的等差数列，则 2020 是( 2. 3. A.第673项已知数列a n 满足 a 1 0， a n 1 B.第674项 2 a n —，则 a n a 4 1 A.- 3 B. 1 C.第675项 ( ) 10 C. 27 D.第672项 D. 3 如果数列a n 是等差数列，那么（ C. a 1 a 15 a 7 a ? A. 150 B. 30 C. 60 D. 120 A. 3x 5y 1 0 B. 3x 5y 11 0 C. 5y 3x 11 0 D. 5y 3x 1 0 A. 1 B. 0 或 1 8.已知向量 r a (1, 3) ， b ( (4,2) , C (17, A. C 5a 3b B .c 5a 4b 9.设0 2 uuu OA (cos ,sin ), ILW OB A. 3 B “ 5 C. 2 D. 1 或 2 C. c 5a 4b D. c 5a 3b um (2 cos ,1)，那么 AB 的取大值疋（） 1— C. 2 D. 2U2 a 7 a 9 9）,则c 用a 、 b 线性表示为（）

2021届高一上学期数学竞赛试题

商洛中学2021届高一数学竞赛试题一、选择题（本大题共有6小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共30分） 1.设集合2 {|} M x x x ==，{|lg0} N x x =≤，则M N=（） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] -∞2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A．1 B．2 C． 2-1 2 D． 2+1 2 2 3.()(1)()(0)()() 21 x F x f x x f x f x =+≠ - 是偶函数，且不恒等于零，则（） A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 4.函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为（） 5.设 0.2 log0.3 a=， 2 log0.3 b=，则( ) A．0 a b ab +<

(完整版)中职高一第二学期数学期中考试卷

第 1 页共 2 页 2018学年第二学期数学期中试卷（考试时间：90分钟考试要求：不得携带、使用电子设备）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，则2020是（） A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第672项 2. 已知数列{}n a 满足01=a ，n n n a a a ++=+31 2 1，则=4a （） A. 31 B. 1 C. 27 10 D. 3 3. 如果数列{}n a 是等差数列，那么（） A. 97151a a a a < B. 97151a a a a +>+ C. 97151a a a a +=+ D. 97151a a a a = 4. 已知向量b a ρρ、满足2a =r ，3=b ρ，3a b =-r r g ，那么,a b <>=r r （） A. ο 150 B. ο 30 C. ο 60 D. ο 120 5. 已知直线l 过点）（1,2与点7,2-（），则直线l 的方程为（） A. 0153=++y x B. 01153=-+y x C. 01135=--x y D. 0135=+-x y 6. 已知直线l ：0537=-+-y x ，直线l 的横截距为（） A. 35- B. 75 C. 35 D. 7 5- 7. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，11=a ，且931a a a 、、成等比数列，那么公差=d （） A. 1 B. 0或1 C. 2 D. 1或2 8. 已知向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，17,9c =-r （），则c r 用a b r r 、线性表示为（） A. b a c ρρρ35+= B. b a c ρρρ45-= C. b a c ρρρ45+= D. b a c ρρρ35-= 9. 设πθ20<≤，(cos ,sin )OA θθ=u u u r ，(2c )1os ,OB θ=+u u u r ，那么AB u u u r 的最大值是（） A. 3 B. 5 C. 2 D. 22 10. 已知在三角形ABC 中，DB CD 3=，AC s AB r CD +=，那么=+s r （） A. 43 B. 1 C. 0 D. 2 3

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理

竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有

《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1）则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ，故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理

高一下学期第三次月考数学考试卷 (优秀经典月考卷及答案详解)

1 澜沧拉祜族自治县第一中学 2018-2019学年（下）高一年级（数学）第三次月考测试卷满分：150分时间：120分钟班级：学号：姓名：一、选择题（每小题5分，共60分）. 1．设集合{}012345U =，，，，，，{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M C N ?=（） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ．{}0,1,3,4,5 2.计算：98 23log log ?＝（） A 12 B 10 C 8 D 6 3.掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（） A. 61 B. 21 C. `31 D. 41 4.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A.4x+3y-13=0 B. 4x-3y-19=0 C .3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0 5.正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（） A. 3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. 6.下列命题中错误的是（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ 7.cos 2cos sin 2sin 5 5 y x x π π =+的单调递减区间是( ) A 、 5,()1212k k k Z ππππ? ?-+∈??? ? B 、 3,()105k k k Z ππππ? ?++∈???? C 、 55,()126k k k Z ππππ? ?++∈??? ? D 、 52,()63k k k Z ππππ??++∈??? ? 8.直线3440x y --=被圆2 2 (3)9x y -+=截得的弦长为（） A ．22 B ．4 C ．42 D ．2 9.要得到2sin(2)3y x π =- 的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π 个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3 π 个单位 10.已知点（-2，3）， ( 2，0 )，则=( ) A 、3 B 、5 C 、9 D 、25 11.．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1 12．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）（A ）)322sin(2π+=x y （B ）)3 2sin(2π+=x y （C ）)3 2sin( 2π-=x y （D ）)3 2sin(2π - =x y 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是 ; 14.已知向量)6,8(),2,2(-==b a ，则>=

2017高一数学竞赛试题

2017高一数学竞赛试题导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D.

5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.

2019-2020学年度高一数学上学期第三次月考试题

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高一数学上学期第三次月考试题 ______年______月______日 ____________________部门

注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 参考公式：球的表面积公式：，其中是球的半径；2 4R S ?=πR 球的体积公式：其中R 表示球的半径；34 . 3V R π= 锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积.是锥体的高． h s V ??= 3 1 s h 第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知全集，则集合{0,1,2,3},{1,3}U A ==U C A = A ． B ． C ． D ． {}0{}1,2{}0,2{}0,1,2 2、空间中，垂直于同一直线的两条直线 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 3、已知幂函数的图象经过点，则的值等于 ()f x (2,8)1 ()2f -

A ． B ． C ．-8 D ．818- 1 8 4、已知过点的直线与直线平行，则的值为(2,),(,4) A m B m -210x y +-=m A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10 5、函数的零点所在的一个区间是()2log 4f x x x =+- A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4 6．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 A ． B ． C ． D ． 2 1022 6 7．两条平行线：3x －4y －1＝0，与：6x －8y －7＝0间的距离为1 l 2l A ． B ． C ． D ．1 123565 8．如图，正方形的面积为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为C ''''O A B 4 A ． B ． C ． D ．434+1612 424+ 9、已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是,,l m n ,,αβγ A ．若，则 B ．若，则 ,m l n l ⊥⊥//m n ,αγβγ⊥⊥//αβ C ．若，则 D ．若，则 //,//m l n l //m n //,//m n αα//m n

(完整)职高高一上期末数学考试试卷

职高高一年级上期期末考试数学试卷本试卷分第Ⅰ（选择题）卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时100分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）本卷15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项。 (1) 下列选项能组成集合的是（） A 、著名的运动健儿 B 、英文26个字母 C 、非常接近0的数 D 、勇敢的人（2）设集合{}2=M ，则下列写法正确的是（）。 A ．M =2 B.M ∈2 C. M ?2 D.M ?2 (3) 设A={x|-2＜x ≤2｝，B={x|1＜x ＜3｝，A ∪B=（） A ．{x|-2＜x ＜3｝ B. {x|-2＜x ≤1｝ C. {x|1＜x ≤2｝ D. {x|2＜x ＜3｝（4）的定义域是函数2 92 --= x x y ( ) A ． []33， - B. ()33，- C. ()()3223，，Y - D. [)(]3223，，Y - (5) 设全集为R ，集合(]5,1-=A ，则 =A C U （） A ．(]1,-∞- B.()+∞,5 C.()()+∞-∞-,51,Y D. (]()+∞-∞-,51,Y （6）函数 x x y +=2是（） A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 又奇又偶函数（7）不等式|x+1|＜1的解集是（） A ．{x|0＜x ＜1} B. { x|x ＜-2或x ＞2 } C. { x|-2＜x ＜0 } D. { x|-2＜x ＜2 } （8）的解集是不等式0232 <+-x x ( ) A.? ???? ?>-<221|x x x 或 B .{}21|-<

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题【含答案】

重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项． 1．已知复数21i z i = -，则复数z 的虚部是（） A ．1- B ．1 C ．i D ．i - 2．已知集合{} 2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π 4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍．（当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++） A ．1.22 B ．1.23 C ．1.26 D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为 3 π ，则||a b -的取值范围为（） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2 ??+∞???? D ．3? +∞??? 6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且 ,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（） A ．垂心 B ．内心 C ．重心 D ．外心

高一数学竞赛试题及答案详解

2012年天骄辅导学校高一数学竞赛试题一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数f (x )满足f (| |2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2x C. -log 2x D.x -2 2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( ) A.x =2 B.x =1 C.x =2 1 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f ( 21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的取值范围是( ) A.x ＞2或21＜x ＜1 B.x ＞2 C.21＜x ＜1 D.2 1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( ) A. f (5)＜f (2)＜f (7) B. f (2)＜f (5)＜f (7) C. f (7)＜f (2)＜f (5) D. f (7)＜f (5)＜f (2) 5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2 1]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -6 6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( ) A.m ＞0 B.m ≤4 C.0＜m ≤4 D.0＜m ≤3 8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得 2 21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( ) A.101 B.10 C.43 D.2 3 二、填空题(每小题5分, 共30分) 9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k }, 若A ? ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________ 11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组???=-=+164log 81log 4log log 6481y x y x 的解为???==11y y x x 和???==22y y x x , 则log 18(x 1x 2y 1y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m 的取值范围是_________________ 14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B), 且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______ 三、解答题(每题10分, 共30分) 15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|. (1)当a =2时, 求f (x )的最小值;

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