椭圆性质中的定值探究

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椭圆性质中的定值探究

作者：王中学

来源：《新教育时代·教师版》2016年第08期

圆锥曲线优美、和谐，尤其是椭圆。它有许多内涵丰富，应用广泛的几何性质，吸引着数学爱好者乐此不疲地去研究它、发掘它、拓展它[1]。本文主要是研究椭圆中的一些定值，定

性问题。

结论一：

已知椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），右焦点F为（c，0），过点F的直线交椭圆于点A、B.

若AF=mFB（m>1），且直线l的倾斜角为a（0

证明：易知椭圆的右准线l1：x=a2[]c，作BB1⊥l1，AA1⊥l1，垂足分别为B1、A1，再作BD⊥AA1交AA1于点D.

由椭圆的定义得：|BF|[]|BB1|=e，|AF|[]|AA1|=e.

∴|AD|=|AA1|-|BB1|=1[]e（|AF|-|BF|）=m-1[]e|BF|

又|AB|=|AF|+|BF|=（m+1）|BF|

∴cosa=cos∠BAD=|AD|[]|AB|=1[]e m-1[]m+1即e cosa=m-1[]m+1.

例1：（2010全国Ⅱ，理）已知椭圆C：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的离心率为3[]2，过

右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若AF=3FB，则k等于（）

A.1

B.2

C.3

D. 2

解答：B.由结论1可知e cosa=m-1[]m+1，又m=3，e=3[]2，∴3[]2 cosa=3-1[]3+1=1[]2，

∴cosa=3[]3，又k=tana=2.

结论二：

已知椭圆x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），A、B为椭圆上相异的两点，且OA⊥OB，若圆

o：x2+y2=r2与直线AB相切，则r=a2b2[]a2+b2.

证明：①当直线AB斜率不存在时，则直线AB的方程为：x=m.