电磁波群速度与相速度原理

电子信息工程学院Quency Chen

1、相速度与群速度

如果只考虑均匀介质中的小幅度的波,可利用描述介质的方程与麦克斯韦方程得到一常系数方程组,求解可得到解为:

)ex p(t j r k j ω-? (1)的解

其中k 为波矢量,r 为空间位置矢量,ω为角频率。式(1)中的ω与k 满足:

0),(=ωk F (2)的关系,

这个关系只与介质的特性有关,称为色散关系。

式(1)描述的电磁波,ω表征波的时间变化,波矢量k 描述波的空间变化。

λπ

2=k (3)

式(3)中λ为波长,因此波矢量k=1/λ表示单位距离有多少个波,即波的数量,然后再乘以2π表示单位距离内波的总相位,若把空间相位变化2π相当于一个全波,则k 表示单位距离内全波的数目,k 也被称为电磁波的相位常数,因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小,注意这里相位单位为弧度制。

将(1)式变形为:

)]()(exp[t t j r r jk ?+-?+?ω (4)

若满足0=?-?t r k ω (5),

则式(4)与式(3)一样,这说明在空间距离延长Δr 的位置处,若在时间上也滞后Δt 则信号相位与r 处t 时刻的相位保持一致。这说明r 处的波相位在Δt 时间后传播到r+Δr 处,因此将式(5)变形可得到

t

r k V ??==Φω

(6), 表示波的相速度由角频率与波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速度为c 。

折射指数n 定义为:

ωkc V c n =Φ

= (7), 由于介质中电波相速度既可能小于真空光速,也可能大于真空光速,所以折射指数也可能大于1,也可能小于1。

如果限制ω就是实数,若有一解,使得k 与n 也就是实数,则代表无衰减的波传播。若k 与n 为纯虚数,则相应的波就是消散波。波场强度随距离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载,则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量,然后又从输出端口全部放出能量,类似传输线特性;如果负载为虚数,则代表负载从输入端口全部吸收能量后,又从输入端口全部释放出去,因此电波就不能传播,只能到达一定的深度后就反射出去了,类似界面反射。如果k 与n 即有实部又有虚部,则波的传播伴随着衰减(或增长)。

如果ω与k 就是实数,且就是常数,则上述平面波将充满整个空间。波的相速度可以远大于光速,这时波的传播既不输送任何能量,

也不传送任何信息。实际上对于稳定的单频单色波,根本没有传输的概念,要利用电磁波来传输信息,本质上就是传送变化量,而且变化量必须要有带宽,不可能就是单色单频信号。这与“Shannon 定律”就是一致的,因此要研究信息传递的速度,必须要研究有一定带宽的波包的传递速度。即群速度。

根据傅里叶变换的方法可以将波包瞧做单色波的叠加,波包的传播表现为单色波振幅与相位叠加效应的传播,而不就是单色波的相位传播。所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度,即群速度。这里先考虑最简单的情况,两个等幅度,相位与频率有一定偏差的双频信号

])()[(])()[(),(t r k k j Ae t r k k j Ae t r E ωωωω?+-?++?--?-= (8) 利用三角公式

)2

cos()2cos(2cos cos b a b a b a -+=+ )2

cos()2sin(2sin sin b a b a b a -+=+ 可以将式(8)转换为:

)()cos(2),(t kr j e t kr A t r E ωω-?-?= (9)

如果只考虑包络)cos(2t kr A ω?-?等幅度面的传播,设波包包络在Δt 时间移动了Δr 距离。注意不就是单频波相位移动的距离与时间。 t kr t t r r k ωω?-?=?+?-?+?)()(

t r k ??=??ω

k

t r V g ??=??=ω (10) 若介质没有色散效应,则群速度与相速度一致。如真空中电磁波传播

电磁波群速度与相速度原理

电子信息工程学院Quency Chen 1.相速度与群速度 如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为： )ex p(t j r k j ω-? (1)的解 其中k 为波矢量，r 为空间位置矢量，ω为角频率。式(1)中的ω和k 满足： 0),(=ωk F (2)的关系， 这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。 式(1)描述的电磁波，ω表征波的时间变化，波矢量k 描述波的空间变化。 λπ 2=k (3) 式(3)中λ为波长，因此波矢量k=1/λ表示单位距离有多少个波，即波的数量，然后再乘以2π表示单位距离波的总相位，若把空间相位变化2π相当于一个全波，则k 表示单位距离全波的数目，k 也被称为电磁波的相位常数，因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小，注意这里相位单位为弧度制。 将(1)式变形为：

)]()(exp[t t j r r jk ?+-?+?ω (4) 若满足0=?-?t r k ω (5)， 则式(4)和式(3)一样，这说明在空间距离延长Δr 的位置处，若在时间上也滞后Δt 则信号相位与r 处t 时刻的相位保持一致。这说明r 处的波相位在Δt 时间后传播到r+Δr 处，因此将式(5)变形可得到 t r k V ??==Φω (6), 表示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速度为c 。 折射指数n 定义为： ωkc V c n =Φ = (7)， 由于介质中电波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速，所以折射指数也可能大于1，也可能小于1。 如果限制ω是实数，若有一解，使得k 和n 也是实数，则代表无衰减的波传播。若k 和n 为纯虚数，则相应的波是消散波。波场强度随距离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似传输线特性；如果负载为虚数，则代表负载从输入端口全部吸收能量后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不能传播，只能到达一定的深度后就反射出去了，类似界面反射。如果k 和n 即有实部又有虚部，则波的传播伴随着衰减（或增长）。 如果ω和k 是实数，且是常数，则上述平面波将充满整个空间。波的相速度可以远大于光速，这时波的传播既不输送任何能量，也不

相速度与群速度

§6-4 光的相速度和群速度 折射率是光在真空中和介质中传播速度的比值，即v c n /=，通常可以通过测定光线方向的改变并应用折射定律()21sin /sin i i n =来求它，但原则上也可分别实测c 和v 来求它们的比值，用近代实验室方法，不难以任何介质中的光速进行精确的测定，例如水的折射率为，用这两种方法测得的结果是符合的，但对二硫化碳，用光线方向的改变的折射法测得的折射率为，而1885年迈克耳孙用实测光速求得的比值则为，其间差别很大，这绝不是由实验误差所造成的，瑞利找到了这种差别的原因，他对光速概念的复杂性进行了说明，从而引出了相速度和群速度的概念。 按照波动理论，这种通常的光速测定法相当于测定由下列方程所决定的波速的数值： ?? ? ?? -=v r t A E ωcos 不难看出，这里v 所代表的是单色平面波的一定的位相向前移动的速度，因为位相不变的条件为 常量=- v r t 由此得到 01=- dr v dt 或 dt dr v = (6-1) 所以这个速度称为位相速度（简称相速），这速度的量值可用波长和频率来计算。 波的表达式部是t 和r 的函数,可以写成下列形式： ()kr t A E -=ωcos 式中v πω2= 和λπ/2=k 都是不随 t 和 r 而改变的量，故位相不变的条件为 kr t -ω=常量 0=-kdr dt ω 由此得 或 λωv k v dt dr === (6-2) （6-2）式表示的位相速度乃是严格的单色波地(ω有单一的确定值)所特有的一种速度，单色波以t 和r 的余弦函数表达,ω为常量，这种严格的单色波的空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦（或正弦）波，但是这种波仅是理想的极限情况，实际所到的永远是形式不同的脉动，这种脉动仅在空间某一有限范围内、在一定的时间间隔内发生，在时间和空间上都是有起点和终点的，任何形式的脉动都可看成是由无限多个不同频率、不同振幅的单色正弦波或余弦波叠加而成的，即可将任何脉动写成傅里叶级数或傅里叶积分的形式，在无色散介质中所有这些组成脉动的单色平面波都以同一相速度传播，那么该脉动在传播过程中将永远保持形状不变，整个脉动也永远以这一速度向前传播，但是除真空以外，任何介质通常都具有色散的特征，就是说，各个单色平面波各以不同的相速传播，其大小随频率而变，所以由它们叠加而成的脉动在传播过程中将不断改变其形状，在这种情况下，关于脉动的传播速度问题就变得比较复杂了，观察种脉动时，可以先认定它上面的某一特殊点，例如振幅最在大的一点，而把这一点在空间的传播速度看作是代表整个脉动的传播速度，但是由于脉动形状的改变，所选定的这一特殊点在脉动范围内也将不断改变其位置，因而该点的传播速

微波：波速、相速、群速和能量传输速度的区别与联系

波速、相速、群速、能量传输速度 1、定义 波速（wave celerity）：单位时间内波形传播的距离，以波长与波周 期之比表示.V=入/T. 相速(phase velocity)：相速度,单一频率的正弦电磁波波的等相面 （例如波峰面或波谷面）在介质中传播的速度v=c/n，c为自由空间 中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射指数。 在理想介质中，电磁波的相速仅与介质参数有关. 群速(group velocity)：（1）、波列作为整体的传播速度（2）波群传播的速度。波的群速度，简称群速，是指波的包络传播的速度。实 际上就是波实际前进的速度。群速是一个代表能量的传播速度。 概念引入原因： 实用系统的信号总是由许多频率分量组成，在色散介质中，各单色 分量将以不同的相速传播，因此要确定信号在色散介质中的传播速 度就发生困难，为此引入群速的概念，它描述信号的能量传播速度。能量传播速度：群速是波群的能量传播速度. 2、相互关系 （1）相关概念 非色散介质：无线电波在介质中传播时，介电常数ε与频率无关， 波的传播速度也与频率无关的介质； 色散介质：与此相反，如果介电常数ε或传播速度v与频率有关的 介质. 正常色散：一切无色透明介质在可见光区域均表现为正常色散。特点：波长变大时，由v=λf,频率不变，则V增大。而n=c/v，则折 射率值n变小，角色散率D变小。

反常色散：在某些波段会出现，波长变大时折射率值增大的现象， 这称为反常色散。反常色散同样是物质的普遍性质。反常色散与选 择吸收密切相关，即在发生物质的选择吸收波段附近出现反常色散。 角色散率：由夫琅和费衍射理论知，产生衍射亮条纹的条件（光栅 方程）：dsinθ=kλ（k＝ 1， 2，…， n）光栅方程对λ微分，就 可得到光栅的角色散率：ψ=Δθ/Δλ=k/dcos. 角色散率是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，随着k的增大，色 散率也就越大。它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角间距， 当光栅常数d愈小时，角色散愈大；光谱的级次愈高，角色散也愈大。且当光栅衍射时，如果衍射角不大，则cosθ接近不变，光谱 的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱 镜的不均匀色散有明显的不同。 （2）他们之间的相互关系 波速与相速：（1）、由波动方程所确定的光波速度v=c/n，反映了 光波波面相位的传播速度。 （2）、相速度只代表相位变化的快慢，并不代表电磁波能量的真正 传播速度。 （3）、电磁波的波速（3*10^8）是固定不变的.电磁波的相速 （c/n,n可以小于1）于介质n有关，可以超过光速，也可以为负值. 波速与群速：群速则总小于自由空间的光速c。由于色散的存在， 同一光信号所包含的不同光谱成分在色散介质中不能同步传播,其合 振动是一个复色平面波,随着该平面波以一相速度向前传播，调制波 也以一速度速度向前优越传播，该速度反映了光波能量度的传播速度，故称之为光波在色散介质中的群速度。 相速与群速：群速和相速只是在频散煤质中才有差别.群速度可以理 解为多个频率的光相互影响和形成的一个周期性的复杂震动。其相 速度是这个周期中某一个震动形式相同的位置的传播速度，群速度 就是整个这个周期传播的速度。在无色散介质中，群速等于相速度，其群速度跟相速度同方向同大小；在色散介质中，群速度不等于相

信号速度,相速度及群速度的区别(论稿)

信号速度，相速度及群速度的区别 胡良 深圳市宏源清实业有限公司 摘要：光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性关键词：信号速度，相速度，群速度 作者：总工，高工，硕士，副董事长 1信号速度的内涵 光子具有波粒二象性，粒子具有波粒二象性，任何孤立量子体系都具有波粒二象性；对于光子，粒子及孤立量子体系来说，其内禀的速度可表达为： p E p E k f V n ??=??=??=)/()/( ，其中， n V ，孤立量子体系内禀的一维空间速度，或粒子内禀的一维空间速度或光子内禀的一维空间速度（光速），量纲是，[L^(1)T^(-1)]；E ，能量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]；p ，动量，量纲是，[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-1)]； ，约化普朗克常数（或，固有的普朗克常数），量纲是，[L^(3)T^(0)]*[L^(2)T^(-2)]；f ，频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]； k ，波数，量纲是，[L^(-1)T^(0)]。 值得一提的是，最大的信号速度是真空中的光速，这意味着超光速通信是不可能实现的。2群速度的内涵 信号速度，相速度及群速度的内涵是有所不同的；但是，在绝对的真空中，则，信号速度，相速度及群速度是不可能区分的。 群速度（与选择的参考系相关），即，波的群速度，是指波振幅外形上的变化（波包）在空间中所传递的速度。群速度可表达为：k f V g ??= ，其中，g V ，群速度，量纲是，[L^(1)T^(-1)]； f ，波的角频率，量纲是，[L^(0)T^(-1)]；k ，波数（波矢），量纲是，[L^(-1)T^(0)]。第一，如果波的角频率（f ）正比于波数（k ），即， k V f * =；则群速度等于相速度，波形在传播过程中不会被扭曲。 第二，如果波的角频率（f ）与波数（k ）体现为线性关系；此时，群速度及相速度不同；波包以群速度传播，而波包里的波峰及波谷以相速度传播。 第三，如果波的角频率（f ）与波数（k ）不体现线性关系，则波包不是以单一速度传播（在行进中将会逐渐扭曲，该扭曲与群速度有关）。 此外，如果，将脉冲停住，群速度可减少到零；如果，脉冲以相反的方向行进，则可得到负值的群速度。 值得注意的是，相速度（相对速度）与群速度具有区别，最大的相速度（相对速度）是光速的二倍，而最小的相对速度是零。3引力与信号速度的等效性

相速度与群速度

相速度与群速度 群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。群速度（c g ）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。而相速度（c p ）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。值得注意的是，导波以其群速度向前传播。 Lord Rayleigh 曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。” 群速度和相速度的意义可以通过波的叠加引出。谐波是最简单的波，一个谐波的振动方程可以表示成式（2.1）的形式。 ()t kx Acos u ω-= （2.1） 式中： u----质点振动的位移 A----振幅 k----波数，k=2π/λ，λ为波长 ω---振动的角频率 x----波传播的位置矢量 t----时间变量 最简单的分析法是考虑两个振幅相同，频率ω1和ω2略有差异的谐波的传播问题，有 )()t x k Acos t x k Acos u 2211ωω-+-= （2.2） 式中，k 1=ω1/c 1；k 2=ω2/c 2。通过三角变换和如下代换 △ω=ω2-ω1 △k=k 2-k 1 ωA V =1/2(ω2+ω1) k A V =1/2(k 2+k 1) c A V =ωA V /k A V

则 ()t x k cos t 2 1kx 212Acos u AV AV ωω-?? ? ???-?= 注意到低频项有一传播速度，群速度定义为 C g =△ω/△k 取极限为C g =d ω/dk 。 高频项同样有一传播速度，相速度定义为 C p =ω/k 频率相近的一族波的叠加导致了图 2.2中的典型结果。不同的谐波以不同的相速度C p 传播，但叠加起来之后的波群以群速度C g 传播。超声导波总是以群速度传播的，但由于实际应用中往往只能得到导波的相速度，群速度C g 可以由相速度C p ，利用公式 dk d c g ω= 得到，将k=ω/c p 代入上式，得 图2-2 群速度、相速度示意图

群速度

群速度 波的群速度，或简称群速，是指波的包络传播的速度。实际上就是波实际前进的速度。形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。 实用系统的信号总是由许多频率分量组成，在色散介质中，各单色分量将以不同的相速传播，因此要确定信号在色散介质中的传播速度就发生困难，为此引入群速的概念，它描述信号的能量传播速度。对于电离层（地球大气由下往上分为对流层、平流层、电离层、磁层），因折射指数n〈1，所以无线电波的相速度大于光速c，这一结论和相对论的理论并不矛盾，因为相速度只代表相位变化的快慢，并不代表电磁波能量的真正传播速度。群速则总小于自由空间的光速c。 群速度：许多不同频率的正弦电磁波的合成信号在介质中传播的速度。不同频率正弦波的振幅和相位不同，在色散介质中，相速不同，故在不同的空间位置上的合成信号形状会发生变化。群速是一个代表能量的传播速度。 注意到波的相速度不必然与波的群速度相同；群速度代表的是“振幅变化”(或说波包)的传递速度。 电磁辐射的相速度可能在一些特定情况下(例如：出现异常色散的情形)超过真空中光速，但这不表示任何超光速的信息或者是能量移转。物理学家阿诺·索末菲与里昂·布里于因(Léon Brillouin)对此皆有理论性描述。 波的相速度或相位速度，或简称相速，是指电磁波相位传播[1]的速度。通俗地讲，就是电磁波形状向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。 无线电波在介质中传播时，如果该介质的介电常数ε与频率无关，波的传播速度也与频率无关，这种介质称为非色散介质；与此相反，如果介质的ε或传播速度v与频率有关，则称为色散介质[1]。